专题9.3双曲线的定义与性质(解析版)

9.3双曲线的定义与性思维导图知识点总结1.双曲线定义：设F1，F2是平面内的两个定点，若平面内的点P满足||PF2.双曲线的标准方程及简单几何性质标准方程xy焦点坐标左焦点F1−上焦点F10焦距F1F2=图形x≤−a或x≥a，yy≤−a或y≥a，x∈R范围对称性关于x轴、y轴、原点对称实轴端点(顶点)(±a，(0，±a)虚轴端点(0，±b)(±b，0)实轴长2a，其中a虚轴长2b，其中b渐近线yy离心率e3.双曲线通径公式：过焦点且与双曲线实轴垂直的弦叫做通径，通径长为2b典型例题分析考向一双曲线的定义 【例1】双曲线C：x24−y2=1的左、右焦点分别为答案：2或10解析：已知PF1求由题意，PF1−PF2=4，所以【变式】双曲线x24−y25=答案：2解析：如图，直接分析PA+PF的最小值不易，涉及PF，可考虑用定义转化到右焦点来分析，设双曲线的右焦点为F13，0，则由三角形两边之和大于第三边可得PA+当且仅当P与图中P0结合(1)可得PA+PF≥[反思]可以发现，双曲线定义与椭圆运用思路类似，实际上大部分题目处理思路也相同，故要类比学习.考向二双曲线的标准方程【例2】若方程x2m+y2答案：−∞，解析：双曲线标准方程中x2和y2的系数异号，所以1m⋅1[反思]对于方程x2m+y2【变式】双曲线λx2−y答案：1解析：先把双曲线化为标准方程，找到a和b，所以a2=1λ，b2=1考向三渐近线问题【例3】已知双曲线C：x26−y2答案：3解析：由题意，a=6，b=3，c=a2+b[反思]无论焦点在哪个坐标轴上，双曲线的渐近线都有个统一的求法：把标准方程中的“1”换成“0”，反解出y即得渐近线的方程.【变式1】(2021新高考Ⅱ卷)若双曲线x2a2答案：y解析：由离心率可找到a和c的比例关系，再利用c2=a2+b2换算成a和b的关系即可，由题意，e=c[反思]离心率和渐近线斜率由a，b，c的比值决定，故在求它们的过程中，可对a，b，c按比例赋值，不会影响结果.例如，本题也可由【变式2】双曲线C与双曲线x22−y2=1答案：y解析：不知道焦点在哪个坐标轴，讨论当然可以，但较为繁琑，可用共渐近线的双曲线的统一设法，设双曲线C：x22−y2=λλ≠0，因为双曲线[反思]与双曲线x2a2

考向四离心率问题【例4】(2021-全国甲卷)已知F1，F2是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且∠FA.7B.13C.7D.13答案：A解析：涉及PF1和PF2，考虑双曲线定义，由题意，PF1=3PF2PF1−PF2【变式】}已知双曲线x2a2−y2b2=1a>A.5B.3C.2D.5答案：C又AB=AF1，代入(1)可得AB−AF2=BF2=2a，代入(2)可得BF1−2a=2a，所以BF1=考向五焦点三角形面积问题【例5】[变式]设Fc，0是双曲线x2a2−y2b2A.3B.5C.10D.10答案：D解析：先分析图形，在双曲线中给出右焦点，一定要关注左焦点，如图，记左焦点为F1，由对称性，AB中点为O，又FF1的中点也是O，所以四边形AF1BF是平行四边形，结合AF⊥BF知四边形AF1BF是矩形，此时可将条件转移到△AFF1中来，结合双曲线的定义处理，设AF1=m，AF=n，则BF=m，由四边形AF1BF为矩形知AB=F【变式】已知双曲线C：x2a2−y24=1a>答案：4解析：涉及焦点三角形，考虑用双曲线的定义，如图，设PF1=m，PF2=n，则m−n=2a(1)，上面得到的是长度关系，故用勾股定理翻译垂直，因为考向六直线与双曲线综合问题【例6】]已知A，B是双曲线C：x22−y2答案：3解析：涉及弦中点，想到中点弦斜率积结论，M2，1如图，直线AB过点M，故其方程为y−整理得：3x−[反思]在双曲线中，涉及弦中点的问题都可以考虑用中点弦斜率积结论来建立方程，求解需要的量.[变式]已知双曲线C：x2−y2=1，过点Pm，1m>0的直线答案：0解析：涉及弦中点，想到中点弦斜率积结论，由题意，kAB⋅kOP=kAB⋅1m=1，所以kAB=m，如图，直线l过点P，故其方程为y−1=mx−m，整理得：y=mx由(1)可得m≠±1，由(2)可得1−m2m21−m2基础题型训练一、单选题1．与椭圆有公共焦点，且离心率的双曲线的方程是A． B．C． D．【答案】D【分析】双曲线与椭圆有公共焦点，先求出椭圆的焦点，然后根据离心率分别求出，即可求出双曲线方程.【详解】解：因为椭圆的焦点，设双曲线的方程为，则,所以，故双曲线的方程是故选：D2．若双曲线的一条渐近线经过点，则双曲线的离心率为（

）A． B． C． D．2【答案】D【分析】先求出渐近线方程，代入点化简求解.【详解】双曲线的渐近线方程为：，点在一条渐近线上即故选：D3．双曲线的实轴长是虚轴长的两倍，则它的渐近线方程为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由题可得，即，即得渐近线方程.【详解】由方程可得双曲线的焦点在轴上，实轴长是虚轴长的两倍，，则，故渐近线方程为.故选：C.4．已知，分别为双曲线的左、右顶点，为双曲线左支上一点，为等腰三角形且其外接圆的半径为，则该双曲线的渐近线方程为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先根据题目条件求出的度数，然后再求出的坐标，将点的坐标代入双曲线方程找出的关系即可写出渐近线方程【详解】如图所示设为外接圆的圆心，是等腰三角形，又,是等边三角形过点作于点，，故

点在双曲线上，整理得：故双曲线的渐近线方程为：故选：B5．过原点的直线与双曲线：（，）相交于不同的两点，，为双曲线的左焦点，且满足，（为坐标原点），则双曲线的渐近线的斜率为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】设点为双曲线的右焦点，根据直线过原点，由双曲线的对称性得到，再利用双曲线的定义结合，得到，再根据，易得，然后由求解.【详解】如图所示：点为双曲线的右焦点，因为直线过原点，由双曲线的对称性得：四边形是平行四边形，所以，由双曲线的定义得：，所以，因为，所以，又因为，则，又因为，所以，则，即，解得，即，故选：B6．在平面直角坐标系中，双曲线C：的左焦点为F，过F且与x轴垂直的直线与C交于A，B两点，若是正三角形，则C的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】设双曲线半焦距为c，求出，由给定的正三角形建立等量关系，结合计算作答.【详解】设双曲线半焦距为c，则，而轴，由得，从而有，而是正三角形，即有，则，整理得，因此有，而，解得，所以C的离心率为.故选：A二、多选题7．已知双曲线E：的左右焦点分别为、，点P在双曲线E上，=10，则为（

）A． B． C． D．【答案】AD【分析】根据双曲线定义直接计算可得.【详解】由双曲线定义可知，即，所以或.故选：AD8．已知双曲线经过点，则（

）A．的实轴长为 B．的焦距为C．的离心率为 D．的渐近线方程是【答案】BC【分析】根据双曲线经过点,可得双曲线标准方程，根据双曲线的简单几何性质即可逐一判断.【详解】由题意得，得即双曲线方程为．所以，双曲线的实轴长是，焦距是，离心率为，渐近线方程是故BC正确，AD错误，故选：BC三、填空题9．焦点在轴上，虚轴长为，且离心率的双曲线的标准方程为．【答案】【分析】根据题意，由双曲线的虚轴长可得的值，又由双曲线的离心率公式可得，解可得，又由双曲线焦点的位置分析可得答案．【详解】解：由题，因为焦点在轴上，所以，设双曲线的方程为．因为虚轴长为，且离心率，所以，，，所以，，解得，，所以所求双曲线的标准方程为．故答案为：10．已知点为双曲线的左顶点，点和点在双曲线的右支上，是等边三角形，则的面积为；【答案】【解析】根据题意得，再根据双曲线和等边三角形的对称性，得到，由此得到直线的方程，求出点，从而可求的面积.【详解】由题意得，，因为点和在双曲线的右分支上，是等边三角形，根据对称性得，，所以直线的方程是，代入双曲线方程，得，解得或（舍去），所以，所以.故答案为：【点睛】本题主要考查双曲线的几何性质和三角形面积的计算，还考查了分析解决问题的能力，属于基础题.11．过点与双曲线有公共渐近线的双曲线方程是.【答案】【解析】利用待定系数法设出所求双曲线标准方程，再将点代入可解得结果.【详解】设与双曲线有公共渐近线的双曲线标准方程是，因为双曲线过，所以，即，所以所求双曲线的标准方程为.故答案为：.12．从双曲线的左焦点引圆的切线，切点为，且交双曲线的右支于点，若点满足，则双曲线的离心率为．【答案】【分析】设点是线段的中点，由切线的性质可求，，根据双曲线的定义可得，再由，，的关系求离心率.【详解】设双曲线的右焦点为，点是线段的中点，点为坐标原点，由切线的性质可得，所以，因为，所以，，所以，由双曲线的定义，，即，所以，所以，所以．故答案为：.四、解答题13．已知双曲线的焦点在轴上，并且双曲线过点和，求双曲线的标准方程.【答案】【解析】直接设双曲线的方程为()，代入点的坐标解得，即得．【详解】设()，则，解得，∴方程为.14．已知双曲线C：．（1）求以C的焦点为顶点、以C的顶点为焦点的椭圆的标准方程；（2）求与C有公共的焦点，且过点的双曲线的标准方程，并且求出这条双曲线的实轴长、焦距、离心率以及渐近线方程．【答案】（1）；（2）；实轴长为、焦距为、离心率为，渐近线方程为．【解析】（1）求得双曲线的焦点和顶点坐标，可得椭圆的a，c，求得b，可得椭圆方程；（2）设所求双曲线的方程为（m，），由题意可得，，解方程可得m，n，进而得到所求双曲线的其他性质．【详解】解：（1）双曲线C：的焦点为，顶点为，设椭圆的标准方程为，可得，，，则椭圆的方程为；（2）设所求双曲线的方程为（m，），由题意可得，，解得，，即所求双曲线的方程为，则这条双曲线的实轴长为、焦距为、离心率为以及渐近线方程为．15．在平面直角坐标系中，已知点，，点的轨迹为.求的方程；【答案】；【分析】利用双曲线的定义可知轨迹是以点、为左、右焦点双曲线的右支，求出、的值，从而得的值，即可得出轨迹的方程；【详解】因为，由双曲线的定义可知，轨迹是以点、为左、右焦点的双曲线的右支，设轨迹的方程为，则，可得，，即，所以，所以轨迹的方程为.16．已知为坐标原点，双曲线（，）的左、右焦点分别为，，离心率为2，过的直线与双曲线的右支交于，两点，且的最小值为6，(1)求双曲线方程(2)求面积的最小值【答案】(1)(2)12【分析】（1）结合题意，得到的最小值为，从而利用双曲线的几何性质得到关于的方程组，解之即可；（2）先由条件得到，再联立直线与双曲线方程，结合韦达定理得到关于的解析式，利用换元法与的单调性即可求得的最小值.【详解】（1）依题意得，当轴时，取得最小值，不妨设，则，故，则，所以，则，又，则，联立，解得，所以双曲线的方程为.（2）由（1）得，设，，直线，因为双曲线的渐近线为，又由直线与双曲线的右支交于两点，所以，则，从而，联立，得，则，，，所以，设，则，，令，易得在上单调递减，则，所以，即面积的最小值为.提升题型训练一、单选题1．双曲线的实轴长为（

）A．2 B．4 C． D．【答案】B【分析】根据题意得，进而根据双曲线的实轴长为求解即可.【详解】解：由题知，所以双曲线的实轴长为.故选：B2．已知是双曲线的左、右焦点，点M是过坐标原点O且倾斜角为60°的直线l与双曲线C的一个交点，且则双曲线C的离心率为（

）A．2 B． C． D．【答案】C【分析】由得到，，结合，求出，，利用双曲线定义得到方程，求出离心率.【详解】不妨设点M在第一象限，由题意得：，即，故，故，因为O为的中点，所以，因为，故为等边三角形，故，，由双曲线定义可知：，即，解得：.故选：C.3．已知双曲线的左焦点为，离心率为，若经过和两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由双曲线的离心率为，得到双曲线为等轴双曲线，即渐近线方程为，根据直线的斜率公式，即可求得c的值，求得a和b的值，即可求得双曲线方程．【详解】设双曲线的左焦点，离心率，即，因为，所以，双曲线的渐近线方程为，由题意得：经过和两点的直线与平行，故，则，解得：，则，故双曲线的标准方程：.故选：D．4．已知双曲线的上、下焦点分别为，若存在点，使得，则实数的取值范围为（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据双曲线方程可得实轴长和渐近线方程，结合双曲线定义和点所在直线可确定双曲线与有交点，由此可得渐近线与直线斜率之间的关系，进而解不等式求得结果.【详解】由双曲线方程知：实轴长，渐近线方程为；由双曲线定义知：在双曲线上半支任取一点，则；在直线上，若存在点，使得，则双曲线与有交点，，解得：（舍）或，实数的取值范围为.故选：C.5．已知双曲线与直线相交于两个不同的点，则双曲线C的离心率的取值范围为（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据题意，联立直线与双曲线方程，即可得到的范围，再由双曲线的离心率的公式，代入计算，即可得到结果.【详解】由可得，，则，即，解得，故，则，故.故选：D6．已知，分别为双曲线的左、右焦点，若点到该双曲线渐近线的距离为1，点P在双曲线上，且，则的面积为（

）A． B．4 C．2 D．【答案】D【分析】先求出双曲线的渐近线方程，由点到直线的距离结合条件求出，然后由双曲线的定义结合余弦定理可得出，由条件求出,，结合三角形的面积公式可得出答案.【详解】双曲线的渐近线方程为：，因为点到该双曲线渐近线的距离为1，所以．由题意，则

（1）由余弦定理可得（2）将（1）代入（2）可得．因为，所以，，所以，故的面积为．故：D二、多选题7．设分别是双曲线的左､右焦点，且焦距为2，则下列结论正确的有（

）A．B．当时，的离心率是C．的取值范围是D．到渐近线的距离随着的增大而增大【答案】BC【分析】对A，由a、b、c关系列式求解即可；对B，由离心率公式直接求即可；对C，双曲线存在左右焦点，故有；对D，到渐近线的距离为.【详解】对A，，∴，A错；对B，，，∴，B对；对C，双曲线存在左右焦点，故，解得，C对；对D，到渐近线的距离为，随着的增大而减小，D错.故选：BC.8．已知椭圆过双曲线的焦点，的焦点恰为的顶点，与的交点按逆时针方向分别为，，，，为坐标原点，则（

）A．的离心率为B．的右焦点到的一条渐近线的距离为C．点到的两顶点的距离之和等于D．四边形的面积为【答案】ACD【分析】根据条件先求解出双曲线方程中的值，由此可求双曲线的渐近线方程，结合点到直线的距离公式即可判断选项A和选项B；根据椭圆的定义判断选项C；计算出椭圆和双曲线的交点坐标，由此可求四边形的面积.【详解】如下图所示，设双曲线的焦距为，由题意可知：，，所以的离心率为，故A正确；的右焦点，方程中，所以的渐近线方程为，不妨取渐近线，所以到的距离为，故B错误；根据椭圆定义可知：，故C正确；联立，所以，所以，故D正确；故选：ACD.三、填空题9．以为渐近线且经过点的双曲线方程为．【答案】【详解】以为渐近线的双曲线为等轴双曲线，方程可设为，代入点得.10．已知定点，且，动点满足，则的最小值是.【答案】6【分析】根据动点满足，得到点P的轨迹是以A，B为焦点的双曲线的一支，不妨设焦点在x轴上，写出双曲线方程，设，利用两点间距离公式求解.【详解】因为动点满足，所以点P的轨迹是以A，B为焦点的双曲线的一支，则，即，不妨设焦点在x轴上，则双曲线方程为，左焦点为，右焦点为，设，则，所以，所以的最小值是6，故答案为：611．P是非等轴双曲线上的一点，分别是双曲线C左､右焦点，若，则双曲线C的渐近线方程是.【答案】【解析】由双曲线定义可得，根据、已知可解得，再由渐近线方程是可得答案.【详解】因为，所以，又因为，，所以，即，解得或（舍去），所以双曲线C的渐近线方程是.故答案为：.【点睛】本题考查了双曲线的定义、焦点三角形的问题，关键点是焦点三角形中，考查了分析问题、解决问题的能力.12．已知双曲线方程是，过的直线与双曲线右支交于，两点（其中点在第一象限），设点、分别为、的内心，则的范围是.【答案】【分析】根据双曲线和三角形内切圆的性质可得点、与双曲线右顶点三点共线，且，线段，可分别用直线倾斜角表示出，根据倾斜角范围可求出的范围.【详解】

因，故，，，如图，过点分别作，，，垂足分别为，因为的内心，所以，故点也在双曲线上，即为双曲线的右顶点，同理，所以三点共线，设直线的倾斜角为，因双曲线的渐近线方程为，倾斜角为，根双曲线的对称性，不妨设，因，所以，,所以，因，所以，所以，故答案为：四、解答题13．求满足下列条件的曲线标准方程：(1)两焦点分别为，，且经过点的椭圆标准方程；(2)与双曲线有相同渐近线，且焦距为的双曲线标准方程.【答案】(1)(2)或【分析】(1)利用椭圆的定义以及点在椭圆上求解；(2)根据双曲线及渐近线方程的定义求解.【详解】（1）设所求椭圆的标准方程为两焦点分别为，，又椭圆过点，，又，，所以椭圆的标准方程为.（2）方法一：(i),若焦点在轴上，设所求双曲线方程为，因为与双曲线有相同渐近线，所以，设该双曲线的焦距为，又因为焦距所以，所以，联立解得则双曲线方程为，(ii),若焦点在轴上，设所求双曲线方程为，因为与双曲线有相同渐近线，所以，设该双曲线的焦距为，又因为焦距所以，所以，联立解得则双曲线方程为，双曲线的标准方程为：或方法二：设与双曲线有相同渐近线的双曲线方程为：（）焦距为，，双曲线的标准方程为：或14．已知双曲线：与双曲线有相同的焦点；且的一条渐近线与直线平行.(1)求双曲线的方程；(2)若直线与双曲线右支相切（切点不为右顶点），且分别交双曲线的两条渐近线于两点，为坐标原点，试判断的面积是否为定值，若是，请求出；若不是，请说明理由.【答案】(1)(2)是，2【分析】（1）根据题意列式求解，即可得方程；（2）设直线，联立方程由可得，根据题意求的坐标，即可求的面积，化简整理即可.【详解】（1）设双曲线的焦距为，由题意可得：，则，则双曲线的方程为.（2）由于直线与双曲线右支相