3.1 函数的概念及其表示-2021-2022学年高一数学《考点•题型 •技巧》精讲与精练高分突破（人教A版2019必修第一册）

高一数学《考点•题型•技巧》精讲与精练高分突破系列(人教A版2019必修第一册)函数的概念与性质3.1函数的概念及其表示【考点梳理】考点一：函数的有关概念函数的定义设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数函数的记法y＝f(x)，x∈A定义域x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域值域函数值的集合eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(fx|x∈A))叫做函数的值域考点二：同一个函数一般地，函数有三个要素：定义域，对应关系与值域．如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，我们就称这两个函数是同一个函数．考点三：区间1．区间概念(a，b为实数，且a<b)定义名称符号数轴表示{x|a≤x≤b}闭区间[a，b]{x|a<x<b}开区间(a，b){x|a≤x<b}半开半闭区间[a，b){x|a<x≤b}半开半闭区间(a，b]2.其他区间的表示定义R{x|x≥a}{x|x>a}{x|x≤a}{x|x<a}区间(－∞，＋∞)[a，＋∞)(a，＋∞)(－∞，a](－∞，a)考点四：函数的表示方法考点五：分段函数1．一般地，分段函数就是在函数定义域内，对于自变量x的不同取值范围，有着不同的对应关系的函数．2．分段函数是一个函数，其定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的并集；各段函数的定义域的交集是空集．3．作分段函数图象时，应分别作出每一段的图象．【题型归纳】题型一：函数定义的判断1．（2020·佛山市南海区里水高级中学高一月考）设集合.下列四个图象中能表示从集合到集合的函数关系的有（）①②③④A．3个 B．2个 C．1个 D．0个2．（2021·全国）下列集合A到集合B的对应f是函数的是（）A．A＝{－1，0，1}，B＝{0，1}，f：A中的数平方B．A＝{0，1}，B＝{－1，0，1}，f：A中的数开方C．A＝Z，B＝Q，f：A中的数取倒数D．A＝R，B＝{正实数}，f：A中的数取绝对值3．（2021·全国高一课时练习）下列图形可表示函数图象的只可能是（）A．B．C． D．题型二：区间的表示4．（2020·宾县第一中学高一期中）集合用区间表示为（）A． B．C． D．5．（2019·太原市第五十三中学校高一月考）已知集合，，则写成区间形式为（）A． B．C． D．6．（2020·全国高一课时练习）下列四个区间能表示数集或的是（）A． B．C． D．题型三：具体函数的定义域7．（2021·咸丰春晖学校高一月考）已知函数f(x)=+.则该函数的定义域为（）A．[2，+). B．[2，3). C．(2，+) D．[2，3)（3，+）8．（2020·乌鲁木齐市第三十一中学高一月考）函数的定义域为（）A． B． C． D．9．（2021·全国高一课时练习）函数的定义域（）A． B． C． D．题型四：已知函数的定义域求参数范围10．（2019·云南省楚雄天人中学高一月考）已知函数f(x)=的定义域是一切实数，则m的取值范围是（）A． B． C． D．11．（2020·宾县第一中学）已知函数的定义域是R，则实数a的取值范围是（）A．(0，1) B．C． D．12．（2020·邹城市第一中学）命题“”是命题“函数的定义域为”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件题型五：复杂（根式、分式）函数的值域13．（2019·长沙市南雅中学高一月考）函数的值域是（）A． B． C． D．14．（2021·全国高一课时练习）函数（）的值域为（）A． B． C． D．15．（2021·全国高一专题练习）函数的值域是（）A． B． C． D．题型六：已知函数类型求解析式（待定系数法）16．（2021·新疆五家渠市兵团二中金科实验中学高一开学考试）已知是一次函数，，则（）A． B． C． D．17．（2020·全国高一单元测试）设函数，满足，则（）A． B． C． D．18．（2019·甘肃武威·高一月考）已知为二次函数,且满足,,则的解析式为（）A． B．C． D．题型七：换元法求函数解析式19．（2021·全国高一专题练习）若函数，则等于（）A． B． C． D．20．（2021·全国高一专题练习）设函数，则的表达式为（）A． B．C． D．21．（2021·广东高一单元测试）已知，则（）A． B． C． D．题型八：抽象函数求解析式（组方程法）22．（2020·浙江高一单元测试）已知，则A． B． C． D．23．（2019·黑龙江哈尔滨市·哈师大附中）已知函数满足，则（）A． B． C． D．24．（2020·全国高一课时练习）已知函数满足，则的值为A． B． C． D．题型九：函数相等问题25．（2021·江西宜春市·高安中学高一月考）下列各组函数中，表示同一函数的是（）A．， B．，C．， D．，26．（2020·黔西南州同源中学高一期中）下列各组中的两个函数是否为相同的函数？（）①②③A．① B．② C．③ D．以上都不是27．（2021·云南昭通市·高一期末）下列各组函数中为同一函数的是（）A．， B．，C．， D．，题型十：分段函数中的问题28．（2021·黑龙江大庆市·大庆中学高一月考）已知函数，则（）A． B． C． D．129．（2021·全国高一课时练习）已知函数的值域是（）A． B． C． D．30．（2020·贵州遵义市·蟠龙高中高一月考）设函数若，则的取值范围是（）A． B．C． D．【双基达标】一、单选题31．（2021·陕西省黄陵县中学高一月考）下列两个变量之间的关系中，是函数关系的是（）A．学生的性别与他的数学成绩 B．人的工作环境与健康状况C．女儿的身高与父亲的身高 D．正三角形的边长与面积32．（2020·黔西南州同源中学高一期中）函数，若，则（）A．1 B．1或 C．或 D．33．（2020·金华市云富高级中学高一月考）函数的值域是（）.A．（﹣∞，2] B．（0，+∞） C．[2，+∞） D．[0，2]34．（2020·金华市云富高级中学高一月考）下列函数中表示同一函数的是（）.A．y=与y=（） B．y=与y=C．y=与y=· D．y=与y=35．（2020·曲靖市关工委麒麟希望学校高一期中）下列四个图像中，是函数图像的是（）A．（1） B．（3）（4） C．（1）（2）（3） D．（1）（3）（4）36．（2020·红桥区·天津三中高一月考）函数的图象是（）A． B． C． D．37．（2021·江西宜春市·丰城九中高一月考）已知，若是的最小值，则实数的取值范围为（）A． B． C． D．38．（2021·全国高一课时练习）已知函数，则不等式≥2x的解集是（）A． B．（－∞，0] C． D．（－∞，2）39．（2021·全国高一单元测试）若函数y＝f(x)的定义域是[0，2020]，则函数的定义域是（）A．[－1，2019] B．[－1，1)∪(1，2019]C．[0，2020] D．[－1，1)∪(1，2020]【高分突破】一：单选题40．（2021·全国）下列各组函数中，表示同一个函数的是（）A．y＝x－1和y＝B．y＝x0和y＝1C．f（x）＝（x－1）2和g（x）＝（x＋1）2D．f（x）＝和g（x）＝41．（2020·贵州遵义市·蟠龙高中高一月考）若函数的定义域是，则函数的定义域是（）A． B． C． D．42．（2020·金华市云富高级中学高一月考）已知f（x）=，则f（3）为（）A．3 B．4 C．1 D．243．（2020·佛山市南海区里水高级中学高一月考）已知，则（）A． B． C． D．44．（2020·佛山市南海区里水高级中学高一月考）函数的图象如图所示，则的解析式是（）A． B．C． D．45．（2020·四川省蒲江县蒲江中学）在下列四组函数中，表示同一函数的是（）A．，，，B．，C．，D．，46．（2020·浙江省普陀中学高一月考）函数的定义域是（）A．或 B．C．或 D．47．（2020·江苏省通州高级中学高一月考）已知则的值为（）A． B．2 C．7 D．548．（2021·上海市行知中学高一月考）与命题“函数的定义域为”等价的命题不是（）A．不等式对任意实数恒成立B．不存在，使C．函数的值域是的子集D．函数的最小值大于0二、多选题49．（2021·全国）关于直线与函数的图象的交点有如下四个结论，其中正确的是（）A．不论为何值时都有交点 B．当时，有两个交点C．当时，有一个交点 D．当时，没有交点50．（2021·全国高一专题练习）（多选）下列四组函数都表示同一个函数的是（）A．， B．，C．， D．，51．（2021·全国高一专题练习）(多选)已知函数则下列关于函数的结论正确的是（）A．的值域为 B．C．若，则的值是 D．的解集为52．（2021·广东高一单元测试）德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，是解析数论的创始人之一，以其命名的函数，称为狄利克雷函数，则关于，下列说法正确的是（）A．的值域为 B．的定义域为C． D．任意一个非零有理数，对任意恒成立三、填空题53．（2021·人大附中北京经济技术开发区学校高一期末）函数的定义域是__________.54．（2021·江西宜春市·高安中学高一月考）设函数．则___________．55．（2021·江苏高一课时练习）函数的定义域为，则实数的取值范围为______.56．（2021·全国高一单元测试）已知，函数．若，则________．四、解答题57．（2020·河北承德第一中学高一月考）已知函数．（1）画出函数在区间上的图象；（2）写出函数在区间上的单调区间、最值．58．（2020·唐山市丰润区第二中学高一月考）若函数对于一切恒成立，则求实数的取值范围.59．（2020·河北承德第一中学高一月考）（1）已知函数f(x＋1)＝3x＋2，求f（x）的解析式;（2）已知一次函数f（x）满足f(f（x）)＝4x＋6，求f（x）的解析式；（3）已知f(＋1)＝x＋2，求f（x）的解析式．60．（2020·石家庄市第十八中学高一月考）已知函数．（1）求的值；（2）求证：是定值．61．（2020·宾县第一中学）已知函数的定义域为集合A，关于x的不等式的解集为集合B.（1）求集合A和集合B；（2）若，求实数m的取值范围.【答案详解】1．C【详解】由题意知：M＝{x|0≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤2}，对于图①中，在集合M中区间（1，2]内的元素没有象，比如f（1.5）的值就不存在，所以图①不符合题意；对于图②中，对于M中任意一个元素，N中有唯一元素与之对应，符合函数的对应法则，故②正确；对于图③中，集合M中有些变量没有函数值与之对应，故③不符合题意；对于图④中，集合M的一个元素对应N中的两个元素．比如当x＝1时，有两个y值与之对应，不符合函数的定义，故④不正确故选：C．2．A【详解】选项A中，集合A中的每一个元素平方后在集合B中有唯一的元素与其对应，所以选项A符合函数定义，选项B中，集合A中的元素1对应集合B中的元素±1，不符合函数定义中一个自变量的值对应唯一的函数值的条件；选项C中，集合A中的元素0取倒数没有意义，也不符合函数定义中集合A中任意元素都对应着唯一的函数值的要求；选项D中，集合A中的元素0在集合B中没有元素与其对应，也不符合函数定义.故选：A3．D【详解】由函数概念，只有“一对一”或“多对一”对应，才能构成函数关系,从图象上看，任意一条与x轴垂直的直线与函数图象的交点最多只能有一个交点，但只要与图象有两个交点就不是函数，故选：D.4．B【详解】解：集合或用区间表示为：.故选：B.5．C【详解】由题：将集合写成区间形式：，，所以.故选：C6．B【详解】根据区间的定义可知数集或可以用区间表示.故选B.7．D【详解】由题意，解得且．所以该函数的定义域为[2，3)（3，+），故选：D．8．B【详解】由题意得，解得且，所以函数的定义域为，故选：B9．C【详解】，解得即函数的定义域故选：C10．D【详解】由函数f(x)＝的定义域为一切实数，即在上恒成立，当m=0时，1≥0恒成立；当m≠0时，则，解得.综上可得，故选：D.11．C【详解】函数的定义域是，即恒成立；当时，，满足题意；当时，，解得；综上知，实数的取值范围是，．故选：．12．A【详解】若函数的定义域为，则有恒成立当时成立，当时，，解得所以所以命题“”是命题“函数的定义域为”的充分不必要条件故选：A13．C【详解】由得，得，设，则，所以，即函数的值域是.故选：C14．A【详解】，由于，∴，，，于是，故函数的值域为.故选：A.15．C【详解】令,则，当时，，当时，，当且仅当时，即时等号成立，综上，故选：C16．B【详解】由题意，设函数，因为，可得，解得，所以.故选：B.17．D【详解】由题意可知，所以，解得：，，所以.故选：D18．A【详解】设,因为,所以.又,所以有,解得.故选：A19．A【详解】令，得，所以，从而.故选：A.20．B令，则可得所以，所以故选：B21．C【详解】令，，则，由得，，，即，.故选：C.22．A【详解】因为，所以，则．故选：A．23．B【详解】因为①，所以用替换，得②由得故选B24．C【详解】由,将换成有,即,故有,两式相减化简得,故.故选C.25．C【详解】A.定义域为R，定义域为故不是同一函数；B.定义域为，定义域为或，故不是同一函数；C.，定义域为R，解析式相同，故是同一函数；D.，解析式不同，故不是同一函数；故选：C26．D【详解】解：对于（1），函数，与函数的定义域不同，不是同一函数；对于（2），函数，与函数或的定义域不同，不是同一函数；对于（3），函数，与函数的定义域不同，不是同一函数.故选：D.27．B【详解】选项A,的定义域是,的定义域是,两个函数对应关系不相同,所以不是同一个函数,选项A错误;选项B,的定义域是,的定义域是,两个函数对应关系也相同,所以是同一个函数,选项B正确;选项C,的定义域是,的定义域是,定义域不同,不是同一个函数,选项C错误;选项D,的定义域是,的定义域是,定义域不同,不是同一个函数,选项D错误.故选：B.28．D【详解】由题意，函数，可得，所以．故选：D．29．D【详解】因为当时，的值域为，当时，的值域为，所以函数的值域为.故选：D30．A【详解】当时，，解得：或（舍）当时，，解得：，综上所述：的取值范围是，故选：A.31．D【详解】此题考查两个变量的关系．因为学生的性别与他的数学成绩无关系，故A错；人的工作环境与健康状况有关系，但是影响健康状况的因素很多，故B错；女儿的身高与父亲的身高有关系，但是影响女儿的身高的因素也很多，故C错；正三角形的边长与面积存在一一对应的函数关系，故D对．故选：D32．D【详解】当时，，，舍去；当时，，，∴；当时，，，舍去.故选：D.33．D【详解】由，则，解得，所以函数的定义域为，令，当时，，所以，所以函数的值域为[0，2].故选：D34．D【详解】A，y=定义域为，y=（）定义域为，定义域不同，不是同一函数；B，y=定义域为，y=定义域为，定义域不同，不是同一函数；C，y=定义域为，y=·定义域为，定义域不同，不是同一函数；D，y=与y=定义域为，且y=，故两函数为同一函数.故选：D35．D【详解】由函数的定义可知：任意一个的值，都有唯一确定的值与之对应，所以（2）不符合，故选：D36．C【分析】由判断.【详解】因为函数，故选：C37．C【详解】因为时，，所以要使是的最小值，则；又当时，（时，取等号），所以，即，又，所以.故选：C.38．A【详解】解：当x>0时，＝－x＋2≥2x，解得3x≤2，所以0<x≤；当x≤0时，＝x＋2≥2x，解得x≤2，又x≤0，所以x≤0；综上，原不等式的解集为，故选：A.39．B使函数f(x＋1)有意义，则0≤x＋1≤2020，解得－1≤x≤2019，故函数f(x＋1)的定义域为[－1，2019]．所以函数g(x)有意义的条件是解得－1≤x<1或1<x≤2019.故函数g(x)的定义域为[－1，1)∪(1，2019]．故选：B．40．D【详解】y＝x－1的定义域为，y＝的定义域为，函数定义域不同，A错误；y＝x0的定义域为，y＝1的定义域为，函数定义域不同，B错误；f（x）＝（x－1）2和g（x）＝（x＋1）2的定义域都为，但是两函数的对应关系不同，故C错误；f（x）＝的定义域为，g（x）＝的定义域为，故D正确.故选：D.41．C【详解】由条件可知：，所以，所以定义域为，故选：C.42．C【详解】由f（x）=，所以，故选：C43．A【详解】令故故选：A44．C【详解】根据图象可知，函数f（x）的图象是由两条直线构成，设f（x）＝kx+b，当x≥0时，图象过（0，1）和（1，0）．可得f（x）＝﹣x+1，当x＜0时，图象过（0，1）和（﹣1，0）．可得f（x）＝x+1，∴可得f（x）在R上的解析式为f（x）＝﹣|x|+1．故选：C．45．D【详解】解：A．两个函数的定义域都为，但两个函数的解析式不相同，即对应法则不一样，故不表示同一函数；B．的定义域为，的定义域为或，两个函数的定义域不相同，故不表示同一函数；C．的定义域为，的定义域为，两个函数的定义域不相同，故不表示同一函数；D．的定义域为，的定义域为，两个函数的定义域相同，对应法则相同，故表示同一函数．故选：D．46．C【详解】要使函数有意义，只须即，解得或，所以定义域为或.故选：C.47．B【详解】，故选：B48．D【详解】因为函数的定义域为，不等式对任意实数恒成立；不存在，使；函数的值域是的子集；函数的最小值大于等于；故选：D.49．BCD【详解】由题意得，，作此函数图像如下图折线所示；即平行于轴的直线，作图像如下图直线所示.对于A，由图可知，当时，直线与函数的图象无交点，故A错误；对于B，由图可知，当时，直线与函数的图象有两个交点，故B正确；对于C，由图可知，当时，直线与函数的图象，有一个交点，故C正确；对于D，由图可知，当时，直线与函数的图象无交点，故D正确.故选:BCD

50．AD【详