江西省赣州市南康区2023-2024学年八年级上学期期末考试数学试卷(含答案)

2023-2024学年江西省赣州市南康区八年级（上）期末数学试卷一、选择题：本题共6小题，每小题2分，共12分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.下列交通标志中，是轴对称图形的是(

)A. B. C. D.2.用一根小木棒与两根长分别为3cm，6cm的小木棒组成三角形，则这根小木棒的长度可以为(

)A.5cm B.3cm C.2cm D.1cm3.下列计算正确的是(

)A.(a-2)2=a2-4 B.a4.如图，∠CAB=∠DBA，再添加一个条件，不一定能判定△ABC≌△BAD的是(

)A.∠1=∠2

B.AD=BC

C.∠C=∠D

D.AC=BD5.如图，△ABC中，AC边的垂直平分线分别交AC，AB于点D，E，AD=3cm，△ABC的周长为18cm，则△BEC的周长为(

)A.8cm

B.10cm

C.12cm

D.15cm

6.如图，已知∠A=n°，若P1点是∠ABC和外角∠ACE的角平分线的交点，P2点是∠P1BC和外角∠P1CE的角平分线的交点，P3点是∠P2

A.n°4046 B.n°22023 C.n°二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。7.把mn3-4mn8.若分式|x|-1x+1的值为零，则x的值为______．9.若点A(a+1,1)与点B(2,b)关于x轴对称，则a+b=______．10.如图，AD是三角形ABC的对称轴，点E、F是AD上的两点，若BD=2，AD=3，则图中阴影部分的面积是______．

11.如图，在△ABC中，点D在BC边上，连接AD，且CD=5，AD=13，直线EF是边AC的垂直平分线，若点M在EF上运动，则△CDM周长的最小值为______．

12.在△ABC中，CA=CB，∠ACB=120°，将一块足够大的直角三角尺PMN(∠M=90°、∠MPN=30°)按如图所示放置，顶点P在线段AB上滑动，三角尺的直角边PM始终经过点C，并且与CB的夹角∠PCB=α，斜边PN交AC于点D.在点P的滑动过程中，若△PCD是等腰三角形，则夹角α的大小是______．

三、解答题：本题共11小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。13.(本小题5分)

(1)化简：a2⋅(-a2)3÷(14.(本小题5分)

先化简，再求值：2b2+(a+b)(a-b)-(a-b)2，其中a=115.(本小题5分)

如图，点M，N是∠AOB内部两点.尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法．

(1)作∠AOB的平分线；

(2)作MN的垂直平分线：

(3)在图中标出点P，使PM=PN，且点P到OA，OB的距离相等．16.(本小题5分)

下面是证明定理“等腰三角形两底角相等”的三种添加辅助线的方法，选择其中一种，完成证明．试证明等腰三角形两底角相等．

已知：△ABC中，AB=AC．

求证：∠B=∠C．

方法一：

证明：如图，取BC中点D，连接AD．

方法二：

证明：如图，过A作BC垂线段，交BC于D．

方法三：

证明：如图，作∠BAC的角平分线，交BC于点D．

17.(本小题5分)

如图所示，在平面直角坐标系xOy中，△ABC的三个顶点坐标分别为A(1,1)，B(4,2)，C(2,3)．

(1)在图中画出△ABC关于x轴对称的图形△A1B1C1；

(2)在图中，若B2(-6,2)与点B关于一条直线成轴对称，此时C点关于直线的对称点C18.(本小题6分)

为培养大家的阅读能力，我校初一年级购进《朝花夕拾》和《西游记》两种书籍，花费分别是14000元和7000元，已知《朝花夕拾》的订购单价是《西游记》的订购单价的1.4倍，并且订购的《朝花夕拾》的数量比《西游记》的数量多300本．

(1)求我校初一年级订购的两种书籍的单价分别是多少元；

(2)我校初一年级某班计划再订购这两种书籍共10本来备用，其中《朝花夕拾》订购数量不低于3本，且两种书总费用不超过124元，求这个班订购这两种书籍有多少种方案？按照这些方案订购最低总费用为多少元？19.(本小题6分)

已知：如图，∠BAC的角平分线与BC的垂直平分线DG交于点D，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F．

(1)求证：BE=CF；

(2)若AB=8，AC=6，求BE的长．20.(本小题6分)

已知关于x的方程2x-1-mx(x-1)(x+2)=1x+2．

(1)已知m=4，求方程的解；21.(本小题8分)

如图，将边长为(a+b)的正方形剪出两个边长分别为a，b的正方形(阴影部分).观察图形，解答下列问题：

(1)根据题意，用两种不同的方法表示阴影部分的面积，即用两个不同的代数式表示阴影部分的面积．

方法1：______；

方法2：______；

(2)从中你得到什么等式？______；

(3)运用你发现的结论，解决下列问题：

①已知x+y=6，12xy=3，求x2+y2的值；

②已知22.(本小题8分)如图，∠BAD=∠CAE=90°，AB=AD，AE=AC，AF⊥CB，垂足为F．

(1)求证：△ABC≌△ADE；(2)求∠FAE的度数；(3)求证：CD=2BF+DE．23.(本小题11分)

等腰RtΔABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点A、点B分别是y轴、x轴上两个动点，直角边AC交x轴于点D，斜边BC交y轴于点E．

(1)如图(1)，已知C点的横坐标为-1，直接写出点A的坐标；

(2)如图(2)，当等腰Rt△ABC运动到使点D恰为AC中点时，连接DE，求证：∠ADB=∠CDE；

(3)如图(3)，若点A在x轴上，且A(-4,0)，点B在y轴的正半轴上运动时，分别以OB、AB为直角边在第一、二象限作等腰直角△BOD和等腰直角△ABC，连结CD交y轴于点P，问当点B在y轴的正半轴上运动时，BP的长度是否变化？若变化请说明理由，若不变化，请求出BP的长度．

答案和解析1.D

2.A

3.D

4.B

5.C

6.B

7.mn(n+2)(n-2)

8.1

9.0

10.3

11.18

12.45°或90°或0°

13.解：(1)a2⋅(-a2)3÷(a3)2

=-a2⋅a614.解：2b2+(a+b)(a-b)-(a-b)2

=2b2+a2-b2-(a2-2ab+b15.解：(1)如图，射线OC即为所求；

(2)如图，EF即为所求；

(3)如图，点P即为所求．

16.解：方法一，

证明：如图，取BC中点D，连接AD，

则BD=CD，

在△ABD和ACD中，

 AB=ACAD=ADBD=CD，

∴△ABD≌△ACD(SSS)，

∴∠B=∠C；

方法二：

证明：如图，过A作BC垂线段，交BC于D，

∴△ABD和ACD为直角三角形，

在Rt△ABD和RtACD中，

AB=ACAD=AD，

∴Rt△ABD≌Rt△ACD(HL)，

∴∠B=∠C；

方法三：

证明：如图，作∠BAC的角平分线，交BC于点D．

∴∠BAD=∠CAD，

在△ABD和ACD中，

AB=AC∠BAD=∠CADAD=AD，

∴△ABD≌△ACD(SAS)，

∴∠B=∠C17.(-4,3)

解：(1)如图，△A1B1C1即为所求；

．

(2)∵B2(-6,2)与点B(4,2)关于一条直线成轴对称，

∴对称轴为直线x=-6+42=-1，

此时C(2,3)点关于直线的对称点C2的坐标为(-4,3)，

故答案为：(-4,3)；

(3)△A1B1C1的面积为2×3-12×1×2-12×1×2-12×1×3=52．

18.解：(1)设我校初一年级订购《西游记》的单价是x元，则订购《朝花夕拾》的单价是1.4x元，

根据题意得：140001.4x-7000x=300，

解得：x=10，

经检验，x=10是所列方程的解，且符合题意，

∴1.4x=1.4×10=14．

答：我校初一年级订购《西游记》的单价是10元，订购《朝花夕拾》的单价是14元；

(2)设这个班订购m本《朝花夕拾》，则订购(10-m)本《西游记》，

根据题意得：m≥314m+10(10-m)≤124，

解得：3≤m≤6，

又∵m为正整数，

∴m可以为3，4，5，6，

∴这个班共有4种订购方案，

方案1：订购3本《朝花夕拾》，7本《西游记》，所需总费用为14×3+10×7=112(元)；

方案2：订购4本《朝花夕拾》，6本《西游记》，所需总费用为14×4+10×6=116(元)；

方案3：订购5本《朝花夕拾》，5本《西游记》，所需总费用为14×5+10×5=120(元19.(1)证明：连接CD，

∵D在BC的垂直平分线上，

∴BD=CD，

∵DE⊥AB，DF⊥AC，AD平分∠BAC，

∴DE=DF，

∠BED=∠DCF=90°，

在Rt△BDE和Rt△CDF中，

BD=CDDE=DF，

∴Rt△BDE≌Rt△CDF(HL)，

∴BE=CF；

(2)解：在Rt△ADE和Rt△ADF中，

AD=ADDE=DF，

∴Rt△ADE≌Rt△ADF(HL)，

∴AE=AF，

∴AB-BE=AC+CF，

∴BE+CF=AB-AC=8-6=2，

∵BE=CF，

∴BE=120.解：(1)把m=4代入方程2x-1-mx(x-1)(x+2)=1x+2得：2x-1-4x(x-1)(x+2)=1x+2，

方程两边都乘以(x-1)(x+2)得：2(x+2)-4x=x-1，

解方程得：x=53，

检验：当x=53时，(x-1)(x+2)≠0，

所以x=53是原方程的解，

即原方程的解是x=53；

(2)2x-1-mx(x-1)(x+2)=1x+2，

方程两边都乘以(x-1)(x+2)得：2(x+2)-mx=x-1①，

整理得：(1-m)x=-5②，

有三种情况：

第一情况：当x-1=0时，方程无解，即此时x=1，

把x=1代入①得：6-m=1-1，

解得：m=6；

第二种情况：当x+2=0时，方程无解，即此时x=-221.a2+b2

解：(1)方法1，阴影部分的面积是两个正方形的面积和，即a2+b2，

方法2，从边长为(a+b)的大正方形面积减去两个长为a，宽为b的长方形面积，即(a+b)2-2ab，

故答案为：a2+b2；(a+b)2-2ab；

(2)在(1)两种方法表示面积相等可得，a2+b2=(a+b)2-2ab，

故答案为：a2+b2=(a+b)2-2ab；

(3)①∵12xy=3，

∴xy=6，

又∵x+y=6，

∴x2+y2=(x+y)2-2xy=62-2×6=36-12=24；

②设a=2021-x，b=x-2024，则a2+b2=49，a+b=-3，

∴原式=-20，

答：(2021-x)(x-2024)的值为-20．

22.证明：(1)∵∠BAD=∠CAE=90°，

∴∠BAC+∠CAD=90°，∠CAD+∠DAE=90°，

∴∠BAC=∠DAE，

在△BAC和△DAE中，

AB=AD∠BAC=∠DAEAC=AE，

∴△BAC≌△DAE(SAS)，

即△ABC≌△ADE；

(2)∵∠CAE=90°，AC=AE，

∴∠E=45°，

由(1)知△BAC≌△DAE，

∴∠BCA=∠E=45°，

∵AF⊥BC，

∴∠CFA=90°，

∴∠CAF=45°，

∴∠FAE=∠FAC+∠CAE=45°+90°=135°；

(3)延长BF到G，使得FG=FB，

∵AF⊥BG，

∴∠AFG=∠AFB=90°，

在△AFB和△AFG中，

BF=GF∠AFB=∠AFGAF=AF，

∴△AFB≌23.解：(1)A(0,1);

(2)如图2，过点C作CG⊥AC交y轴于点G，

∵CG⊥AC

∴∠ACG=90°，

∴∠CAG+∠AGC=90°．

∵∠AOD=90°，

∴∠ADO+∠DAO=90°，

∴∠AGC=∠ADO．

在△ACG和△BAD中，

∠ACG=∠BAD=90°∠AGC=∠BDAAC=BA

，

∴△ACG≌△BAD(AAS)．

∴CG=AD，

∠ADB=∠CGA，

∵D为AC中点，

∴AD=CD，

∴CG=CD(等量代换)，

∵AC=AB

，∠CAB=90°，

∴∠ACB=(180°-∠CAB)÷2=45°，

又∵∠ACG=90°

∠ACB=∠DCE=45°，

∴∠DCE=∠GCE=45°．

在△DCE和△GCE中，

CD=CG∠DCE=∠GCECE=CE

，

∴△DCE≌△GCE(SAS)．

∴∠CDE=∠CGE．

又∵ ∠ADB