1.3 集合的基本运算-2022-2023学年高一数学《考点•题型•技巧》精讲与精练高分突破系列（人教A版2019必修第一册）

1.3集合的基本运算【考点梳理】考点一：并集考点二：交集考点三：全集与补集1．全集(1)定义：如果一个集合含有所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集．(2)记法：全集通常记作U.2．补集自然语言对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，记作∁UA符号语言∁UA＝{x|x∈U，且x∉A}图形语言【题型归纳】题型一：根据交集求集合或者参数问题1．（2022·山西·长治市第四中学校高一期末）已知集合，，则（

）A． B． C． D．2．（2022·全国·高一专题练习）已知集合，，若满足，则的值为(

)A．或5 B．或5 C． D．53．（2022·河南·南阳市第二完全学校高级中学高一阶段练习）已知集合，下列描述正确的是（

）A． B．C． D．以上选项都不对题型二：根据并集求集合或者参数问题4．（2022·河南许昌·高一期末）已知，，则（

）A． B．C． D．5．（2022·贵州毕节·高一期末）已知集合或，，若，则实数a的取值范围是（

）A． B．C． D．6．（2022·江苏·南京师大附中高一期末）设为实数，已知集合，满足，则的取值集合为（

）A． B． C． D．题型三：根据补集运算求集合或者参数问题7．（2022·全国·高一）如图，全集，，，则阴影部分表示的集合为（

）A． B． C． D．8．（2021·陕西·无高一阶段练习）设全集，已知集合．若，则的取值范围为（

）A． B． C． D．9．（2021·广东·佛山市南海区南海中学分校高一阶段练习）设全集，，，则（

）A． B．C． D．题型四：Venn图10．（2022·四川攀枝花·高一期末）设全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合是（

）A． B． C． D．11．（2021·福建省武平县第一中学高一）已知全集，集合，，则如图所示的阴影部分表示的集合是（

）A． B．C． D．12．（2021·徐州市第三十六中学（江苏师范大学附属中学）高一阶段练习）学校举办运动会时，高一（1）班共有28名同学参加比赛，有15人参加径赛，有8人参加田赛，有14人参加球类比赛，同时参加参加径赛和田赛有3人，同时参加径赛和球类比赛有3人，没有人同时参加三项比赛.只参加球类比赛的人数为（

）A．6 B．7 C．8 D．9题型五：集合的交并补集合或参数问题13．（2022·山西·长治市第四中学校高一期末）已知全集，集合，(1)求，；(2)若，，求实数m的取值范围.14．（2022·云南玉溪·高一期末）已知集合，．(1)若，求；(2)在①，②，③，这三个条件中任选一个作为已知条件，求实数的取值范围．15．（2022·全国·高一专题练习）已知集合，或.(1)求，B；(2)若集合，且为假命题.求m的取值范围.【双基达标】一、单选题16．（2022·陕西省安康中学高一期末）已知集合，则（

）A． B． C． D．R17．（2022·浙江衢州·高一阶段练习）已知集合，，则（

）A． B． C． D．18．（2022·贵州六盘水·高一期中）已知全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合为（

）A． B．C． D．19．（2022·全国·高一）设全集，集合，，则实数的值为（

）A．0 B．-1 C．2 D．0或220．（2022·江苏·高一）已知集合，则的子集个数为（

）A．3 B． C．7 D．821．（2022·重庆市巫山大昌中学校高一期末）已知集合，，则（

）A． B． C． D．22．（2022·江苏南通·高一期末）已如集合，，，则（

）A． B． C． D．23．（2022·河南·高一阶段练习）已知集合，，则（

）A． B．C． D．24．（2022·湖北大学附属中学高一阶段练习）集合集合则（

）A． B． C． D．25．（2022·河南新乡·高一期末）某疫情防控志愿者小组有20名志愿者，由党员和大学生组成，其中有15人是党员，有9人是大学生，则既是党员又是大学生的志愿者人数为（

）A．2 B．3 C．4 D．5【高分突破】一：单选题26．（2022·黑龙江·大庆外国语学校高一开学考试）已知集合，．若，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．27．（2022·江苏·高一单元测试）集合，，若，则（

）A． B． C． D．28．（2022·山东聊城·高一期末）已知集合，，若，则实数a的值为（

）A．1或-1 B．1 C．0 D．-129．（2022·山东青岛·高一期末）已知集合，，且，则实数的取值集合为（

）A． B． C． D．二、多选题30．（2022·全国·高一）已知集合A，B均为R的子集，若，则（

）A． B．C． D．31．（2022·江苏·高一）(多选)已知集合，．若，则实数m的值为（

）A．0 B．1C．3 D．332．（2022·江苏·高一单元测试）图中阴影部分的集合表示正确的是（

）A． B．C． D．33．（2022·全国·高一期末）在整数集中被除所得余数为的所有整数组成一个“类”，记为，即，､､､､.则下列结论正确的是（

）A．B．C．D．“整数､属于同一类”的充要条件是“”34．（2021·山东菏泽·高一期中）我们知道，如果集合，那么的子集的补集为．类似地，对于集合、，我们把集合叫作集合与的差集，记作．例如，，，则有，，下列说法正确的是（

）A．若，，则B．若，则C．若是高一（1）班全体同学的集合，是高一（1）班全体女同学的集合，则D．若，则2一定是集合的元素35．（2021·海南中学三亚学校（三亚市实验中学）高一期中）设集合，，，，则下列选项中，满足的实数的取值范围可以是（）A． B．或 C． D．36．（2021·山东威海·高一期中）设集合，若，则实数的值可以为（

）A． B． C． D．三、填空题37．（2022·全国·高一）某班有39名同学参加数学、物理、化学课外研究小组，每名同学至多参加两个小组.已知参加数学、物理、化学小组的人数分别为26，15，13，同时参加数学和物理小组的有6人，同时参加物理和化学小组的有4人，则同时参见数学和化学小组有多少人__________.38．（2022·四川·雅安中学高一阶段练习）集合，则的子集的个数为___________.39．（2022·安徽池州·高一期末）已知集合，，则下图中阴影部分表示的集合为___________.40．（2022·全国·高一）设集合，且都是集合的子集，如果把叫作集合的“长度”，那么集合的“长度”的最小值是___________.41．（2021·上海·华师大二附中高一阶段练习）对于数集M､N，定义，，若集合，则集合中所有元素之和为___________.四、解答题42．（2022·江苏·高一单元测试）已知集合，.(1)当时，求；(2)若，求实数的取值范围.43．（2022·河北沧州·高一期末）已知集合，.(1)当时，求；(2)若，求实数的取值范围.44．（2022·江苏·高一单元测试）已知集合，．(1)若，求；(2)若，求a的取值范围．45．（2022·江苏·扬州中学高一开学考试）已知集合.(1)在①，②，③这三个条件中选择一个条件，求；(2)若，求实数的取值范围.46．（2022·全国·池州市第一中学高一开学考试）已知集合，．(1)当时，求；(2)若______，求实数a的取值范围．请从①，②，③，这三个条件中选一个填入（2）中横线顶处，并完成第（2）问的解答．（如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）47．（2022·山西·怀仁市第一中学校高一期末）已知集合，．(1)若，求；(2)若，求实数m的取值范围．48．（2022·湖南衡阳·高一期末）已知集合，．(1)当时，求A的非空真子集的个数；(2)若，求实数的取值范围．49．（2022·河南·林州一中高一）已知全集，集合，集合．(1)求集合及；(2)若集合，且，求实数的取值范围．50．（2022·广东惠州·高一期末）已知全集，集合，集合．(1)若集合中只有一个元素，求的值；(2)若，求．51．（2021·新疆·沙湾县第一中学高一期中）已知全集，集合，.(1)当时，求A∩B与A∪B；(2)若，求实数的取值范围.52．（2022·湖南张家界·高一期末）已知集合，（）．(1)当时，求和；(2)是否存在实数，使得集合？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．【答案详解】1．B【解析】【分析】首先解一元二次不等式求出集合，再根据交集的定义计算可得；【详解】解：由，即，解得或，所以或，又，所以；故选：B2．C【解析】【分析】根据可知9∈A，则或由此可求出a的值，分类讨论即可确定符合题意的a的取值．【详解】∵，∴9∈A，或，解得或或，当时，，，此时，不符合题意；当时，，集合不满足元素的互异性，不符合题意；当时，，，此时，符合题意；综上，故选：C．3．A【解析】【分析】将两个集合等价变形，从而可判断两个集合的关系，从而可得出答案.【详解】解：，分子取到的整数倍加1，，分子取全体整数，所以，所以.故选：A.4．D【解析】【分析】利用集合、的含义，将其化简，然后求其并集即可.【详解】解：由可得，所以,由可得或，所以,所以.故选：D.5．B【解析】【分析】利用数轴，根据集合的运算结果即可求解.【详解】因为集合或，，，所以．故选：B．6．D【解析】【分析】将转化为，根据集合间的关系可解答.【详解】由题可得，由可得，由可得或2.故选：D.7．D【解析】【分析】利用交集和补集的定义即可求解.【详解】由图示可知，阴影部分可表示为,∵,∴,故选：.8．A【解析】【分析】先求出集合，利用补集的定义求出，然后根据即可求出的取值范围.【详解】由题知解得且故选：A.9．B【解析】【分析】根据集合的交集、补集运算即可.【详解】由已知可得，因此，.故选：B10．B【解析】【分析】由图中阴影部分可知对应集合为，然后根据集合的基本运算求解即可.【详解】解：由图中阴影部分可知对应集合为全集，2，3，4，，集合，，，3，，=，=．故选：．11．C【解析】【分析】首先解一元二次不等式求出集合，再解绝对值不等式求出集合，阴影部分表示的集合为，根据交集、并集、补集的定义计算可得；【详解】解：由，解得，所以，又，所以，，所以阴影部分表示的集合为，故选：C.12．C【解析】【分析】由容斥原理求解【详解】设同时参加球类比赛和田赛的人数为，由于没有人同时参加三项比赛故，得故只参加球类比赛的人数为故选：C13．(1)，或(2)【解析】【分析】（1）首先解指数不等式求出集合，再根据交集、并集、补集的定义计算可得；（2）依题意可得，即可得到不等式，解得即可；(1)解：由，即，解得，所以，又，所以，或，所以或；(2)解：因为，所以，所以，解得，即；14．(1)(2)答案见解析【解析】【分析】（1）分别求出集合和集合，求并集即可；（2）选①，根据集合和集合的位置在数轴上确定端点的关系，列出不等式组即可求解，选②，先求出，再根据条件在数轴确定端点位置关系列出不等式组即可求解，选③，得到，根据数轴端点位置关系列出不等式组即可求解.(1)因为，所以，又因为，所以．(2)若选①：则满足或，

所以的取值范围为或．

若选②：所以或，

则满足，所以的取值范围为．

若选③：由题意得，则满足

所以的取值范围为15．(1)，(2)或【解析】(1)，或，或；(2)∵为假命题，∴为真命题，即，又，，当时，，即，；当时，由可得，，或，解得，综上，m的取值范围为或.16．D【解析】【分析】求出集合A，再利用并集的定义直接计算作答.【详解】依题意，，而，所以．故选：D17．B【解析】【分析】根据交集的定义可求.【详解】，故选：B.18．C【解析】【分析】依题意图中阴影部分表示，再根据交集、补集的定义计算可得；【详解】解：因为，，所以，所以.故选：C19．A【解析】【分析】利用给定条件，结合元素的互异性直接列式计算作答.【详解】由集合知，，即，而，全集，因此，，解得，经验证满足条件，所以实数的值为0.故选：A20．B【解析】【分析】先求出，再按照子集个数公式求解即可.【详解】由题意得：，则的子集个数为个.故选：B.21．A【解析】【分析】根据集合交集的概念及运算，即可求解.【详解】由题意，集合，又由，根据集合交集的概念及运算，可得.故选：A.22．C【解析】【分析】根据交集和补集的定义可求.【详解】，故，故选：C.23．B【解析】【分析】集合的交集运算【详解】因为，，所以故选B．24．C【解析】【分析】先给赋值，再计算即可.【详解】由当时，，时，，时，；又.故选：C.25．C【解析】【分析】由题意可得党员人数和大学生人数之和减去志愿者小组总人数，即可得结果【详解】因为志愿者小组有20名志愿者，由党员和大学生组成，其中有15人是党员，有9人是大学生，所以由Venn可得既是党员又是大学生的志愿者人数为．故选：C26．D【解析】【分析】根据交集的定义计算可得；【详解】解：因为集合，且，所以，即；故选：D27．D【解析】【分析】由可得，从而可求出，然后解方程求出集合A，B，再求两集合的并集【详解】因为，所以，所以，解得，所以，，所以，故选：D28．D【解析】【分析】根据给定条件可得，再列式计算并验证作答.【详解】因，则，而集合，，则有或，解得：或，当时，，，符合题意，当时，，不符合题意，则，解得：，显然不符合题意，所以实数a的值为-1.故选：D29．D【解析】【分析】由，得到，分和两种情况讨论，集合集合元素的互异性，即可求解.【详解】由题意，集合，，因为，所以，当时，即，此时，集合中不符合集合元素的互异性，舍去；当时，即，解得或，若，此时，集合中不符合集合元素的互异性，舍去；若，可得，此时，，符合题意，综上可得实数的取值集合为.故选：D.30．AD【解析】【分析】根据集合图逐一判断即可得到答案【详解】如图所示根据图像可得,故A正确；由于，故B错误；,故C错误故选：AD31．AD【解析】【分析】依题意可得，即可得到或，即可求出，再代入检验即可；【详解】解：因为，所以．因为，，所以或，解得或或.当时，，，符合题意；当时，集合不满足集合元素的互异性，不符合题意；当时，，，符合题意．综上，或；故选：AD32．AC【解析】【分析】利用韦恩图的意义直接判断即可.【详解】由已知中阴影部分在集合N中，而不再集合M中，故阴影部分所表示的元素属于N，不属于M（属于M的补集），即可表示为或.故选：AC33．ACD【解析】【分析】由新定义逐项判断即可得解.【详解】解：对于A选项，，，，故A正确；对于B选项，，，，故B不正确；对于C选项，整数集中的数，被除所得余数只能为0，1，2，3，4，所以，故C正确；对于D选项，若整数､属于同一类，则，所以，反之，若，则，整数､属于同一类，故D正确，故选：ACD.34．AC【解析】【分析】选项AC符合题意，正确；选项BD可以通过举反例来证明错误.【详解】选项A：，，则.判断正确；选项B：令，，则，但.判断错误；选项C：表示高一（1）班全体同学中去除全体女同学后剩下的全体同学的集合，即为高一（1）班全体男同学的集合，则必有.判断正确；选项D：令，，则，，此时.判断错误；故选：AC35．CD【解析】【分析】根据可得或，解不等式可以得到实数的取值范围，然后结合选项即可得出结果.【详解】集合，，，，满足，或，解得或，实数的取值范围可以是或，结合选项可得CD符合.故选：CD.36．ABD【解析】【分析】解方程可得集合，再结合集合间运算结果分情况讨论.【详解】由，得，又，当时，即，成立；当时，，，或，，故选：ABD.37．【解析】【分析】设参加数学、物理、化学小组的同学组成的集合分别为，、，根据容斥原理可求出结果.【详解】设参加数学、物理、化学小组的同学组成的集合分别为，、，同时参加数学和化学小组的人数为，因为每名同学至多参加两个小组，所以同时参加三个小组的同学的人数为，如图所示：由图可知：，解得，所以同时参加数学和化学小组有人.故答案为：.38．8【解析】【分析】先求得，然后求得的子集的个数.【详解】，，有个元素，所以子集个数为.故答案为：39．【解析】【分析】分析可知，阴影部分所表示的集合为且，即可得解.【详解】由图可知，阴影部分所表示的集合为且.故答案为：.40．【解析】【分析】根据“长度”定义确定集合的“长度”，由“长度”最小时，两集合位于集合左右两端即可确定结果.【详解】由题可知，的长度为，的长度为，都是集合的子集，当的长度的最小值时，与应分别在区间的左右两端，即，则，故此时的长度的最小值是：.故答案为：41．##11.5【解析】【分析】根据定义分别求出中对应的集合的元素即可得到结论．【详解】,，,,,3,，,3,4,1,，元素之和为，故答案为：.42．(1)(2)【解析】【分析】（1）根据并集的概念可求出结果；（2）求出后，分类讨论是否为空集，再根据交集的结果列式可求出结果.(1)当时，，.(2){或，当时，，此时，解得；当时，若，则解得.综上，实数的取值范围为.43．(1)；(2).【解析】【分析】(1)求出集合A和B，根据并集的计算方法计算即可；(2)求出，分B为空集和不为空集讨论即可.(1)，当时，，∴；(2){或x＞4}，当时，，，解得a＜1；当时，若，则解得.综上，实数的取值范围为.44．(1)或(2)【解析】【分析】（1）首先得到集合，再根据补集、并集的定义计算可得；（2）依题意可得，分与两种情况讨论，分别得到不等式，解得即可；(1)解：由题意当时得，因为，所以或，所以或．(2)解：因为，所以，①当时，，解得，符合题意；．②当时，，解得．故的取值范围为．45．(1)答案见解析(2)【解析】【分析】（1）分别对赋值，利用集合的并集进行求解；（2）先根据题意得到，再利用集合间的包含关系进行求解，要注意的情形.(1)解：若选择①:当时，，因为，所以.若选择②:当时，，因为，所以.若选择③:当时，，因为，所以.(2)解：因为，所以.因为，所以，当时，；当时，，即；综上，.46．(1)(2)答案不唯一，具体见解析【解析】【分析】（1）根据已知条件，分别解出集合A和集合B，然后再求得两集合的交集；（2）先解出集合A的范围，根据给的三个不同的条件，分别选择集合B与集合A满足的不同关系，再进行求解即可.(