2.2 基本不等式析训练-2021-2022学年高一数学【考题透析】满分计划系列(人教A版2019必修第一册)

2021-2022学年高一数学【考题透析】满分计划系列(人教A版2019必修第一册)第二章一元二次函数、方程和不等式2.2基本不等式一、单选题1．（2021·全国）已知a>1，b>1，记M＝，N＝，则M与N的大小关系为（）A．M>N B．M＝NC．M<N D．不确定2．（2021·全国高一课时练习）已知，，且，那么（）A． B．C． D．3．（2021·全国高一专题练习）已知x＞0，y＞0，且x+2y＝1，若不等式m2+7m恒成立，则实数m的取值范围是（）A．﹣8≤m≤1 B．m≤﹣8或m≥1 C．﹣1≤m≤8 D．m≤﹣1或m≥84．（2021·全国）若，，且，则的最小值为（）A．2 B． C． D．5．（2021·全国高一单元测试）设，为正实数，则的最小值为（）A．1 B．2 C．3 D．46．（2021·全国高一课时练习）已知a>b>c，若恒成立，则m的最大值为（）A．3 B．4 C．8 D．97．（2021·全国高一课时练习）若0<a<b，则下列不等式一定成立的是（）A．b>>a> B．b>>>aC．b>>>a D．b>a>>8．（2021·全国）设，且，，则（）A．有最大值，无最小值 B．有最大值，有最小值C．无最大值，有最小值 D．无最大值，无最小值9．（2021·全国高一专题练习）某药店有一架不准确的天平（其两臂不等）和一个10克的砝码．一名患者想要20克中药，售货员将砝码放在左盘中，将药物放在右盘中，待平衡后交给患者；然后又将药物放在左盘中，将砝码放在右盘中，待平衡后再交给患者．设两次称量后患者实际得到药物为克，则下列结论正确的是（）．A． B．C． D．以上都可能10．（2021·江苏）已知，，，，且，则下列不等式中，成立的个数有①，②，③，④（）A．1 B．2 C．3 D．411．（2021·全国）若实数，，不等式恒成立，则正实数的最大值为（）A． B． C． D．12．（2021·全国高一课前预习）《几何原本》卷的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明.现有如图所示图形，点在半圆上，点在直径上，且，设，，则该图形可以完成的无字证明为（）A．（，） B．（，）C．（，） D．（，）二、多选题13．（2021·全国高一单元测试）设正实数，满足，则下列结论正确的是（）A．有最小值4 B．有最大值C．有最大值 D．有最小值14．（2021·全国高一课前预习）下列不等式不一定成立的是（）A． B．C． D．15．（2021·全国高一专题练习）下列说法正确的有（）A．的最小值为B．已知，则的最小值为C．若正数、满足，则的最小值为D．设、为实数，若，则的最大值为.16．（2021·全国高一专题练习）下列说法正确的是（）A．若，则函数的最小值为3B．若，则的最小值为5C．若，则的最大值为D．若，则的最小值为117．（2020·江苏高一单元测试）下列关于基本不等式的说法正确的是（）A．若，则的最大值为B．函数的最小值为2C．已知，，，则的最小值为D．若正数数x，y满足，则的最小值是318．（2021·全国高一单元测试）设，则当取最小值时，下列说法正确的是（）．A． B． C． D．三、填空题19．（2021·全国高一单元测试）已知，，，则的最小值为___________.20．（2021·浙江）已知且，则的最小值为___________.21．（2021·全国）某商品进货价每件50元，据市场调查，当销售价格(每件x元)在50<x≤80时，每天售出的件数P＝，若想每天获得的利润最多，则销售价格每件应定为________元．22．（2021·全国高一课时练习）已知对任意，且，恒成立，则的取值范围_______________23．（2021·全国高一课时练习）若对任意满足的正数，都有成立，则实数的取值范围是__________四、解答题24．（2020·江苏高一单元测试）（1）已知，求的最大值．（2）已知，求的最小值．25．（2021·全国高一课时练习）2020年1月，在抗击新型冠状病毒感染的肺炎疫情中，武汉市为了落实“四类人员”分类集中管理措施，迅速启动“方舱医院”建设.某单位决定用募捐的18.8万元把一会展中心（长方体状，高度恒定）改造成方舱医院，假设方舱医院的后墙利用原墙不花钱，正面用一种复合板隔离，每米造价40元，两侧用砖砌墙，每米造价45元，顶部每平方米造价20元.问：（1）改造后方舱医院的面积S的最大值是多少?（2）为使S达到最大，且实际造价又不超过预算，那么正面复合板应设计为多长?26．（2021·全国高一专题练习）（1）已知，则取得最大值时的值为？（2）已知，则的最大值为？（3）函数的最小值为？27．（2021·全国高一专题练习）已知正数、满足.（1）求的最小值；（2）求的最小值；（3）求的最小值.28．（2021·全国高一课时练习）已知，，均为正实数，求证：若，则．参考答案1．A【详解】因为，所以，当且仅当取等号，而，故选：A．2．C【详解】因为，，由基本不等式可得，，上述两个不等式当且仅当时成立，故ABD选项错误，C选项正确.故选：C.3．A【详解】解：∵x＞0，y＞0，x+2y＝1，∴（x+2y）（）4≥4+28．（当，即x＝2y时取等号），∵不等式m2+7m成立，∴m2+7m≤8，求得﹣8≤m≤1．故选：A．4．B【详解】解：若，，且，则，所以，当且仅当，即时，等号成立．故选：B．5．C【详解】解：因为，为正实数，所以，当且仅当，即时取等号，故的最小值为3.故选：.6．D【详解】由，知，，，由，得，又，，当且仅当，即时，取得最小值9，，的最大值为9．故选：．7．C【详解】∵0<a<b，∴2b>a+b，∴b>>.∵b>a>0，∴ab>a2，∴>.故b>>>.故选：C8．C【详解】当无限接近0时，为正数，趋近于正无穷大，所以无最大值，当且仅当即时取等号，即最小值为2故选：C9．A【详解】设天平的左臂长为，右臂长为，且，设第一次第二次分别称得的中药为克，克，则，，从而，当且仅当，即时，等号成立，由于，所以，故选：A.10．C【详解】因，，，，且，于是有：，当且仅当时取“=”，①正确；，当且仅当时取“=”，②正确；时成立，而，③不正确；，当且仅当时取“=”，而，④正确，综上得：①②④共三个正确.故选：C11．D【详解】由得因为，，则令则化为恒成立，由权方和不等式得当且仅当，得即时等号成立．所以故选：D12．D【详解】由图形可知：，，在直角中，由勾股定理可得：，，，．故选:D13．ACD解：因为正实数，满足，所以，当且仅当且，即时取等号，取得最小值4，正确，，当且仅当时取等号，取得最大值，错误，，当且仅当时取等号，取的最大值，正确，，当且仅当时取等号，取得最小值.正确，故选：.14．AD【详解】A项，当x<0时，，∴A错误；B项，，∴B正确；C项，，其中，满足基本不等式的要求，∴C正确；D项，变形为，当x取正数时，不成立，∴D错误.故选：AD15．BCD【详解】对于A选项，当时，，A选项错误；对于B选项，当时，，则，当且仅当时，等号成立，B选项正确；对于C选项，若正数、满足，则，所以，，当且仅当时，等号成立，C选项正确；对于D选项，，所以，，可得，当且仅当时，等号成立，故的最大值为，D选项正确.故选：BCD.16．BC【详解】对于A中，由，可得函数，当且仅当时，即时等号成立，因为，所以等号不成立，所以函数的最小值为不是，所以A不正确；对于B中，由，则，当且仅当时，即时，等号成立，所以的最小值为，所以B正确；对于C中，由，则因为，当且仅当时，即时，等号成立，所以的最大值为，所以C正确；对于D中，由，可得，当且仅当时，等号成立，所以，即，解得，即，所以的最大值为1，所以D不正确.故选：BC.17．AC【详解】因为，所以，，当且仅当即时，等号成立，故A正确；函数，当且仅当，即时，等号成立，故B错误；因为，，，所以，当且仅当，即时，等号成立，故C正确；由可得，，当且仅当，即时等号成立，故D错误.故选：AC18．AC【详解】因为，所以原式当且仅当，即，，时，等号成立，此时，故选：AC．19．【详解】因为，，，所以，由得，，则，所以，，当且仅当，即，时取等号，则的最小值为，故答案为：.20．解：令，，因为，所以，则，，所以,所以，当且仅当，即，，即时取“”，所以的最小值为.故答案为：.21．60【详解】解析设销售价格定为每件x(50<x≤80)元，每天获得利润为y元，则y＝(x－50)·P＝，设x－50＝t，则0<t≤30，所以y＝＝＝≤＝2500，当且仅当t＝10，即x＝60时，ymax＝2500．故答案为：60．22．【详解】因为，，则，，当且仅当，即时，等号成立；因此为使恒成立，只需，故答案为：23．【详解】若对任意满足的正数，都有成立，则，，当且仅当，即时等号成立，所以，所以，即，即，解得或，所以实数x的取值范围是.故答案为：.24．（1）；（2）．【详解】解：（1），当且仅当，即时，等号成立．（2）当且仅当，即时，等号成立．25．（1）8836m2；（2）141m.【详解】（1）设正面复合板长为xm，侧面长为ym，总造价为z元，则方舱医院的面积S=xy，总造价z=40x+2×45y+20xy=40x+90y+20xy.由条件知z≤188000，即4x+9y+2xy≤18800.∵x>0，y>0，∴y≤.令t=9+2x，则x=（t>9），∴S=xy≤==当且仅当，即t=291时等号成立.故S的最大值为8836m2.（2）由（1）知，当S=8836m2时，t=291，t=9+2x，∴x=141，则y=.∴方舱医院的面积S达到最大值8836m2，实际造价又不超过预算时，正面复合板的长应设计为141m.26．（1）；（2）1；（3）【详解】（1），当且仅当，即时，取等号.故所求的值为.（2）因为，所以，则.当且仅当，即时，取等号.故的最大值为1.（3）.当且仅当，即时，取等号.故函数的