2.1 命题、定理、定义-2022-2023学年高一数学《考点•题型•技巧》精讲与精练高分突破系列（苏教版2019必修第一册）

2.1命题、定理、定义【题型归纳】题型一：命题的概念1．（2022·江苏·高一专题练习）唐代诗人王维，字摩诘，在后世有“诗佛”之称，北宋苏轼评曰“味摩诘之诗，诗中有画；观摩诘之画，画中有诗.”在王维《相思》这首诗中，哪一句可以作为命题（

）A．红豆生南国 B．春来发几枝 C．愿君多采撷 D．此物最相思2．（2022·全国·高一专题练习）下列不是命题的是（

）A． B．三角形中最多只有一个内角是钝角C． D．平面内垂直于同一条直线的两条直线平行3．（2022·江苏·高一专题练习）下列语句中是命题的个数（

）①“等边三角形难道不是等腰三角形吗？”；②“平行于同一条直线的两条直线必平行吗？”；③“一个数不是正数就是负数”；④“为有理数，则，也都是有理数”；⑤“作”．A． B． C． D．题型二：命题的否命题、逆命题，逆否命题及其真假4．（2022·江苏·高一专题练习）已知集合，记原命题：“x∈P，则x∈Q”，那么，在原命题及其逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为（

）A．0 B．1 C．2 D．45．（2020·全国·高一期末）原命题：“设a、b、c∈R，若a＞b，则ac2＞bc2”，以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题共有（

）A．0个 B．1个 C．2个 D．4个6．（2021·全国·高一课时练习）对原命题“若，则且”的判断：（1）原命题真，逆命题假；（2）逆命题真，原命题假；（3）否命题真，逆否命题假；（4）逆命题假，逆否命题真．其中正确的是（

）．A．（1）（2） B．（2）（3） C．（3）（4） D．（1）（4）题型三：原命题和逆否命题的等价性7．（2015·上海中学高一期中）已知命题：“若，则关于x的不等式的解集为空集”，那么它的逆命题，否命题，逆否命题，以及原命题中，假命题的个数是（）A．0 B．2 C．3 D．48．（2018·上海黄浦·高一期中）对于某个与正整数n有关的命题P,若时命题P成立可以推得时命题Р成立,则下列命题中必为真命题的是（

）A．若时命题P不成立,则时命题P不成立；B．若时命题P不成立,则时命题P不成立；C．若时命题P不成立,则时命题P不成立；D．若时命题P不成立,则时命题P不成立．9．（2021·江苏·高一期中）十七世纪，法国数学家费马提出猜想；“当整数时，关于、、的方程没有正整数解”，经历三百多年，1995年英国数学家安德鲁怀尔斯给出了证明，使它终成费马大定理，则下面命题正确的是（

）①对任意正整数，关于、、的方程都没有正整数解；②当整数时，关于、、的方程至少存在一组正整数解；③当正整数时，关于、、的方程至少存在一组正整数解；④若关于、、的方程至少存在一组正整数解，则正整数；A．①② B．①③ C．②④ D．③④题型四：已知命题的真假求参数10．（2022·江苏·高一专题练习）给出命题：方程没有实数根，若该命题为真命题，则的一个值可以是（

）A．4 B．2 C．0 D．11．（2022·江苏·高一专题练习）若“方程有两个不相等的实数根”是真命题，则的取值范围是_________.12．（2022·河南省叶县高级中学高一阶段练习）已知命题：关于的方程有两个不相等的实数根．(1)若是真命题，求实数的取值集合；(2)在（1）的条件下，集合，若，求实数的取值范围．题型五：与命题有关的综合性问题13．（2022·全国·高一专题练习）已知，：关于的方程有实数根.（1）若为真命题，求实数的取值范围；（2）若p为真命题，q为假命题，求实数的取值范围.14．（2022·全国·高一专题练习）给定两个命题，p：对于任意实数都有恒成立；q：关于的方程有实数根；（1）若p为真命题，求实数a的取值范围；（2）如果p与q中至少有一个为真命题，求实数a的取值范围；（3）如果p与q中有且仅有一个为真命题，求实数a的取值范围．15．（2021·江苏·高一专题练习）设命题：对任意，不等式恒成立，命题：存在，使得不等式成立.（1）若为真命题，求实数的取值范围；（2）若为假命题，为真命题，求实数的取值范围.【双基达标】一、单选题16．（2022·全国·高一）下列四个命题中，其中真命题的个数为（

）①与0非常接近的全体实数能构成集合；

②表示一个集合；③空集是任何一个集合的真子集；

④任何一个非空集合至少有两个子集．A．0个 B．1个 C．2个 D．3个17．（2022·全国·高一专题练习）下列命题为假命题的是（

）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则18．（2022·江苏·高一专题练习）命题“在三角形中，大边对大角”改写成“若，则q”的形式为（

）A．在三角形中，若一边较大，则其对的角也较大B．在三角形中，若一角较大，则其对的边也较大C．若一个平面图形是三角形，则其大边对大角D．若一个平面图形是三角形，则其大角对大边19．（2022·江苏·高一单元测试）下列命题为真命题的是（

）A．命题“若，则”的逆命题B．命题“若，则”的否命题C．命题“若，则”的否命题D．命题“若，则”的逆否命题20．（2019·上海市亭林中学高一期中）命题“若，则”的逆否命题是（

）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则21．（2022·上海·高一专题练习）关于的方程，有下列四个命题：甲：是该方程的根；乙：是该方程的根；丙：该方程两根之和为；丁：该方程两根异号．如果只有一个假命题，则该命题是（

）A．甲 B．乙 C．丙 D．丁【高分突破】一、单选题22．（2021·江苏·高一单元测试）甲、乙、丙、丁四人参加数学竞赛，四人在成绩公布前作出如下预测：甲预测说：我不会获奖，丙获奖；

乙预测说：甲和丁中有一人获奖；丙预测说：甲的猜测是对的；

丁预测说：获奖者在甲、乙、丙三人中.成绩公布后表明，四人的预测中有两人的预测与结果相符，另外两人的预测与结果不符已知有两人获奖，则获奖者可能是（

）.A．甲和乙 B．乙和丙 C．甲和丙 D．乙和丁23．（2021·重庆·万州纯阳中学校高一阶段练习）给定下列命题：①“若，则方程”有实数根②若，，则③对角线相等的四边形是矩形④若，则，中至少有一个为0其中真命题的序号是（

）A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④二、多选题24．（2022·全国·高一课时练习）对于命题“若，则”，下面四组关于a，b的值中，能说明这个命题是假命题的是（

）A．， B．， C．， D．，25．（2022·江苏·高一专题练习）下列命题是假命题的为（

）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则26．（2022·江苏·高一专题练习）下列说法中，以下是真命题的是（

）．A．存在实数，使B．所有的素数都是奇数C．至少存在一个正整数，能被5和7整除.D．三条边都相等的三角形是等边三角形27．（2022·江苏·高一专题练习）给出以下四个命题，其中真命题是:（

）A．命题“若互为相反数，则”B．命题“两个全等三角形的面积比等于周长比的平方”C．命题“若，则有实根”D．命题“若是正整数，则都是正整数”28．（2021·广东·惠州市光正实验学校高一期中）已知集合，，则下列命题中正确的是（

）A．若，则 B．若，则C．若，则或 D．若时，则或三、填空题29．（2022·全国·高一课时练习）已知下列三个论断：①a是正数，②b是负数，③是负数．选择其中两个作为条件，一个作为结论，写出一个真命题：__________________．30．（2022·全国·高一课时练习）若a、b、c、d是实数，则下列是真命题的是______.（填所有真命题的序号）①如果，且，那么；②若果，那么或；③如果，那么；④如果，那么，其中n是正整数.31．（2021·江苏·高一单元测试）关于的方程，给出下列结论：①是该方程的根；②是该方程的根；③该方程两根之和为2；④该方程两根异号.以上四个结论有且仅有一个结论是错误的.则______.32．（2020·江苏·高一课时练习）设原命题：“若，则中至少有一个不大于”，则①逆命题是“若中至少有一个不大于，则”②否命题是“若，则中至少有一个大于”③逆否命题是“若中至少有一个不大于，则”则叙述正确的命题序号为___．33．（2021·江苏·高一专题练习）设表示不大于的最大整数，则对任意实数，给出以下四个命题：①；

②；③；④.则假命题是______(填上所有假命题的序号).四、解答题34．（2022·全国·高一课时练习）把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断命题的真假．(1)等腰三角形底边上的中线垂直于底边并且平分顶角；(2)当时，或；(3)已知x，，当时，，．35．（2022·江苏·高一专题练习）判断下列命题的真假，并说明理由：(1)若，是任意实数，则；(2)若，是实数且，则；(3)若，则有两个不相等的实数根；(4)若有两个不相等的实数根，则实数．36．（2022·全国·高一）已知命题p：实数满足或．命题：实数满．若命题是真命题，命题是假命题，求实数的取值范围．【答案详解】1．A【详解】对于A选项，“红豆生南国”是陈述句，所述事件在唐代是事实，所以，本句为命题；对于B选项，“春来发几枝”是疑问句，不是命题；对于C选项，“愿君多采撷”是祈使句，不是命题；对于D选项，“此物最相思”是感叹句，不是命题.故选：A.2．C【详解】能判断真假的陈述句为命题对A，集合是本身的子集，故A是假命题；对B，三角形中最多只有一个内角是钝角是真命题；对C，不能判断真假，故不是命题；对D，平面内垂直于同一条直线的两条直线平行是真命题．故选：C3．B【分析】根据命题的概念，逐一判断即可．【详解】①不是陈述句，不是命题．②疑问句，没有对平行于同一条直线的两条直线是否平行作出判断，不是命题．③是假命题，既不是正数也不是负数．④是假命题，如，．⑤是祈使句，不是命题．故选：B4．C【分析】先由集合P、Q，判断出PQ，直接判断四种命题的真假即可得到答案.【详解】因为所以PQ，所以原命题“x∈P，则x∈Q”为真命题，则原命题的逆否命题为真命题．原命题的逆命题“x∈Q，则x∈P”为假命题，则原命题的否命题为假命题，所以真命题的个数为2．故选：C.5．C【分析】分别判断原命题和逆命题的真假，再根据命题的等价性判断否命题和逆否命题的真假.【详解】由条件可知，当时，，故原命题不正确，根据命题的等价性可知，逆否命题也不正确，逆命题是：“设a、b、c∈R，若，则”，由，可知，根据不等式的性质可知，故逆命题正确，那么否命题也正确.故选：C6．B【分析】首先写出命题的否命题、逆命题、逆否命题，再判断真假，【详解】解：原命题：若，则且逆命题为：若且，则否命题为：若，则或逆否命题为：若或，则显然原命题为假命题，逆命题为真命题，根据互为逆否命题的两命题同真假，可得否命题为真命题，逆否命题为假命题，故正确的有（2）（3）故选：B【点睛】本题考查四种命题以及四种命题的真假关系，属于基础题.7．B【分析】根据不等式的解集是空集求出对应的等价条件，然后根据四种命题之间的关系利用逆否命题的真假关系进行判断即可【详解】若的解集为空集，当，即时，当，则不等式等价为得，解集不是空集，不满足条件．当，则不等式等价为，解得集合为空集，满足条件．若，若不等式的解集是空集，则且，即且，所以，即不等式的解集为空集的等价条件为，即原命题等价为若，则，即原命题成立，则命题的逆否命题为真命题，原命题的逆命题等价为若，则，则逆命题为假命题，则命题的否命题为假命题，故四种命题中假命题的个数为2个．故选B【点睛】本题考查四种命题真假的判断，需掌握原命题与逆否命题是“同真同假”，属于基础题．8．C【分析】根据题意可得当时命题Р不成立,则有时命题P不成立,据此对四个选项逐一判断即可.【详解】选项A：当时,则命题Р不成立,不能判断是否成立,故本命题是假命题；选项B：当时,则命题Р不成立,不能判断是否成立,故本命题是假命题；选项C：因为当时,,当时,有,所以本命题是真命题；选项D：根据选项C的分析可真本命题是假命题.故选：C【点睛】本题考查了命题的等价命题,考查了数学推理能力.9．D【分析】根据题意分析①②③④与原命题的关系,依据命题之间的关系及用特殊值法来判断真假即可【详解】由题,将费马大定理写为“若,则”的形式为“若当整数时,则关于、、的方程没有正整数解”,为真命题；则其命题的否定为：当整数时，关于、、的方程至少存在一组正整数解,应为假命题,故②错误；其逆否命题为：若关于、、的方程至少存在一组正整数解，则正整数,应为真命题,故④正确；其否命题为：当正整数时，关于、、的方程至少存在一组正整数解,但时,若、、分别为3、4、5,显然成立,命题为真,故③正确；由③正确可得到,①显然错误；故选D【点睛】本题考查命题的四种关系,考查命题真假的判定,考查全称命题,考查特殊值法解决问题10．C【分析】根据根的判别式求出的范围，在选项中选出符合条件的值即可【详解】解：由方程无实数根得，应满足，解得，故当时符合条件.故选;：C.【点睛】本题考查根据命题的真假求参数问题，是简单题.11．且.【分析】首先保证二次项系数不为零，再根据判别式求解.【详解】解析由题意知,解得：且.故答案为：且.【点睛】本题考查根据命题的真假求参数的取值范围问题，比较简单,只要列出满足原命题为真的条件式求解即可.12．(1)(2)【分析】（1）依题意，解得即可；（2）依题意可得，分和两种情况讨论，分别得到不等式（组），即可求出参数的取值范围；（1）解：若是真命题，则，解得，则；（2）解：因为，所以，当时，由，解得，此时，符合题意；当时，则有，解得，综上所述，的取值范围为．13．（1）；（2）【分析】（1）利用一元二次方程根的判别式，可列出不等式，求解即可得出答案；（2）根据真假，可列出关于的不等式，进而可求出答案.【详解】（1）∵关于的方程有实数根，∴，即，∴若q为真命题，实数a的取值范围为：.（2）∵为真命题，为假命题，∴，解得.∴.14．（1）；（2）；（3）【分析】（1）根据p为真，对进行分类讨论，即可求出a的取值范围；（2）先根据为真命题，求出的范围，再根据p与q都是假命题，求出的取值范围，再求出补集即可；（3）若p与q中有且仅有一个为真命题，则一真一假，即可求出的取值范围.【详解】解：（1）若p为真命题，即对于任意实数都有恒成立，当时，满足题意，当时，则，解得：，综上所述：；（2）若为真命题，即关于的方程有实数根，则，解得：，若p与q都是假命题，则，解得：，若p与q中至少有一个为真命题，则；（3）若p与q中有且仅有一个为真命题，则或，解得：或，综上所述：.15．（1）；（2）或.【分析】（1）p为真命题时，任意，不等式恒成立可转化为，求解即可（2）根据且、或命题的真假，确定，一真一假，结合（1），再化简命题q,即可求出的取值范围.【详解】对于：成立，而，有，∴，∴.：存在，使得不等式成立，只需，而，∴，∴；（1）若为真，则；（2）若为假命题，为真命题，则，一真一假.若为假命题，为真命题，则，所以；若为假命题，为真命题，则，所以.综上，或.【点睛】本题主要考查了命题的真假，且、或命题，不等式恒成立、存在性问题，属于中档题.16．C【分析】根据集合定义，空集性质以及非空集合子集个数为即可得结果.【详解】①与0非常接近的全体实数不确定，所以不能构成集合，错误；②，正确；③空集是任何非空集合的真子集，错误；④对于非空集合，至少有一个元素，所以子集的个数为，正确.故选：C17．D【详解】易知A，B，C均为真命题．对于D，当，，时，，但，D为假命题．故选：D．18．A【分析】根据命题的条件和结论进行改写即可.【详解】命题的大前提是“在三角形中”，条件是“大边”，结论是“对大角”.故选:A.19．A【分析】根据四种命题的关系写出相应命题再判断真假．也可利用逆否命题同真假的性质判断．【详解】命题“若，则”的逆命题是若，则，由于，因此为真命题；命题“若，则”的否命题是若，则，这是假命题，如时，；命题“若，则”的否命题是若，则，是假命题，如时，，命题“若，则”本身是假命题，如时，，但，其逆否命题也是假命题．故选：A．20．C【分析】根据逆否命题的定义，易求出命题的逆否命题.【详解】解：将命题的条件与结论交换，并且否定可得逆否命题，即命题“若，则”的逆否命题是若“，则”.故选：C．21．A【解析】对甲、乙、丙、丁分别是假命题进行分类讨论，分析各种情况下方程的两根，进而可得出结论.【详解】若甲是假命题，则乙丙丁是真命题，则关于的方程的一根为，由于两根之和为，则该方程的另一根为，两根异号，合乎题意；若乙是假命题，则甲丙丁是真命题，则是方程的一根，由于两根之和为，则另一根也为，两根同号，不合乎题意；若丙是假命题，则甲乙丁是真命题，则关于的方程的两根为和，两根同号，不合乎题意；若丁是假命题，则甲乙丙是真命题，则关于的方程的两根为和，两根之和为，不合乎题意.综上所述，甲命题为假命题.故选：A.【点睛】关键点点睛：本题考查命题真假的判断，解题的关键就是对甲、乙、丙、丁分别是假命题进行分类讨论，结合已知条件求出方程的两根，再结合各命题的真假进行判断.22．C【分析】从四人的描述语句可以看出，甲和丙的说法要么同时与结果相符，要么同时与结果不符，再对乙、丁的说法进行判断.【详解】∵“甲预测说：我不会获奖，丙获奖”，而“丙预测说：甲的猜测是对的”∴甲和丙的说法要么同时与结果相符，要么同时与结果不符.若甲和丙的说法要么同时与结果相符，则丁的说法也对，这与“，四人的预测中有两人的预测与结果相符，另外两人的预测与结果不符已知有两人获奖，”相矛盾，故错误；若甲和丙的说法与结果不符，则乙、丁的预测成立所以甲获奖，丁不获奖；丙获奖，乙不获奖.故选：C【点睛】真假语句的判断需要结合实际情况，作出合理假设，进行有效论证.23．B【分析】①中：时，，方程”有实数根；②中：由不等式的性质知，是真命题；③中：如等腰梯形对角线相等，但不是矩形；④中：若，则，中至少有一个为0，故可判断正确.【详解】①中，故为真命题；②由不等式的性质知，，，则显然是真命题；③如等腰梯形对角线相等，不是矩形，故为假命题；④若，则或，则，中至少有一个为0，为真命题.所以①②④是真命题，故选：B【点睛】本题主要考查了命题真假的判断，属于中档题.24．AD【分析】逐个代入验证，只要满足条件，不满足结论即可说明是假命题.【详解】对于A，当，时，满足，但，能说明命题是假命题，所以A正确，对于B，当，时，满足，，所以不能说明命题是假命题，所以B错误，对于C，当，时，满足，，所以不能说明命题是假命题，所以C错误，对于D，当，时，满足，但，能说明命题是假命题，所以D正确，故选：AD25．BCD【分析】对选项逐一分析，从而确定正确选项.【详解】A选项，若，则，A正确.B选项，若，则，B错误.C选项，时，不能得到，C错误.D选项，，但，D错误.故选：BCD26．ACD【分析】举例证明选项AC正确；举反例否定选项B；依据等边三角形定义判断选项D.【详解】选项A：当时，成立.判断正确；选项B：2是素数，但是2不是奇数.判断错误；选项C：正整数35和70能被5和7整除.判断正确；选项D：三条边都相等的三角形是等边三角形.判断正确.故选：ACD27．ABC【分析】显然AB正确，当时，代入判断，即可判断选项C，取代入计算，即可判断选项D.【详解】显然选项A正确，两个全等三角形的面积比与周长的平方比均为，所以选项B正确；当时，，所以方程有实根，C正确；取，则是正整数，但不是正整数，故D错误.故选：ABC28．ABC【分析】求出集合，根据集合包含关系，集合相等的定义和集合的概念求解判断．【详解】，若，则，且，故A正确.时，，故D不正确.若，则且，解得，故B正确.当时，，解得或，故C正确.故选：ABC．29．若a是正数且是负数，则b是负数．【分析】共有3个命题，只有一个正确的命题，即得解.【详解】解：如果a是正数且是负数，则b一定是负数．故答案为：若a是正数且是负数，则b是负数．30．①【分析】根据等式的性质逐一判断即可.【详解】如果，且，那么由推不出或，如由推不出，如时由推不出，如时故答案为