人教版高中数学精讲精练必修二8.1 基本立体图形（精讲）（解析版）

8.1基本立体图形（精讲）思维导图思维导图典例精讲典例精讲考点一多面体【例1-1】（2022·安徽）关于空间几何体的结构特征，下列说法不正确的是（）A．棱柱的侧棱长都相等B．四棱锥有四个顶点C．三棱台的上、下底面是相似三角形D．有的棱台的侧棱长都相等【答案】B【解析】对于A：根据棱柱的定义可以判断棱柱的侧棱长都相等.故A正确；对于B：根据棱柱的定义可以判断四棱锥有五个顶点．故B错误；对于C、D：根据棱台的定义可以判断三棱台的上、下底面是相似三角形，正棱台的侧棱长都相等.故C、D正确.故选：B.【例1-2】（2022江苏扬州）下列说法中正确的是（

）A．有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱B．有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱C．有一个面是多边形，其余各面都是梯形的几何体叫棱台D．有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形的几何体叫棱锥【答案】D【解析】因为有两个面平行，其余各面是相邻的公共边都相互平行的平行四边形的几何体叫棱柱，所以A、B错误；而一个平行于底面的平面截棱锥，底面与截面之间的部分叫棱台，所以棱台各侧棱的延长线交于一点，所以C错误；因为有一个面是多边形，其余各面都是有公共顶点的三角形的几何体叫棱锥，所以D正确.故选：D.【例1-3】（2020·高一课时练习）下列说法正确的是______（填序号）.①有两个面互相平行，其余各面都是四边形的几何体是棱柱；②有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱；③有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥；④用一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间那部分的几何体是棱台；⑤存在一个四棱锥，其四个侧面都是直角三角形.【答案】⑤【解析】对于①，有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱，故①不正确；对于②，如图1中的几何体，满足有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形，但其不是棱柱，故②不正确；对于③，有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥，故③不正确；对于④，由棱台的定义，知截面和棱锥的底面平行，故④不正确；对于⑤，如图2所示，在正方体中，四棱的四个侧面均为直角三角形，故⑤正确.图1

图2故答案为：⑤．【一隅三反】1．（2022吉林）下列命题中，正确的是（

）A．底面是正方形的四棱柱是正方体B．棱锥的高线可能在几何体之外C．有两个面互相平行，其余各面是平行四边形的几何体是棱柱D．有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥【答案】B【解析】底面是正方形的四棱柱可能是斜棱柱，不一定是正方体，故A错误；斜棱锥的高线有可能在几何体之外，故B正确；根据棱柱的定义可得，有两个面互相平行，有两个面互相平行，其余各面都是四边形，且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体是棱柱.而满足选项C条件的几何体可能是组合体.故C错误；有一个面是多边形，其余各面是有公共顶点的三角形的几何体是棱锥，故D错误．故选：B．2．（2022·全国·高一专题练习）下列说法正确的有（

）①有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥．②有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台．③底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥；④棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则此棱锥可能是正六棱锥A．0个 B．1个C．2个 D．3个【答案】A【解析】①不正确．棱锥的定义是：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫做棱锥．②如图1，不正确，侧棱延长线可能不交于一点.③错误．不一定是正三棱锥,如图2所示：三棱锥中有AB＝AD＝BD＝BC＝CD．满足底面BCD为等边三角形．三个侧面ABD，ABC，ACD都是等腰三角形，但AC长度不一定等于AD，即三条侧棱不一定全部相等．④不正确，不存在这样的正六棱锥.极限考虑，如图3的正六边形ABCDEF分割成了6个全等的小正三角形，三角形所有边长相等，从而不存在答案所说的正六棱锥.故选：A.3．（2022·高一课时练习）下列命题：①有两个面平行，其他各面都是平行四边形的几何体叫做棱柱；②有两侧面与底面垂直的棱柱是直棱柱；③过斜棱柱的侧棱作棱柱的截面，所得图形不可能是矩形；④所有侧面都是全等的矩形的四棱柱一定是正四棱柱．其中正确命题的个数为（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】A【解析】①如图1，满足有两个面平行，其他各面都是平行四边形，显然不是棱柱，故①错误；②如图2，满足两侧面与底面垂直，但不是直棱柱，②错误；③如图3，四边形为矩形，即过斜棱柱的侧棱作棱柱的截面，所得图形可能是矩形，③错误；④所有侧面都是全等的矩形的四棱柱不一定是正四棱柱，因为两底面不一定是正方形，④错误．故选：A考点二旋转体【例2-1】（2022山东）下列说法正确的是（

）A．以直角三角形的一边所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥B．以直角梯形的一腰所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆台C．圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面D．一个平面截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台【答案】C【解析】以直角三角形的直角边所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥，以斜边为轴旋转一周所得的旋转体是是两个同底圆锥的组合体，A错；以直角梯形的直角腰所在直线为轴旋转一周所得的旋转体才是圆台，B错；圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面，正确；平行于圆锥底面平面截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台，如果截面不平行于底面，则截得的不是圆锥和圆台，D错.故选：C.【例2-2】（2022上海）给出下列命题：①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线；②圆锥的顶点与底面圆周上任意一点的连线是圆锥的母线；③在圆台的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线；④圆柱的任意两条母线所在的直线是互相平行的；⑤圆台所有母线的延长线交于一点其中正确的命题是（

）A．①②④ B．②③④ C．①③⑤ D．②④⑤【答案】D【解析】由于圆柱母线所在的直线互相平行且与旋转轴平行，而在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，这两点的连线与旋转轴不一定平行，故①错误，④正确；由圆锥母线的定义知②正确；在圆台的上、下底面的圆周上各取一点，这两点的连线不一定是母线，且圆台所有母线的延长线交于一点，故③错误，⑤正确.故选：D.【一隅三反】1．（2022云南）下列结论中正确的是（

）A．半圆弧以其直径为轴旋转一周所形成的曲面叫做球B．直角三角形绕一直角边为轴旋转一周得到的旋转体是圆锥C．夹在圆柱的两个平行截面间的几何体还是一个旋转体D．用一个平面截圆锥底面与截面组成的部分是圆台【答案】B【解析】因为半圆弧以其直径为轴旋转一周所形成的曲面叫做球面，球面围成的几何体叫做球，故错误；当以直角三角形的直角边所在直线为轴旋转时，其余各边旋转形成的面所围成的几何体是圆锥，故正确；当两个平行截面不平行于上、下两个底面时，两个平行截面间的几何体不是旋转体，故错误；圆锥的截面不与底面平行时，圆锥底面与截面组成的部分不是圆台，故错误.故选：B.2．（2022·高一课时练习）给出下列命题：①圆柱的母线与它的轴可以不平行；②圆锥的顶点、圆锥底面圆周上任意一点及底面圆的圆心三点的连线都可以构成直角三角形；③在圆台的上、下两底面圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线；④圆柱的任意两条母线所在的直线是互相平行的.其中正确的是（

）A．①② B．②③ C．①③ D．②④【答案】D【解析】由圆柱的母线无论旋转到什么位置都与轴平行，故①错误；圆锥是以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的，故②正确；③中连接的线可能存在与轴异面的情况，而圆台的母线与轴共面，故③错误；④由于圆柱中任意母线均与轴平行，故其中任意两条母线相互平行，故④正确；综上可知②④正确，①③错误.故选：D.考点三组合体【例3-1】（2022·高一课时练习）如图所示的组合体，其结构特征是（

）A．由两个圆锥组合成的B．由两个圆柱组合成的C．由一个棱锥和一个棱柱组合成的D．由一个圆锥和一个圆柱组合成的【答案】D【解析】由图知：该组合体是由一个圆锥和一个圆柱组合成的，故选：D【例3-2】（2022广东）如图所示的几何体的结构特征是（

）A．一个棱柱中截去一个棱柱B．一个棱柱中截去一个圆柱C．一个棱柱中截去一个棱锥D．一个棱柱中截去一个棱台【答案】C【解析】图中的几何体为一个棱柱截去一个角，截去的角是一个棱锥.故选C.【一隅三反】1．（2022·高一课时练习）如图所示，是由等腰梯形、矩形、半圆、圆、倒三角形对接形成的平面轴对称图形，若将它绕轴l旋转180°后形成一个组合体，下面说法不正确的是()A．该组合体可以分割成圆台、圆柱、圆锥和两个球体B．该组合体仍然关于轴l对称C．该组合体中的圆锥和球只有一个公共点D．该组合体中的球和半球只有一个公共点【答案】A【解析】将该几何体绕轴l旋转180°后形成一个组合体，该组合体是由圆台、圆柱、圆锥和球，半球组成的，由此A选项错误故选A2．（2022·高一课时练习）如图所示的螺母可以看成一个组合体，其结构特征是A．一个棱柱中挖去一个棱柱 B．一个棱柱中挖去一个圆柱C．一个圆柱中挖去一个棱锥 D．一个棱台中挖去一个圆柱【答案】B【解析】螺栓是圆柱，螺母的横截面是六边形内有一个圆，所以螺母可以看成一个棱柱中挖去一个圆柱.故选B.3．（2021春·高一课时练习）（多选）下列关于球体的说法正确的是（

）A．球体是空间中到定点的距离等于定长的点的集合B．球面是空间中到定点的距离等于定长的点的集合C．一个圆绕其直径所在直线旋转一周形成的曲面所围成的几何体是球体D．球的对称轴只有1条【答案】BC【解析】空间中到定点的距离等于定长的点的集合是球面，所以A错误，B正确；由球体的定义，知C正确；球的每一条直径所在的直线均为它的对称轴，所以D错误.故选:BC.考点四展开图【例4】（2022秋·四川内江·高一四川省内江市第二中学校考开学考试）如图是一个正方体展开图，把展开图折叠成正方体后“抗”字一面相对面上的字是（

）A．新 B．冠 C．病 D．毒【答案】C【解析】将展开图折叠成正方体可得“击”字与“冠”字相对，“抗”字与“病”字相对，“新”字与“毒”字相对，故选：C.【一隅三反】1．（2022·湖南）如图都是正方体的表面展开图，还原成正方体后，其中两个完全一样的是（

）A．（1）（2） B．（2）（3） C．（3）（4） D．（1）（4）【答案】B【解析】（1）图还原正方体后，①⑤对面，②④对面，③⑥对面；（2）图还原后，①④对面，②⑤对面，③⑥对面；（3）图还原后，①④对面，②⑤对面，③⑥对面；（4）图还原后，①⑥对面，②⑤对面，③④对面；综上可得，还原成正方体后，正方体完全一样的是（2）（3）．故选：B．2．（2022·高一课时练习）纸质的正方体的六个面根据其方位分别标记为上、下、东、南、西、北，现在沿该正方体的一些棱将正方体剪开，里面朝上展平得到如图所示平面图形，则标“△”的面的方位是（

）A．南 B．北 C．西 D．下【答案】A【解析】由题意，正方体的表面展开图，相对面之间一定相隔一个正方形，再由展开图是里面朝上展平得到的，根据“上北下南，左西右东”，因此标“△”的面的方位是南.故选：A3．（2022·高一单元测试）如图是一个正方体的表面展开图，则图中“有”在正方体中所在的面的对面上的是（

）A．者 B．事 C．竟 D．成【答案】A【解析】根据正方体的表面展开图，换元成正方体，如图所示：其中“者”在最里面，“有”在最外面．构成对面关系．故选：A．考点五最短距离【例5-1】（2022·广西）如图，圆柱的轴截面ABCD是一个边长为4的正方形.一只蚂蚁从点A出发绕圆柱表面爬到BC的中点E，则蚂蚁爬行的最短距离为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】将圆柱侧面展开半周，则展开矩形长为，，.故选：C.【例5-2】（2022春·天津西青·高一天津市西青区杨柳青第一中学校考期中）在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝6，BC＝4，AA1＝2，P、Q分别为棱AA1，C1D1的中点则从点P出发，沿长方体表面到达点Q的最短路径的长度为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】依题意在长方体中，分别为棱，的中点，若按照如下方式展开，则若按照如下方式展开，则若按照如下方式展开，则所以故选：C【例5-3】（2022·全国·高一假期作业）如图，在正三棱锥中，，，一只虫子从点出发，绕三棱锥的三个侧面爬行一周后，又回到点，则虫子爬行的最短距离是（

）A．4 B． C． D．【答案】A【解析】如图，连接与分别交于两点，将三棱锥由展开，则，为虫子爬行从点沿侧面到棱上的点处，再到棱上的点处，然后回到点的最短距离，∵，∴由勾股定理可得，所以虫子爬行的最短距离4，故选：A.【例5-4】（2022春·新疆省直辖县级单位·高一新疆石河子一中校考阶段练习）如图所示，某圆锥的高为，底面半径为1，O为底面圆心，OA，OB为底面半径，且∠AOB=M是母线PA的中点，则在此圆锥侧面上，从M到B的路径中，最短路径的长度为（

）A． B．-1 C． D．+1【答案】A【解析】【如图为圆锥的侧面展开图，,，则，在中，，则，为M到B的路径中，最短路径的长.故选：A.【一隅三反】1．（2022·高一课时练习）边长为5cm的正方形EFGH是圆柱的轴截面，则从E点沿圆柱的侧面到相对顶点G的最短距离是（

）A．10cm B．5cmC．5cm D．cm【答案】D【解析】圆柱的侧面展开图如图所示，展开后，∴，即为所求最短距离．故选:D.2．（2022·福建）如图是一块长、宽、高分别为6cm、4cm、3cm的长方体木块，一只蚂蚁要从长方体木块的一个顶点A处，沿着长方体的表面到长方体上和A相对的顶点B处吃食物，那么它需要爬行的最短路径的长是（

）A．cm B．cm C．9cm D．cm【答案】B【解析】第一种情况：把所看的前面和上面组成一个平面，如图所示，则这个长方形的长和宽分别为和，所以所走的路程最短线段为；第二种情况：把看到的左面与上面组成一个长方形，如图所示，则这个长方形的长和宽分别为和，所以所走的路程最短线段为；第三种情况：把看到的前面与右面组成一个长方形，如图所示，则这个长方形的长和宽分别为和，所以所走的路程最短线段为；故选：B.3．（2022·高一课时练习）在四面体中，，与直线，均垂直，且，一只蚂蚁从的中心沿表面爬至点，则其爬过的路程最小值为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因为，，所以平面，所以平面平面，将底面旋转，以为轴，旋转至平面与平面共面，如图，此时的直线距离即为最短距离，设到直线的距离为，则，所以.故选：A4（2022春·河北张家口·高一校联考阶段练习）如图，圆锥的母线长为，底面圆的半径为，若一只蚂蚁从圆锥的点出发，沿表面爬到的中点处，则其爬行的最短路线长为，则圆锥的底面圆的半径为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】如图为半圆锥的侧面展开图，连接，则的长为蚂蚁爬行的最短路线长，设展开图的扇形的圆心角为，根据题意得，在中，，所以，所以扇形弧长为，所以圆锥底面圆的周长为，即，得.故选：A考点六截面问题【例6-1】（2022·全国·高一假期作业）用一个平面截正方体，截面可能出现的形状是（

）①等边三角形

②直角梯形

③菱形

④五边形A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④【答案】C【解析】如图，用一个平面截正方体，截面可能出现的形状是等边三角形，菱形，五边形，故选：C【例6-2】（2022·高一单元测试）已知正方体，棱长为2，E为棱的中点，则经过，D，E三点的正方体的截面面积为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】正方体中，平面，则平面与平面的唯一交线与平行.取中点F，连接、、、，则四边形即为经过，D，E三点的正方体的截面梯形中，，，则梯形的高为则梯形的面积为故选：A【例6-3】．（2022福建）如图：正三棱锥中，，侧棱，平行于过点的截面，则平面与正三棱锥侧面交线的周长的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】如图所示：沿着侧棱把正三棱锥展开在一个平面内，则即为截面周长的最小值，且，在中，由余弦定理得：，