3.1 函数的概念及其表示-2022-2023学年高一数学《考点•题型•技巧》精讲与精练高分突破系列（人教A版2019必修第一册）

3.1函数的概念及其表示【考点梳理】考点一：函数的有关概念函数的定义设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数函数的记法y＝f(x)，x∈A定义域x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域值域函数值的集合eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(fx|x∈A))叫做函数的值域考点二：同一个函数一般地，函数有三个要素：定义域，对应关系与值域．如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，我们就称这两个函数是同一个函数．考点三：区间1．区间概念(a，b为实数，且a<b)定义名称符号数轴表示{x|a≤x≤b}闭区间[a，b]{x|a<x<b}开区间(a，b){x|a≤x<b}半开半闭区间[a，b){x|a<x≤b}半开半闭区间(a，b]2.其他区间的表示定义R{x|x≥a}{x|x>a}{x|x≤a}{x|x<a}区间(－∞，＋∞)[a，＋∞)(a，＋∞)(－∞，a](－∞，a)考点四：函数的表示方法考点五：分段函数1．一般地，分段函数就是在函数定义域内，对于自变量x的不同取值范围，有着不同的对应关系的函数．2．分段函数是一个函数，其定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的并集；各段函数的定义域的交集是空集．3．作分段函数图象时，应分别作出每一段的图象．【题型归纳】题型一：函数定义的判断1．（2022·全国·高一课时练习）给出下列说法：①函数值域中的每一个数都有定义域中的一个数与之对应；②函数的定义域和值域一定都是无限集；③若函数的定义域中只有一个元素，则值域中也只有一个元素；④对于任意的一个函数，如果x不同，那么y的值也不同；⑤表示当时，函数的值，这是一个常量．其中说法正确的个数为（

）A．1 B．2 C．3 D．42．（2022·全国·高一）下列图形中，不能表示以为自变量的函数图象的是（

）A．B．C． D．3．（2021·江苏淮安·高一期中）设集合.下列四个图象中能表示从集合到集合的函数关系的有（

）①②③④A．3个 B．2个 C．1个 D．0个题型二：区间的表示4．（2022·全国·高一专题练习）下列集合不能用区间的形式表示的个数为（

）①；②；③；④；⑤；⑥．A．2 B．3 C．4 D．55．（2021·全国·高一专题练习）已知为一确定区间，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．6．（2021·广东·中山中学高一期中）集合用区间表示为（

）A． B．C． D．题型三：具体函数的定义域7．（2022·山东·临沂二十四中高一阶段练习）函数的定义域是（

）A． B． C． D．8．（2022·全国·高一单元测试）函数的定义域是（

）A． B． C． D．9．（2022·全国·高一单元测试）函数的定义域为（

）A． B．C．且 D．且题型四：抽象函数的定义域10．（2022·全国·高一单元测试）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（

）A． B． C． D．11．（2021·全国·高一课时练习）已知的定义域为，则的定义域为

（

）A． B． C． D．12．（2022·全国·高一专题练习）已知函数的定义域为，则函数的定义域为(

)A． B． C． D．题型五：求函数的值域13．（2022·全国·高一课时练习）已知函数f(x)，，则函数的值域是（

）A． B． C． D．14．（2022·全国·高一课时练习）函数在区间上的值域为（

）A． B．C． D．15．（2022·全国·高一课时练习）下列函数中，值域为的是（

）A． B． C． D．题型六：复杂（根式、分式）函数的值域16．（2022·全国·高一课时练习）函数的值域是（

）A． B．C． D．17．（2021·陕西·武功县普集高级中学高一阶段练习）函数y的值域是（）A．（﹣∞，+∞） B．（﹣∞，）∪（，+∞）C．（﹣∞，）∪（，+∞） D．（﹣∞，）∪（，+∞）18．（2021·全国·高一课时练习）函数的最大值与最小值的和是（

）A． B． C． D．题型七：函数相等问题19．（2022·天津南开·高一期末）下列各组函数是同一函数的是（

）①与；

②与；③与；

④与A．①② B．①③ C．③④ D．①④20．（2022·全国·高一专题练习）下面各组函数中是同一函数的是（

）A．与B．与C．与D．与21．（2022·全国·高一单元测试）在下列四组函数中，与表示同一函数的是（

）A．， B．，C．， D．，题型八：已知函数类型求解析式（待定系数法）22．（2022·全国·高一课时练习）设为一次函数，且．若，则的解析式为（

）A．或 B．C． D．23．（2022·全国·高一课时练习）已知二次函数满足，则（）A．1 B．7 C．8 D．1624．（2022·全国·高一课时练习）已知为二次函数,且满足,,则的解析式为（

）A． B．C． D．题型九：换元法求函数解析式25．（2022·浙江·温州市第二十二中学高一开学考试）已知，则的解析式为（

）A． B．C． D．26．（2022·全国·高一课时练习）若函数，且，则实数的值为（

）A． B．或 C． D．327．（2021·重庆南开中学高一阶段练习）若，则的解析式为（

）A． B．C． D．题型十：分段函数中的问题28．（2021·江苏宿迁·高一期中）设函数，则满足的x的取值范围是（

）A． B．C． D．29．（2021·全国·高一专题练习）已知函数的值域是，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．30．（2021·新疆·乌鲁木齐市第四中学高一期中）已知函数的值域为R，那么实数a的取值范围是（

）A． B． C． D．【双基达标】一、单选题31．（2022·全国·高一专题练习）函数符号表示（

）A．y等于f与x的乘积 B．一定是一个式子C．y是x的函数 D．对于不同的x，y也不同32．（2022·江苏·高一单元测试）已知函数，若，则（

）A． B．6 C． D．33．（2022·全国·高一课时练习）已知函数，则函数的解析式为（

）A． B．C． D．34．（2022·全国·高一课时练习）已知函数，则的解集为（

）A． B．C． D．35．（2022·全国·高一专题练习）若函数的定义域为，则的范围是（

）A． B． C． D．36．（2022·全国·高一课时练习）求下列函数的定义域.(1)；(2).37．（2022·全国·高一课时练习）（1）已知是二次函数，且满足，，求函数的解析式；（2）已知，求函数的解析式；（3）已知是R上的函数，，并且对任意的实数x，y都有，求函数的解析式.【高分突破】一：单选题38．（2022·内蒙古赤峰·高一期末（理））设的定义域为R，且满足，，若，则（

）A．2023 B．2024 C．3033 D．303439．（2022·全国·高一课时练习）已知函数若，且，则（

）A． B．0 C．1 D．240．（2022·全国·高一专题练习）下列四组函数中，表示相同函数的一组是（

）A．，B．，C．，D．，41．（2022·全国·高一专题练习）已知函数，关于函数的结论正确的是（

）A． B．的值域为C．的解集为 D．若，则x的值是1或42．（2021·吉林油田高级中学高一开学考试）已知函数对任意x，，总有，若，则（

）A．－3 B．－2 C．－1 D．043．（2022·广东·化州市第三中学高一阶段练习）已知函数y＝f（x＋1）定义域是[－2，3]，则y＝f（x－2）的定义域是（）A．[1，6] B．[－1，4] C．[－3，2] D．[－2，3]44．（2022·全国·高一专题练习）已知函数，若，则（

）A． B． C． D．二、多选题45．（2022·全国·高一单元测试）下列函数中，与函数不是同一个函数的是（

）A． B． C． D．46．（2022·全国·高一课时练习）（多选）下列各组函数表示同一个函数的是（

）A．，B．，C．，D．，47．（2022·全国·高一课时练习）下列函数中，值域为的是（

）A． B． C． D．48．（2022·全国·高一单元测试）已知函数在区间上是减函数，则整数a的取值可以为（

）A． B． C．0 D．149．（2022·全国·高一课时练习）下列说法正确的是（

）A．若的定义域为，则的定义域为B．函数的值域为C．函数的值域为D．函数在上的值域为50．（2022·全国·高一单元测试）已知函数关于函数的结论正确的是（

）A．的定义域为R B．的值域为C．若，则x的值是 D．的解集为51．（2022·重庆九龙坡·高一期末）德国者名数学家狄克雷（Dirichlet，1805~1859）在数学领域成就显著.19世纪，狄利克雷定义了一个“奇怪的函数“，其中R为实数集，Q为有理数集.则关于函数有如下四个命题，正确的为（

）A．对恒成立B．对，都存在，使得C．若，则D．存在三个点，使得为等边三角形三、填空题52．（2022·全国·高一课时练习）已知函数的定义域为，则函数的定义域为______.53．（2022·全国·高一课时练习）已知，则的值域为______.54．（2022·全国·高一专题练习）已知函数f（x）的值域是[0，+∞），则实数m的取值范围是__．55．（2022·全国·高一课时练习）已知函数，则______.四、解答题56．（2022·全国·高一）作出下列函数的图象：(1)；(2)．57．（2022·全国·高一单元测试）（1）已知，求的解析式；（2）已知，求函数的解析式；（3）已知是二次函数，且满足，，求函数的解析式；（4）已知，求的解析式．58．（2022·全国·高一单元测试）求下列函数的值域：(1)；(2)(3)；(4)．【答案详解】1．B【分析】利用函数的定义域和值域定义判断①②③的真假，利用函数值的定义判断④⑤的真假.【详解】解：函数值域中的每一个数都有定义域中的一个或多个数与之对应，故①不正确；函数的定义域和值域不一定都是无限集，故②不正确；根据函数的定义，可知③正确；对于任意一个函数，如果x不同，那么y的值可能相同，也可能不同，故④不正确；由函数值的定义，可知⑤正确.故选：B．2．B【分析】根据函数的定义判断即可.【详解】B中，当时，有两个值和对应，不满足函数y的唯一性，A，C，D满足函数的定义，故选：B3．B【分析】根据函数的定义判断．【详解】A中中的没有对应的象，不符合；B符合函数定义，C也符合函数定义，D中对于的有两个象与之对应，不符合．所以有2个满足．故选：B．4．D【分析】根据区间的概念及区间形式可以表示连续数集，是无限集，逐个判断即可得出结论.【详解】区间形式可以表示连续数集，是无限集①②是自然数集的子集，③是空集为有限集，都不能用区间形式表示，④是图形的集合，不是数集，等边三角形组成的集合．⑥Q是有理数，数轴上大于1的有理数不是连续的，故只有⑤可以，区间形式为，故答案为：D.5．A【分析】依题意得，解不等式即可求解．【详解】因为为一确定区间，则故选：A6．B【解析】按照区间的定义写出区间即可.【详解】解：集合或用区间表示为：.故选：B.7．C【分析】函数定义域满足，求解即可【详解】由题，函数定义域满足，解得.故选：C8．B【分析】使解析式有意义，解不等式组即可.【详解】依题意且，所以函数的定义域是．故选：B．9．D【分析】根据函数解析式有意义的要求列不等式求函数定义域.【详解】由函数解析式有意义可得且，所以函数的定义域是且，故选：D.10．C【分析】根据抽象函数的定义域的求解，结合具体函数单调性的求解即可.【详解】因为函数的定义域为，所以的定义域为.又因为，即，所以函数的定义域为.故选：C.11．C【分析】由求出的范围，然后可得答案.【详解】因为的定义域为，所以，所以，所以的定义域为．故选：C12．B【分析】根据函数的定义域求出的范围，结合分母不为0求出函数的定义域即可．【详解】由题意得：，解得：，由，解得：，故函数的定义域是，故选：B．13．D【分析】根据二次函数的对称轴和端点处的值即可求解值域.【详解】,对称轴,当,又因为,所以函数的值域为.故选:D14．C【分析】利用二次函数的性质进行求解即可.【详解】，因此该函数的对称轴为：，因为，所以当时，函数有最小值，最小值为，而，所以最大值为，因此值域为，故选：C15．B【分析】逐项判断函数值域，即可得到正确选项.【详解】对于,，故A不正确；对于，，故B正确;对于，故C不正确；对于，，故D不正确；故选：B16．C【分析】将函数分离常数后可直接求解.【详解】，从而可知函数的值域为.故选：C17．D【分析】分离常数即可得出，从而得出，进而得出该函数的值域．【详解】解：，∴y，∴该函数的值域为．故选：D．18．B【分析】令，可得，可知关于的方程有解，分、两种情况讨论，结合已知条件可求得的取值范围，即可得解.【详解】设，则有，当时，代入原式，解得．当时，，由，解得，于是的最大值为，最小值为，所以函数的最大值与最小值的和为．故选：B.19．C【分析】利用两函数为同一函数则定义域和对应法则要相同，逐项分析即得.【详解】①与的定义域是，而，故这两个函数不是同一函数；②与的定义域都是，，这两个函数的定义域相同，对应法则不同，故这两个函数不是同一函数；③与的定义域是，并且，对应法则也相同，故这两个函数是同一函数；④与是同一函数；所以是同一函数的是③④.故选：C.20．C【分析】分别分析各个选项中函数的定义域，值域和对应关系，即可得出答案.【详解】A．函数的定义域为，，两个函数的对应法则不相同，不是同一函数，B．，定义域为，函数的定义域不相同，不是同一函数C．两个函数的定义域和对应法则相同，是同一函数D．由得得，由得或，两个函数的定义域不相同，不是同一函数，故选：C．21．B【分析】根据题意，先看函数的定义域是否相同，再观察两个函数的对应法则是否相同，即可得到结论.【详解】对于A中，函数的定义域为，而函数的定义域为，所以两个函数不是同一个函数；对于B中，函数的定义域和对应法则完全相同，所以是同一个函数；对于C中，函数的定义域为，而函数的定义域为，所以两个函数不是同一个函数；对于D中，函数的定义域为，而函数的定义域为，所以不是同一个函数，故选：B22．B【分析】设，根据已知条件可得出关于、的方程组，解出这两个未知数的值，再结合可得出、的值，即可得出函数的解析式.【详解】设，其中，则，所以，，解得或.当时，，此时，合乎题意；当时，，此时，不合乎题意.综上所述，.故选：B.23．B【分析】采用待定系数法先求解出的解析式，然后即可计算出的值.【详解】设，因为，所以，化简可得：，所以，所以，所以，所以，所以，故选：B.24．A【分析】设出二次函数的解析式,结合已知利用待定系数法可以求出的解析式.【详解】设,因为,所以.又,所以有,解得.故选：A【点睛】本题考查了用待定系数法求二次函数解析式,考查了数学运算能力.25．C【分析】将已知解析式配方，可得，再通过换元法求得解析式．【详解】因为令，所以所以故选：C.26．B【分析】令，配凑可得，再根据求解即可【详解】令（或），，，，.故选；B27．C【分析】利用换元法，令，则，，可求出的解析式，从而得出的解析式.【详解】解：已知，令，则，，，.故选：C.28．B【分析】化简函数解析式，分区间讨论化简不等式求其解.【详解】∵

，∴

，当且时，不等式可化为，∴，当且时，不等式可化为，∴满足条件的不存在，当且时，不等式可化为，∴满足条件的不存在，当且时，不等式可化为，∴，∴满足的x的取值范围是，故选：B.29．B【分析】先求出当时，的值域为.由题意可知，当时，有解，此时，所以，故，然后根据的单调性对分和两种情况进行讨论即可求解.【详解】解：由题意，当时，，又函数的值域是，当时，有解，此时，所以，所以，当时，在上单调递减，在上单调递增，又，①若，则，所以，此时，符合题意；②若，则，所以，要使，只须，即；综上，.故选：B.30．B【分析】先求出函数的值域，而的值域为，进而得，由此可求出的取值范围.【详解】解：因为函数的值域为，而的值域为，所以函数的值域包含,所以，解得，故选：B31．C【分析】直接根据函数定义可判断.【详解】符号，即“是的函数”的数学表示，它仅仅是函数符号，不是表示“等于与的乘积”也不一定是解析式，可以是图象、表格，也可以是文字叙述，故A、B错误；当时，或时，，故D错误.故选：C32．D【分析】分析函数的单调性，结合已知条件可得出关于的等式，求出的值，代值计算可得的值.【详解】因为，所以，函数在和上均为增函数，因为，所以，可得，由题意可得，即，解得，合乎题意，所以，.故选：D.33．A【分析】利用配凑法（换元法）计算可得.【详解】解：方法一（配凑法）∵，∴.方法二（换元法）令，则，∴，∴.故选：A34．B【分析】根据分段函数解析式分类讨论，分别求出不等式的解集，最后取并集.【详解】解：当时，，则可化为，解得，又，所以.当时，，则可化为，解得，又，所以.综上，.故选：B.35．A【分析】根据给定条件，可得，再分类讨论求解作答.【详解】依题意，，成立，当时，成立，即，当时，，解得，因此得，所以的范围是.故选：A36．(1)(2)【分析】根据函数解析式，分别列出不等式，解出即可.（1）要使该函数有意义，只需，解得，且，所以该函数的定义域为:（2）要使该函数有意义，只需，解得，且，所以该函数的定义域为:37．（1）；（2）；（3）.【分析】（1）待定系数法：先设含待定系数的解析式，再利用恒等式的性质或将已知条件代入，建立方程（组），通过解方程（组）求出相应的待定系数.（2）方程组法：已知关于与的表达式，构造出另外一个等式，通过解方程组求出.（3）特殊值法（赋值法）：通过取特殊值代入题设中的等式，使抽象的问题具体化、简单化，求出解析式.【详解】（1）设，由得：c＝1.由得：，整理得，∴，则，∴.（2）∵，①∴，②②×2－①得：，∴.（3）令，则，∴.38．A【分析】根据函数的性质由，可得【详解】因为，，所以，由得，所以，，即，所以所以.故选：A.39．C【分析】根据函数的解析式求出，结合即可求出，进而得出结果.【详解】由题意知，，又，所以，所以，解得.故选：C40．C【分析】根据相同函数的判断原则进行定义域的判断即可选出答案.【详解】解：由题意得：对于选项A：的定义域为，的定义域为，所以这两个函数的定义域不同，不表示相同的函数，故A错误；对于选项B：的定义域为，的定义域为，所以这两个函数的定义域不同，不表示相同的函数，故B错误；对于选项C：的定义域为，的定义域为，这两函数的定义域相同，且对应关系也相同，所以表示相同的函数，故C正确；对于选项D：的定义域为，的定义域为或，所以这两个函数的定义域不同，不表示相同的函数，故D错误.故选：C41．B【分析】根据函数解析式，画出函数图象，结合图象一一判断即可；【详解】解：因为，函数图象如下所示：由图可知，故A错误；的值域为，故B正确；由解得，故C错误；，即，解得，故D错误；故选：B42．A【分析】根据题设抽象函数的递推关系求函数值即可.【详解】由题设，．故选：A．43．A【分析】根据定义域的定义求解即可.【详解】由题意知，－2≤x≤3，∴－1≤x＋1≤4，∴－1≤x－2≤4，得1≤x≤6，即y＝f（x－2）的定义域为[1，6]；故选：A.44．A【分析】根据分段函数，分，，由求解.【详解】因为函数，且，当时，，即，解得或，当时，，无解，综上：，所以，故选：A45．ACD【分析】根据两函数定义域相同且解析式一致即为相等函数，一一判断即可.【详解】解：的定义域为．对于A，的定义域为，与的定义域不同，不是同一函数；对于B，定义域为，与定义域相同，对应关系相同，是同一函数；对于C，的定义域为，与定义域不同，不是同一函数；对于D，，与的对应关系不同，不是同一函数．故选：ACD．46．AD【分析】通过判断函数的定义域、对应关系是否相同来判断是否是同一个函数.【详解】对于选项A，，两个函数的定义域均为，且，所以对应关系也相同，所以是同一个函数，故A正确；对于选项B，，两个函数的对应关系不相同，所以不是同一个函数，故B错误；对于选项C，的定义域为，的定义域为，定义域不同，不是同一个函数，故C错误；对于选项D，，两个函数的定义域均为R，对应关系也相同，是同一个函数，故D正确．故选：AD.47．BC【分析】可以求出选项A函数的值域为，选项D函数的值域为，选项BC函数的值域为，即得解.【详解】解：A.函数的值域为，所以该选项不符合题意；B.因为，所以函数的值域为，所以该选项符合题意；C.因为，所以函数的值域为，所以该选项符合题意；D.函数的值域为，所以该选项不符合题意.故选：BC48．AB【分析】依题意函数在各段上单调递减，且在断点左边的函数值不小于右边的函数值，即可得到不等式组，解得即可；【详解】解：由题意可得，解得，∴整数a的取值为或．故选：AB49．AC【分析】根据抽象函数的定义域的求解判断A；利用分离常数化简函数解析式，结合反比型函数的值域判断B；利用换元法，结合二次函数的性质求得其值域，判断C；利用配方法，结合二次函数的性质判断D.【详解】对于A，因为的定义域为，所以，解得，即的定义域为，故A正确；对于B，，所以，即函数的值域为，故B不正确；对于C，令，则，，所以，，所以当时，该函数取得最大值，最大值为，所以函数的值域为，故C正确；对于D，，其图象的对称轴为直线，且，，所以函数在上的值域为，故D不正确．故选：AC．50．BC【分析】求出分段函数的定义域可判断A；求出分段函数的值域可判断B；分、两种情况令求出可判断C；分、两种情况解不等式可判断D.【详解】函数的定义域是，故A错误；当时，，值域为，当时，，值域为，故的值域为，故B正确；当时，令，无解，当时，令，得到，故C正确；当时，令，解得，当时，令，解得，故的解集为，故D错误．故选：BC．51．BCD【分析】根据题中所给的函数的解析式，结合实数的性质逐一判断即可.【详解】A：当时，显然，而，，所以不成立，故本选项不正确；B：当时，，因为有理数加上一个有理数得到的和仍是有理数，所以时，都存在，使得；当时，，因为一个无理数与一个有理数的和还是无理数，所以当时，都存在，使得，所以本选项正确；C：当时，，所以此时，，显然成立；当时，，所以此时，，显然成立，因此本选项正确；D：当三个数都不是有理数时，它们都是无理数，则有，此时三点共线，不构成三角形；当三个数都是有理数时，此时，因此三点共线，构不成三角形；当三个数有二个数是有理数时，不妨设是有理数，则为无理数，所以有，当三角形是等边三角形时，有，显然，于是有，两个有理数的和不可能是无理数，所以构不成等边三角形；当三个数有一个数是有理数时，不妨设是有理数，则为无理数，所以有，当三角形是等边三角形时，有，显然