4.3 对数-2021-2022学年高一数学《考点•题型 •技巧》精讲与精练高分突破（人教A版2019必修第一册）

高一数学《考点•题型•技巧》精讲与精练高分突破系列(人教A版2019必修第一册)4.3对数【考点梳理】重难点技巧：对数的概念考点一对数的有关概念对数的概念：一般地，如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数．常用对数与自然对数：通常将以10为底的对数叫做常用对数，以e(e＝2.71828…)为底的对数称为自然对数，log10N可简记为lgN，logeN简记为lnN.考点二对数与指数的关系一般地，有对数与指数的关系：若a>0，且a≠1，则ax＝N⇔logaN＝x.对数恒等式：＝N；logaax＝x(a>0，且a≠1)．考点三对数的性质1．1的对数为零．2．底的对数为1.3．零和负数没有对数．重难点技巧：对数的运算考点四一对数运算性质如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么：(1)loga(M·N)＝logaM＋logaN；(2)logaeq\f(M,N)＝logaM－logaN；(3)logaMn＝nlogaM(n∈R)．考点五换底公式1．logab＝eq\f(logcb,logca)(a>0，且a≠1；c>0，且c≠1；b>0)．2．对数换底公式的重要推论：(1)logaN＝eq\f(1,logNa)(N>0，且N≠1；a>0，且a≠1)；(2)＝eq\f(m,n)logab(a>0，且a≠1，b>0)；(3)logab·logbc·logcd＝logad(a>0，b>0，c>0，d>0，且a≠1，b≠1，c≠1)．【题型归纳】题型一：指数式与对数式的互化1．（2021·内蒙古赤峰·高一）若，，则的值是（）A． B． C． D．2．（2021·江苏高一专题练习）已知，，则（）A． B． C．10 D．13．（2021·上海高一专题练习）下列指数式与对数式的互化中不正确的是（）A．e0=1与ln1=0 B．log39=2与=3C．=与log8=- D．log77=1与71=7题型二：对数运算性质的应用4．（2021·全国高一专题练习）下列等式成立的是（）A． B．C． D．5．（2020·沧源佤族自治县民族中学高一月考）已知方程的两根为，，则（）A． B．1 C．2 D．6．（2021·安徽芜湖一中高一月考）计算（1）（2）题型三：、对数换底公式的应用7．（2021·全国高一课时练习）已知，，都是大于1的正数，，，，，则的值为（）A． B． C． D．8．（2020·江苏省平潮高级中学高一期中）已知，，则（）（结果用，表示）A． B． C． D．9．（2021·全国高一课时练习）设a，b，c均为不等于1的正实数，则下列等式中恒成立的是（）A．logab·logcb＝logca B．logab·logca＝logcbC．loga(bc)＝logab·logac D．loga(b＋c)＝logab＋logac【双基达标】一、单选题10．（2022·全国高三专题练习）设2a＝5b＝m，且，则m等于（）A． B． C． D．11．（2022·全国高三）已知函数，则（）A． B．-1 C．0 D．112．（2020·上海市川沙中学高一期中）已知，那么=（）A．1 B．2 C．3 D．413．（2021·绥德中学高一月考）若是上周期为3的偶函数，且当时，，则（）A． B．12 C． D．14．（2021·山西太原市·太原五中高三月考（文））中国的5G技术领先世界，5G技术的数学原理之一便是著名的香农公式：，它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速率取决于信道带宽、信道内信号的平均功率、信道内部的高斯噪声功率的大小，其中叫做信噪比当信噪比比较大时，公式中真数中的1可以忽略不计，按照香农公式，若不改变带宽，而将信噪比从1000提升至5000，则大约增加了（）（附：）A． B． C． D．15．（2021·全国高三专题练习）对任何，都有()成立.A． B．C． D．16．（2021·河北张家口·）已知关于的方程的两个实数根分别是、，若，则的取值范围为（）A． B． C． D．17．（2021·江西高安中学高一月考）已知实数，满足，下列5个关系式：①；②；③；④；⑤．其中不可能成立的关系有（）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个18．（2021·安徽蚌埠·高三开学考试（理））若a＞0且a≠1，则“MN＞0”是“"的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件19．（2021·全国高一课时练习）对于且，下列说法正确的是（）①若，则；②若，则；③若，则；④若，则.A．①② B．②③④C．② D．②③【高分突破】一：单选题20．（2020·江苏泰州·）已知，，则可以用和表示为（）A． B．C． D．21．（2021·全国高一单元测试）有以下四个结论：①；②；③若，则；④若，则.其中正确的是（）A．①③ B．②④ C．①② D．③④22．（2021·广东金山中学高二开学考试）已知函数是定义在上的偶函数，且在区间上单调递增，若实数满足，则的取值范围是（）A． B． C． D．23．（2022·全国高三专题练习）若函数是奇函数，则a的值为（）A．1 B．－1C．±1 D．024．（2022·全国高三专题练习）方程4x－2x＋1－3＝0的解是（）．A．log32 B． C．log23 D．25．（2021·沙坪坝区·重庆八中高三月考）天文学中为了衡量星星的明暗程度，古希腊天文学家喜帕恰斯(，又名依巴谷)在公元前二世纪首先提出了星等这个概念.星等的数值越小，星星就越亮；星等的数值越大它的光就越暗.到了1850年，由于光度计在天体光度测量中的应用，英国天文学家普森()又提出了衡量天体明暗程度的亮度的概念，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足，其中星等为的星的亮度为，已知“牛郎星”的星等是，“心宿二”的星等是，“牛郎星”的亮度是“心宿二”的倍，则与最接近的是当较小时，（）A． B． C． D．26．（2021·全国高三月考（理））已知，，，则下列说法正确的是（）A． B．C． D．27．（2021·全国高一专题练习）已知，，，则（）A． B． C． D．28．（2021·江西南昌·高一期末）已知，则（）A．1 B．2 C．3 D．1529．（2021·全国高一单元测试）的值是（）A． B． C． D．30．（2021·上海高一专题练习）若a>0，a≠1，x>y>0，n∈N*，则下列各式：①(logax)n＝nlogax；②(logax)n＝logaxn；③logax＝－loga；④＝logax；⑤＝loga.其中正确的有（）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个二、多选题31．（2021·湖南省邵东市第三中学高一月考）若，则下列结论正确的是（）A． B．C． D．32．（2020·莆田第七中学高一月考）若，且，，，且，则下列各式不恒成立的是（）①；②；③；④.A．① B．② C．③ D．④33．（2021·全国高一专题练习）设和分别表示一容器中甲、乙两种细菌的个数，且甲、乙两种细菌的个数乘积为定值.为了方便研究，科学家用分别来记录甲、乙两种细菌的信息，其中.以下说法正确的是（）A．B．C．若今天的值比昨天的增加1，则今天的甲细菌比昨天的甲细菌增加了10个.D．已知，假设科学家将乙菌的个数控制为5万，则此时34．（2021·全国高一专题练习）下列指数式与对数式互化正确的一组是()A．与lg1＝0 B．＝与log27＝－C．log39＝2与＝3 D．log55＝1与51＝535．（2021·全国高一专题练习）若，，，，则下列各式中，恒等的是（）A． B．C． D．36．（2021·全国）若，，则下列说法不正确的是（）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则三、填空题37．（2021·浙江高一单元测试）已知，则=________．38．（2021·全国高一单元测试）已知一容器中有两种菌，且在任何时刻两种菌的个数乘积为定值，为了简单起见，科学家用来记录菌个数的资料，其中为菌的个数，现有以下几种说法：①；②若今天的值比昨天的值增加1，则今天的A菌个数比昨天的A菌个数多10；③假设科学家将B菌的个数控制为5万，则此时(注：)．则正确的说法为________．(写出所有正确说法的序号)39．（2021·江苏省如东高级中学高一月考）已知，则的值为___________．40．（2021·长沙市明德中学高一开学考试）计算：______41．（2021·安徽省亳州市第一中学）定义在实数集上的奇函数恒满足，且时，，则_________________．四、解答题42．（2021·上海高一专题练习）（1）已知log23=a，log25=b，试用含a、b的代数式表示log20.6；（2）已知log32=a，3b=5，试用含a、b的代数式表示log3；（3）若24a=12.将下列各式用含a的代数式表示：①log242;②log243.（4）已知log32=a，把log296写成含a的代数式；（5）已知lg2=a，把log225写成含a的代数式.（2021·全国高一）计算（1）；（2）44．（2021·全国）已知.求（1）的最小值；（2）的最小值；（3）正数满足，求的取值范围.45．（2021·全国高一课时练习）已知loga3＝m，loga2＝n．（1）求am＋2n的值；（2）若0＜x＜1，x＋x－1＝a，且m＋n＝log32＋1，求x2－x－2的值．46．（2021·全国高一练习）计算下列各式的值：（1）；（2）.47．（2021·全国高一练习）计算:（1）lg125+lg2lg500+(lg2)2.（2）（3）48．（2021·全国）最近，考古学家再次对四川广汉“三星堆古基”进行考古发据，科学家通过古生物中某种放射性元素的存量来估算古生物的年代，已知某放射性元素的半衰期约为年（即：每经过年，该元素的存量为原来的一半），已知古生物中该元素的初始存量为（参考数据：）.（1）写出该元素的存量与时间（年）的关系；（2）经检测古生物中该元素现在的存量为，请推算古生物距今大约多少年？【答案详解】1．A【详解】因为，则，所以，，故.故选：A.2．B【详解】解：因为，，所以，因为则．故选：B．3．B【详解】对于A，e0=1可化为0=loge1=ln1，所以A中互化正确；对于B，log39=2可化为32=9，所以B中互化不正确；对于C，=可化为log8=-，所以C中互化正确；对于D，log77=1可化为71=7，所以D中互化正确.故选：B.4．C【详解】对于A：，故A不正确；对于B：，故B不正确；对于C：∵,∴，故C正确，对于D：，故D不正确，故选：C.5．D【详解】∵方程的两根为，，∴，∴.故选：D．6．（1）；（2）.【详解】（1）.（2）原式.7．B【详解】解：因为，，，所以，，，即，∴，∴．故选：B．8．A解：将已知代入得：．故选：A．9．B【详解】由logab·logcb＝·≠logca，故A错；由logab·logca＝·＝＝logcb，故B正确；对选项C，D，由对数的运算法则，容易知，其显然不成立.故选：B.10．D【详解】由等式（）两边取对数，可得，所以∴.故选：D.11．D【详解】，.故选：D12．B【详解】因为，所以，则x=2.故选：B.13．C【详解】因为是上周期为3的偶函数，且当时，，所以，，故选：C14．B【详解】当时，，当时，，因为所以将信噪比从1000提升至5000，则大约增加了23%，故选：B.15．B【详解】∵，∴，，∴.故选:B.16．D由题意，知，因为，所以.又有两个实根、，所以，解得.故选：D.17．A【详解】由，两边取常用对数得：，因为，当时，，当时，成立；当时，，故选：A18．B【详解】因为，故当时，没有意义，故充分性不满足；当成立时，显然，此时一定有，必要性满足。综上所述，“MN＞0”是“"的必要不充分条件。故选：B.19．C【详解】①中若M，N小于或等于0时，不成立；②根据对数的运算易得，故正确；③中M与N也可能互为相反数；④中当M＝N＝0时不正确．所以只有②正确.故选：C20．C【详解】故选：C.21．C【详解】对于①：因为，所以，故①正确；对于②：因为，所以，故②正确；对于③：由，得，故，故③错误；对于④：由，得，故，故④错误，所以正确的是①②，故选：C.22．C【详解】因为函数是定义在上的偶函数，所以，所以等价于，所以即，因为在区间上单调递增，所以，所以，解得：，所以实数的取值范围是，故选：C.23．C因为是奇函数，所以f(－x)＋f(x)＝0．即恒成立，所以，即恒成立，所以，即．当时，，定义域为，且，故符合题意；当时，，定义域为，且，故符合题意；故选：C.24．C【详解】方程4x－2x＋1－3＝0可化为(2x)2－2·2x－3＝0，即(2x－3)(2x＋1)＝0，∵2x>0，∴2x＝3，∴x＝log23.故选：C25．C【详解】设“牛郎星”的星等是，“心宿二”的星等是，“牛郎星”的亮度是，“心宿二”的亮度是，则，，，因为两颗星的星等与亮度满足，所以，即，所以，所以与最接近的是，故选：C.26．C【详解】由题意得，即，则有，代入上式有，化简得，即，因为，所以，，则，A错误；，B错误；，C正确；，D错误.故选：.27．A【详解】首先，，因为，，所以，所以，因为，所以.故选：A.28．A【详解】解：因为，所以，所以，故选：A.29．B【详解】解：.故选：B.30．A【详解】根据对数的运算性质logaMn＝nlogaM(M>0，a>0，且a≠1)知③与⑤正确．故选：A.31．ABD【详解】由题意，，，，故选：ABD．32．AC【详解】若x<0，则①错误；易知，则,所以，②正确；若x<0，y<0，则③错误；∵，∴，∴，④正确.故选：AC.33．AD【详解】因为甲、乙两种细菌的个数乘积为定值，所以，所以，即，所以，故A正确；当时，，故B错误；若，则，若，则，此时增加了个，故C错误；若，则，所以，故D正确.故选：AD34．ABD【详解】对于A，，A正确；对于B，，B正确；对于C，，C不正确；对于D，，D正确.故选：ABD.35．BCD【详解】解：因为，，，，对于A：，故A错误；对于B：，故B正确；对于C：，故C正确；对于D：，故D正确；故选：BCD36．BCD【详解】A选项，若,则，说法正确；B选项，时不满足条件，说法错误；C选项，若，则，不一定，说法错误；D选项，时不满足要求，说法错误；故选：BCD37．9由，得，所以，故答案为：9.38．③【详解】当nA＝1时，PA＝0，故①错误；若PA＝1，则nA＝10，若PA＝2，则nA＝100，故②错误；B菌的个数为nB＝5×104，∴，∴.又∵，∴故选③．39．【详解】因为，所以，所以.故答案为：40．【详解】原式.故答案为：41．【详解】由题意可得，所以，，所以，函数是以为周期的周期函数，，则，所以，.故答案为：.42．（1）a-b；（2）；（3）①1-a，②3a-2；（4）；（5）.解：（1）因为log23=a，log25=b，所以log20.6=（2）因为3b=5，所以b=log35，所