1.1 集合的概念及特征（精练）（解析版）-人教版高中数学精讲精练（必修一）

1.1集合的概念及特征（精练）1集合的判断1．（2022·湖南）下列对象不能组成集合的是（

）A．不超过20的质数 B．的近似值C．方程的实数根 D．函数的最小值【答案】B【解析】不超过20的质数构成集合；方程的实数根构成集合；函数的最小值构成集合.而的近似值标准不明确，不能组成集合.故选：B2．（2022·河北·武安市第一中学）（多选）下列各组对象能构成集合的是（

）A．拥有手机的人 B．2020年高考数学难题C．所有有理数 D．小于的正整数【答案】ACD【解析】根据集合的概念，可知集合中元素的确定性，可得选项A、C、D中的元素都是确定的，故选项A、C、D能构成集合，但B选项中“难题”的标准不明确，不符合确定性，不能构成集合．故选：ACD.3．（2022·全国·专题练习）（多选）下列每组对象，能构成集合的是（

）A．中国各地最美的乡村 B．直角坐标系中横、纵坐标相等的点C．一切很大的数 D．清华大学2020年入学的全体学生【答案】BD【解析】对于A，最美标准不明确，不具有确定性，所以不能构成集合；对于B，直角坐标系中横、纵坐标相等的点就在一、三象限的平分线上，是确定的，所以可以构成集合；对于C，一切很大的数不具有确定性，所以不能构成集合；对于D，清华大学2020年入学的全体学生是确定的，能构成集合，故选：BD4．（2022·青海）下列描述正确的有（）（1）很小的实数可以构成集合；（2）集合与集合是同一个集合；（3）这些数组成的集合有5个元素；（4）偶数集可以表示为.A．0个 B．1个 C．2个 D．3个【答案】B【解析】对于（1），很小的实数可以构成集合；不满足集合的确定性，故不正确；对于（2），集合中的元素为实数；集合中的元素为点的坐标，集合的属性不同，故不是同一个集合，故不正确；对于（3），这些数组成的集合中，由于，，由集合元素的互异性，集合中的元素不是5个，故不正确；对于（4），偶数集可以表示为，正确，符合集合的含义；故选：B5．（2022·湖南·高一课时练习）判断下列各组对象能否构成集合．若能构成集合，指出是有限集还是无限集；若不能构成集合，试说明理由．(1)北京各区县的名称；(2)尾数是5的自然数；(3)我们班身高大于1.7m的同学．【答案】(1)能；有限集；(2)能；无限集；(3)能；有限集.【解析】(1)因为北京各区县的名称是确定的，故北京各区县的名称能构成集合；因为北京各区县是有限的，故该集合为有限集；(2)因为尾数是5的自然数是确定的，故尾数是5的自然数能构成集合；因为尾数是5的自然数是无限的，故该集合为无限集；(3)因为我们班身高大于1.7m的同学是确定的，故我们班身高大于1.7m的同学能构成集合；因为我们班身高大于1.7m的同学是有限的，故该集合为有限集.2集合与元素的关系1．（2022·浙江丽水）下列元素与集合的关系中，正确的是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因为是整数，不是自然数，所以A不正确；因为0不是正整数，所以B正确；因为2是无理数，不是有理数，所以C不正确：因为是实数．所以D不正确．故选：B．2．（2022·广东·信宜市第二中学）下列关系中正确的是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】对于A，不是实数，∴A选项错误；对于B，是正整数集，易知，∴B选项错误；对于C，是有理数，∴C选项正确；对于D，是无理数，Z是整数集，∴D选项错误.故选：C.3．（2022·广东·惠来县第一中学）已知集合，则（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因为集合，所以，故选：D.4．（2022·天津河北·高一期末）下列关系中正确的个数是（

）①

②

③

④A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【解析】是有理数，是实数，不是正整数，是无理数，当然不是整数．只有①正确．故选：A．5．（2022·全国·高一课时练习）设集合，则下列关系式成立的是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】中只有一个元素，故选：C.6（2022·广东·梅州市梅江区梅州中学）（多选）下列表示正确的是（

）A． B． C． D．【答案】BD【解析】表示自然数集，故A不正确、B正确；表示整数集，故C不正确；表示有理数集，故D正确.故选：BD7．（2022·全国·高一课时练习）（多选）已知集合，那么正确的是()A．

B．

C．

D．【答案】A【解析】由或故A对，B、C、D错故选：A8．（2022·上海）非空集合具有下列性质：①若、，则；②若、，则，下列判断一定成立的是（

）（1）；（2）；（3）若、，则；（4）若、，则.A．（1）（3） B．（1）（2）C．（1）（2）（3） D．（1）（2）（3）（4）【答案】C【解析】由①可知.对于（1），若，对任意的，，则，所以，，这与矛盾，（1）正确；对于（2），若且，则，，，依此类推可得知，，，，，，（2）正确；对于（3），若、，则且，由（2）可知，，则，所以，，（3）正确；对于（4），由（2）得，，取，则，所以（4）错误.故选：C.9．（2022·湖南·高一课时练习）使用“”“”和数集符号来替代下列自然语言：(1)“255是正整数”；(2)“不是有理数”；(3)“3.1416是正有理数”；(4)“是整数”；(5)“是负实数”.【答案】(1)(2)(3)(4)(5)【解析】(1)由“255是正整数”，可表示为.(2)由不是有理数”，可表示为.(3)由3.1416是正有理数，可表示为.(4)由是整数”，可表示为.(5)由是负实数，可表示为；10．（2022·全国·高一）设数集由实数构成，且满足：若（且），则.（1）若，试证明中还有另外两个元素；（2）集合是否为双元素集合，并说明理由；（3）若中元素个数不超过8个，所有元素的和为，且中有一个元素的平方等于所有元素的积，求集合.【答案】（1）证明见解析；（2）不是，理由见解析；（3）.【解析】（1）证明：若x∈A，则又∵2∈A，∴∵-1∈A，∴∴中另外两个元素为，；（2），，，且，，，故集合中至少有3个元素，∴不是双元素集合；（3）∵数集A由实数构成，且满足：若x∈A（x≠1且x≠0），则．∴x∈A，，，，，，∴集合A中至少有3个元素，所有元素的积为：1，∵A中元素个数不超过8个，所有元素的和为，且A中有一个元素的平方等于所有元素的积，所有元素积为1，∴，∵，∴2∈A，∴，∴∈A，设m＝a，同理得∈A，∈A，∵A中元素个数不超过8个，所有元素的和为，∴、3、，∴．3集合的表示方法1（2022·内蒙古·赤峰红旗中学松山分校高一期末（文））方程的所有实数根组成的集合为（）A． B． C． D．【答案】C【解析】解：由，解得或，所以方程的所有实数根组成的集合为；故选：C2．（2022·北京西城·高一期末）方程组的解集是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】由可得：或.所以方程组的解集是.故选：A3．（2022·全国·高一课时练习）方程组的解集可表示为___________（填序号）．①；②；③；④．【答案】①②④【解析】由，所以满足条件的有①②④故答案为：①②④4．（2022·上海·曹杨二中高一期末）已知集合，则集合=______．（用列举法表示）【答案】【解析】因，而，所以.故答案为：5．（2022·广西玉林·高一期末）集合，用列举法可以表示为_________．【答案】【解析】因为，所以，可得，因为，所以，集合．故答案为：6．（2022·湖南·高一课时练习）用列举法表示下列集合：(1){x|x是14的正约数}；(2){(x,y)|x∈{1,2},y∈{1,2}}；(3){(x,y)|x＋y＝2,x－2y＝4}；(4){x|x＝(－1)n,n∈N}；(5){(x,y)|3x＋2y＝16,x∈N,y∈N}.【答案】(1){1,2,7,14}(2){(1,1),(1,2),(2,1),(2,2)}(3)(4){－1,1}(5){(0,8),(2,5),(4,2)}【解析】(1){x|x是14的正约数}={1,2,7,14}.(2){(x,y)|x∈{1,2},y∈{1,2}}={(1,1),(1,2),(2,1),(2,2)}.(3){(x,y)|x＋y＝2,x－2y＝4}=.(4){x|x＝(－1)n,n∈N}={－1,1}.(5){(x,y)|3x＋2y＝16,x∈N,y∈N}={(0,8),(2,5),(4,2)}.7．（2022·湖南·高一课时练习）用自然语言描述下列集合：(1)；(2)；(3).【答案】(1)小于10的正奇数构成的集合；(2)大于的实数构成的集合；(3)大于2且小于20的所有质数构成的集合.【解析】(1)因为集合表示：小于10的正奇数构成的集合；(2)集合表示：大于的实数构成的集合；(3)集合表示：大于2且小于20的所有质数构成的集合.4集合中元素的个数1．（2022·全国·高三专题练习）已知集合，则A中元素的个数为（

）A．9 B．8 C．5 D．4【答案】A【解析】由，得，，又，，所以，，易知与的任意组合均满足条件，所以A中元素的个数为.故选：A.2．（2022·全国·高三专题练习）已知集合,则下列四个元素中属于M的元素的个数是（

）①;②;③;④A．4 B．3 C．2 D．1【答案】C【解析】①当时，可得，这与矛盾，②，可得，都是有理数，所以正确，③，，可得，都是有理数，所以正确，④而，，是无理数，不是集合中的元素，只有②③是集合的元素.故选：C3．（2022·内蒙古·呼和浩特市教育教学研究中心高一期末）已知集合，，则B中所含元素的个数为（

）A．3 B．6 C．8 D．10【答案】B【解析】因为，所以时，；时，或；时，，或.所以，所以B中所含元素的个数为.故选：B.4．（2022·湖南·益阳市箴言中学高一开学考试）已知集合，则M中元素的个数为（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【解析】因为且，所以，即集合中只有一个元素．故选：A．5．（2022·湖南·岳阳一中一模）定义集合的一种运算：，若，，则中的元素个数为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因为，，，所以，故集合中的元素个数为3，故选：C.6．（2022·江西省定南中学高二阶段练习（文））已知集合，，，则C中元素的个数为（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解析】由题意，当时，，当，时，，当，时，，即C中有三个元素，故选：C5元素互异性及其应用1．（2022·四川自贡·高一期末）若，则的值为（

）A． B． C．或 D．【答案】A【解析】若，则，不符合集合元素的互异性；若，则或（舍），此时，符合题意；综上所述：.故选：A.2．（2022·江西·高一期末）已知集合，若，则（

）A．-1 B．0 C．2 D．3【答案】C【解析】因为，所以或，而无实数解，所以.故选：C.3．（2022·江苏·高一）已知集合，若，则实数a的值为（

）A．1 B．1或0 C．0 D．或0【答案】C【解析】若，即时，，不符合集合元素的互异性，舍去；若，即（舍去）或时，，故.故选：C.4．（2022·广东）若，则的可能取值有（

）A．0 B．0，1 C．0，3 D．0，1，3【答案】C【解析】，则，符合题设；时，显然不满足集合中元素的互异性，不合题设；时，则，符合题设；∴或均可以.故选：C5．（2021·黑龙江·勃利县高级中学）已知集合，且，则实数m的值为（

）A．3 B．2 C．0或3 D．0或2或3【答案】A【解析】因为，且，所以或，解得或或，当时，即集合不满足集合元素的互异性，故，当时集合不满足集合元素的互异性，故，当时满足条件；故选：A6．（2021·湖北孝感·高一期中）（多选）已知集合，，则为（

）A．2 B． C．5 D．【答案】BC【解析】依题意，当时，或，若，则，符合题意；若，则，对于集合，不满足集合元素的互异性，所以不符合.当时，或，若，则，对于集合，不满足集合元素的互异性，所以不符合.若，则，符合题意.综上所述，的值为或.故选：BC7．（2022·北京石景山·高一期末）已知集合，且，则的值可能为（

）A． B． C．0 D．1【答案】C集合，四个选项中，只有，故选：C．8．（2021·甘肃·静宁县第一中学高一阶段练习）若以集合的四个元素为边长构成一个四边形，则这个四边形可能是（

）A．矩形 B．平行四边形C．梯形 D．菱形【答案】C【解析】由题意，集合的四个元素为边长构成一个四边形，根据集合中元素的互异性，可得四个元素互不相等，以四个元素为