2.4 圆的方程-2021-2022学年高二数学《考点•题型 •技巧》精讲与精练高分突破（人教A版2019选择性必修第一册）

高二数学《考点•题型•技巧》精讲与精练高分突破系列(人教A版选择性必修第一册)直线和圆的方程2.4圆的方程【题型归纳】考点一圆的标准方程(1)条件：圆心为C(a，b)，半径长为r.(2)方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2.(3)特例：圆心为坐标原点，半径长为r的圆的方程是x2＋y2＝r2.考点二点与圆的位置关系点M(x0，y0)与圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系及判断方法位置关系利用距离判断利用方程判断点M在圆上|CM|＝r(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2点M在圆外|CM|>r(x0－a)2＋(y0－b)2>r2点M在圆内|CM|<r(x0－a)2＋(y0－b)2<r2考点三圆的一般方程1．圆的一般方程当D2＋E2－4F>0时，二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0称为圆的一般方程．2．方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示的图形条件图形D2＋E2－4F<0不表示任何图形D2＋E2－4F＝0表示一个点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(D,2)，－\f(E,2)))D2＋E2－4F>0表示以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(D,2)，－\f(E,2)))为圆心，以eq\f(\r(D2＋E2－4F),2)为半径的圆【题型归纳】考点一：求圆的标准方程1．与圆同圆心，且面积为面积的一半的圆的方程为（）A． B．C． D．2．已知、，则以线段为直径的圆的方程是A． B．C． D．3．若圆C经过坐标原点和点(4，0)，且与直线y=1相切，则圆C的方程是（）A． B． C． D．考点二、点与圆的位置关系4．若点在圆外，则实数m的取值范围是（）A． B． C． D．5．若点在圆的内部，则实数a的取值范围是A．(1,1) B．(0,1) C． D．6．已知圆，点在圆上，点在圆外，则的最大值为()A．5 B．6 C．7 D．8考点三：圆的一般方程的问题（参数）7．已知圆经过两点，，且圆心在直线上，则圆的方程为（）A． B．C． D．8．若直线平分圆的周长，则（）A．9 B．-9 C．1 D．-19．圆的圆心到直线的距离为1，则（）A． B． C． D．2考点四：求圆的方程类型10．已知方程表示一个圆．（1）求的取值范围；（2）若圆的直径为6，求的值．11．已知点在圆上.（1）求圆的标准方程；（2）若圆过点，且与圆相切于点，求圆的标准方程．12．已知圆的方程为：．（1）求的取值范围;（2）设直线与圆交于，两点，是否存在实数，使得以为直径的圆过原点，若存在，求出实数的值；若不存在，请说明理由．考点五：圆的对称问题13．已知圆关于直线对称的圆的方程为，则（）A．-2 B． C．-4 D．14．已知从点发出的一束光线，经轴反射后，反射光线恰好平分圆：的圆周，则反射光线所在的直线方程为（）A． B． C． D．考点六：动点的轨迹方程15．当点在圆上变动时，它与定点的连结线段的中点的轨迹方程是（）A． B．C． D．16．已知圆经过点和，且圆心在直线上.（1）求圆的标准方程；（2）若线段的端点的坐标是，端点在圆上运动，求的中点的轨迹方程.【双基达标】一、单选题17．已知圆C的圆心坐标为（2，3），半径为4，则圆C的标准方程为（）A．(x-2)2+(y-3)2=4 B．(x+2)2+(y+3)2=16C．(x+2)2+(y+3)2=4 D．(x-2)2+(y-3)2=1618．若方程表示圆，则实数的取值范围为（）A． B． C． D．19．已知直线经过圆的圆心且与直线平行，则的方程是（）A． B．C． D．20．已知点，，则以线段为直径的圆的方程是（）A． B．C． D．21．方程表示的图形是半径为的圆，则该圆圆心位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限22．若方程x2＋y2＋2λx＋2λy＋2λ2―λ＋1＝0表示圆，则λ的取值范围是（）A．(1，＋∞) B．C．(1，＋∞)∪ D．R23．已知圆经过原点，，三点，则圆的方程为（）A． B．C． D．24．若，则方程能表示的不同圆的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．425．已知圆C经过A（0，0），B（2，0），且圆心在第一象限，△ABC为直角三角形，则圆C的方程为()A．（x–1）2+（y–1）2=4 B．C．（x–1）2+（y–1）2=2 D．（x–1）2+（y–2）2=526．方程x2＋y2＋ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0表示圆，则a的范围是()A．a<－2或a> B．－<a<2C．－2<a<0 D．－2<a<27．当点在圆上变动时，它与定点的连线的中点的轨迹方程是（）A． B． C． D．28．已知直线ax＋by＋c－1＝0(b，c>0)经过圆x2＋y2－2y－5＝0的圆心，则＋的最小值是（）A．9 B．8C．4 D．2【高分突破】一：单选题29．已知圆，则当圆的面积最小时，圆上的点到坐标原点的距离的最大值为（）A． B． C． D．30．已知的三个顶点为，，，过点作其外接圆的弦，若最长弦与最短弦分别为，，则四边形的面积为（）A． B． C． D．31．圆关于直线对称的圆的标准方程是（）A． B．C． D．二、多选题32．已知圆，则下列说法正确的有（）A．关于点对称 B．关于直线对称C．关于直线对称 D．关于直线对称33．已知直线l与圆相交于两点，弦的中点为，则实数的取值可为A． B． C． D．34．（多选）点在圆的内部，则的取值不可能是（）A． B．C． D．35．(多选)已知圆C1：(x＋1)2＋(y－1)2＝4，圆C2与圆C1关于直线x－y－1＝0对称，则（）A．圆心C1到直线x－y－1＝0的距离为B．圆心C1到直线x－y－1＝0的距离为C．圆C2的方程为(x＋2)2＋(y－2)2＝4D．圆C2的方程为(x－2)2＋(y＋2)2＝436．已知的三个顶点的坐标分别为、、，以原点为圆心的圆与此三角形有唯一的公共点，则圆的方程为（）A． B．C． D．37．实数，满足，则下列关于的判断正确的是（）A．的最大值为 B．的最小值为C．的最大值为 D．的最小值为三、填空题38．已知过点的圆C和直线相切，且圆心在直线上，则圆C的标准方程为________________．39．已知，方程表示圆，则圆心坐标是______．40．已知等腰三角形的底边对应的顶点是，底边的一个端点是，则底边另一个端点的轨迹方程是___________41．已知圆与圆关于直线对称，则直线方程___________.42．已知直线3x＋4y-12＝0与x轴，y轴相交于A，B两点，点C在圆x2＋y2-10x-12y＋52＝0上移动，则△ABC面积的最大值和最小值之差为________.四、解答题43．已知圆过三个点，，．（1）求圆的方程；（2）过原点的动直线与圆相交于不同的、两点，求线段的中点的轨迹．44．求满足下列条件的各圆的标准方程：（1）圆心为点，且经过点．（2）经过，两点，且圆心在直线上．45．矩形ABCD的两条对角线相交于点M（2，0），AB边所在直线的方程为x-3y-6＝0，点T（-1，1）在AD边所在直线上.（1）求AD边所在直线的方程；（2）求矩形ABCD外接圆E的方程；（3）已知点P是（2）中圆E上一动点，点Q（8，0），求线段PQ的中点R的轨迹方程.46．已知的三个顶点分别为，，，求：（1）边上的高所在直线的方程；（2）的外接圆的方程．47．已知点及圆.(1)若直线过点且与圆心的距离为1，求直线的方程；(2)设过点的直线与圆交于两点，当时，求以线段为直径的圆的方程；(3)设直线与圆交于两点，是否存在实数，使得过点的直线垂直平分弦？若存在，求出实数的值；若不存在，请说明理由．【答案详解】1．D【详解】由题得圆，所以圆的圆心为，半径为6.设所求的圆的半径为，所以.所以所求的圆的方程为.故选：D2．B【详解】解：由、，设圆心为，则圆心的坐标为，即；所以，则圆的半径，所以以线段为直径的圆的方程是．故选：．3．D【详解】因为圆C经过坐标原点和点(4，0)，且与直线y=1相切，可设圆心为，，则圆心到原点的距离等于到这条直线的距离，即，解得，则半径为，圆心为，圆的方程为：故选：D4．C.【详解】由题意，得，即，又易知，所以.故选：C5．A【详解】因为点在圆的内部，则，解得.故选A.6．C【详解】圆的标准方程为：，又，，故的最大值为7，当且仅当三点共线时等号成立.故选C.7．C【详解】因为线段的中点坐标为，直线的斜率为，所以线段的垂直平分线方程为，即与直线方程联立，得圆心坐标为.又圆的半径，所以，圆的方程为，即.故选：C.8．B【详解】因为直线平分圆的周长，所以直线经过该圆的圆心，则，即.选B.9．B【详解】圆，即.圆心到直线的距离，∴.故选：B10．（1）；（2）．【详解】（1）由题意，方程表示圆，则满足，解得，即实数的取值范围.（2）由圆的直径为6，可得，解得．11．（1）；（2）.【详解】解：（1）将点代入圆，可得，所以圆，化为标准方程可得．（2）设圆的标准方程为，圆心为，直线的方程为，即，把代入得，又，解得，，所以，故圆的标准方程为．12．【详解】（1）由题知：，解得（2）假设存在得以为直径的圆过原点，设，，，，解得，又因为，所以.，..因为以为直径的圆过原点，则，即，整理可得，即，解得.所以存在得以为直径的圆过原点.13．C【详解】本题考查圆的方程和圆的几何性质.圆的圆心是坐标原点，半径为1，易得点关于直线对称的点的坐标为，所以圆关于直线对称的圆的方程为，化为一般式为，所以，即.故选：C14．C【详解】由题意反射光线过圆心，又点与圆心连线与轴平行，所以入射光线与的交点的横坐标为，即入射光线与轴交点为．所以反射光线所在的直线方程为，即．故选：C．15．B【详解】设，线段的中点为，（如图）则即，点在圆上变动，即即故选：B16．（1）；（2）.【详解】（1）设圆心的坐标为，则有，整理求得，故圆心为，半径满足，则圆的方程为；（2）设线段中点，，由可知，，∵点在圆上运动，∴，∴的轨迹方程为.D解：由圆的标准方程得：圆心坐标为（2，3），半径为4的圆的标准方程是：．故选：．18．A由，得．故选：A．19．C【详解】由圆，可得圆心坐标，又由直线与直线平行，可设直线，因为直线经过圆的圆心，代入可得，解得，即的方程是.故选：C.20．D【详解】法1：以线段为直径的圆的直径式方程为，整理得到：，故选：D.法2：因为圆以为直径，故圆心为的中点，又，故圆的半径为5，故以线段为直径的圆的方程为：.故选：D.21．D【详解】方程表示的图形是半径为的圆，，求得，故圆心，在第四象限，故选：D．22．A【详解】因为方程x2＋y2＋2λx＋2λy＋2λ2―λ＋1＝0表示圆，所以D2＋E2―4F＞0，即4λ2＋4λ2―4(2λ2―λ＋1)＞0，解不等式得λ＞1，即λ的取值范围是(1，＋∞)．故选：A.23．D【详解】设圆的方程为，把点，，代入得，解得，，，所以圆的方程是．故选：D．24．B【详解】由圆的方程，可化简得，可得，即，解得，又因为，所以或，所以方程能表示的不同圆的个数为2个.故选：B.25．C【解析】因为圆心在弦的中垂线上，所有可设，由于为等腰直角三角形，所以圆心坐标为，圆的半径为，所以圆的方程为，故选C.26．D【分析】先把圆的一般方程化为圆的标准方程，由此可求得a的范围.【详解】由题意可得圆的标准方程，由解得，选D.【点睛】圆的一般方程，化标准方程为（其中），圆心为，半径．27．D【详解】设中点的坐标为，则，因为点在圆上，故，整理得到.故选：D.28．A【详解】圆x2＋y2－2y－5＝0化成标准方程，得x2＋(y－1)2＝6，所以圆心为C(0，1)．因为直线ax＋by＋c－1＝0经过圆心C，所以a×0＋b×1＋c－1＝0，即b＋c＝1.因此＋＝(b＋c)(＋)＝＋＋5.因为b，c>0，所以＋≥2＝4.当且仅当＝时等号成立．由此可得b＝2c，且b＋c＝1，即b＝，c＝时，＋取得最小值9.故选：A29．D【详解】由得，因此圆心为，半径为，当且仅当时，半径最小，则面积也最小；此时圆心为，半径为，因此圆心到坐标原点的距离为，即原点在圆外，根据圆的性质，圆上的点到坐标原点的距离的最大值为.故选：D.30．B【详解】设的外接圆的方程为（x﹣a）2+（y﹣b）2＝r2，由O（0，0），M（6，0），N（8，4），得，解得.∴圆的标准方程为（x﹣3）2+（y﹣4）2＝52，点（3，5）在圆内部，由题意得最长的弦|AC|＝2×5＝10，点（3，5）到圆心（3，4）的距离为1．根据勾股定理得最短的弦|BD|＝，且AC⊥BD，四边形ABCD的面积S＝|AC|•|BD|＝×10×＝．故选：B．31．A【详解】由题意有，圆的圆心C，半径为3，设所求圆的圆心为，由圆C和圆C’关于直线l对称得，点C和点C’关于直线l对称，则，解得，则所求圆的标准方程是．故选：A．32．ABC【详解】，所以圆心的坐标为，半径为．A项，圆是关于圆心对称的中心对称图形，而点是圆心，所以本选项正确；B项，圆是关于直径所在直线对称的轴对称图形，直线过圆心，所以本选项正确；C项，圆是关于直径所在直线对称的轴对称图形，直线过圆心，所以本选项正确；D项，圆是关于直径所在直线对称的轴对称图形，直线不过圆心，所以本选项不正确．故选：ABC．33．AB【详解】圆的标准方程为：，故.又因为弦的中点为，故点在圆内，所以即.综上，.故选：AB.34．AD【详解】由已知条件可得，即，解得.故选：AD.35．AD【详解】根据题意，设圆C2的圆心为(a，b)，圆C1：(x＋1)2＋(y－1)2＝4，其圆心为(－1，1)，半径为2，所以圆心C1到直线x－y－1＝0的距离d＝＝.若圆C2与圆C1关于直线x－y－1＝0对称，则圆C1与圆C2的圆心关于直线x－y－1＝0对称，且圆C2的半径为2，则有解得则圆C2的方程为(x－2)2＋(y＋2)2＝4.故选：AD.36．AD【详解】依题意，直线的方程为，化为一般式方程：，点到直线的距离，又直线的方程为，直线的方程为，因此点到直线的距离为，到直线的距离为，当以原点为圆心的圆与直线相切时，能满足圆与此三角形有唯一公共点；此时圆的半径为，所以圆的方程为；又，，，由以原点为圆心的圆与此三角形有唯一的公共点，可得圆可以与三角形交于点，即圆的半径为，则圆的方程为.故选：AD.37．CD【详解】由题意可得方程为圆心是，半径为1的圆，则为圆上的点与定点的斜率的值，设过点的直线为，即，则圆心到到直线的距离，即，整理可得，解得，所以，即的最大值为，最小值为.故选：CD.38．【详解】由题意，设，则，∴圆C的标准方程为，又在圆上，∴，整理得，即，∴圆C的标准方程为.故答案为：39．【详解】方程表示圆，所以，解得或，当时，方程，配方可得，所得圆的圆心坐标为；当时，方程，即，此时，方程不表示圆．综上所述，圆心坐标是．故答案为：．40．（去掉两点）【详解】设，由题意知，，因是以为底边的等腰三角形，于是有，即点C的轨迹是以A为圆心，为半径的圆，又点构成三角形，即三点不可共线，则轨迹中需去掉点B及点B关于点A对称的点，所以点的轨迹方程为(去掉两点).故答案为：(去掉两点)41．【详解】由于半径相等，易求，由圆的圆心坐标为O(0，0)，圆的标准方程为，可得圆心，则OA的中点坐标为，且OA的斜率为，可得所求直线的斜率为，所以直线的方程为，即.故答案为：.42．15【详解】令得，令得，所以A（4，0），点B（0，3），∴|AB|＝5，由x2＋y2-10x-12y＋52＝得，所以圆的半径为3，圆心为，圆心到直线的距离，所以点C到直线的距离的最小值为，最大值为，所以的最大值为，最小值为，所以△ABC面积的最大值和最小值之差为.故答案为：1543．（1）；（2）的轨迹是以为圆心，为半径的圆（点在圆内，不与边界重合）．【详解】（1）设圆方程为，则，解得，所以圆方程为，即；（2）由（1），设，则由得，，即，，．又在圆内部，所以的轨迹是以为圆心，为半径的圆（点在圆内部）．44．（1）；（2）．【详解】（1）设圆的标准方程为，因为圆心为点，即，，又由圆经过点，则所