人教版高中数学精讲精练必修二8.4 空间点、直线、平面之间的位置关系（精讲）（解析版）

8.4空间点、直线、平面之间的位置关系（精讲）思维导图思维导图典例精讲典例精讲考点一符号语言【例1】（2022·高一课时练习）如图所示，用符号语言可表述为（）A．，，B．C．D．【答案】A【解析】由题可知平面相交于直线，直线在平面内，两直线交于点，所以用符号语言可表示为，，，故选：A.【一隅三反】1．（2022四川成都·高一四川省成都市玉林中学校考期末）下列推理错误的是（

）A．，，，B．，，，C．，D．，【答案】C【解析】由，，，根据公理1可得，A对，由，根据公理1可得，D对，由，可得或，C错，由，，，根据公理2可得，B对，故选：C2．（2022·高一课时练习）（多选）已知A，B，C表示不同的点，l表示直线，α，β表示不同的平面，则下列推理正确的是（

）A． B．C． D．【答案】BCD【解析】对于A：,则点A可能在面α内，也可能不在面α内.故A错误；对于B：为公理2，可判断面面相交.故B正确；对于C：为公理1，可判断出线在面内.故C正确；对于D：说明直线与平面有公共点，又，所以.故D正确.故选：BCD.3．（2022·全国·高一专题练习）（多选）设P表示一个点，表示两条直线，表示两个平面，下列说法不正确的是（）A．若，，则B．若，，则C．若，，，，则D．若，，，则【答案】AB【解析】当时，P∈a，，但α，A错；当a∩β=P时，,B错；∵，P∈b，∴，∴由直线a与点P确定唯一平面α，又，由a与b确定唯一平面，该平面经过直线a与点P，∴该平面与α重合，∴，故C正确；两个平面的公共点必在其交线上，故D正确.故选：AB.考点二点线共面【例1】（2022春·上海奉贤·高一上海市奉贤中学校考阶段练习）在正方体中，、、、分别是该点所在棱的中点，则下列图形中、、、四点共面的是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】对于选项，如下图，点、、、确定一个平面，该平面与底面交于，而点不在平面上，故、、、四点不共面；对于选项，连结底面对角线，由中位线定理得，又，则，故、、、四点共面对于选项C，显然、、所确定的平面为正方体的底面，而点不在该平面内，故、、、四点不共面；对于选项D，如图，取部分棱的中点，顺次连接，得一个正六边形，即点、、确定的平面，该平面与正方体正面的交线为，而点不在直线上，故、、、四点不共面．故选：B【一隅三反】1．（2022·高一课时练习）如图，正方体中，若，，分别为棱，，的中点，，分别是四边形，的中心，则下列判断错误的是（

）A．，，，四点共面 B．，，，四点共面C．，，，四点共面 D．，，，四点共面【答案】B【解析】因为正方体中，，，分别为棱，，的中点，，分别为四边形，的中心，所以是的中点，所以在平面上，故A正确；因为，，在平面上，不在平面上，所以，，，四点不共面，故B错误；由已知可知，所以，，，四点共面，故C正确；连接并延长，交于点，则为的中点，连接，则，所以，，，四点共面，故D正确．故选：B.2．（2022·高一单元测试）如图所示．是正方体，O是的中点，直线交平面于点M，给出下列结论：①A、M、O三点共线；

②A、M、O、不共面：③A、M、C、O共面；

④B、、O、M共面，其中正确的序号为_________．【答案】①③【解析】连接，因为是的中点，所以，平面与平面有公共点A与，则平面平面，对于①，平面，则平面，因为平面，则，即A，M，O三点共线，所以①正确，对于②③，由①知A，M，O三点共线，所以A，M，O，共面，A，M，C，O共面，所以②错误，③正确；对于④，连接，则都在平面上，若平面，则直线平面，所以平面，显然平面，所以④错误，故答案为：①③考点三点共线、线共点【例3-1】（2022·高一单元测试）在空间四边形ABCD中，H，G分别是AD，CD的中点，E，F分别边AB，BC上的点，且．求证：(1)点E，F，G，H四点共面；(2)直线EH，BD，FG相交于一点．【答案】(1)见解析(2)见解析【解析】（1）由题意，作图如下：空间四边形中，分别是的中点，.又，，，四点共面.（2）证明：连接、，因为分别是的中点，所以，且，又因为，所以，且，所以，且，故四边形为梯形，且是梯形的两腰，所以相交于一点.设交点为，因为平面，所以平面，同理平面，而平面平面，所以，故点时直线的公共点，即直线相交于一点.【例3-2】（2022·高一课时练习）如图，为空间四边形，点，分别是，的中点，点，分别在，上，且，．(1)求证：，，，四点共面；(2)求证：，必相交且交点在直线上．【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【解析】（1）证明：连接，因为，分别是，的中点，，；所以，，所以，所以，，，四点共面．（2）证明：易知，又，所以，结合（1）的结论可知，四边形是梯形，因此直线，不平行．设它们交点为，平面，同理，所以平面，又平面平面，因此，即，必相交且交点在直线上．【一隅三反】1．（2022春·安徽六安·高一安徽省舒城中学校考期中）如图，在正方体中，对角线与平面交于点，、交于点，为的中点，为的中点．求证：(1)三点共线；(2)、、、四点共面；(3)、、三线共点．【答案】证明见解析【解析】（1）∵平面，∴，平面；又∵平面，∴平面；∵、交于点M，∴，；又平面，平面，∴平面，平面；又平面，平面；∴、、三点在平面与平面的交线上，∴、、三点共线；（2）连接，∵E为的中点，F为的中点，∴，又∵，，∴四边形是平行四边形，∴；∴，∴E、F、C、D1四点共面；（3）∵平面平面，设与交于一点P，则：，平面，∴平面，同理，平面，∴平面平面，∴直线、、三线交于一点P，即三线共点.2．（2022·全国·高一假期作业）如图，在长方体中，E，F分别是和的中点．(1)证明：E，F，D，B四点共面．(2)证明：BE，DF，三线共点．【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【解析】（1）如图，连接EF，BD，．∵EF是的中位线，∴．∵与平行且相等，∴四边形是平行四边形，∴，∴，∴E，F，D，B四点共面．（2）∵，且，∴直线BE和DF相交．延长BE，DF，设它们相交于点P，∵直线BE，直线平面，∴平面，∵直线DF，直线平面，∴平面，∵平面平面，∴，∴BE，DF，三线共点．考点四平面分空间区域【例4-1】（2022江苏镇江·高一江苏省镇江中学校考阶段练习）下列命题中正确的是（

）A．过三点确定一个圆B．两个相交平面把空间分成四个区域C．三条直线两两相交，则确定一个平面D．四边形一定是平面图形【答案】B【解析】A，过不共线三点确定一个圆，错误；B，两个相交平面把空间分成四个区域，正确；C，三条直线两两相交，若第三条在另两条确定的平面内可以确定一个平面，否则不能确定一个平面，错误；D，四边形可以是平面图形，也可以是空间四边形，错误.故选：B【例4-2】（2021·高一课前预习）空间的4个平面最多能将空间分成（

）个区域．A．13 B．14 C．15 D．16【答案】C【解析】一个平面把空间分成2部分，两个平面最多把空间分面4部分，3个平面最多把空间分布8个部分，前三个平面与第4个平面相交，最多有三条交线，这三条交线把第四个平面，最多分成7部分，这里平面的每一部分就是第四个平面与前三个平面分空间部分的截面，这个截面把所在空间部分一分为二，这样所有空间部分的个数为．故选：C．【例4-3】（2021·高一课时练习）两个平面能把空间分成几个部分（

）A．2或3 B．3或4 C．3 D．2或4【答案】B【解析】若两个平面平行，此时两个平面把空间分成3个平面，若两个平面相交，此时两个平面把空间分成4个平面，故两个平面能把空间分成3个或4个部分.故选:B【一隅三反】1．（2022·高一单元测试）空间三个平面如果每两个都相交，那么它们的交线有（

）A．1条 B．2条 C．3条 D．1条或3条【答案】D【解析】三个平面可能交于同一条直线，也可能有三条不同的交线，如图所示：故选：D2．（2022·高一课时练习）若三个平面两两相交，且三条交线互相平行，则这三个平面把空间分成A．5部分 B．6部分 C．7部分 D．8部分【答案】C【解析】可用三线a，b，c表示三个平面，其截面如图，将空间分成7个部分，故选C．3．（2022湖北）三个互不重合的平面把空间分成六部分时，它们的交线有A．1条 B．2条C．1条或3条 D．1条或2条【答案】D【解析】①若三个平面两两平行，则把空间分成4部分；②若三个平面两两相交，且共线，则把空间分成6部分；③若三个平面两两相交，且有三条交线互相平行，则把空间分成7部分；④若三个平面两两相交，且有三条交线交于一点，则把空间分成8部分；⑤若三个平面其中两个平行和第三个相交，则把空间分成6部分；故三个平面把空间分成6部分时，分两类：①当两个平面平行，第三个平面与它们相交时，有两条交线；②当三个平面交于一条直线时，有一条交线，故三个平面把空间分成6部分时，它们的交线有1条或2条．故选D．4．（2022·高一课时练习）已知空间四点中，无三点共线，则经过其中三点的平面有（

）A．一个 B．四个 C．一个或四个 D．无法确定平面的个数【答案】C【解析】若空间中的四点共面，则经过其中的三点的平面只有一个，若空间中的四点不共面，设这四点为，由于无三点共线，所以由公理2，可知过三点确定一个平面，过三点确定一个平面，过三点确定一个平面，过三点确定一个平面，所以经过其中三点的平面有4个，综上，空间四点中，无三点共线，则经过其中三点的平面有1个或4个，故选：C考点五空间直线的位置关系【例5】（2022春·山西忻州·高一校联考期末）如图是一个正方体的展开图，如果将它还原为正方体，则下列说法中正确的是（

）直线与直线异面 B．直线与直线共面 C．直线与直线异面 D．直线与直线共面【答案】B【解析】如图，点与点重合，故A错误；∵，且，∴四边形是平行四边形，∴，∴与是共面直线，故B正确；∵，∴与相交，故C错误；∵，不在一个平面内，且与既不平行也不相交，∴，是异面直线，故D错误.故选：B.【一隅三反】1．（2022春·广西钦州·高一统考期末）如图，长方体的12条棱中与异面的共有（

）A．4条 B．5条 C．6条 D．7条【答案】C【解析】由题意，长方体的12条棱中与异面的有共6条故选：C2．（2022·高一课时练习）如图，在三棱柱中，是正三角形，E是的中点，则下列叙述中正确的是（

）A．与是异面直线 B．与共面C．与是异面直线 D．与所成的角为【答案】C【解析】对于A，由于与都在平面内，故与是共面的，故错误对于B，由于在平面内，而与平面相交于点，点不在上，故与是异面直线，同理，与是异面直线，所以B错误，C正确.对于D，与所成角就是与所成角，且E是的中点，也为正三角形，所以，即与所成的角为，故错误.故选:C.3．（2022春·北京通州·高一统考期末）如图，在长方体中，则下列结论正确的是（

）A．点平面 B．直线平面C．直线与直线是相交直线 D．直线与直线是异面直线【答案】D【解析】在长方体中，直线平面，点，且不重合，即点平面，A不正确；点平面，点平面，即直线平面，B不正确；直线平面，则与平面无公共点，直线平面，所以直线与直线没有公共点，C不正确；直线平面，即直线与平面无公共点，直线平面，则直线与直线没有公共点，又，直线，即直线与直线不平行，因此直线与直线是异面直线，D正确.故选：D考点六直线与平面、平面与平面的位置关系【例6】（2022辽宁）若一直线上有一点在已知平面外，则下列结论中正确的是（

）A．直线与平面平行 B．直线与平面相交C．直线上至少有一个点在平面内 D．直线上有无数多个点都在平面外【答案】D【解析】对于A，若直线与平面相交，此时除交点外，其余点都在平面外，A错误；对于BC，若直线与平面平行，则所有点都在平面外，BC错误；对于D，直线无论与平面相交还是平行，则都有无数个点在平面外，D正确.故选：D.【一隅三反】1．（2022·高一课时练习）如图，在梯形中，是直角梯形所在平面外一点，画出平面和平面的交线，并说明理由．【答案】答