高考总复习理数（北师大版）第7章第4节合情推理与演绎推理

第四节合情推理与演绎推理考点高考试题考查内容核心素养合情推理与演绎推理2017·全国卷Ⅱ·T7·5分依据给出的说法进行推理逻辑推理2016·全国卷Ⅱ·T15·5分依据给出的说法进行推理逻辑推理2014·全国卷Ⅰ·T14·5分依据给出的说法进行推理逻辑推理命题分析本节对本节内容的考查主要是合情推理和演绎推理的理解及应用，一般以选择题或填空题的形式出现，难度中高档，分值5分.(对应学生用书P90)1．合情推理类型定义特点归纳推理根据一类事物中部分事物具有某种属性，推断该类事物中__每一个事物__都有这种属性的推理方式由__部分__到__整体__、由__个别__到__一般__类比推理由于两类不同对象具有某些类似的特征，在此基础上，根据一类对象的其他特征，推断另一类对象也具有类似的其他特征的推理过程由__特殊__到__特殊__2.演绎推理(1)定义：根据已知的事实和正确的结论，按照严格的逻辑法则__得到新结论__的推理过程．(2)“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：①大前提——已知的一般原理；②小前提——所研究的特殊情况；③结论——根据一般原理，对特殊情况做出的判断．提醒：1．辨明两个易误点(1)演绎推理是由一般到特殊的证明，它常用来证明和推理数学问题，注意推理过程的严密性，书写格式的规范性．(2)合情推理中运用猜想时不能凭空想象，要有猜想或拓展依据．2．把握合情推理与演绎推理的三个特点(1)合情推理包括归纳推理和类比推理，所得到的结论都不一定正确，其结论的正确性是需要证明的．(2)在进行类比推理时，要尽量从本质上去类比，不要被表面现象所迷惑；否则只抓住一点表面现象甚至假象就去类比，就会犯机械类比的错误．(3)应用三段论解决问题时，应首先明确什么是大前提，什么是小前提，如果大前提与推理形式是正确的，结论必定是正确的．如果大前提错误，尽管推理形式是正确的，所得结论也是错误的．1．判断下列结论的正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)归纳推理得到的结论不一定正确，类比推理得到的结论一定正确．()(2)由平面三角形的性质推测空间四面体的性质，这是一种合情推理．()(3)在类比时，平面中的三角形与空间中的平行六面体作为类比对象较为合适．()(4)演绎推理的结论一定是正确的．()(5)演绎推理是由特殊到一般再到特殊的推理．()(6)在演绎推理中，只要符合演绎推理的形式，结论就一定正确．()答案：(1)×(2)√(3)×(4)×(5)×(6)×2．(教材习题改编)已知13＋23＝32,13＋23＋33＝62,13＋23＋33＋43＝102，……按此规律，则13＋23＋33＋…＋n3＝()A．n2 B．eq\f(1,4)n2(n＋1)2C.eq\f(nn＋1,2) D．n3解析：选B观察已知等式可得13＋23＋33＋…＋n3＝(1＋2＋3＋…＋n)2＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(nn＋1,2)))2＝eq\f(1,4)n2(n＋1)2.3．观察下列各式：a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4，a4＋b4＝7，a5＋b5＝11，…，则a10＋b10等于()A．28 B．76C．123 D．199解析：选C从给出的式子特点观察可推知，等式右端的值，从第三项开始，后一个式子的右端值等于它前面两个式子右端值的和，依据此规律，a10＋b10＝123.4．观察下列不等式：1＋eq\f(1,22)<eq\f(3,2)，1＋eq\f(1,22)＋eq\f(1,32)<eq\f(5,3)，1＋eq\f(1,22)＋eq\f(1,32)＋eq\f(1,42)<eq\f(7,4)，……照此规律，第五个__不等式为____________.解析：观察每行不等式的特点，每行不等式左端最后一个分数的分母的开方与右端值的分母相等，且每行右端分数的分子构成等差数列．∴第五个不等式为1＋eq\f(1,22)＋eq\f(1,32)＋eq\f(1,42)＋eq\f(1,52)＋eq\f(1,62)<eq\f(11,6).答案：1＋eq\f(1,22)＋eq\f(1,32)＋eq\f(1,42)＋eq\f(1,52)＋eq\f(1,62)<eq\f(11,6)5．在平面上，若两个正三角形的边长的比为1∶2，则它们的面积比为1∶4.类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长的比为1∶2，则它们的体积比为____________.解析：由类比可知面积与边长是平方关系，则体积与棱长是立方关系，两个正四面体的棱长的比为1∶2，则它们的体积比为1∶8.答案：1∶8(对应学生用书P91)归纳推理[析考情]归纳推理问题的常见类型及解题策略(1)与“数字”相关问题：主要是观察数字特点，找出等式左右两侧的规律．(2)与不等式有关的推理：观察所给几个不等式两边式子的特点，注意纵向看，找出隐含规律．(3)与图形有关推理：合理利用特殊图形归纳推理得出结论．[提能力]【典例】(1)(2018·郑州模拟)从1开始的自然数按如图所示的规则排列，现有一个三角形框架在图中上下或左右移动，使每次恰有九个数在此三角形内，则这九个数的和可以为()A．2011 B．2012C．2013 D．2014解析：选B根据题干图所示的规则排列，设最上层的一个数为a,则第二层的三个数为a＋7,a＋8,a＋9,第三层的五个数为a＋14,a＋15,a＋16,a＋17,a＋18,这9个数之和为a＋3a＋24＋5a＋80＝9a＋104.由9a＋104＝2012,得a＝212(2)(2018·陕西质检)观察下列式子：1,1＋2＋1,1＋2＋3＋2＋1，1＋2＋3＋4＋3＋2＋1，…，由以上可推测出一个一般性结论：对于n∈N＋，1＋2＋…＋n＋…＋2＋1＝____________.解析：∵1＝12,1＋2＋1＝22,1＋2＋3＋2＋1＝32,1＋2＋3＋4＋3＋2＋1＝42，…，∴归纳可得1＋2＋…＋n＋…＋2＋1＝n2.答案：n2[刷好题]1．某种树的分枝生长规律如图所示，第1年到第5年的分枝数分别为1,1,2,3,5，则预计第10年树的分枝数为()A．21 B．34C．52 D．55解析：选D因为2＝1＋1,3＝2＋1,5＝3＋2，即从第三项起每一项都等于前两项的和，所以第10年树的分枝数为21＋34＝55.2．已知x∈(0，＋∞)，观察下列各式：x＋eq\f(1,x)≥2，x＋eq\f(4,x2)＝eq\f(x,2)＋eq\f(x,2)＋eq\f(4,x2)≥3，x＋eq\f(27,x3)＝eq\f(x,3)＋eq\f(x,3)＋eq\f(x,3)＋eq\f(27,x3)≥4，…，类比得x＋eq\f(a,xn)≥n＋1(n∈N＋)，则a＝____________.解析：第一个式子是n＝1的情况，此时a＝11＝1；第二个式子是n＝2的情况，此时a＝22＝4；第三个式子是n＝3的情况，此时a＝33＝27，归纳可知a＝nn.答案：nn类比推理[明技法]类比推理的分类[提能力]【典例】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，设a，b，c分别表示三条边的长度，由勾股定理，得c2＝a2＋b2.类比平面内直角三角形的勾股定理，试给出空间中四面体性质的猜想．解：如题图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°.设a，b，c分别表示3条边的长度，由勾股定理，得c2＝a2＋b2.类似地，在四面体P­DEF中，∠PDF＝∠PDE＝∠EDF＝90°.设S1，S2，S3和S分别表示△PDF，△PDE，△EDF和△PEF的面积，相应于直角三角形的2条直角边a，b和1条斜边c，图中的四面体有3个“直角面”S1，S2，S3和1个“斜面”S.于是，类比勾股定理的结构，我们猜想S2＝Seq\o\al(2,1)＋Seq\o\al(2,2)＋Seq\o\al(2,3)成立．[母题变式]若本例条件“由勾股定理，得c2＝a2＋b2”换成“cos2A＋cos2B＝1”，解：如图，在Rt△ABC中，cos2A＋cos2B＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,c)))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,c)))2＝eq\f(a2＋b2,c2)＝1.于是把结论类比到四面体P­A′B′C′中，我们猜想，四面体P­A′B′C′中，若三个侧面PA′B′，PB′C′，PC′A′两两互相垂直，且分别与底面所成的角为α，β，γ，则cos2α＋cos2β＋cos2γ＝1.[刷好题](2018·杭州模拟)已知命题：“若数列{an}是等比数列，且an＞0，bn＝eq\r(n,a1a2…an)(n∈N＋)，则数列{bn}也是等比数列”．类比这一性质，你能得到关于等差数列的一个什么性质？并证明你的结论．解：类比等比数列的性质，可以得到等差数列的一个性质是：若数列{an}是等差数列，bn＝eq\f(a1＋a2＋…＋an,n)(n∈N＋)，则数列{bn}也是等差数列．证明如下：设等差数列{an}的公差为d，则bn＝eq\f(a1＋a2＋…＋an,n)＝eq\f(na1＋\f(nn－1d,2),n)＝a1＋eq\f(d,2)(n－1)，所以数列{bn}是以a1为首项，eq\f(d,2)为公差的等差数列．演绎推理[析考情]演绎推理的推证规则(1)演绎推理是从一般到特殊的推理，其一般形式是三段论，应用三段论解决问题时，应当首先明确什么是大前提和小前提，如果前提是显然的，则可以省略；(2)在推理论证过程中，一些稍复杂一点的证明题常常要由几个三段论才能完成．[提能力]【典例】数列{an}的前n项和记为Sn，已知a1＝1，an＋1＝eq\f(n＋2,n)Sn(n∈N＋)．证明：(1)数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(Sn,n)))是等比数列；(2)Sn＋1＝4an.证明：(1)∵an＋1＝Sn＋1－Sn，an＋1＝eq\f(n＋2,n)Sn，∴(n＋2)Sn＝n(Sn＋1－Sn)，即nSn＋1＝2(n＋1)Sn.故eq\f(Sn＋1,n＋1)＝2·eq\f(Sn,n)，又eq\f(S1,1)＝eq\f(a1,1)＝1≠0∴eq\f(\f(Sn＋1,n＋1),\f(Sn,n))＝2(小前提)故eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(Sn,n)))是以2为公比，1为首项的等比数列．(结论)(大前提是等比数列的定义)(2)由(1)可知eq\f(Sn＋1,n＋1)＝4·eq\f(Sn－1,n－1)(n≥2)，∴Sn＋1＝4(n＋1)·eq\f(Sn－1,n－1)＝4·eq\f(n－1＋2,n－1)·Sn－1＝4an(n≥2)．(小前提)又∵a2＝3S1＝3，S2＝a1＋a2＝1＋3＝4＝4a1，(小前提∴对于任意正整数n，都有Sn＋1＝4an.(结论)[刷好