重难点03从集合的角度理解充分条件必要条件充要条件（四大题型）

重难点03从集合的角度理解充分条件、必要条件、充要条件【题型归纳目录】题型一：充分条件、必要条件、充要条件的判断题型二：充分条件与必要条件的应用题型三：充要条件的应用题型四：应用充分、必要、充要条件确定参数的值(取值范围)【方法技巧与总结】1、依据：设集合．若具有性质，则；若具有性质，则．若，就说具有性质，则必具有性质，即．类似地，与等价，与等价．2、结论：，若，则结论：是的充分条件，是的必要条件；若，则结论：是的充分条件，是的必要条件；若，则结论：是的充要条件．【经典题型】题型一：充分条件、必要条件、充要条件的判断【典例11】（2024·天津·模拟预测）已知，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】若，则，即充分性成立；若，例如，可得，满足题意，但，即必要性不成立；综上所述：“”是“”的充分不必要条件.故选：A.【典例12】（2024·高一·浙江杭州·期末）已知，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】当时，满足，但，故充分性不成立，若，当时，必有成立，当时，必有，故必要性成立，故“”是“”的必要不充分条件，故B正确.故选：B【变式11】（2024·高一·全国·假期作业）“”是“”的（）A．充分不必要条件 B．充要条件C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】因为⫋，所以“”是“”的的必要不充分条件，故选：C【变式12】（2024·高一·湖南·期中）设命题p：，（其中m为常数），则“命题p为真命题”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】由命题p为真命题，得，解得，显然，所以“命题p为真命题”是“”的充分不必要条件.故选：A题型二：充分条件与必要条件的应用【典例21】（2024·高一·安徽安庆·期末）“关于的不等式对上恒成立”的一个必要不充分条件是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】当时，则有，解得，不合题意；当时，则，解得.综上所述，关于的不等式对上恒成立”的充要条件为，所以一个必要不充分条件是.故选：A.【典例22】（2024·高一·广东·阶段练习）命题“”为真命题的一个必要不充分条件是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因为命题“”为真命题，则对恒成立，所以，所以，所以命题“”为真命题的充分必要条件为，所以选项B不符合题意；对于A选项，得不到，能得到，所以是的必要不充分条件，所以选项A符合题意；对于C选项，得不到，也得不到，所以是的既不充分也不必要条件，所以选项C不符合题意；对于D选项，能得到，得不到，所以是的充分不必要条件，所以选项D不符合题意.故选：A.【变式21】（2024·山西吕梁·二模）已知命题：，，则为真命题的一个充分不必要条件是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由题设命题为真，即在上恒成立，所以，则为真命题的一个充分不必要条件应该是的一个真子集，故选：A．【变式22】（2024·高一·陕西西安·阶段练习）使“”成立的一个充分不必要条件是（

）A．任意B．任意C．存在D．存在【答案】B【解析】对于A，若，，当时，成立，所以“，”推不出“”，A不满足条件；对于B，，，则，即，所以“，”“”，若，则，不妨取，，，则，所以“”推不出“”，所以“，”是“”的充分不必要条件，B满足条件；对于C，若，则，使得，即，即“”“，”，所以“，”是“”的必要条件，C不满足条件；对于D，若，，则，即，当且仅当时，等号成立，所以“，”推不出“”，D不满足条件.故选：B.【变式23】（2024·高一·全国·单元测试）已知,(为实数)．若的一个充分不必要条件是，则实数的取值范围是．【答案】【解析】由已知得，.设,，若是的充分不必要条件，则，，所以集合是集合的真子集.所以．故答案为：.题型三：充要条件的应用【典例31】（2024·高一·云南临沧·期末）二次函数的图象与x轴没有交点的充要条件是（

）A． B．C． D．，【答案】B【解析】由二次函数的图象与x轴没有交点，故，得，故答案为：B【典例32】（2024·高一·辽宁大连·期中）关于x的方程至少有一个负根的充要条件是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】当时，方程为，此时方程的根为负根，当时，方程，当方程有二个负根时，则有，当方程有一个负根一个正根时，则有，综上所述：当关于x的方程至少有一个负根时，有，即关于x的方程至少有一个负根的充要条件是.故选：D.【变式31】（2024·高一·重庆渝中·阶段练习），恒成立的充要条件是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因为恒成立，所以，，令，所以，当时，二次函数取得最小值4，最小值为4，所以.故选：C.【变式32】（2024·高一·广东深圳·期中）（1）已知命题，当命题为假命题时，求实数的取值范围；（2）已知，是实数，求证：成立的充要条件是.【解析】（1）由题设，命题的否定为真命题，命题的否定为，当时，成立，当时，可得，解得，综上所述，；（2）先证充分性：若，则成立，充分性成立；再证必要性：若，则，即，，即，又，，即成立，必要性成立；综上：成立的充要条件是．【变式33】（2024·高一·上海·专题练习）已知关于的方程，求：(1)方程有两个不同正根的充要条件；(2)方程至少有一正根的充要条件．【解析】（1）方程有两个不同正实根，则，解得或，方程有两个不同正根的充要条件为；（2）由（1）易知：或方程有两个正根（或两根相等），满足题设；当时，方程化为有一个正根，满足题设；若方程有正、负根各一个，则，解得；综上：方程至少有一正根的充要条件是．题型四：应用充分、必要、充要条件确定参数的值(取值范围)【典例41】（2024·高一·浙江宁波·阶段练习）已知p：关于x的方程（）无实数根．(1)若p是假命题，求实数m的取值范围；(2)已知条件q：，，若p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围．【解析】（1）由题意知p是假命题，则可得关于x的方程（）有实数根，即，即，解得或；则实数m的取值范围为.（2）p：关于x的方程（）无实数根，则，即，解得，设命题p相应的集合为，命题q相应的集合为，若p是q的必要不充分条件，则有，当为空集时，，符合题意；当不为空集时，需满足，等号不能同时成立，解得，验证时符合题意，综上可得实数a的取值范围为.【典例42】（2024·高一·河南商丘·期中）已知集合，.(1)若：，：，且是的必要条件，求实数的取值范围；(2)若，使，求实数的取值范围.【解析】（1）因为是的必要条件，所以，又，，所以，解得，所以实数的取值范围；（2）由，使，得，，令，，当或3时，取得最小值4，所以.因此，实数的取值范围是.【变式41】（2024·高一·湖南·期中）已知命题：“，”为假命题，设实数的所有取值构成的集合为.(1)求集合；(2)设集合，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围.【解析】（1）因为命题为假命题，故关于的一元二次方程无解，即，解得，故集合；（2）由是的必要不充分条件，可知，当时，既，解得，此时满足，当时，如图所示，故且等号不同时成立，解得，综上所述，的取值范围是.【变式42】（2024·高一·江西赣州·期末）已知集合，．(1)若，求；(2)若______，求实数的取值范围．请从①②③中选取一个作为条件补充到上面的横线处，解答相应问题．①；②“”是“”充分不必要条件；③．【解析】（1）当时，，则，由于，因此或；（2）因为，所以，若选取①：因为，所以，所以，解得，即的取值范围是.若选取②：由“”是“”的充分不必要条件，可得是的真子集，则或，解得，即的取值范围是.若选取③：因为，所以或，解得或，即的取值范围是.【变式43】（2024·高一·四川南充·期末）设集合，.(1)若时，求；(2)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围.【解析】（1）由，所以，解得，，当时，，.（2）由题是的充分不必要条件，即，则（等号不同时取），解得，所以实数的取值范围为.【变式44】（2024·高一·江苏徐州·期末）已知集合，.(1)求的真子集；(2)若______，求实数的取值集合.从以下两个条件中任选一个补充在横线上，并进行解答.①“”是“”的充分条件；②.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.【解析】（1），所以集合的真子集有；（2）选①，因为“”是“”的充分条件，所以，当时，，符合题意，当时，，因为，所以或，所以或，综上所述，实数的取值集合为.选②，因为，所以，当时，，符合题意，当时，，因为，所以或，所以或，综上所述，实数的取值集合为.【变式45】（2024·高一·辽宁葫芦岛·期末）已知集合，集合，集合，且．(1)求实数a的值组成的集合；(2)若，是的充分不必要条件，求实数m的取值范围．【解析】（1）因为，由，知，则或或，当时，所以，当时，所以，当时，所以，所以的取值集合为．（2）由题意得，，故，又是的充分不必要条件，所以是的真子集，于是，解得：，经检验符合条件，综上，实数m的取值范围是．【变式46】（2024·高一·甘肃武威·阶段练习）已知或．(1)若是的充分条件，求实数的取值范围；(2)若是的必要不充分条件，求实数的取值范围．【解析】（1）因为p：，所以p：，即，因为p是q的充分条件，所以或，解得或，即实数的取值范围是或；（2）依题意，：，由（1）知p：，又p是的必要不充分条件，所以，解得，即实数m的取值范围是．【过关测试】1．（2024·高二·上海松江·期末）若，则“”的一个充分不必要条件可以是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】由得，推不出来，由得或，推不出来，排除A，B；由可得，解得或，所以是的既不充分也不必要条件，排除C；由，反之不成立，D正确，故选：D.2．（2024·福建福州·模拟预测）设，，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】当时，或，则，即充分性成立；当时，，则，即必要性成立；综上可知，“”是“”的充要条件.故选：C.3．（多选题）（2024·高一·山东临沂·期中）已知命题，，则命题P成立的一个充分不必要条件可以是（

）A． B． C． D．【答案】CD【解析】恒成立，当时，，成立；当时，，解得；综上所述：，命题P成立的一个充分不必要条件是的真子集，CD满足.故选：CD.4．（2024·高一·江苏宿迁·阶段练习）若“”是“”的充分不必要条件，则实数的取值范围为【答案】【解析】由，得，因为“”是“”的充分不必要条件，所以集合是集合的真子集，所以（不同时取等号），解得，所以实数的取值范围为.故答案为：.5．（2024·高一·河北沧州·阶段练习）请写出“”的一个必要不充分条件：．【答案】（答案不唯一）【解析】对于，两边平方可得，即“”是“”的必要条件；对于，两边开平方可得；即“”不是“”的充分条件，所以“”是“”的必要不充分条件．故答案为：（答案不唯一）.6．（2024·高一·四川成都·期中）若成立的一个充分不必要条件是，则实数的取值范围为.【答案】【解析】等价于，因为成立的一个充分不必要条件是，所以，解得，所以实数的取值范围为.故答案为：7．（2024·高一·广东深圳·阶段练习）“不等式在上恒成立”的一个必要不充分条件可以是.【答案】（答案不唯一）.【解析】若不等式在R上恒成立，则，解得，设不等式在R上恒成立的必要不充分条件为，，则，故可以是.故答案为：（答案不唯一）.8．（2024·高一·江苏·专题练习）线段在x轴下方的一个充分条件但不是必要条件是.【答案】(答案不唯一)【解析】结合一次函数图象知，要使线段在x轴下方，需,．就是一个使命题成立的充分条件但不是必要条件．故答案为:.9．（2024·高三·安徽合肥·阶段练习）给出如下三个条件：①充要②充分不必要③必要不充分.请从中选择补充到下面横线上.已知集合，，存在实数使得“”是“”的条件.【答案】②，③【解析】①“”是“”的充要条件，则，，此方程无解，故不存在实数，则不符合题意；②“”是“”的充分不必要条件时，，，；解得，符合题意；③“”是“”的必要不充分条件时，当，，得；当，需满足，，，解集为；综上所述，实数的取值范围.故答案为：②，③.10．（2024·高一·全国·课后作业）方程有实根的充要条件是，方程有实根的一个充分而不必要条件可以是.【答案】(答案不唯一)【解析】因为方程有实根，所以，即，解得，反之，当时，，则方程有实根，所以是方程有实根的充要条件，当时，方程有实根，而当方程有实根时不一定是，所以是方程有实根的一个充分不要条件.故答案为：；(答案不唯一).11．（2024·高一·湖南衡阳·期末）命题“对任意的，总存在唯一的，使得”成立的充要条件是.【答案】【解析】由得：；当时，，则，解得：,∵，，满足题意；当时，；若存在唯一的，使得成立，则与有且仅有一个交点，在平面直角坐标系中作出在上的图象如下图所示，由图象可知：当时，与有且仅有一个交点，∴，解得：，则；当时，,结合图象可得：，解得：，则；综上所述：原命题成立的充要条件为，故答案为：1<a<1.12．（2024·高一·全国·课后作业）设，则中等号成立的充要条件是．【答案】且.【解析】由题设，，∴要使等号成立，则且，当且时，有，即成立.综上，且是中等号成立的充要条件.故答案为：且.13．（2024·高三·河南驻马店·阶段练习）在整数集中，被除所得余数为的所有整数组成一个“类”，记为，即.给出下列四个结论.①；②；③；④“整数属于同一“类””的充要条件是“”.其中正确的结论是（填所有正确的结论的序号）.【答案】①③④【解析】对于①，，则，①正确；对于②，，则，②不正确；对于③，任意整数除以，余数可以且只可以是四类，则，③正确；对于④，若整数、属于同一“类”，则整数、被除的余数相同，可设，，其中、，，则，故，若，不妨令，则，显然，于是得，，即整数属于同一“类”，“整数属于同一“类””的充要条件是“”，④正确．正确的结论是①③④.故答案为：①③④.14．（2024·高二·新疆乌鲁木齐·阶段练习）已知关于的方程，则该方程有两个正根的充要条件是．【答案】或【解析】关于的方程，即，则该方程有两个正根的充要条件是，且，解得：或，因此该方程有两个正根的充要条件是：或．故答案为：或，15．（2024·高一·全国·课后作业）若α是β的必要非充分条件，β是γ的充要条件，γ是δ的必要非充分条件，则δ是α的条件．【答案】充分不必要【解析】∵α是β的必要非充分条件，∴β⇒α，不能推出；∵β是γ的充要条件，∴β⇔γ；∵γ是δ的必要非充分条件，∴δ⇒γ，不能推出；∴δ⇒α，不能推出，故δ是α的充分不必要条件．故答案为：充分不必要．16．（2024·高一·江苏·专题练习）已知，，是否存在实数m使p