新课标2025版高考数学总复习第一章集合与常用逻辑用语第一节集合练习含解析文

PAGEPAGE12第一节集合学习要求:1.集合的含义与表示(1)了解集合的含义、元素与集合的属于关系.(2)能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的详细问题.2.集合间的基本关系(1)理解集合之间包含与相等的含义,能识别给定集合的子集.(2)在详细情境中,了解全集与空集的含义.3.集合的基本运算(1)理解两个集合的并集与交集的含义,会求两个简洁集合的并集与交集.(2)理解在给定集合中一个子集的补集的含义,会求给定子集的补集.(3)能运用韦恩(Venn)图表达集合的关系及运算.1.元素与集合(1)集合中元素的特性:确定性、①互异性、无序性.

(2)集合与元素的关系:若a属于集合A,记作②a∈A;若b不属于集合A,记作③b∉A.

(3)集合的表示方法:④列举法、描述法、图示法.

(4)常见数集及其符号表示:数集自然数集正整数集整数集有理数集实数集符号⑤N

⑥N*或N+

⑦Z

⑧Q

⑨R

2.集合间的基本关系文字语言符号语言记法集合间的基本关系子集集合A中随意一个元素都是集合B中的元素x∈A⇒x∈BA⊆B或B⑩⊇A

真子集集合A是集合B的子集,并且B中至少有一个元素不属于AA⊆B,且∃x0∈B,x0∉AA⫋B或B⫌A

相等集合A,B的元素完全相同A⊆B,B⊆AA=B

空集不含任何元素的集合.空集是任何集合A的子集,是任何非空集合B的真子集∀x,x∉⌀,⌀⊆A,⌀⫋B(B≠⌀)⌀▶提示(1)“⊆”与“⫋”的区分:A⊆B⇒A=B或A⫋B,若A⊆B和A⫋B同时成立,则A⫋B更精确.(2)⌀,{0}和{⌀}的区分,⌀是集合,不含有任何元素,{0}含有一个元素0;{⌀}含有一个元素⌀,且⌀∈{⌀}和⌀⊆{⌀}都正确.(3)在涉及集合之间的关系时,若未指明集合非空,则要考虑空集的可能性,如:若A⊆B,则要考虑A=⌀和A≠⌀两种状况.3.集合的基本运算集合的并集集合的交集集合的补集符号表示A∪BA∩B若全集为U,则集合A的补集为∁UA图形表示意义{x|x∈A或x∈B}

{x|x∈A,且x∈B}

{x|x∈U,且x∉A}4.集合的运算性质(1)并集的性质:A∪⌀=A;A∪A=A;A∪B=B∪A;A∪B=A⇔B⊆A;(2)交集的性质:A∩⌀=⌀;A∩A=A;A∩B=B∩A;A∩B=A⇔A⊆B;(3)补集的性质:A∪(∁UA)=U;A∩(∁UA)=⌀;∁U(∁UA)=A;∁U(A∪B)=(∁UA)∩(∁UB);∁U(A∩B)=(∁UA)∪(∁UB).学问拓展含有n个元素的集合有2n个子集,有2n-1个真子集,有2n-2个非空真子集.1.推断正误(正确的打“√”,错误的打“✕”).(1){x|x≤1}={t|t≤1}. ()(2){x|y=x2+1}={y|y=x2+1}={(x,y)|y=x2+1}. ()(3)含有n个元素的集合有(2n-1)个子集. ()(4)集合{x|x=x3}用列举法表示为{-1,1}. ()(5)若A∩B=A,则B⊆A. ()(6)若A={x|x=2k-1,k∈Z},B={x|x=2k+1,k∈Z},则集合A=B. ()答案(1)√(2)✕(3)✕(4)✕(5)✕(6)√2.(新教材人教A版必修第一册P12练习1改编)设集合A={2,3,5,7},B={1,2,3,5,8},则A∩B= ()A.{1,3,5,7}B.{2,3}C.{2,3,5}D.{1,2,3,5,7,8}答案C3.(新教材人教A版必修第一册P9习题1.2T1改编)若集合M={x|x≤6},a=5,则下面结论中正确的是 ()A.{a}⊆MB.a⊆MC.{a}∈MD.a∉M答案A4.(2024课标Ⅲ,4,5分)《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学珍宝,并称为中国古典小说四大名著.某中学为了解本校学生阅读四大名著的状况,随机调查了100位学生,其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位,阅读过《红楼梦》的学生共有80位,阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位,则该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为 ()A.0.5B.0.6C.0.7D.0.8答案C5.(易错题)已知集合A={0,1},B={0,1,2,3},则A∪B中的元素个数为.

答案4易错分析忽视集合元素的互异性.集合的运算1.(2024课标Ⅰ,1,5分)已知集合A={x|x2-3x-4<0},B={-4,1,3,5},则A∩B= ()A.{-4,1}B.{1,5}C.{3,5}D.{1,3}答案D由x2-3x-4<0,得(x-4)(x+1)<0,解得-1<x<4,∴A={x|-1<x<4},∵B={-4,1,3,5},∴A∩B={1,3},故选D.2.(2024天津,1,5分)设全集U={-3,-2,-1,0,1,2,3},集合A={-1,0,1,2},B={-3,0,2,3},则A∩(∁UB)= ()A.{-3,3}B.{0,2}C.{-1,1}D.{-3,-2,-1,1,3}答案C因为U={-3,-2,-1,0,1,2,3},B={-3,0,2,3},所以∁UB={-2,-1,1},又A={-1,0,1,2},所以A∩(∁UB)={-1,1},故选C.3.已知全集U={1,2,3,4,5},集合A={1,2,3},∁UB={2,5},则集合B=,A∩B=.

答案{1,3,4};{1,3}解析由补集的定义可知:B={1,3,4},∴A∩B={1,3}.4.设全集U=R,A={x|-5<x<5},B={x|0≤x<7},则(∁UA)∪(∁UB)=,∁U(A∪B)=.

答案{x|x<0或x≥5};{x|x≤-5或x≥7}解析由题意知∁UA={x|x≤-5或x≥5},∁UB={x|x<0或x≥7},则(∁UA)∪(∁UB)={x|x<0或x≥5}.由题意知A∪B={x|-5<x<7},则∁U(A∪B)={x|x≤-5或x≥7}.

名师点评集合基本运算的求解策略(1)求解思路:一般是先化简集合,再由交、并、补的定义求解.(2)求解思想:留意数形结合思想的运用,利用好数轴、Venn图等.集合、元素间的基本关系角度一两集合相等典例1已知集合a,ba,4={a2,a+3b,0},则2|a答案4角度二包含关系典例2若集合A={0,1,2,x},B={1,x2},A∪B=A,则满意条件的实数x为()A.0B.1C.±2答案C名师点评两集合相等,即两集合的元素相同,解决问题时须要留意去验证.1.(2024甘肃陇南二诊)若集合A={1,m},B={m2,m+1},且A=B,则m= ()A.0B.1C.±1D.0或1答案A∵集合A={1,m},B={m2,m+1},且A=B,m≠m+1,∴m=m2,解得m=0或m=1(不符合集合元素的互异性,舍去),综上,m=0.故选A.2.已知A⊆B,A⊆C,B={2,0,1,8},C={1,9,3,8},则A可能是 ()A.{1,8}B.{2,3}C.{1,3}D.{2}答案A∵B={2,0,1,8},C={1,9,3,8},∴B∩C={1,8},∵A⊆B,A⊆C,∴A⊆(B∩C)⇒A⊆{1,8},故选A.含有三个实数的集合既可以表示成a,ba,1,又可以表示成{a2,a+bb2024=.

答案-1解析要使得ba有意义,则a≠0,由集合a,ba,1={a2可得b=0,此时{a,0,1}={a2,a,0},故只需a2=1,即a=1或a=-1,若a=1,则集合{a2,a,0}={1,1,0},不满意集合元素的互异性,故舍去.若a=-1,阅历证,符合要求,故a=-1,b=0,则a2024+b2024=-1.4.设集合M={2,0,x},集合N={0,1},若N⊆M,则x=.

答案1解析由题意得1∈M,所以x=1.集合的新定义问题典例3(1)定义集合的商集运算为AB=xx=mn,m∈A,n∈B,已知集合A={2,4,6},B=xA.6B.7C.8D.9(2)设A,B是两个非空集合,定义集合A-B={x|x∈A,且x∉B}.若A={x∈N|0≤x≤5},B={x|x2-7x+10<0},则A-B= ()A.{0,1}B.{1,2}C.{0,1,2}D.{0,1,2,5}答案(1)B(2)D名师点评“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种,然后依据此新定义去解决问题,有时还须要用类比的方法去理解新的定义,这样有助于对新定义的透彻理解.但是,透过现象看本质,它们考查的还是基础数学学问,所以说“新题”不肯定是“难题”,驾驭好三基,以不变应万变才是制胜法宝.1.定义一种新的集合运算△:A△B={x|x∈A,且x∉B}.若集合A={x|x2-4x+3<0},B={x|2≤x≤4},则B△A=.

答案{x|3≤x≤4}解析易知A={x|1<x<3},因为B={x|2≤x≤4},所以由新定义知,B△A={x|x∈B,且x∉A}={x|3≤x≤4}.2.设A是整数集的一个非空子集,对于k∈A,假如k-1∉A且k+1∉A,那么k是A的一个“单一元”,给定S={1,2,3,4,5,6,7,8},由S的3个元素构成的全部集合中,不含“单一元”的集合共有个.

答案6解析符合题意的集合为{1,2,3},{2,3,4},{3,4,5},{4,5,6},{5,6,7},{6,7,8},共6个.微专题——新定义集合的概念、运算法则的应用典例定义集合A,B的运算A*B={x|x∈A或x∈B,且x∉(A∩B)},则(A*B)*A等于 ()A.A∩BB.A∪BC.AD.B答案D新定义题型的特点是:通过给出一个新概念,或约定一种新运算,或给出几个新模型来创设全新的问题情境,要求学生在阅读理解的基础上,依据题目供应的信息,联系所学的学问和方法,实现信息的迁移,达到敏捷解题的目的.遇到新定义问题时,应耐性读题,分析新定义的特点,弄清爽定义的性质,按新定义的要求,逐条分析、验证、运算,使问题得以解决.1.如图所示的Venn图中,A,B是非空集合,定义集合AB为阴影部分表示的集合,若x,y∈R,A={x|y=lgx+lg(2-x)},B={y|y=3x,x>0},则AB= ()A.{x|0<x<2}B.{x|1<x<2}C.{x|0<x≤1或x≥2}D.{x|0<x<1或x>2}答案C由Venn图可知,AB=(A∪B)∩∁U(A∩B),∵A={x|y=lgx+lg(2-x)}={x|0<x<2},B={y|y=3x,x>0}={y|y>1},∴A∪B={x|x>0},A∩B={x|1<x<2},∴∁U(A∩B)={x|x≤1或x≥2},∴AB={x|x>0}∩{x|x≤1或x≥2}={x|0<x≤1或x≥2},故选C.2.设X是直角坐标平面上的随意点集,定义X*={(1-y,x-1)|(x,y)∈X}.若X*=X,则称点集X“关于运算*对称”.给定点集A={(x,y)|x2+y2=1},B={(x,y)|y=x-1},C={(x,y)||x-1|+|y|=1},其中“关于运算*对称”的点集个数为 ()A.0B.1C.2D.3答案B将(1-y,x-1)代入x2+y2=1,化简得x+y=1,明显不行,故集合A不满意关于运算*对称,将(1-y,x-1)代入y=x-1,即x-1=1-y-1,整理得x+y=1,明显不行,故集合B不满意关于运算*对称,将(1-y,x-1)代入|x-1|+|y|=1,即|1-y-1|+|x-1|=1,化简得|x-1|+|y|=1,故集合C满意关于运算*对称,故只有一个集合满意关于运算*对称,故选B.3.定义一个集合A的全部子集组成的集合叫做集合A的幂集,记为P(A),用n(A)表示有限集A的元素个数,给出下列命题:①对于随意集合A,都有A⊆P(A);②存在集合A,使得n[P(A)]=3;③用⌀表示空集,若A∩B=⌀,则P(A)∩P(B)=⌀;④若A⊆B,则P(A)⊆P(B);⑤若n(A)-n(B)=1,则n[P(A)]=2×n[P(B)],其中正确的命题个数为 ()A.4B.3C.2D.1答案B由P(A)的定义可知①正确,④正确,设n(A)=n,则n(P(A))=2n,所以②错误;若A∩B=⌀,则P(A)∩P(B)={⌀},③不正确;n(A)-n(B)=1,即A中元素比B中元素多一个,则n[P(A)]=2×n[P(B)],⑤正确,故选B.A组基础达标1.(2024课标Ⅱ,1,5分)已知集合A={x||x|<3,x∈Z},B={x||x|>1,x∈Z},则A∩B= ()A.⌀B.{-3,-2,2,3}C.{-2,0,2}D.{-2,2}答案D2.(2024课标Ⅲ,1,5分)已知集合A={1,2,3,5,7,11},B={x|3<x<15},则A∩B中元素的个数为 ()A.2B.3C.4D.5答案B3.设集合A={x|-x2-x+2<0},B={x|2x-5>0},则集合A与B的关系是 ()A.B⊆AB.B⊇AC.B∈AD.A∈B答案A4.设a,b∈R,集合{1,a+b,a}=0,b,ba,则b-A.1B.-1C.2D.-2答案C5.(2024甘肃白银联考)已知集合A={x|x2+2x-15≤0},B={x|-2<x<4},则A∩B= ()A.{x|-2<x≤3}B.{x|-5≤x<4}C.{x|-5≤x≤-2}D.{x|3≤x<4}答案A6.(2024河南九师联盟3月联考)若全集U=R,M=x|1x<1,则∁UA.{x|x≤1}B.{x|0≤x≤1}C.{x|x≥0}D.{x|x<0或x>1}答案B7.(2024广东试验中学高三线上考试)已知集合A={y|y=1-x2,x∈[-1,1]},B={x|y=x+2},则A∩B= (A.[0,1]B.[-1,1]C.(0,1)D.⌀答案A8.(2024黑龙江哈尔滨期末)已知集合A={x|-1≤x≤2},B={x|x<1},则A∩(∁RB)= ()A.{x|x>1}B.{x|x≥1}C.{x|1<x≤2}D.{x|1≤x≤2}答案D9.(2024湖南衡阳八中线上月考)若集合A={x|3x-4≥x},B={1,3,5,7},则A∩B= ()A.{3,5}B.{5,7}C.{3,5,7}D.{1,3,5,7}答案C10.(2024广东佛山二中高三月考)已知集合A={x|5x2+x-4<0},B=x|x<13,则A∩(∁RA.1C.-答案AA={x|5x2+x-4<0}={x|(5x-4)(x+1)<0}=-1,∵B=x|∴∁RB=13故A∩(∁RB)=-1,45∩B组实力拔高11.(2024福建厦门高三检测)集合A,B是实数集R的子集,定义A-B={x|x∈A且x∉B},A*B=(A-B)∪(B-A)叫做集合的对称差,若集合A={y|y=(x-1)2+1,0≤x≤3},B={y|y=x2+1,1≤x≤3},则以下说法不正确的是 ()A.A=[-1,5]B.A-B=[1,2)C.B-A=(5,10]D.A*B=[1,2)∪(5,10]答案AA={y|y=(x-1)2+1,0≤x≤3}={y|1≤y≤5},B={y|y=x2+1,1≤x≤3}={y|2≤y≤10},故A-B={x|x∈A且x∉B}={x|1≤x<2},B-A={x|x∈B且x∉A}={x|5<x≤10}.故A*B=(A-B)∪(B-A)=[1,2)∪(5,10].故选A.12.(2024江苏南通四调)已知集合A={-3,-1,1,3},B={x|x2-2x-3=0},则A∩B=.

答案{-1,3}解析由x2-2x-3=(x-3)(x+1)=0,解得x=-1或x=3,所以B={-1,3},所以A∩B={-1,3}.13.(2024天津第一中学期末)已知集合A={1,2,3},B={y|y=2x-1},则A∩B=.

答案{1,2,3}解析B={y|y=2x-1}=R,A={1,2,3},所以A∩B={1,2,3}.14.(2024浙江丽水期末)已知集合A={x|x2-4<0},B={x|x>1},则A∩B=,A∪B=.

答案{x|1<x<2};{x|x>-2}解析∵A={x|x2-4<0}={x|-2<x<2},B={x|x>1},∴A∩B={x|1<x<2},A∪B={x|