2024-2025学年新教材高中数学第一章预备知识1.1集合1.1.1集合的概念与表示课时2集合的表示方法一课一练含解析北师大版必修第一册

PAGEPAGE1第一章预备学问§1集合1.1集合的概念与表示课时2集合的表示方法学问点1集合的表示1.☉%24#@7@*9%☉(2024·合肥168中学高一期中)用适当的方法表示下列集合:(1)肯定值小于5的全体实数组成的集合;答案：解:肯定值小于5的全体实数组成的集合可表示为{x||x|<5}。(2)全部正方形组成的集合;答案：全部正方形组成的集合可表示为{正方形}。(3)除以3余1的全部整数组成的集合;答案：除以3余1的全部整数组成的集合可表示为{a|a=3x+1,x∈Z}。(4)构成英文单词mathematics的全体字母。答案：构成英文单词mathematics的全体字母可表示为{m,a,t,h,e,i,c,s}。学问点2用描述法表示集合2.☉%6*##￥689%☉(2024·山东济宁第一中学高一月考)下列集合中,不同于另外三个集合的是()。A.{x|x=1}B.{x|x2=1}C.{1}D.{y|(y-1)2=0}答案：B解析：A中集合为{1},B中集合为{-1,1},C中集合为{1},D中集合为{1},故选B。3.☉%742@*@2@%☉(2024·浙江绍兴一中高一期中考试)已知P={x|2<x≤k,x∈N},若集合P中恰有4个元素,则()。A.6<k<7B.6≤k<7C.5<k<6D.5≤k<6答案：B解析：∵x∈N,∴P中最小的元素为3,最大的元素为6,故6≤k<7。4.☉%￥#845@4*%☉(2024·河北新集中学高一月考)下列集合恰有两个元素的是()。A.{x2-x=0}B.{x|y=x2-x}C.{y|y2-y=0}D.{y|y=x2-x}答案：C解析：A中集合只有1个元素;B中集合为R;C中集合为{0,1};D中集合为y|5.☉%@￥￥￥1865%☉(2024·广西玉林中学高一月考)能被2整除的正整数组成的集合,用描述法可表示为。

答案：{x|x=2n,n∈N*}解析：能被2整除的整数为偶数。6.☉%@77**1￥0%☉(2024·合阳中学高一测试)下面三个集合:①{x|y=x2+1};②{y|y=x2+1};③{(x,y)|y=x2+1}。(1)它们各自的含义是什么?答案：解:集合①{x|y=x2+1}的代表元素是x,满意条件y=x2+1中的x∈R,所以实质上{x|y=x2+1}=R;集合②的代表元素是y,满意条件y=x2+1的y的取值范围是y≥1,所以实质上{y|y=x2+1}={y|y≥1};集合③{(x,y)|y=x2+1}的代表元素是(x,y),可以认为是满意y=x2+1的数对(x,y)的集合,也可以认为是坐标平面内的点(x,y)构成的集合,且这些点的坐标满意y=x2+1,所以{(x,y)|y=x2+1}={P|P是抛物线y=x2+1上的点}。(2)它们是不是相同的集合?答案：由(1)中三个集合各自的含义知,它们是不同的集合。学问点3用区间表示集合7.☉%90@￥*5@8%☉用区间表示下列集合。(1)不等式-2x+4<0的全部实数解组成的集合;答案：解:由题意可知,该集合为{x|-2x+4<0}={x|x>2}=(2,+∞)。(2)使4-x有意义的全部实数答案：由题意可知,该集合为{x|4-x≥0}={x|x≤4}=(-∞,4]。8.☉%2￥￥27￥5*%☉(2024·淮南二中高一周练)完成下列题目。(1)用描述法表示图1-1-1-2-1中阴影部分(不含边界)的点构成的集合;图1-1-1-2-1答案：解:{(x,y)|0<x<2,0<y<1}。(2)在数轴上表示不等式组3x答案：解集表示如图所示。题型1集合表示方法间的转换9.☉%￥57#95@*%☉(2024·铜川第一中学高一月考)下列选项中是集合A=(x,y)|A.13,3C.(3,4)D.(4,3)答案：D解析：因为k∈Z,所以k=12时,x=4,y=3。10.☉%3##4￥#03%☉(2024·万年中学周练)把集合{x|x2-4x+3=0}用列举法表示为()。A.{1,3}B.{x|x=1,x=3}C.{x2-4x+3=0}D.{x=1,x=3}答案：A解析：∵{x|x2-4x+3=0}={x|(x-1)(x-3)=0}={1,3}。11.☉%@7##628@%☉(2024·湖南长沙中学高一期中)将集合(x,y)|x+A.{2,3}B.{(2,3)}C.{x=2,y=3}D.(2,3)答案：B解析：由x+y=5,2x-12.☉%#*0223##%☉(多选)(2024·都昌慈济中学测试)下列说法中不正确的是()。A.实数集可以表示为{R}B.方程2x-1+|2yC.方程组x+yD.集合M={y|y=x2+1,x∈R}与集合N={(x,y)|y=x2+1,x∈R}表示同一个集合答案：ABD解析：实数集就是R,所以A错误;方程2x-1+|2y+1|=0的解为x=12,y=-12,用集合表示为(x,y)|x=12,y=-12,所以B错误;方程组x+y=3,x-y=-1的解为x=1,y=2,用集合表示为(x,y)|13.☉%@904@@9*%☉(2024·江西新余中学月考)下列说法:①集合{x∈N|x3=x}用列举法可表示为{-1,0,1};②实数集可以表示为{x|x为全部实数};③方程组x+y=3,x-y其中说法正确的个数为()。A.3B.2C.1D.0答案：D解析：由x3=x,即x(x-1)(x+1)=0,得x=0或x=1或x=-1,因为-1∉N,故集合{x∈N|x3=x}用列举法可表示为{0,1}。故①不正确。集合表示中的符号“{}”已包含“全部”“全体”等含义,而符号“R”表示全部的实数组成的集合,故实数集的正确表示应为{x|x为实数}或R。故②不正确。方程组x+y=3,x-y14.☉%￥*49#5@4%☉(2024·三原南郊中学高一周练)若A={-2,2,3,4},B={x|x=t2,t∈A},则用列举法表示B=。答案：{4,9,16}解析：t=-2⇒x=t2=4;t=2⇒x=t2=4;t=3⇒x=t2=9;t=4⇒x=t2=16,∴B={4,9,16}。15.☉%*￥805@9@%☉(2024·陕师大附中高一周练)集合A={(x,y)|y=-x2+6,x∈N,y∈N}用列举法可表示为。

答案：{(0,6),(1,5),(2,2)}解析：x,y满意条件y=-x2+6,x∈N,y∈N,则有x所以A={(0,6),(1,5),(2,2)}。16.☉%3@@*68*6%☉(课本习题重组改编(课本P11习题1-1A组第2题与第3题))已知集合A=x∈Z|86-x∈N,B={(x,y)|y=-x2+6,x答案：解:因为86-x∈N,x∈Z,所以故A={-2,2,4,5}。B中,x∈A,所以x=-2时,y=2;x=2时,y=2;x=4时,y=-10;x=5时,y=-19。所以B={(-2,2),(2,2),(4,-10),(5,-19)}。综上所述,A={-2,2,4,5},B={(-2,2),(2,2),(4,-10),(5,-19)}。题型2集合表示的应用17.☉%*#4*73#8%☉(2024·浦北中学高一月考)已知集合M={-1,0,1},N={x|x=ab,a,b∈M,a≠b},则集合N中全部元素之和为()。A.-1B.0C.1D.2答案：A解析：因为集合M={-1,0,1},所以N={x|x=ab,a,b∈M,a≠b}={-1,0},所以集合N中全部元素之和为-1。18.☉%#735￥5@@%☉(2024·广西南宁三中第一次月考)设A,B为两个实数集,定义集合A+B={x|x=x1+x2,x1∈A,x2∈B},若A={1,2,3},B={2,3},则集合A+B中元素的个数为()。A.3B.4C.5D.6答案：B解析：当x1=1时,x1+x2=1+2=3或x1+x2=1+3=4;当x1=2时,x1+x2=2+2=4或x1+x2=2+3=5;当x1=3时,x1+x2=3+2=5或x1+x2=3+3=6。所以A+B={3,4,5,6},共4个元素。19.☉%21#1*#6￥%☉(2024·山东济宁第一中学高一期中)已知集合A={0,1,2},则集合B={x-y|x∈A,y∈A}中元素的个数是()。A.5B.4C.3D.2答案：A解析：x,y的取值均为0,1,2,则x-y的值为0,-1,-2,1,2,所以B={0,-1,-2,1,2}。20.☉%*@1*#948%☉(2024·浙江绍兴一中高一月考)已知集合A={x|x2-2025x-a<0},若-1∉A,则实数a的取值范围是()。A.a≤2024B.a≥2024C.a<2024D.a>2024答案：A解析：由已知-1∉A,可得(-1)2-2025×(-1)-a≥0,解得a≤2024。故选A。21.☉%#2@@923*%☉(2024·福建师大附中高一月考)已知下列命题:①方程x-2+|y+2|=0②集合{y|y=x2-1,x∈R}与{y|y=x-1,x∈R}的公共元素所组成的集合是{0,1};③集合{x|x-1<0}与集合{x|x>a,a∈R}没有公共元素。其中推断正确的个数为()。A.0B.1C.2D.3答案：A解析：①的解集为{(2,-2)}而不是{2,-2},②集合{y|y=x2-1,x∈R}表示当x∈R时y的取值范围,而y=x2-1≥-1,故集合{y|y=x2-1,x∈R}={y|y≥-1}。同理集合{y|y=x-1,x∈R}=R。结合数轴(图略)知,两个集合的公共元素所组成的集合为{y|y≥-1}。③集合{x|x-1<0}表示不等式x-1<0的解集,即{x|x<1}。而集合{x|x>a,a∈R}表示不等式x>a的解集。结合数轴(如图),当a≥1时两个集合没有公共元素;当a<1时,两个集合有公共元素,公共元素组成的集合为{x|a<x<1}。22.☉%￥36**@23%☉(2024·长沙一中高一月考)若集合A={x∈N|x<2},可用列举法将集合{(x,y)|x∈A,y∈A}表示为()。A.{(0,1)}B.{0,1}C.{(1,1),(1,2),(2,1),(2,2)}D.{(0,0),(0,1),(1,0),(1,1)}答案：D解析：A={x∈N|x<2}={0,1}。由x∈A,y∈A可知,x可取0,1,y可取0,1。当x=0时,对应的元素为(0,0),(0,1);当x=1时,对应的元素为(1,0),(1,1)。所以集合{(x,y)|x∈A,y∈A}可表示为{(0,0),(0,1),(1,0),(1,1)}。故选D。23.☉%*￥92@29@%☉(2024·江西南昌二中第一次月考)已知集合M={a|a=x2-y2,x,y∈N},对于元素7和6,有()。A.仅7∈MB.仅6∈MC.都属于MD.都不属于M答案：A解析：令x2-y2=7,即(x+y)(x-y)=7。可令x-y=1,x+y=7,得x所以7∈M。令x2-y2=6,即(x+y)(x-y)=6,可令x+y两个方程组均无整数解,即6∉M,所以仅7∈M。题型3新概念题24.☉%3￥94￥8￥@%☉(2024·河南郑州一中高一月考)定义集合运算:A☉B={z|z=xy·(x+y),x∈A,y∈B}。设A={0,1},B={2,3},则集合A☉B的全部元素之和为()。A.0B.6C.12D.18答案：D解析：由题意可知,当x=0时,z=0;当x=1时,z=1×2×(1+2)=6或z=1×3×(1+3)=12,所以全部元素之和为18。故选D。25.☉%82￥7*1￥￥%☉(2024·河北辛集中学高一周练)对于随意两个正整数m,n,定义某种运算:当m,n都为偶数或奇数时,mn=m+n;当m,n中一个为奇数,另一个为偶数时,mn=mn。在上述定义下,集合M={(x,y)|xy=36,x∈N*,y∈N*}中元素的个数为()。A.48B.41C.40D.39答案：B解析：若x和y中一个为奇数,一个为偶数,则xy=36,满意此条件的有1×36=3×12=4×9,故点(x,y)有6个;若x和y都为偶数或奇数,则x+y=36,满意此条件的有1+35=2+34=3+33=4+32=…=35+1,故点(x,y)有35个。综上可知,集合M中元素的个数为6+35=41。2