2.5.1-2.5.2平面向量的应用举例题组训练-2021-2022学年高一上学期数学人教A版必修4

第二章平面向量2.5平面向量应用举例2.5.1平面几何中的向量方法2.5.2向量在物理中的应用举例基础过关练题组一平面几何中的向量方法1.(2019北京清华附中朝阳学校高一期末)已知非零向量AB与AC满足AB·BC|AB|=CA·BC|AC|且ABA.三边均不相等的三角形 B.直角三角形C.等腰三角形 D.等边三角形2.(2019江西宜春高一下期末)在四边形ABCD中,对角线AC与BD交于点O,若3OA+OC=3OD+OB,则四边形ABCD一定是()A.矩形 B.梯形C.平行四边形 D.菱形3.(2019广东汕头高一下期末)设点E、F分别为直角△ABC的斜边BC上的三等分点(点E靠近点C),已知AB=3,AC=6,则AE·AF=()A.10 B.9 C.8 D.74.设O为△ABC的外心,且5OA+12OB+13OC=0,则△ABC的内角C的值为()A.π2 B.π3 C.π45.已知A,B,C是坐标平面上的三点,其坐标分别为A(1,2),B(4,1),C(0,-1).(1)求AB·AC和∠ACB的大小,并判断△ABC的形状;(2)若M为BC边的中点,求|AM|.6.(2018江苏盐城伍佑中学高一上期末)在平面直角坐标系xOy中,已知点A(2,1),B(4,5),C(-1,-1).(1)求以线段AB,AC为邻边的平行四边形的两条对角线的长;(2)若向量AC-tOB与向量OB垂直,求实数t的值.7.如图,已知P是正方形ABCD对角线BD上一点,且四边形PFCE为矩形.求证:PA=EF且PA⊥EF.题组二解析几何中的向量方法8.在平面直角坐标系xOy中,已知向量OA与OB关于y轴对称,向量a=(1,0),则满足OA2+a·AB=0的点A(x,y)的轨迹方程为A.(x+1)2+y2=1 B.(x-1)2+y2=1C.x2+y2=0 D.x2+(y-1)2=19.(2018江苏南京高一下期末)在平面直角坐标系xOy中,经过点P(1,1)的直线l与x轴交于点A,与y轴交于点B.若PA=-2PB,则直线l的方程是.

10.(2020浙江温州高一上期末,★★☆)△ABC中,D为BC的中点,O为外心,点M满足OA+OB+OC=OM.(1)证明:AM=2OD;(2)若|BA+BC|=|AC|=6,设AD与OM相交于点P,E,F关于点P对称,且|EF|=2.求AE·CF的取值范围.题组三物理中的向量方法11.如图所示,一力作用在小车上,其中力F的大小为10N,方向与水平面成60°角.当小车向前运动10m时,力F所做的功为()A.100J B.50JC.503J D.200J12.已知三个力F1=(-2,-1),F2=(-3,2),F3=(4,-3)同时作用于某物体上一点,为使物体保持平衡,现加上一个力F4,则F4等于()A.(-1,-2) B.(1,-2)C.(-1,2) D.(1,2)13.长江某地南北两岸平行,一艘船从南岸码头A出发航行到北岸,假设船在静水中的航行速度v1的大小为|v1|=10km/h,水流的速度v2的大小为|v2|=4km/h.设v1和v2的夹角为θ(0°<θ<180°),北岸的点A'在A的正北方向,若船正好到达A'处,则cosθ=()A.215 B.-215 C.2514.如图所示,在细绳O处用水平力F2缓慢拉起重力为G的物体,绳子与铅垂方向的夹角为θ,绳子所受到的拉力为F1.(1)请说明|F1|、|F2|随角θ的变化而变化的情况;(2)当|F1|≤2|G|时,求角θ的取值范围.15.(2019江苏高一期末)已知河水自西向东流速为|v0|=1m/s,设某人在静水中游泳的速度为v1,在流水中实际速度为v2.(1)若此人朝正南方向游去,且|v1|=3m/s,求他实际前进的方向与水流方向的夹角α和v2的大小;(2)若此人实际前进的方向与水流方向垂直,且|v2|=3m/s,求他游泳的方向与水流方向的夹角β和v1的大小.能力提升练一、选择题1.(★★☆)质点P在平面上做匀速直线运动,速度v=(4,-3)(即点P的运动方向与v相同,且每秒移动的距离为|v|个单位).设开始时点P的坐标为(-10,10),则5秒后点P的坐标为()A.(-2,4) B.(-30,25)C.(10,-5) D.(5,-10)2.(2019天津高考模拟,★★☆)如图,在梯形ABCD中,AB∥CD且AB=5,AD=2DC=4,AC·BD=0,则AD·BC的值为()A.1513 B.10 C.15 D.-3.(★★☆)如图,已知点O是边长为1的等边三角形ABC的中心,则(OA+OB)·(OA+OC)=()A.19 B.-19 C.164.(2019河南高三期末,★★☆)已知两点M(-1,0),N(1,0),若直线3x-4y+m=0上存在点P,满足PM·PN=0,则实数m的取值范围是()A.(-∞,-5]∪[5,+∞) B.(-∞,-25]∪[25,+∞)C.[-5,5] D.[-25,25]5.(2019天津高考模拟,★★☆)已知点O是△ABC内一点,满足OA+2OB=mOC,S△AOBS△ABC=4A.2 B.-2 C.4 D.-4二、填空题6.(2019江苏高考模拟,★★☆)已知e1,e2是夹角为π3的两个单位向量,向量a=e1+2e2,b=ke1-e2,若a·b=0,则实数k的值为7.(★★☆)已知点O为三角形ABC所在平面内的一点,且满足|OA|=|OB|=|OC|=1,3OA+4OB+5OC=0,则AB·AC=.

8.(★★☆)过点P(0,2)作直线l与圆O:x2+y2=1交于A,B两点,若OA·OB=-12,则直线l的斜率为9.(2020河南新乡高一上期末,★★★)在平行四边形ABCD中,AB=2,BC=3,∠B=30°,点E,F分别在边BC,CD上(不与端点重合),且BEEC=CFDF,则AE·AF的取值范围为三、解答题10.(★★☆)如图,在Rt△OAB中,∠AOB=90°,OA=3,OB=2,M在OB上,且OM=1,N在OA上,且ON=1,P为AM与BN的交点,求∠MPN.11.(2019福建高一期末,★★☆)如图,在平行四边形ABCD中,E,F分别是BC,DC上的点,且满足BE=EC,DF=2FC,记AB=a,AD=b,以a,b为平面向量的一组基底,利用向量的有关知识解决下列问题:(1)用a,b表示DE,BF;(2)若|AB|=3,|AD|=2,|BF|=3,求|DE|.

答案全解全析第二章平面向量2.5平面向量应用举例2.5.1平面几何中的向量方法2.5.2向量在物理中的应用举例基础过关练1.D在△ABC中,AB·BC|∴AB·BC|∴cos<AB,BC>=cos<CA,BC>,∴B=C,∴△ABC是等腰三角形.又AB|AB|·AC∴1×1×cosA=12∴cosA=12,∴A=π∴△ABC是等边三角形.故选D.2.B因为3OA+OC=3OD+OB,所以3(OA-OD)=OB-OC,即3DA=CB,故CB∥DA且CB≠DA,所以四边形ABCD是梯形.3.A以A为原点,AB所在直线为x轴,AC所在直线为y轴,建立平面直角坐标系,则A(0,0),E(1,4),F(2,2),则AE=(1,4),AF=(2,2),∴AE·AF=2+8=10.故选A.4.C设外接圆的半径为R,∵5OA+12OB+13OC=0,∴5OA+12OB=-13OC,∴(5OA+12OB)2=(-13OC)2,∴169R2+120OA·OB=169R2,∴OA·OB=0,∴∠AOB=π2根据圆心角等于同弧所对的圆周角的2倍,得△ABC的内角C的值为π4.故选5.解析(1)由题意得AB=(3,-1),AC=(-1,-3),AB·AC=3×(-1)+(-1)×(-3)=0,所以AB⊥AC,即∠A=90°.因为|AB|=|AC|,所以△ABC为等腰直角三角形,∠ACB=45°.(2)因为M为BC边的中点,所以M(2,0).又A(1,2),所以AM=(1,-2),所以|AM|=12+(-6.解析(1)AB=(2,4),AC=(-3,-2),由AB+AC=(-1,2),得|AB+AC|=5,由AB-AC=(5,6),得|AB-AC|=61.故以线段AB,AC为邻边的平行四边形的两条对角线的长分别为5、61.(2)由题意得OB=(4,5),所以AC-tOB=(-3-4t,-2-5t),因为向量AC-tOB与向量OB垂直,所以(AC-tOB)·OB=0,所以(-3-4t)×4+(-2-5t)×5=0,解得t=-2241所以实数t的值为-22417.证明以D为坐标原点,DC所在直线为x轴,DA所在直线为y轴,建立平面直角坐标系xOy,如图所示.设正方形的边长为1,|OP|=λ(0<λ<2),则A(0,1),P22λ,22∴PA=-2|EF|=22∴|PA|=-=λ2|EF|=2=λ2∴|PA|=|EF|,即PA=EF.又PA·EF=-22λ×22λ∴PA⊥EF,即PA⊥EF.8.B因为OA与OB关于y轴对称,所以OB=(-x,y),所以AB=OB-OA=(-2x,0),所以OA2+a·AB=0可表示为x2+y2+(1,0)·(-2x,0)=0,即(x-1)2+y29.答案x+2y-3=0解析设A(a,0),B(0,b),由PA=-2PB,可得(a-1,-1)=-2(-1,b-1),∴a-1=2,-1=-2b+2,∴a=3,b=32,由截距式可得直线方程为x3+y310.解析(1)证明:AM=OM-OA=OB+OC,∵O为△ABC的外心,∴OB=OC,∴OB+OC=2OD,∴AM=2OD.(2)由|BA+BC|=|AC|=6,得|BA+BC|=|BC-BA|,故BA·BC=0,所以∠ABC=90°,此时O为AC的中点,M与B重合,P为△ABC的重心,则|PO|=13所以AE·CF=(AP+PE)·(CP+PF)=AP·CP+AP·PF+PE·CP+PE·PF=|PO|2-|AO|2+PF·(AP-CP)-1=-9+PF·AC=-9+6cos<PF,AC>∈[-15,-3].11.B由向量的数量积的定义可得力F所做的功W=F·s=10×10cos60°=50J.故选B.12.D由已知得F1+F2+F3+F4=0,故F4=-(F1+F2+F3)=-[(-2,-1)+(-3,2)+(4,-3)]=-(-1,-2)=(1,2).13.D设船的实际速度为v,船速v1与河道南岸上游的夹角为α,如图所示,要使船正好到达A'处,则|v1cosα|=|v2|,即cosα=|v2|由θ=π-α,得cosθ=cos(π-α)=-cosα=-25.故选14.解析画出物体的受力分析图,如图.(1)由力的平衡及向量加法的平行四边形法则得,G=-(F1+F2),|F1|=|G|cosθ,|F2|=|G|当角θ从0°趋向于90°时,|F1|、|F2|都逐渐增大.(2)由|F1|=|G|cosθ≤2|G|,得cos∵0°≤θ<90°,∴0°≤θ≤60°,∴角θ的取值范围是0°≤θ≤60°.15.解析(1)如图,设OA=v0,OB=v1,OC=v2,则由题意知v2=v0+v1,|OA|=1,四边形OACB为矩形,且|OB|=AC=3,在Rt△OAC中,|v2|=OC=OA2+tan∠AOC=31=3,又α=∠AOC∈0,π2,所以他实际前进的方向与水流方向的夹角α为π3,v2的大小为2(2)由题意知∠OCB=π2,且|v2|=|OC|=3,BC=1,如图所示在Rt△OBC中,|v1|=OB=OC2+tan∠BOC=13=33,又∠BOC∈0,π2,所以∠BOC=π6,所以β=所以他游泳的方向与水流方向的夹角β为2π3,v1的大小为2能力提升练一、选择题1.C设点(-10,10)为点A,5秒后P点的坐标为A1(x,y),则AA由题意可知,AA1=5即(x+10,y-10)=(20,-15),所以x+10=20,2.BAC=AD+DC=AD+25AB,BD=BA+AD=-AB+由AC·BD=0可得AD+25AB·(-即AD2-25AB2-即16-25×25-35AD∴AD·AB=10,∴AD·BC=AD·(BA+AD+DC)=AD·-AB+AD+25AB=-35AD3.D由题知,等边三角形ABC的高为32,又O为△ABC的中心,∴|OA|=|OB|=|OC|=23×32=33,OA+OB+OC=0,则(OA+OB)·(OA+OC)=(-OC)·(-OB)=|OC|·|OB|cos4.C设P(x,y),则PM=(-1-x,-y),PN=(1-x,-y),由PM·PN=0得x2+y2=1,又P在直线3x-4y+m=0上,所以圆心到直线的距离d=|m|32+(-4)5.D由OA+2OB=mOC得13OA+23OB=m3OC,设m3OC=OD,则13∵OC与OD反向共线,∴m<0,且|OD||∴S△AOBS△ABC=|OD|故选D.二、填空题6.答案5解析由题意知a·b=(e1+2e2)·(ke1-e2)=ke12+(2k-1)e1·e2-2又e12=e22=1,e1·e所以a·b=2k-52=0,解得k=57.答案4解析∵|OA|=|OB|=|OC|=1,3OA+4OB+5OC=0,∴3OA+4OB=-5OC,两边同时平方可得9+16+24OA·OB=25,∴OA·OB=0.∵OC=-35OA-∴AB·AC=(OB-OA)·(OC-OA)=(OB-OA)·-=-85OB·OA-45OB2+85OA2+458.答案±15解析当直线l斜率不存在时,不妨设A(0,1),B(0,-1),此时OA·OB=0+1×(-1)=-1,不合题意,所以直线l的斜率必定存在.因为直线l过定点P(0,2),所以设直线l的方程为y=kx+2,交点A(x1,y1),B(x2,y2),联立y=kx+2,x2所以x1+x2=-4kk2+1,x1·x由OA·OB=-12,得(x1,y1)·(x2,y2)=-12,即x1x2+y1y2=-把y1=kx1+2,y2=kx2+2,代入x1x2+y1y2=-12化简得(k2+1)x1x2+2k(x1+x2)+92所以