5.1.1 任意角和弧度制(1)-任意角-2020-2021学年高一数学同步练习和分类专题教案（人教A版2019必修第一册）

第五章三角函数课时5.1任意角和弧度制5.1.1任意角1.了解任意角的概念,能正确区分正角、负角和零角.2.掌握象限角的概念,并会用集合表示象限角.3.掌握终边相同的角的含义及其表示方法,并能解决有关问题.基础过关练题组一对任意角概念的理解1.将射线OM绕端点O按逆时针方向旋转120°所得的角为()A.120° B.-120° C.60° D.240°2.已知角α在平面直角坐标系中如图所示，其中射线OA与y轴正半轴的夹角为30°，则α的值为()A.-480° B.-240° C.150° D.480°3.从13:00到14:00，时针转过的角为，分针转过的角为.

题组二终边相同的角与区域角4.在0°~360°范围内，与-80°角终边相同的角是()A.80° B.100° C.240° D.280°5.设α=-300°，则与α终边相同的角的集合为()A.{α|α=k·360°+300°，k∈Z}B.{α|α=k·360°+60°，k∈Z}C.{α|α=k·360°+30°，k∈Z}D.{α|α=k·360°-60°，k∈Z}6.角α与角β的终边关于y轴对称，则α与β的关系为()A.α+β=k·360°，k∈ZB.α+β=k·360°+180°，k∈ZC.α-β=k·360°+180°，k∈ZD.α-β=k·360°，k∈Z7.与-2020°角终边相同的最小正角是.

8.已知射线OA，OB如图.(1)写出终边落在射线OA，OB上的角的集合;(2)写出终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合.

9.已知角θ的7倍角的终边与角θ的终边重合，且0°<θ<360°，求满足条件的角θ的集合.题组三象限角的判定10.-361°角的终边落在()A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限11.下列命题正确的是()A.终边在x轴的非正半轴上的角是零角B.第二象限角一定是钝角C.第四象限角一定是负角D.若β=α+k·360°(k∈Z)，则α与β的终边相同12.设A={θ|θ为锐角}，B={θ|θ为小于90°的角}，C={θ|θ为第一象限角}，D={θ|θ为小于90°的正角}，则下列等式中成立的是()A.A=B B.B=CC.A=CD.A=D13.若α是第四象限角，则180°-α是()A.第一象限角 B.第二象限角C.第三象限角 D.第四象限角14.(多选)下列四个命题是真命题的有()A.-75°角是第四象限角B.225°角是第三象限角C.575°角是第二象限角D.-315°角是第一象限角15.若α=k·360°+45°，k∈Z，则α2是第能力提升练题组一对任意角概念的理解1.若α与β的终边互为反向延长线，则有()A.α=β+180°B.α=β-180°C.α=-βD.α=β+(2k+1)·180°，k∈Z2.(多选)下列条件中，能使α和β的终边关于y轴对称的是()A.α+β=90°B.α+β=180°C.α+β=k·360°+90°(k∈Z)D.α+β=(2k+1)·180°(k∈Z)题组二终边相同的角与区域角3.与角-390°终边相同的最小正角是()A.-30° B.30° C.60° D.330°4.终边在直线y=-x上的所有角的集合是()A.{α|α=k·360°+135°，k∈Z}B.{α|α=k·360°-45°，k∈Z}C.{α|α=k·180°+225°，k∈Z}D.{α|α=k·180°-45°，k∈Z}5.集合{α|k·180°+45°≤α≤k·180°+90°，k∈Z}中的角所表示的范围(阴影部分)是()6.如果角α与x+45°的终边相同，角β与x-45°的终边相同，那么α与β的关系是()A.α+β=0°B.α-β=0°C.α+β=k·360°(k∈Z)D.α-β=k·360°+90°(k∈Z)7.若角α满足180°<α<360°，角5α与α有相同的始边与终边，则角α=.

8.写出如图所示的阴影部分(包括边界)的角α的范围.题组三象限角的判定9.2019°角是()A.第一象限角 B.第二象限角C.第三象限角 D.第四象限角10.(多选)设α是第三象限角，则α2的终边所在的象限可能是A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限11.已知集合{α|α=k·90°+45°，k∈Z}.(1)该集合中有几种终边不相同的角?(2)该集合中有几个在-360°~360°范围内的角?(3)写出该集合中的第三象限角.

12.半径为1的圆的圆心位于坐标原点，点P从点A(1，0)出发，以逆时针方向匀速沿圆周旋转，已知点P在1s内转过的角度为θ(0°<θ<180°)，经过2s到达第三象限，经过14s后又回到了出发点A处，求θ.答案全解全析基础过关练1.A按逆时针方向旋转形成的角是正角，所以射线OM绕端点O按逆时针方向旋转120°所得的角为120°.2.D由角α按逆时针方向旋转，可知α为正角.又旋转量为480°，∴α=480°.3.答案-30°;-360°解析经过一小时，时针顺时针旋转30°，分针顺时针旋转360°，结合负角的定义可知时针转过的角为-30°，分针转过的角为-360°.4.D与-80°角终边相同的角可表示成α=k·360°-80°，k∈Z，令k=1，得α=280°，故选D.5.B因为α=-300°=-360°+60°，所以角α的终边与60°角的终边相同，故选B.6.B解法一(特值法):令α=30°，β=150°，则α+β=180°.解法二(直接法):因为角α与角β的终边关于y轴对称，所以β=180°-α+k·360°，k∈Z，即α+β=k·360°+180°，k∈Z.7.答案140°解析与-2020°角终边相同的角的集合为{β|β=-2020°+k·360°，k∈Z}，当k=6时，得到与-2020°角终边相同的最小正角，即β=-2020°+6×360°=140°.8.解析(1)终边落在射线OA上的角的集合是{α|α=k·360°+210°，k∈Z}.终边落在射线OB上的角的集合是{α|α=k·360°+300°，k∈Z}.(2)终边落在阴影部分(含边界)的角的集合是{α|k·360°+210°≤α≤k·360°+300°，k∈Z}.9.解析由题意知，7θ=θ+k·360°，k∈Z，即6θ=k·360°，k∈Z，∴θ=k·60°，k∈Z，由0°<θ<360°，得0°<k·60°<360°，k∈Z，∴0<k<6，k∈Z，即k=1，2，3，4，5，∴角θ的集合为{60°，120°，180°，240°，300°}.10.D因为-361°角的终边和-1°角的终边相同，所以它的终边落在第四象限，故选D.11.D终边在x轴的非正半轴上的角为k·360°+180°，k∈Z，零角为0°，所以A错误;480°角为第二象限角，但不是钝角，所以B错误;285°角为第四象限角，但不是负角，所以C错误;D正确.故选D.12.D直接根据角的分类进行求解，容易得到答案.13.C因为α是第四象限角，则角α应满足:k·360°-90°<α<k·360°，k∈Z，所以-k·360°<-α<-k·360°+90°，k∈Z，则-k·360°+180°<180°-α<-k·360°+270°，k∈Z，当k=0时，180°<180°-α<270°，故180°-α为第三象限角.14.ABD-75°=-360°+285°是第四象限角;225°=180°+45°是第三象限角;575°=360°+215°是第三象限角;-315°=-360°+45°是第一象限角，故A，B，D为真命题.15.答案一或三解析∵α=k·360°+45°，k∈Z，∴α2=k·180°+22.5°，当k为偶数，即k=2n，n∈Z时，α2=n·360°+22.5°，n∈Z，∴α当k为奇数，即k=2n+1，n∈Z时，α2=n·360°+202.5°，n∈Z，∴α综上，α2能力提升练1.Dα与β的终边互为反向延长线，则两角的终边相差180°的奇数倍，可得α=β+(2k+1)·180°，k∈Z.2.BD假设α，β为0°~180°内的角，如图所示，因为α，β的终边关于y轴对称，所以α+β=180°，所以B满足条件;结合终边相同的角的概念，可得α+β=k·360°+180°=(2k+1)·180°(k∈Z)，所以D满足条件，A、C都不满足条件.3.D依题意，-390°+360°=-30°，-30°+360°=330°，故选D.4.D直线y=-x如图所示，由图可知，终边落在直线y=-x上的所有角的集合是{α|α=k·180°-45°，k∈Z}，故选D.5.C依题意可知选C.6.D由题意知α=(x+45°)+k1·360°(k1∈Z)，β=(x-45°)+k2·360°(k2∈Z)，∴α-β=(k1-k2)·360°+90°=k·360°+90°(k∈Z).7.答案270°解析∵角5α与α具有相同的始边与终边，∴5α=k·360°+α，k∈Z，得4α=k·360°，k∈Z，∴α=k·90°，k∈Z.又180°<α<360°，∴α=270°.8.解析(1)因为与45°角终边相同的角可写成45°+k·360°，k∈Z的形式，与-180°+30°=-150°角终边相同的角可写成-150°+k·360°，k∈Z的形式，所以题图(1)中阴影部分的角α的范围可表示为{α|-150°+k·360°≤α≤45°+k·360°，k∈Z}.(2)因为与45°角终边相同的角可写成45°+k·360°，k∈Z的形式，与360°-60°=300°角终边相同的角可写成300°+k·360°，k∈Z的形式，所以题图(2)中阴影部分的角α的范围为{α|45°+k·360°≤α≤300°+k·360°，k∈Z}.9.C由题意，可知2019°=360°×5+219°，所以2019°角和219°角终边相同，又219°角是第三象限角，所以2019°角是第三象限角，故选C.10.BD解法一:如图所示，作各个象限的角平分线，标号Ⅲ所在的区域即为α2所在的区域，解法二:由α是第三象限角得180°+k·360°<α<270°+k·360°，k∈Z，∴90°+k·180°<α2<135°+k·180°，k∈Z当k为偶数时，设k=2n(n∈Z)，则90°+n·360°<α2<135°+n·360°(n∈Z)，∴α当k为奇数时，设k=2n+1(n∈Z)，则270°+n·360°<α2<315°+n·360°(n∈Z)∴α2∴α2为第二或第四象限角，易错警示对象限角的运算，要将“周期”化为360°再进行判断，当“周期”是360°的约数时，要对整数k进行分类讨论，解题时要防止遗漏导致错误.11.解析(1)由k=4n，4n+1，4n+2，4n+3(n∈Z)，知在给定的角的集合中终边不相同的角共有四种.(2)由-360°≤k·90°+45°<360°，得-92≤k