4.2指数函数 讲义（知识点+考点+练习）-2021-2022学年人教A版（2019）高一数学必修第一册

指数函数一、指数函数的定义一般地，函数y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是R.思考为什么底数应满足a>0且a≠1?二、两类指数模型1．y＝kax(k>0，a>0且a≠1)，当a>1时为指数增长型函数模型．2．y＝kax(k>0，a>0且a≠1)，当0<a<1时为指数衰减型函数模型．三、指数函数的图象和性质a>10<a<1图象性质定义域R值域(0，＋∞)过定点过定点(0,1)，即x＝0时，y＝1函数值的变化当x<0时，0<y<1；当x>0时，y>1当x>0时，0<y<1；当x<0时，y>1单调性在R上是增函数在R上是减函数对称性y＝ax与y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)))x的图象关于y轴对称思考1在平面直角坐标系中指数函数图象不可能出现在第几象限？思考2指数函数y＝ax(a>0且a≠1)的图象“升”“降”主要取决于什么？四、比较幂的大小一般地，比较幂大小的方法有(1)对于同底数不同指数的两个幂的大小，利用指数函数的单调性来判断．(2)对于底数不同指数相同的两个幂的大小，利用幂函数的单调性来判断．(3)对于底数不同指数也不同的两个幂的大小，则通过中间值来判断．五、解指数方程、不等式简单指数不等式的解法(1)形如af(x)>ag(x)的不等式，可借助y＝ax的单调性求解．(2)形如af(x)>b的不等式，可将b化为以a为底数的指数幂的形式，再借助y＝ax的单调性求解．(3)形如ax>bx的不等式，可借助两函数y＝ax，y＝bx的图象求解．六、指数型函数的单调性一般地，有形如y＝af(x)(a>0，且a≠1)函数的性质(1)函数y＝af(x)与函数y＝f(x)有相同的定义域．(2)当a>1时，函数y＝af(x)与y＝f(x)具有相同的单调性；当0<a<1时，函数y＝af(x)与函数y＝f(x)的单调性相反．思考1指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的单调性取决于哪个量？思考2如何判断形如y＝f(ax)(a>0，a≠1)的函数的单调性？

考点一指数函数的判断【例1】(2019·河南中原.郑州一中高一开学考试)函数f(x)=(a2﹣3a+3)ax是指数函数，则a的值为()A．1 B．3 C．2 D．1或3【练1】(2019·南昌市新建一中高一月考)下列函数中，指数函数的个数为()①②y＝ax；③y＝1x；④A．0 B．1C．3 D．4考点二定义域和值域【例2】(2020·全国高一课时练习)求下列函数的定义域和值域；(1)；(2)；(3).【练2】(2020·沙坪坝.重庆八中高一期末)已知实数且,若函数的值域为,则的取值范围是()A． B．C． D．考点三指数函数性质【例3】(2019·浙江南湖.嘉兴一中高一月考)函数为增函数的区间是()A． B． C． D．【练3】(2020·四川泸县五中高一月考)若函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是__________．考点四定点【例4】(2020·浙江高一课时练习)函数(，且)的图象过定点，则点的坐标为()A． B． C． D．【练4】(2020·全国高一课时练习)已知函数的图象经过定点P，则点P的坐标是()A．(－1，5) B．(－1，4) C．(0，4) D．(4，0)考点五图像【例5】(2019·浙江高一期中)函数与，其中，且，它们的大致图象在同一直角坐标系中有可能是()A． B． C． D．【练5】(2019·辛集市第二中学高二期中)已知a＞1，则函数y=ax与y=(a-1)x2在同一坐标系中的图象可能是()A． B．C． D．课后练习（2016·新课标Ⅲ卷文）已知a=243，b=32A.

b＜a＜c

B.

a＜b＜c

C.

b＜c＜a

D.

c＜a＜b（2020高一上·公主岭期末）函数f(x)=2aA.

(1,−1)

B.

(1,1)

C.

(0,1)

D.

(0,−（2019高一上·兴庆期中）设a=2.10.3，b=0.32.1，c=log2.10.3A.

a<b<c

B.

c<b<a

C.

c<a<b

D.

b<c<a（2018高三上·吉林月考）已知a=40.3，b=(12A.

a<b<c

B.

c<a<b

C.

c<b<a

D.

b<c<a（2017高一上·咸阳期末）函数y=αx﹣2﹣1（α＞0且α≠1）的图象恒过的点的坐标是________．（2020高一上·青铜峡月考）若函数f(x)=a2x−3+1(其中a>0（2020高一上·上海期中）若函数y=(a2（2020高一上·湖州期中）全民拒酒驾，平安你我他.在我国认定酒后驾车标准的起点是：驾驶人每100毫升血液中的酒精含量不得超过20毫克.一名驾驶员喝酒后，血液中酒精含量迅速上升到6.4mg/ml，假定在停止喝酒后血液中的酒精含量以每小时50%的速度下降，为了保证交通安全，该驾驶员喝酒后至少过

个小时才可驾车？（2019高一上·辽源期中）若函数f(x)=(k+3)a（1）求k，b的值；（2）求解不等式f(2x−

10.（2020高一上·东丽期末）已知集合A={a|loga1（1）求集合A、B；（2）求∁R11.（2020高一上·吉安期中）已知函数f(x)=ax−1(x≥0)的图象经过点(2，（1）求a的值;求函数y=f(x)+1(x≥0)的值域．12.（2020高一上·河北期中）已知函数f(x)=2−xx−1的定义域为集合（1）求集合A、B；（2）若A∪B=B，求实数m的取值范围

精讲答案思考答案①当a≤0时，ax可能无意义；②当a>0时，x可以取任何实数；③当a＝1时，ax＝1(x∈R)，无研究价值．因此规定y＝ax中a>0，且a≠1.思考1答案指数函数的图象只能出现在第一、二象限，不可能出现在第三、四象限．思考2答案指数函数y＝ax(a>0且a≠1)的图象“升”“降”主要取决于底数a.当a>1时，图象具有上升趋势；当0<a<1时，图象具有下降趋势．思考1答案指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的单调性与其底数a有关，当a>1时，y＝ax在定义域上是增函数，当0<a<1时，y＝ax在定义域上是减函数．思考2答案(1)定义法，即“取值－作差－变形－定号”．其中，在定号过程中需要用到指数函数的单调性；(2)利用复合函数的单调性“同增异减”的规律【例1】【答案】C【解析】因为函数f(x)=(a2﹣3a+3)ax是指数函数，故可得解得或，当时，不是指数函数，舍去.故选：C.【练1】【答案】B【解析】由指数函数的定义可判定，只有②正确．故选B【例2】【答案】(1)定义域为R，值域为；(2)，；(3)，.【解析】(1)的定义域为R，值域为.(2)由知，故的定义域为；由知，故的值域为.(3)的定义域为；由知，故的值域为.【练2】【答案】D【解析】实数且,若函数的值域为,当时,当时,的值域为,与值域为矛盾,所以不成立当时,对于函数,,函数的值域为.所以只需当时值域为的子集即可.即,解得(舍去)综上可知的取值范围为故选:D【例3】【答案】C【解析】∵是减函数，在上递增，在上递减，∴函数的增区间是．故选：C．【练3】【答案】【解析】本题等价于在上单调递增，对称轴，所以，得．即实数的取值范围是．【例4】【答案】A【解析】因为的图象恒过点，则的图象恒过点，所以恒过定点.故选.【练4】【答案】A【解析】当，即时，，为常数，此时，即点P的坐标为(－1，5).故选：A.【例5】【答案】D【解析】因为函数单调递增，所以排除AC选项；当时，与轴交点纵坐标大于1，函数单调递增，B选项错误；当时，与轴交点纵坐标大于0小于1，函数单调递减；D选项正确.故选：D【练5】【答案】A【解析】∵a＞1，∴函数y=ax为增函数，函数y=(a-1)x2在(-∞，0)上为减函数，在(0，+∞)上为增函数．故选：A．练习答案1.【答案】A【考点】指数函数的单调性与特殊点，对数函数图象与性质的综合应用，幂函数的实际应用【解析】解：∵a=2=，b=3，c=25=，综上可得：b＜a＜c，故选A【分析】b=4=，c=25=，结合幂函数的单调性，可比较a，b，c，进而得到答案．；本题考查的知识点是指数函数的单调性，幂函数的单调性，是函数图象和性质的综合应用，难度中档．2.【答案】B【考点】指数函数的图象与性质【解析】由题意知：x−1=0，即此时y=2a所以函数恒过定点(1,1)，故答案为：B【分析】由整体思想结合指数函数的图象计算出结果即可。3.【答案】B【考点】有理数指数幂的运算性质，指数函数的单调性与特殊点【解析】20.3>20<0.32.1<1log2.10.3<0∴c<b<a

.故答案为：B【分析】a,b,c都和0，1比较大小，得到a，b，c的大小关系.4.【答案】B【考点】指数函数的单调性与特殊点，对数函数的单调性与特殊点【解析】a=40.3=20.6

,b=(12)−0.9【分析】根据指数函数的单调性与“1”的妙用即可；5.【答案】（2，0）【考点】指数函数的单调性与特殊点【解析】解：令x﹣2=0得x=2，则y=αx﹣2﹣1=1﹣1=0，所以函数y=αx﹣2﹣1的图象过定点（2，0），

故答案为：（2，0）．

【分析】由解析式令x﹣2=0求出x和y的值，可得函数图象过的定点坐标．6.【答案】(3【考点】指数函数的单调性与特殊点【解析】令2x−3=0，解得x=32，f(3故答案为：(【分析】令2x−3=0，求出此时x,y的值，即可得到函数7.【答案】(−【考点】指数函数的图象与性质【解析】因为指数函数y=(所以0<a2−1<1，解得所以a∈(−【分析】根据指数函数的性质可知，y=(a28.【答案】5【考点】指数函数单调性的应用【解析】设该驾驶员喝酒后至少过x个小时才可驾车，由题得6.4×所以(1所以该驾驶员喝酒后至少过5个小时才可驾车.故答案为：5【分析】根据题意由已知条件即可得出关于x的不等式，结合指数函数的单调性以及指数幂的运算性质即可得出x的取值范围，结合已知条件即可得出x的取值。9.【答案】（1）解：∵函数f(x)=(k+3)a∴k+3=1,3−∴k=−2,b=3

（2）解：由（1）得f(x)=ax(a>1)∵f(2x−∴2x−7>4x−即不等式解集为{x|x<−【考点】指数函数的定义、解析式、定义域和值域，指数函数的单调性与特殊点【解析】（1）根据指数函数的定义列出方程，求解即可；（2）根据指数函数的单调性解不等式即可；10.【答案】（1）解：loga①a>1时，a>12②0<a<1时，a<12所以A={a|a>1或0<a<(1∴a>0，即B={a|a>0}

（2）解：CR所以C【考点】交、并、补集的混合运算，指数函数的单调性与特殊点，对数函数的单调性与特殊点【解析】（1）利用对数函数的单调性结合与特殊值对应的对数的大小关系比较，从而求出集合A，再利用指数函数的单调性结合与特殊值对应的指数的大小关系比较，从而求出集合B。

（2）利用（1）求出的集合A和集合B，再结合交集和补集的运算法则，从而求出集合（∁11.【答案】（1）解：因为函数f(x)=ax−所以f（2）=a

（2）解：由（1）得f(x)=(因为函数在[0,+∞)上是减函数，所以当x=0时，函数取最大值2，故f(x)∈(0,2]，所以函数y=f(x)+1=(故函数y=f(x)+1(x≥0)的值域为(1