第1章 集合与常用逻辑用语 章末重难点归纳总结（解析版）-人教版高中数学精讲精练（必修一）

第1章集合与常用逻辑用语章末重难点归纳总结考点一元素的互异性【例1-1】（2022·全国·高一课时练习）若集合，则下列说法中正确的是（

）A．a可取全体实数B．a可取除去0以外的所有实数C．a可取除去3以外的所有实数D．a可取除去0和3以外的所有实数【答案】D【解析】由集合中元素的互异性可知，即，故，，因此a可取除去0和3以外的所有实数，故选：D.【例1-2】（2021·浙江·高一期中）若，则的可能值为（

）A．0，2 B．0，1C．1，2 D．0，1，2【答案】A【解析】因为，当时，集合为，不成立；当时，集合为，成立；当时，则（舍去）或，当时，集合为，成立；∴或.故选：A【例1-3】（2022·陕西）已知集合，且，则实数的值为___________.【答案】或【解析】因为，，所以或，当时，不满足元素互异性，所以不符合题意，当时，或，当时，符合题意，当时，符合题意，所以实数的值为或，故答案为：或.考点二集合关系求参【例2-1】（2022·全国·高一课时练习）（多选）已知全集，集合，，则使成立的实数的取值范围可以是（）A． B．C． D．【答案】ABC【解析】当时，，即，此时，符合题意，当时，，即，由可得或，因为，所以或，可得或，因为，所以，所以实数的取值范围为或，所以选项ABC正确，选项D不正确；故选：ABC.【例2-2】（2022·四川自贡）已知集合A={|2＜＜+1，B=＜＜5，求满足AB的实数的取值范围.【答案】【解析】由题意，集合，因为，若，则，解得，符合题意；若，则，解得，所求实数的取值范围为.【例2-3】（2022湖南）已知(1)若求实数a的取值范围(2)若，求实数的取值范围【答案】(1)；(2).【解析】(1)∵，∴，即，∴实数a的取值范围为；∵，，∴，解得，故实数的取值范围为.【例2-4】（2022·四川）已知集合，(1)若，求实数的取值范围；(2)若，求实数的取值范围．【答案】(1)(2)【解析】(1)已知，，要满足，即中的任意一个元素都是中的元素，则，即实数a的取值范围是：(2)当，即与没有公共元素，因为和都不可能为空集，所以要使得两个集合没有公共元素，则，即实数a的取值范围：．【例2-5】（2022·浙江）已知集合．(1)若，求；(2)若，求m的取值范围．【答案】(1)，或(2)【解析】(1)解：若，则，所以，或，所以或；(2)解：因为，所以，当时，则，解得，此时，符合题意，当时，则，解得，综上所述，所以若，m的取值范围为.【例2-6】（2022.山东）已知集合，或，.(1)当时，求，；(2)若，求实数的取值范围.【答案】(1)或，(2)【解析】(1)将代入集合中的不等式得：，∵或，∴或，，则；(2)∵，或，当时，；此时满足，当时，，此时也满足，当时，，若，则，解得：；综上所述，实数的取值范围为【例2-7】（2022·天津市）已知集合，集合.（1）若，求实数的值.（2）若，求实数的取值范围.（3）若，，求实数的取值范围.【答案】（1）或；（2）；（3）.【解析】（1），，即，解得：或；当时，，满足；当时，，满足；综上所述：或；（2），，可能的结果为，，，；①当时，，解得：；②当时，，解得：；若，则，不满足；若，则，不满足；③当时，，解得：或；若，则，不满足；若，则，满足；④当时，，方程组无解；综上所述：实数的取值范围为；（3），；当时，由（2）知：，满足；当时，由（2）知：；若，则；当时，由（2）知：或；若，则且；综上所述：实数的取值范围为.考点三充分、必要条件求参【例3-1】（2022·江苏·高一单元测试）已知集合P={x|a+1≤x≤2a+1}，Q={x|-2≤x≤5}.(1)若a=3，求；(2)若“x∈P”是“x∈Q”充分不必要条件，求实数a的取值范围.【答案】(1)(2)【解析】(1)因a=3，则P={x|4≤x≤7}，则有或，又Q={x|-2≤x≤5}，所以.(2)“x∈P”是“x∈Q”充分不必要条件，于是得，当a+1>2a+1，即a<0时，，又，即，满足，则a<0，当时，则有或，解得或，即，综上得：，所以实数a的取值范围是.【例3-2】（2022·河北）已知集合，或．（1）当时，求；（2）“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围．【答案】（1）或；（2）【解析】（1）当时，.因为或，所以或；（2）因为或，所以.因为“”是“”的充分不必要条件，所以A.当时，符合题意，此时有，解得：a<0.当时，要使A，只需，解得：综上：a<1.即实数的取值范围.【例3-3】（2022·江西）已知集合或，集合(1)若，且，求实数的取值范围．(2)已知集合，若是的必要不充分条件，判断实数是否存在，若存在求的范围【答案】(1)；(2)存在，.【解析】(1)由题设，又，当时，，可得.当时，，可得.综上，a的范围.(2)由题意，而，所以，结合（1）有(等号不同时成立)，可得.故存在实数且.【例3-4】（2022·江苏·高一单元测试）已知集合，，全集．(1)当时，求；(2)若“”是“”的必要条件，求实数的取值范围．【答案】(1)(2)或【解析】(1)当时，集合，或，．(2)若“”是“”的必要条件，则，①当时，；②，则且，.综上所述，或．【例3-5】（2022·江苏·高一）已知其中.(1)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围；(2)若是的必要不充分条件，求实数的取值范围.【答案】(1)(2)【解析】(1)设命题p：A={x|x2>0}，即p：A={x|x>2}，命题q：B={x|ax4>0}，因为p是q的充分不必要条件，所以A⫋B，.即解得a>2所以实数a的取值范围为(2)由（1）得p：A={x|x>2}，q：B={x|ax4>0}，因为是的必要不充分条件，所以B⫋A，①当a=0时，B=，满足题意；②当a>0时，由B⫋A，得.>2，即0<a<2；.③当a<0时，显然不满足题意.综合①②③得，实数a的取值范围为考点四全称存在量词求参【例4-1】（2022·江苏·高一）已知集合，或.(1)求，B；(2)若集合，且为假命题.求m的取值范围.【答案】(1)，(2)或【解析】(1)，或，或；(2)∵为假命题，∴为真命题，即，又，，当时，，即，；当时，由可得，，或，解得，综上，m的取值范围为或.【例4-2】（2022·安徽宣城）设全集，集合，非空集合，其中.(1)若“”是“”的必要条件，求a的取值范围；(2)若命题“，”是真命题，求a的取值范围.【答案】(1)(2)【解析】(1)解：若“”是“”的必要条件，则，又集合为非空集合，故有，解得，所以的取值范围，(2)解：因为，所以或，因为命题“，”是真命题，所以，即，解得．所以的取值范围．【例4-3】（2021·全国·高一课时练习）已