2024高考数学二轮专题复习测试大题规范练二含解析

PAGE大题规范练(二)1.如图，在四边形ABCD中，AB⊥AD，________，DC＝2，在下面给出的三个条件中任选一个，补充在上面的问题中，并加以解答．(选出一种可行的方案解答，若选出多个方案分别解答，则按第一个解答记分)①3AB＝4BC；sin∠ACB＝eq\f(2,3)；②taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(∠BAC＋\f(π,6)))＝eq\r(3)；③2BCcos∠ACB＝2AC－eq\r(3)AB.(1)求∠DAC的大小；(2)求△ADC面积的最大值．解：(1)若选①，在△ABC，由正弦定理可得：eq\f(AB,sin∠ACB)＝eq\f(BC,sin∠BAC)，又3AB＝4BC，sin∠ACB＝eq\f(2,3)，可得：sin∠BAC＝eq\f(1,2)，所以∠BAC＝eq\f(π,6).又AB⊥AD，所以∠BAD＝eq\f(π,2)，∠DAC＝eq\f(π,3).(2)在△ACD中，DC＝2，由余弦定理可得：DC2＝4＝AC2＋AD2－AC·AD≥AC·AD，即AC·AD≤4，所以S△ADC＝eq\f(1,2)AC·ADsin∠DAC≤eq\f(1,2)×4×eq\f(\r(3),2)＝eq\r(3)，当且仅当AC＝AD时取“＝”．若选②，(1)由taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(∠BAC＋\f(π,6)))＝eq\r(3)可得：∠BAC＝eq\f(π,6)，又AB⊥AD，所以∠BAD＝eq\f(π,2)，所以∠DAC＝eq\f(π,3).(2)在△ACD中，DC＝2，由余弦定理可得：DC2＝4＝AC2＋AD2－AC·AD≥AC·AD，即AC·AD≤4，所以S△ADC＝eq\f(1,2)AC·ADsin∠DAC≤eq\f(1,2)×4×eq\f(\r(3),2)＝eq\r(3)，当且仅当AC＝AD时取“＝”．若选③，(1)2BCcos∠ACB＝2AC－eq\r(3)AB，由正弦定理得：2sin∠BACcos∠ACB＝2sin∠ABC－eq\r(3)sin∠ACB，所以2sin∠BACcos∠ACB＝2sin(∠ACB＋∠BAC)－eq\r(3)sin∠ACB，所以2sin∠BACcos∠ACB＝2sin∠ACBcos∠BAC＋2cos∠ACBsin∠BAC－eq\r(3)sin∠ACB，即2sin∠ACBcos∠BAC＝eq\r(3)sin∠ACB，因为sin∠ACB>0，所以cos∠BAC＝eq\f(\r(3),2)，因为∠BAC∈(0，π)，所以∠BAC＝eq\f(π,6)，又AB⊥AD，所以∠BAD＝eq\f(π,2)，所以∠DAC＝eq\f(π,3).(2)在△ACD中，DC＝2，由余弦定理可得：DC2＝4＝AC2＋AD2－AC·AD≥AC·AD，即AC·AD≤4，所以S△ADC＝eq\f(1,2)AC·ADsin∠DAC≤eq\f(1,2)×4×eq\f(\r(3),2)＝eq\r(3)，当且仅当AC＝AD时取“＝”．2.(2024·江门模拟)如图，在梯形ABCD中，AD＝BC，AB∥CD，AC⊥BD，平面BDFE⊥平面ABCD，EF∥BD，BE⊥BD.(1)求证：平面AFC⊥平面BDFE；(2)若AB＝2CD＝2eq\r(2)，BE＝EF＝2，求BF与平面DFC所成角的正弦值．(1)证明：因为平面BDFE⊥平面ABCD，平面BDFE∩平面ABCD＝BD，AC⊂平面ABCD，AC⊥BD，所以AC⊥平面BDFE.又AC⊂平面AFC，所以平面AFC⊥平面BDFE.(2)解：设AC∩BD＝O，因为四边形ABCD为等腰梯形，AC⊥BD，AB＝2CD＝2eq\r(2)，所以OD＝OC＝1，OB＝OA＝2，因为FE∥OB且FE＝OB，所以四边形FEBO为平行四边形，所以OF∥BE，且OF＝BE＝2，又因为BE⊥平面ABCD，所以OF⊥平面ABCD.以O为原点，向量eq\o(OA,\s\up14(→))，eq\o(OB,\s\up14(→))，eq\o(OF,\s\up14(→))的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，＝(0，1，2)，eq\o(CD,\s\up14(→))＝(1，－1，0)，eq\o(BF,\s\up14(→))＝(0，－2，2)，设平面DFC的一个法向量为n＝(x，y，z)，有eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\o(DF,\s\up14(→))·n＝0，,\o(CD,\s\up14(→))·n＝0，))即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＋2z＝0，,x－y＝0.))不妨设z＝1，得x＝y＝－2，得n＝(－2，－2，1)．于是cos〈n，eq\o(BF,\s\up14(→))〉＝eq\f(4＋2,\r(8)×\r(9))＝eq\f(\r(2),2).设BF与平面DFC所成角为θ，则sinθ＝|cos〈n，eq\o(BF,\s\up14(→))〉|＝eq\f(\r(2),2).所以BF与平面DFC所成角的正弦值为eq\f(\r(2),2).3．(2024·中山模拟)已知数列{an}的各项均为正数，其前n项和Sn＝eq\f(an（an＋1）,2)，n∈N*.(1)求数列{an}的通项公式an；(2)设bn＝log2eq\f(an＋2,an＋1)；若称使数列{bn}的前n项和为整数的正整数n为“优化数”，试求区间(0，2020)内全部“优化数”的和S.解：(1)由数列{an}的前n和Sn＝eq\f(an（an＋1）,2)知：当n＝1时，S1＝eq\f(a1（a1＋1）,2)，a1＝S1，所以a1(a1－1)＝0，又a1>0，所以a1＝1.当n>1时，an＝Sn－Sn－1＝eq\f(an（an＋1）,2)－eq\f(an－1（an－1＋1）,2)，整理得：(an＋an－1)(an－an－1－1)＝0，＝1，公差d＝1的等差数列，数列{an}的通项公式为an＝a1＋(n－1)d＝n.(2)由an＝n知，bn＝log2eq\f(an＋2,an＋1)＝log2eq\f(n＋2,n＋1)，数列{bn}的前n项和为b1＋b2＋b3＋…＋bn＝log2eq\f(3,2)＋log2eq\f(4,3)＋log2eq\f(5,4)＋…＋log2eq\f(n＋2,n＋1)＝log2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)×\f(4,3)×\f(5,4)×…×\f(n＋2,n＋1)))＝log2(n＋2)－1，令b1＋b2＋b3＋…＋bn＝k(k∈Z)，则有log2(n＋2)－1＝k，n＝2k＋1－2，由n∈(0，2020)，k∈Z知k<10且k∈N*，所以区间(0，2020)内全部“优化数”的和为＋210)－18＝eq\f(22（1－29）,1－2)－18＝211－22＝2026.4．(2024·汕尾模拟)法国数学家庞加莱是个喜爱吃面包的人，他每天都会购买一个面包，面包师声称自己出售的每个面包的平均质量是1000g，上下浮动不超过50g．这句话用数学语言来表达就是：每个面包的质量听从期望为1000g，标准差为50g的正态分布．(1)假设面包师的说法是真实的，从面包师出售的面包中任取两个，记取出的两个面包中质量大于1000g的个数为ζ，求ζ的分布列和数学期望；(2)作为一个擅长思索的数学家，庞加莱每天都会将买来的面包称重并记录，25天后，得到数据如下表，经计算25个面包总质量为24468g．庞加莱购买的25个面包质量的统计数据(单位：g)981972966992101010089549529699789891001100695795296998198495295998710061000977966－－－－－尽管上述数据都落在(950，1050)上，但庞加菜还是认为面包师撒谎，依据所附信息，从概率角度说明理由．附：①若X～N(μ，σ2)，从X的取值中随机抽取25个数据，记这25个数据的平均值为Y，则由统计学学问可知：随机变量Y～Neq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(μ，\f(σ2,25)))；②若η～N(μ，σ2)，则P(μ－σ<η<μ＋σ)＝0.6826，P(μ－2σ<η<μ＋2σ)＝0.9544，P(μ－3σ<η<μ＋3σ)＝0.9974；③通常把发生概率在0.05以下的事务称为小概率事务．解：(1)由题意知，ξ的全部可能取值为0，1，2.P(ξ＝0)＝Ceq\o\al(0,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(0)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(2)＝eq\f(1,4)；P(ξ＝1)＝Ceq\o\al(1,2)×eq\f(1,2)×eq\f(1,2)＝eq\f(1,2)；P(ξ＝2)＝Ceq\o\al(2,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(0)＝eq\f(1,4).所以ξ的分布列为：ξ012Peq\f(1,4)eq\f(1,2)eq\f(1,4)所以E(ξ)＝0×eq\f(1,4)＋1×eq\f(1,2)＋2×eq\f(1,4)＝1.(2)记面包师制作的每个面包的质量为随机变量X.假设面包师没有撒谎，则X～N(1000，502)．依据附①，从X的取值中随机抽取25个数据，记这25个数据的平均值为Y，则Y～N(1000，102)．庞加莱记录的25个面包质量，相当于从X的取值中随机抽取了25个数据，这25个数据的平均值为Y＝eq\f(24468,25)＝978.72<1000－2×10＝980，由附②数据知，P(Y<980)＝eq\f(1－0.9544,2)＝0.0228<0.05，由附③知，事务“Y<980”为小概率事务，所以“假设面包师没有撒谎”有误，所以庞加莱认为面包师撒谎．5．(2024·济南模拟)已知函数f(x)＝aln(x＋b)－eq\r(x).(1)若a＝1，b＝0，求f(x)的最大值；(2)当b>0时，探讨f(x)极值点的个数．解：(1)当a＝1，b＝0时，f(x)＝lnx－eq\r(x)，此时，函数f(x)定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝eq\f(1,x)－eq\f(1,2\r(x))＝eq\f(2－\r(x),2x)，由f′(x)>0得，0<x<4；由f′(x)<0得，x>4，所以f(x)在(0，4)上单调递增，在(4，＋∞)上单调递减．所以f(x)max＝f(4)＝2ln2－2.(2)当b>0时，函数f(x)定义域为[0，＋∞)，f′(x)＝eq\f(a,x＋b)－eq\f(1,2\r(x))＝eq\f(－x＋2a\r(x)－b,2\r(x)（x＋b）)，①当a≤0时，f′(x)<0对随意的x∈(0，＋∞)恒成立，f(x)在(0，＋∞)上单调递减，所以此时f(x)极值点的个数为0个；②当a>0时，设h(x)＝－x＋2aeq\r(x)－b，(ⅰ)当4a2－4b≤0，即0<a≤eq\r(b)时，f′(x)≤0对随意的x∈(0，＋∞)恒成立，即f(x)在(0，＋∞)上单调递减，所以此时f(x)极值点的个数为0个；(ⅱ)当4a2－4b>0，即a>eq\r(b)时，记方程h(x)＝0的两根分别为x1，x2，则x1＋x2＝2a>0，x1x2＝b>0，所以x1，x2都大于0，即f′(x)在(0，＋∞)上有2个左右异号的零点，所以此时f(x)极值点的个数为2.综上所述a≤eq\r(b)时，f(x)极值点的个数为0个；a>eq\r(b)时，f(x)极值点的个数为2个．6．已知平面上一动点A的坐标为(2t2，－2t)．(1)求点A的轨迹E的方程；(2)点B在轨迹E上，且纵坐标为eq\f(2,t).(ⅰ)证明直线AB过定点，并求出定点坐标；(ⅱ)分别以A，B为圆心作与直线x＝－2相切的圆，两圆公共弦的中点为H，在平面内是否存在定点P，使得|PH|为定值？若存在，求出点P坐标；若不存在，请说明理由．(1)解：设动点A的坐标为(x，y)，因为A的坐标为(2t2，－2t)，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2t2，,y＝－2t，))消去参数t得：y2＝2x，所以E的方程为y2＝2x.(2)(ⅰ)证明：因为点B在轨迹E上，且纵坐标为eq\f(2,t)，所以点B的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,t2)，\f(2,t)))，当t＝±1时，直线AB的方程为x＝2；当t≠±1时，直线AB的斜率为kAB＝eq\f(yB－yA,xB－xA)＝eq\