高中数学一轮复习基础知识手册第五编解析几何

第五编解析几何考纲要求：1.直线与方程（1）在平面直角坐标系中，结合具体图形掌握确定直线位置的几何要素.（2）理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式.（3）能根据两条直线的斜率之间的关系判定这两条直线平行或垂直.（4）掌握确定直线的几何要素，掌握直线方程的三种形式（点斜式、两点式及一般式），了解斜截式与一次函数的关系.（5）能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标.（6）掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离.2.圆与方程（1）掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程与一般方程.（2）能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆的位置关系；能根据给定两个圆的方程判断两圆的位置关系.（3）会晒直线和圆的方程解决一些简单的问题.（4）初步了解用代数方法处理几何问题的思想.3.空间直角坐标系（1）了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标表示点的位置.（2）会简单应用空间两点间的距离公式.4.圆锥曲线与方程（1）了解圆锥曲线的实际背景，了解圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作甩（2）掌握椭圆、抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质（范围、对称性、顶点、离心率）.（3）了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道它的简单几何性质（范围、对称性、顶点、离心、率、渐近线）.（4）了解圆锥曲线与方程的对应关系.（5）理解数形结合的思想.（6）了解圆锥曲线的简单应用.第一讲直线的方程知识能力解读知能解读：（一）直线的倾斜角和斜率1直线的倾斜角当直线l与x轴相交时，我们取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向所成的角叫做直线l的倾斜角.规定当直线和x轴平行或重合时，其倾斜角为，所以直线的倾斜角的范围是（或）.2.直线的斜率倾斜角不是的直线，它的倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率，即.（1）斜率计算公式：设经过和两点的直线的斜率为k，则当时，（且）.当时，直线与y轴平行，倾斜角，而的正切值不存在，所以直线的斜率不存在.（2）每一条直线都有唯一的倾斜角，但并不是每一条直线都存在斜率（直线垂直于x轴时，其斜率不存在），这就决定了我们在研究直线的有关问题时，应考虑斜率存在与不存在这两种情况，否则会产生漏解.（3）倾斜角和斜率都是反映直线相对于x轴正方向的倾斜程度.知能解读：（二）直线方程的几种形式1点斜式过已知点，且斜率为k的直线方程可以写成点斜式：.（1）因为是表求不含的两条射线的方程，必须将其化为才是整条直线的方程.（2）当直线斜率不存在时，不能用点斜式表示，此时直线方程为.2斜截式若已知直线在y轴上的截距为b，斜率为k，则直线方程可以写成斜截式：y=kx+b.说明：对于过（0，b）且垂直于x轴的直线，即y轴，可以不用斜截式，而直接写成x=0.3两点式若已知直线经过和两点，且，，则直线的方程可以写成两点式：.（1）两点式方程的条件是，，即不包括平行于x轴（或与x轴重合）和平行于y轴（或与y轴重合）的直线.（2）当两点式方程写成的形式时，方程可以表示任何一条直线.4截距式若已知直线在x轴、y轴上的截距分别是a，b（，），则直线方程可以写成截距式：.（1）直线的截距式就是直线过（a，0），（0，b）（，）两点的两点式.（2）对于平行于坐标轴或过原点的直线方程，不能用截距式.（3）“截距”并非指“距离”，而是直线（或曲线）与坐标轴交点的横（纵）坐标，“截距”可正可负，也可为0.5特殊位置的直线方程y轴所在直线的方程为x=0；平行于y轴的直线方程为；x轴所在直线的方程为y=0；平行于x轴的直线方程为.6一般式任何一条直线的方程均可写成一般式（A，B不同时为零）的形式.反之，任何一个二元一次方程都表示一条直线.直线方程的四种特殊形式系可以化为直线方程的一般式，但一般式不一定都能化为四种特殊形式，还要看系数A，B，C是否为0才能确定.知能解读：（三）两条直线的位置关系斜截式一般式方程相交（当，记为）垂直（当，记为）平行且或（当，记为）重合且，，（）（当，记为）提示：（1）若两条直线的斜率都不存在，则两条直线平行（或重合）；若一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0，则两条直线垂直.（2）对于来说，无论两条垂直直线的斜率存在与否，该式都成立.因此，此公式使用起来更方便.知能解读：（四）两条直线的交点设两条直线的方程分别为；，两条直线的交点坐标就是方程组的解，若方程组有唯一解，则两条直线相交，此解就是交点坐标；若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行.反之，亦成立.知能解读：（五）三个距离公式1两点间的距离平面上的两点，间的距离公式：.2点到直线的距离点到直线的距离.3两条平行线间的距离两条平行线与间的距离.点拨：在使用点到直线的距离公式或两条平行线间的距离公式时，直钱方程必须先化为的形式，否则会出错.特别地，在应用两条平行线间的距离公式时，必须使两直线方程中x，y的系数相同.知能解读：（六）直线系方程具有某一个共同性质的一簇直线称为直线系，它的方程称为直线系方程.直线系方程通常只含有一个独立参数，常见的直线系有如下三类：（1）与直线平行的直线可表示为；（2）与直线垂直的直线可表示为；（3）过直线和直线交点的直线系方程：，但不包括.解题方法荟萃Ⅰ.数学思想方法思想方法：（一）数形结合思想思想方法：（二）待定系数法说明：与平行的直线可设为，与垂直的直线可设为.思想方法：（三）参数法说明：本题引入的比值为参数，简化了求解过程.在用参数法解决问题时，一般有以下三步：第一步，设参.即引入参数，这个参数可能是点、斜率或截距等.第二步，用参.即用引入的参数找等量关系.第三步，消参.一般地，如果只含有一个参数，通过加减消参、代入消参，都可达到目的；如果含有两个参数，往往反解代入消参.Ⅱ.解题规律技巧规律技巧：（一）求解直线的倾斜角和斜率说明：求斜率一般有两种方法：其一，已知直线上两点，根据（当时）求斜率；其二，已知倾斜角或的三角函数值，根据求斜率.此类问题常与三角函数知识联系在一起.规律技巧：（二）求直线方程的方法求直线方程的方法主要有两种：①直接法：根据已知条件，选择适当的直线方程形式，直接写出直线方程；②待定系数法：先设出直线方程，再根据已知条件求出待定系数，最后代入求出直线方程.规律技巧：（三）含参直线过定点问题的解法说明：不论m为何实数，直线恒过定点，因此，这个定点一定是直线系中任意两直线的交点.规律技巧：（四）对称问题的解法1点关于点的对称点关于的对称点为.2点关于直线的对称设点关于直线：y=kx+b的对称点为，则有可求出，.拓展：点关于几条特殊直线的对称点坐标：点对面轴对称点坐标x轴y轴直线y=x直线y=-x直线直线3直线关于直线的对称（1）若已知直线与对称轴l相交，则交点必在与对称的直线上，然后再求出上任意一个已知点关于对称轴l的对称点，则经过交点及点的直线就是.（2）若已知直线与对称轴l平行，则与对称的直线到直线l的距离和到直线l的距离相等，由平行直线系和两条平行线间的距离即可求出的对称直线.规律技巧：（五）定直线上的点到两定点距离和（差）最值问题的解法（1）在直线l上求一点P，使P到两定点的距离之和最小.①当两定点A，B在直线l的异侧时，由两点之间线段最短及三角形中任意两边之和大于第三边可知，点P为AB连线与l的交点.点P到两定点距高之和的最小值为的长度，如图所示，，当且仅当点与点P重合时等号成立.②当两定点A，B在直线l的同侧时，作点A关于直线l的对称点，连接交l于点P，则点P到两定点A，B的距离之和最小.（2）在直线l上求一点P，使点P到两定点的距离之差的绝对值最大.①当两定点A，B在直线l的同侧时（AB连线与l不平行），连接BA并延长，交直线l于点P.如图所示，在l上任取一点，则.当与P两点重合时，等号成立，最大值为.②当两定点A，B在直线l的异侧时，作点A关于直线l的对称点，连接并延长，交l于点P，如图所示，此时达到最大.规律技巧：（六）妙用直线系求直线方程运用直线系方程，有时会给解题带来方便，常见的直线系方程有：（1）与直线平行的直线系方程是（且）；（2）与直线垂直的直线系方程是（）；（3）过直线与的交点的直线系方程是，但不包括.由于确定一条直线需要两个独立的条件，因而在求直线方程的过程中，要先根据一个条件写出所求的直线系方程，再根据另一个条件确定其中的参数.Ⅲ易混易错辨析易混易错：（一）忽视直线斜率不存在的情况而致误说明：在用点斜式设直线方程时，必须考虑斜率是否存在，否则容易漏解.易混易错：（二）对直线域中的定义理解有误致错说明：求与截距有关的直线方程时易忽视截距为零的情形.如本例中的截距互为相反数，当直线在x轴与y轴上的截距为零时也满足.当出现“截距相等”“截距互为相反数”“一截距是另一截距的几倍”等条件时，首先考虑截距为零的情形，注意分类讨论思想的运用.高考命题研究直线的方程是解析几何的基础内容，是高考的必考内容之一.在高考的试题内容中有如下两种形式：一种为独立试题，多出现在客观题中，以考查直线方程的确定与直线位置关系为主，且每不超过一题，难度不大；另一种是出现在解析几何的综合题中，作为工具，解决直线与圆锥曲线的位置关系问题.高考热点：（一）直线的倾斜角与斜率高考热点：（二）直线的方程与两直线的位置关系用所给条件，选取合适的方程形式来确定直线方程，并结合两条直线的位置关系来确定相应字母取值是近来高考命题的热点，也是重点.高考热点：（三）距离公式的应用高考热点：（四）对称问题高考热点：（五）与圆锥曲线结合考查直线与圆锥曲线的位置关系附录：常用公式定理1常用概念（1）倾斜角当直线l与x轴相交时，我们取x轴作为基准，x轴正向与直线，向上方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角.当直线与x轴平行或重合时，我们规定它的倾斜角为，因此，直线的倾斜角的取值范围为.（2）斜率倾斜角不是的直线，它的倾斜角的正切值叫这条直线的斜率，常用k表示，即，常用斜率表示倾斜角不等于的直线相对于x轴的倾斜程度.2常用公式（1）斜率公式①若，，则.②若直线l的倾斜角为，则（2）点到直线的距离公式点点到直线的距离.（3）两平行线间的距离公式两条平行线与间的距离.3常用性质两直线位置关系的判定与性质定理列表如下：直线方程位置关系（，，，，，，全不为零）平行且且（或且）重合且且（或且）相交垂直第二讲圆知识能力解读知能解读（一）曲线和方程曲线的方程和方程的曲线一般地，在直角坐标系中，如果某曲线C（看做适合某种条件的点的集合或轨迹）上的点与一个二元方程的实数解建立了如下关系：（1）曲线上点的坐标都是这个方程的解；（2）以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点.则这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线.说明：（1）曲线的方程和方程的曲线是同一关系下的两种不同表现形式.曲线的性质完全反映在它的方程上，方程的性质完全反映在它的曲线上.因此，我们可以利用方程研究曲线.（2）曲线与方程应满足的两个条件，前者是说曲线上没有坐标不满足方程的点，即曲线上的点都适合这个条件而无例外，这也就是曲线的纯粹性.后者是说适合条件的所有点都在曲线上，毫无遗漏，也就是说曲线具有完备性.（3）当曲线与方程满足上述两个关系时，我们就说曲线C上的点的集合与二元方程的实数解的集合建立了元素间的一一对应关系.知能解读：（二）圆1圆的定义及其方程（1）圆的定义：平面内与定点的距离等于定长的点的集合（轨迹）叫做圆.定点叫做圆心，定长就是半径.（2）圆的标准方程：（r>0），圆心C（a，b），半径为r.特别地，圆心在坐标原点，半径为r的圆的方程.（3）圆的一般方程：，圆心，半径.圆的一般方程形式上的特点：①和的系数相同，且不等于零；②没有xy这样的二次项.以上两点是二元二次方程表示圆的必要非充分条件.说明：（1）在圆的标准方程和一般方程中都有三个参变量.前者是a，b，r，后者是D，E，F，它们是确定圆的方程的三个独立条件，只要求出这三个参变量，圆的方程就被确定，其中圆心是圆的定位条件，半径是圆的定形条件.（2）在使用标准式和一般式求圆的方程时，若已知圆心或圆的半径，设标准式较好；若已知圆经：过三定点，设一般式较简单.（3）在圆的一般式方程中，只有当时，方程才表示圆，而当时，方程表示点，当时，方程不表示任何图形.拓展：二元二次方程表示圆的条件有三个：一是；二是B=0；三是.第三个条件很容易被忽略，学习时要引起足够重视.2点与圆的位置关系（仅以标准方程为例）设与圆C：.（1）若P到圆心的距离为d，则有点P在圆C外；点P在圆C上；点P在圆C内.（2）点P在圆上；点P在圆内；点jP在圆外.说明：若点P是圆C外一定点，则该点与圆上的点的最大距离，最小距离；若点P是圆C内一点，则该点与圆上的点的最大距离为，最小距离为.3直线与圆的位置关系设直线和圆C：，圆心C到直线l的距离为d，由直线l和圆C联立方程组消去x（或y）后，所得一元二次方程的判别式为，则它们的位置关系如下：相离（或）；相切（或）；相交（或）.这里用d与r的关系来判定，称为几何法，只有对圆才适用，也是最简便的方法；利用判定称为代数法，对讨论直线和二次曲线的位置关系都适用.说明：当直线与圆相离时，圆上的点到直线的最大矩离为d+r，最小距离为d-r；当直线和圆相交时，圆上的点到直线的最大距离为d+r，最小距离为0（d为圆心到直线的距离）.4两圆的位置关系（1）代数法：解两个圆的方程所组成的二元二次方程组.若方程组有两组不同的实数解，则两圆相交；若方程组有且只有一组实数解，则两圆相切；若方程组无实数解，则两圆相离.（2）几何法：设圆的半径为，圆的半径为，①两圆外离.②两圆外切.③两圆相交.④两圆内切.⑤两圆内含.5圆的切线的求法（1）若点在圆上，则过点P的切线方程为；若点在圆上，则过点P的切线方程为；若点在圆上，则过点P的切线方程为.（2）当点在圆外时，可设切线方程为，利用圆心到直线的距离等于半径即d=r，求出k即可，或利用求出k.若求得是只有一值，则还应该有一条斜率不存在的直线，此时应补上.6圆的弦长的求法几何法：当直线和圆相交时，设弦长为l，弦心距为d，半径为r，则有.代数法：设直线l的斜率为k，l与圆的交点分别，，则弦长；.其中，的求法是将直线和圆的方程联立消去y或x，利用一元二次方程根与系数的关系求解.7圆系方程经过两个定点A，B的圆有无数个，则表示这无数个圆的方程称为圆系方程.（1）经过直线与圆的交点的圆系方程为，其中.（2）经过圆与圆的交点的圆系方程为，其中且，同时不包括圆.当时，方程变为，若两圆相交，则其表示两圆的公共弦所在直线方程.解题方法荟萃Ⅰ数学思想方法思想方法：（一）数形结合思想思想方法：（二）转化与化归思想思想方法：（三）函数与方程思想说明：本题巧用一元二次方程根与系数的关系，列出，进而求得方程.另外，在设方程时，设过（3，0）的直线方程为x+ay-3=0（）可避免讨论.说明：在涉及直线被圆截得的弦长时，要巧妙利用圆的有关几何性质，如本题中的，其中为圆半径，为弦长的一半.思想方法：（四）待定系数法求解圆的方程时可根据条件设出圆的标准方程或一般方程，再用待定系数法确定其中字母的取值.其步骤如下：①“设”：根据题意，选择标准方程或一般方程；②“列”：根据条件列出关于a，b，r或D，E，F的方程组；③“求”：解出a，b，r或D，E，F并写出方程.说明：已知三个独立条件求圆的方程，一般是用待定系数法，解法1是求出a，b，r；解法2是求出D，E，F；而解法3是应用“圆的弦的垂直平分线一定经过圆心”求得.思想方法：（五）对称法运用镜面反射的特点来转化圆的切线的求法往往利于寻求思路和简化运算.说明：本题是一道能力要求较强的题目，其难度不大，但涉及知识面比较广，如入射光线和反射光线的关系、设点坐标、求斜率、点到直线的距离以及有关的平面几何知识等.Ⅱ解题规律技巧规律技巧：（一）圆的方程的求解说明：在涉及求圆的方程的题目中，若已知圆心和半径之一，设标准式较简便，有些题尽管求标准式，但不知圆心和半径时也应先设一般式，最后化为标准式.规律技巧：（二）求曲线方程的步骤（1）建系设点：建立适当的直角坐标系，用表示曲线上任意一点M的坐标；（2）列式：写出适合条件p的点M的集合，（3）代入：用坐标表示出条件，列出方程；（4）化简：化方程为最简形式；（5）证明：证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点.上述求曲线方程的方法常称为直接法（或一般法）.说明：（1）在化简的过程中，若能保证化简过程都是同解变形，则步骤（5）可以省略不写，如有特殊情况（如特殊点不满足条件等），可适当给予说明.另外，根据情况，也可以省略步骤（2），直接列出曲线的方程.（2）由于建的坐标系不同，同一曲线的方程一般也不相同.因此，在建立坐标系时，应建立适当的坐标系.坐标系适当，可使运算简化，求得方程的形式也较简单.如果坐标系的建立不当，则会大大增加运算的繁琐程度.（3）一般地，求哪个点的轨迹方程，就设哪个点的坐标为，而不要设成或等.（4）在根据条件列方程时，应先认真分析题设的条件，综合利用平面几何的知识，列出几何等式，再利用解析几何的一些基本概念、公式、定理等将几何等式坐标化，便可得到方程.（5）求轨迹方程与求轨迹是有区别的，求轨迹方程得出方程即可，而求轨迹在得出方程后还要指出方程的曲线是什么形状.下结论时要注意满足方程的解是否都在曲线上，以免多解或漏解.说明：求动点轨迹方程常用方法有：①直接法：直接由题目条件列出方程；②定义法：根据某特殊曲线的定义求方程；③代入法（相关点法）：找到所求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式求解.规律技巧：I（三）两圆公共弦长的求解方法点拨：当两圆相交求其公共弦所在的直线方程或公共弦长时，把两圆方程相减消去二次项，所得方程就是公共弦所在的直线方程，再根据其中一个圆的方程和这条直线方程就可以求出公共弦长.规律技巧：（四）圆的中点弦问题的解法说明：解法1利用根与系数的关系求解，是一种通法，但运算量很大；解法2用的是点差法，利用弦端点坐标满足曲线方程得到两个关系式，把两个等式相减直接得出弦的中点坐标和斜率的关系，也是一种常用的方法；解法3充分运用圆这种特殊曲线的几何性质解题，从而使解题过程大大简化，在解答解析几何问题中，如能恰当运用几何图形的几何性质，常常可以简化解题过程.规律技巧：（五）与圆有关的最值问题的解题策略点拨：与圆上点有关的最值问题的常见类型及解法：（1）形如的最值转化为过点和的直线的斜率的最值.（2）形如的最值，转化为动直线截距的最值.（3）形如的最值，转化为点与的距离的平方的最值.Ⅲ易混易错辨析易混易错：（一）忽视圆的半径大于0而致误易混易错：（二）求圆的切线方程时漏解说明：过已知点求圆的切线方程首先判断点与圆的位置关系，再判断切线条数，以免漏解.求与直线斜率有关的问题时，要注意判断斜率是否存在.易混易错：（三）两圆相切时，漏掉内切的情况而致误高考命题研究圆是高考的重点和热点，题型主要是选择题或填空题，有时也与其它知识综合考查，考查知识点涉及圆的方程的确定、直线与圆相切的条件、相交所得弦长、圆与圆的位置关系的判断与应用等，题目难度中等，数形结合思想在此类题目中体现比较多.高考热点：（一）圆的方程的确定结合题目条件，确定圆的圆心和半径，或者设出圆的方程利用待定系数法求解.高考热点：（二）直线与圆的位置关系及应用说明：本题亦可以从另一个角度去解，对于（1）也可证明圆心C到l的距离对任意实数m均成立；对于（2）可求的最大值.高考热点：（三）圆与圆的位置关系及应用例高考热点：（四）与直线和圆有关的轨迹问题根据曲线的几何特征寻求曲线的方程，这是解析几何的主要内容，在后面“圆锥曲线”这一节中我们还要更加详尽地讨论.求轨迹方程的基本方法有：直接法、定义法、代入法.高考热点：（五）与圆有关的综合题结合圆的性质考查圆的方程，并与其它圆锥曲线相结合，是圆的综合题考查的主要方向.附录：常用公式定理常用结论（1）曲线的方程、方程的曲线在平面直角坐标系中，如果某曲线C（看做适合某种条件的点的集合或轨迹）上的点与一个二元方程的实数解建立了如下的关系：①曲线上的点的坐标都是这个方程的解；②以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点.则，这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线.（2）圆的标准方程方程就是圆心为，半径为r的圆的标准方程.（3）圆的一般方程方程，当0时，称为圆的一般方程.（4）圆的参数方程设圆心为，半径为R，则其参数方程为（为参数，）.（5）直线与圆的位置关系设直线，圆（A，B不同时为0）.圆心到l的距离为，则：l与圆C相离；l与圆C相切；l与圆C相交.（6）圆与圆的位置关系设圆，圆.设两圆的圆心距为d，则当d>R+r时，两圆外离；当d=R+r时，两圆外切；当时，两圆相交；当时，两圆内切；当时，两圆内含.第三讲椭圆知识能力解读知能解读：（一）椭圆的定义平面内与两个定点，的距离的和等于常数（大于）的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点之间的距离叫做椭圆的焦距.说明：（1）椭圆的定义反映了椭圆的特征，解题时要灵活运用.（2）在椭圆的定义中，椭圆上的点P满足.若，则点P的轨迹为线段；若，则点P没有轨迹.知能解读：（二）椭圆的标准方程、图形及几何性质标准方程（a>b>0）中心在原点，焦点在x轴上（a>b>0）中心在原点，焦点在y轴上图形顶点，，，，对称轴x轴、y轴x轴、y轴焦点，，焦距（c>0）（c>0）离心率说明：（1）长轴与短轴的交点叫做椭圆的中心，表中所列椭圆的中心均在原点，且均以坐标轴为对称轴.（2）椭圆的两种标准方程中，如果的分母大，则焦点就在x轴上；如果的分母大，则焦点就在y轴上.应用时，要推据焦点在x轴或y轴上来确定采用哪种形式.注意：椭圆的焦点始终在长轴上.（3）离心率表示椭圆的扁平程度，当e越接近于1时，c越接近于a，从而越小，因此椭圆越扁；当e越接近于0时，c越接近于0，从而越大，因此椭圆越接近圆；当e=0时，c=0，a=b，两焦点重合，图形就是圆.（4）表中的参数特征：a（长半轴长），b（短半轴长），（半焦距），e（离心率0<e<l）.知能解读：（三）椭圆的焦半径、焦点三角形和通径1.焦半径：椭圆上的任一点和焦点的连线段称为椭圆的焦半径.焦半径公式：当椭圆的焦点在x轴上时，设，分别是椭圆的左、右焦点，是椭圆上任一点，则，，即左加右减.当椭圆的焦点在y轴上时，设，分别是它的下、上焦点，是椭圆上任一点，则，，即下加上减.2.设，为椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点，当P，，三点不在同一直线上时，就构成了一个三角形——焦点三角形.常用公式有：（1）；（2）；（3）.3.通径：过椭圆的焦点与椭圆的长轴垂直的直线被椭圆所截得的线段称为椭圆的通径，其长为.解题方法荟萃Ⅰ数学思想方法思想方法：（一）数形结合思想思想方法：（二）设而不求法和方程思想点评：当直线与椭圆相交涉及弦长问题时，常用“根与系数的关系”、设而不求的方法计算弦长.弦长公式为或.思想方法：（三）定义法求椭圆方程说明：本题是用定义法求动点的轨迹方程，但是要注意方程的纯粹性（本题中当P在x轴上时，P，A，B三点共线，不能构成三角形，应将5舍去），否则易出现错误.思想方法（四）待定系数法求椭圆方程说明：（1）用待定系数法求椭圆方程，要先定形（确定焦点位置，选择标准方程的形式），再定量（由题设条件，列出待定系数的方程组，解方程组求得）；若焦点位置不确定，要考虑是否有两解.（2）椭圆标准方程的两种形式的统一形式为.思想方法（五）点差法点评：当涉及弦的中点问题时，常用点差法，将动点坐标、弦所在直线的斜率和弦的中点坐标联系起来，相互转化.Ⅱ解题规律技巧规律技巧：（一）椭圆定义的应用点评：涉及椭圆上点到焦点的距离问题（可能是到一个焦点的距离），常常利用椭圆的定义求解.规律技巧：（二）椭圆方程的求解求椭圆标准方程的基本方法是待定系数法.具体过程是：先定形，再定量.即首先确定焦点所在的坐标轴，然后设标准方程，再根据条件建立关于a，b的方程组.如果焦点位置不确定，则要考虑是否有两解，有时也可将方程设为的形式.即“定位置，设方程，寻关系，得方程”.说明：解这类有两种情形的椭圆标准方程的题目，易出现求出第一种情形后，不管题目条件如何，立即将交换得第二种情形的方程的错误.为防止这类错误的发生，要仔细分析题目的条件，弄清在焦点不同的情况下，椭圆的形状是否改变，即a，b，c的值是否有变化.规律技巧：（三）椭圆的离心率说明：求椭圆离心率或其范围的方法：（1）求a，b，c的值，利用直接求.（2）列出含有a，b，c的齐次方程（或不等式），借助于消去b，然后转化成关于e的方程（或不等式）求解.（3）通过取特殊值或特殊位置，求出离心率.规律技巧：（四）设而不求法的应用点评：涉及直线与椭圆相交的问题，往往采用“设而不求”的策略，即设出交点坐标，用根与系数的关系表示出，，从而可表示出弦的中点坐标，也可将向量的数量积运算转化为，的关系，整体代入即可.规律技巧：（五）对称问题说明：在涉及圆锥曲线上两点之间的线段的中点问题时，将圆雄曲线上的点设为与，此时为PQ中点，易知为P，Q的连线的斜率，可以简化计算.规律技巧：（六）最值问题在圆锥曲线中除利用定义求最值外，关于直线与圆锥曲线的最值常用平移法求解.Ⅲ易混易错辨析易混易错：（一）忽视椭圆标准方程中a>b>0而致误易混易错：（二）求椭圆方程时，忽视椭圆焦点的位置而致误高考命题研究椭圆的标准方程和几何性质是高考考查的重点内容之一，要会灵活运用椭圆的定义、标准方程来解决有关焦点、离心率、顶点的问题，也要会根据椭圆的几何性质求椭圆的方程.高考中常出现的题型是：（1）根据椭圆的定义、标准方程求椭圆的焦点、顶点、离心率；（2）根据椭圆的几何性质求椭圆的标准方程；（3）以椭圆为载体，与直线、向量、函数、不等式相结合的综合性较强的解答题.高考热点：（一）椭圆的定义及标准方程圆锥曲线是高考考查的重要内容，而椭圆的定义和标准方程更是高考的热点内容之一.一般地，椭圆的定义常在选择题、填空题中考查，椭圆的标准方程则经常与其它问题结合，在解答题中综合考查.高考热点：（二）楠圆的几何性质椭圆的几何性质是高考考查的重点，常涉及椭圆的焦点坐标和离心率等问题，多以选择题、填空题的形式出现，解答题中常考查椭圆方程的求解、直线与椭圆的位置关系等综合题.说明：在椭圆中，，其中为.高考热点：（三）直线与椭圆的位置关系直线与椭圆的位置关系是高考考查的热点内容之一，一般地，此类问题多以解答题的形式出现，综合考查椭圆的方程、几何性质以及学生的运算求解能力和探究问题的能力.高考热点：（四）椭圆中面积的最值问题最值问题在近几高考中频频出现，以解答题为主.这类题常与面积问题相结合，综合性较强，难度较大，要解决这类问题需利用数形结合、转化与化归等思想方法，将问题转化为解不等式或求函数值域问题，利用函数的单调性、平面几何中相关知识来解决.高考热点：（五）椭圆中的存在性问题存在性问题一般有一定型、否定型和讨论型三种，即在数学命题中，常以适合某种性质的结论“存在”“不存在”“是否存在”等形式出现.“存在”就是有适合某种条件或符合某种性质的对象，对于这类问题无论是什么方法只要找出一个，就说明存在，这样比一般性论证要容易.“不存在”一般需要推理论证，常用_反证法.“是否存在”结论有两种可能：若存在，需要找出来；若不存在，需要说明理由.解答这类问题，一般先对结论作存在的假设，然后由此假设出发，结合已知条件进行推理论证，根据推论结果是否出现矛盾作判断.高考热点：（六）椭圆中的范围问题附录：常用公式定理常用结论（1）椭圆（a>b>0）中，（c>0），焦距，（P为椭圆上任一点）.（2）如图所示，椭圆（a>b>0）的离心率有如下形式：.（3）如图所示，设为椭圆（a>b>0）上任一点，，为其左、右焦点，，则①焦半径公式：，；（此时P与B重合）；（此时P与A重合）.②.③（此时P与C或D重合）；（此时P与A或B重合）.，.④通径长（其中MN是通过焦点（或）且与长轴垂直的弦）.⑤焦点三角形的面积为.第四讲双曲线与抛物线知识能力解读知能解读（一）双曲线1双曲线的定义平面内与两定点，的距离的差的绝对值等于非零常数（小于）的点的轨迹叫做双曲线，这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点之间的距离叫做双曲线的焦距1说明：（1）设P是双曲线上任一点，则双曲线的定义用集合表示为：.若或，则点P的轨迹为双曲线的一支.（2）定义中“小于”这一限制条件十分重要，其根据是“三角形两边之差小于第三边”.若，此时动点轨迹是以，为端点的两条射线；若，动点轨迹不存在.2双曲线的标准方程、图形及几何性质标准方程（a>0，b>0）中心在原点，焦点在x轴上（a>0，b>0）中心在原点，焦点在y轴上图形顶点，，对称轴x轴、y轴x轴、y轴焦点，，焦距（c>0）（c>0）离心率准线方程渐近线方程说明：（1）双曲线的方程与选择的坐标系有关，选择的坐标系不同，方程形式也不同，当且仅当以双曲线的两条对称轴为坐标釭时的方程才称为标准方程，即表中的两种形式.（2）双曲线的实轴和虚轴的交点叫做双曲线的中心，表中所列双曲线的中心均在原点，且以坐标轴为对称轴.（3）当焦点在x轴上时，方程中的项的系数为正；当焦点在y轴上时，方程中的项的系数为正.反之，可以根据标准方程中项、项的正负来判断双曲线的焦点在x轴上还是在y轴上.注意：双曲线的焦点永远在实轴上.（4）双曲线方程中的a，b的大小关系是不确定的，可以a>b，a<b，也可以a=b，但必有c>a>0，c>b>0.（5）离心率e表示双曲线开口的大小，e越大，双曲线的开口越大.3双曲线的渐近线渐近线是双曲线所特有的，对于双曲线（a>0，b>0），直线叫做双曲线的渐近线.当x，y无限增大时，直线与双曲线无限接近，但不能相交.渐近线的求法：以双曲线（a>0，b>0）为例，将等号右边的“1”改为“0”，即得，整理可得渐近线.我们将有共同渐近线的双曲线叫做共渐近线的双曲线系，若共渐近线为，则以它为渐近线的双曲线系方程可以写成，用这一形式求解双曲线方程可以简化解题过程.4共轭双曲线双曲线（a>0，b>0）与（a>0，b>0）互为共扼双曲线，也就是实轴与虚轴互换的双曲线.其性质如下：（1）互为共轭的双曲线有相同的渐近线，有相同的焦距（焦点不同）；（2）它们的四个焦点在同一个圆上；（3）两个双曲线的离心率的倒数的平方和为1，即两个双曲线的离心率分别为，，则.5通径过双曲线的焦点与双曲线实轴所在直线垂直的直线被双曲线截得的线段，称为双曲线的通径，其长为.知能解读：（二）抛物线1定义平面内与一个定点F和一条定直线l（l不经过点F）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.其中定点F叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线.说明：（1）定义的实质可归纳为“一动三定”：一个动点，设为M；—个定点F，叫做抛物线的焦点；一条定直线l叫做抛物线的准线；一个定值，即点M到点F的距离和它到定直线l的距离之比等于1.（2）当l过F时，此时的轨迹是过F且与l垂直的直线.2抛物线的标准方程、图形及几何性质标准方程焦点在x轴上，开口向右焦点在x轴上，开口向左焦点在y轴上，开口向上焦点在y轴上，开口向下图形顶点对称轴x轴x轴y轴y轴焦点p表示焦点到准线的距离p表示焦点到准线的距离p表示焦点到准线的距离p表示焦点到准线的距离离心率e=1准线方程说明：（1）焦参数p恒为正值，当抛物线标准方程的一次项系数为负时，要特别注意.（2）只有顶点在坐标原点，焦点在坐标轴上的抛物线的方程才有标准形式.（3）抛物线的标准方程共有四种不同形式，根据抛物线的开口方向，可以确定标准方程的形式，表中所列抛物线的顶点均在原点，且以一条坐标轴为对称轴.3焦半径公式设F是抛物线的焦点，是抛物线上任一点，则.4焦点弦的性质设AB是过抛物线；焦点的一条弦.（1）若AB所在直线与x轴的夹角为，则，特别地，当时，抛物线的弦长，此时弦AB即为抛物线的通径.（2）若点，，则.（3）若点，，则，.（4）若，（F为焦点），则（定值）.（5）以AB为直径的圆与抛物线的准线相切.知能解读（三）圆锥曲线的统一定义若平面内一个动点M到一个定点P和到一条定直线l的距离之比等于一个常数e（e>0），则动点M的轨迹为圆锥曲线.其中，定点F为焦点，定直线l为准线，e为离心率.当0<e<l时，轨迹为椭圆；当e=l时，轨迹为抛物线；当e>l时，轨迹为双曲线.解题方法荟萃Ⅰ数学思想方法思想方法：（一）数形结合思想说明：本题考查抛物线的定义，求解时应注意利用定义将抛物线上的点到准线的距离转化为到焦点的距离.说明：本题利用双曲线的定义将问题转化为求的最小值，问题迎刃而解.思想方法：（二）函数与方程思想点评：曲线的切线的斜率的求法有两种：（1）联立切线与曲线的方程，利用求得；（2）利用导数的几何意义，通过切点的坐标来求.思想方法：（三）待定系数法用待定系数法求双曲线的标准方程时，先确定焦点所在的坐标轴，设出标准方程，再由条件确定，的值，即“先定型，再定量”；如果焦点位置不好确定，可将双曲线方程设为，再根据条件求的值.常见双曲线的设法：（1）已知过两点的双曲线方程可设为（AB>0）；（2）等轴双曲线方程可设为；（3）与双曲线（a>0，b>0）有共同渐近线的双曲线方程可设为；（4）有共同焦点的双曲线方程可设为.说明：与双曲线共渐近线的双曲线方程为，当时，焦点在x轴上；当时，焦点在y轴上.与双曲线共焦点的双曲线方程为.比较上述两种解法可知，利用共渐近线的双曲线系方程、共焦点的双曲线系方程解题简捷明了，省去了分类讨论的过程，提高了解题质量，要善于选择恰当的方程模型.思想方法：（四）点差法说明：弦中点问题利用点差法解决计算量小，但要注意检验与双曲线是否有交点.如果做小题，可先判断点所在区域直接求解.Ⅱ解题规律技巧规律技巧：（一）双曲线定义的应用说明：在运用双曲线的定义时，应特别注意定义中的条件“差的绝对值”，弄清轨迹是整个双曲线，还是双曲线的一支，若是一支，是哪一支，从而用x或y的范围进行限制.规律技巧：（二）抛物线定义的应用说明：本题运用了抛物线的定义，要注意挖掘题目：中隐含的几何条件，使解题过程简明快捷.规律技巧：（三）双曲线的离心率求双曲线的离心率有如下两种情况：（l）a，c易求出，代入即可得离心率；（2）a，c不易单独求出，可依据已知条件建立a，b，c的关系式，再结合，建立关于a，c的齐次方程，整体求出的值，即得离心率e.规律技巧：（四）最值问题说明：本题亦可将直线方程设出后，求出弦AB的长，再求原点O到直线的距离，但是这种方法过于繁琐.Ⅲ易混易错辨析易混易错：忽视抛物线方程的标准形式而致误高考命题研究双曲线的定义和几何性质、抛物线的定义和几何性质在高考题中常以选择题、填空题的形式考查基础知识，在解答题中，以双曲线和抛物线为载体，常与直线、函数、不等式、向量等知识相结合，综合性较强，有一定难度.高考热点:（一）双曲线的定义及标准方程双曲线的定义和标准方程是研究双曲线几何性质以及其它综合问题的基础，所以高考中经常涉及，多以选择题、填空题的形式出现，以中、低档题目为主.高考热点：（二）双曲线的几何性质双曲线与椭圆相比，考试要求低一些，重点考查双曲线的一些基本问题，例如，双曲线的离心率与渐近线方程的求解，直线与双曲线的一些简单问题等，学习中应熟练掌握解决这些基本问题的常用方法.高考热点：（三）抛物线的定义及标准方程抛物线的定义和标准方程是抛物线部分的重点内容，也是高考考查的重点，一般地，在高考试题中考查抛物线定义和标准方程的题目多以选择题、填空题的形式出现，且为中、低档题目，但常考常新，所以应熟练掌握，灵活运用.高考热点：（四）抛物线的几何性质抛物线的几何性质主要涉及对称性、顶点、开口方向、焦点弦、通径、准线等知识，是高考的重点内容，常以选择题、填空题的形式出现.高考热点：（五）轨迹方程的求法求曲线的轨迹方程是解析几何的基本问题之一，是高考的热点和重点，在历高考中出现的频率较高，特别是当今高考的改革以考查学生的创新意识为突破口，注重考查学生的逻辑思维能力、运算能力、分析问题和解决问题的能力，而轨迹方程这一热点，则能很好地反映学生在这些方面的能力.由于轨迹就是平面上所有满足条件的点的集合，而求动点的运动轨迹问题所给出的条件千差万别，因此求轨迹的方法也多种多样，下面介绍几种常用的方法.1直接法动点满足的几何条件本身就是一些几何量的等量关系，或这些几何条件简单明了且易于表达，我们只需把这种关系“翻译”成含x，y的等式就能得到动点的轨迹方程.由于这种求轨迹方程的过程不需要其他步骤，也不需要特殊的技巧，所以称之为直接法.2定义法若动点的轨迹符合某一基本轨迹的定义，则可根据定义直接求出动点的轨迹方程.3代入法（相关点法）若所求轨迹上的动点与另一个已知曲线C：上的动点存在着某种联系，可把点Q的坐标用点P的坐标表示出来，然后代入已知曲线C的方程，化简即得所求轨迹方程，这种求轨迹的方法叫做代入法（又称相关点法）.说明：代入法的实质是借助已知的轨迹方程来求未知的轨迹方程，体现了一种转化的思想（将未知转化为已知）.高考热点：（六）抛物线与圆抛物线与圆的综合探究性问题在近几高考中时常出现，此类问题难度大，解决时需熟练掌握抛物线与圆的相关知识和基本技能，进行综合、分析并探究的能力.点评：知识：直线与抛物线及直线与圆的位置关系.能力：利用代数法解决解析几何问题的能力，特别注重运算求解与逻辑推理能力的考查.试题难度：难.附录：常用公式定理常用性质（1）双曲线的性质①双曲线（a>0，b>0），有，焦距，（P为双曲线上任一点）.②如图5，双曲线（a>0，b>0）的离心率有如下形式：等.③如图，设为双曲线（a>0，b>0）上任一点，，则a.焦半径公式：若点在右支上，，；若点在左支上，，.b..c.当点P与点A，B都不重合时，离心率（其中，）.d.通径长（其中MN是过焦点（或）且与实轴垂直的弦），与椭圆公式一致.过焦点作直线l，若l仅与右支相交，则当所得弦长等于时，这样的直线l仅有一条；当所得弦长大于时，这样的直线l有两条；当所得的弦长小于时，这样的直线l不存在.若l与左、右两支都相交，则当所得弦长等于2a时，这样的直线l仅有一条；当所得弦长大于2a时，这样的直线l有两条；当所得弦长小于2a时，这样的直线l不存在.e.焦点三角形的面积为.④等轴双曲线：实轴和虚轴等长的双曲线，即a=b的双曲线.双曲线是等轴双曲线的充要条件是两条渐近线垂直（或离心率）.⑤双曲线（a>0，b>0）与其共轭双曲的离心率分别为，，则.（2）抛物线的性质①焦半径公式：设F是抛物线的焦点，是抛物线上任一点，则.②如图，F为抛物线的焦点，l为其准线，弦AB过焦点F，且设，，AB所在直线的倾斜角为，则a.，.b.，，.特别地，当时，弦长，此时即为抛物线的通径长.c..d.e.过B作轴，点C在准线上，则A，B，F三点共线A，O，C三点共线.第五讲直线与圆锥曲线的位置关系知识能力解读知能解读：（一）直线与椭圆的位置关系1位置关系相交、相切、相离.2判别方法将直线方程与椭圆方程组成方程组，消去方程组中的一个变量，得到关于另一个变量的一元二次方程，再对解的个数进行讨论.（1）直线与椭圆相交有两个公共点；（2）直线与楠圆相切有且只有一个公共点；（3）直线与椭圆相离无公共点.知能解读：（二）直线与双曲线的位置关系研究直线与双曲线的位置关系，一般通过将直线方程与双曲线方程联立消去一个未知数，得到一个一元方程，然后对其解的个数进行讨论.当方程二次项系数不为0时，对解的个数进行讨论：若有两个不同实数解（），则直线与双曲线相交；若有两个相同的实数解（），则直线与双曲线相切；若无实数解（），则直线与双曲线相离.当方程二次项系数为零，即直线与双曲线渐近线平行时，直线与双曲线相交且只有一个交点.说明：当直线与双曲线只有一个公共点时，直线与双曲线相切或相交.知能解读：（三）直线与抛物线的位置关系1直线与抛物线的位置关系直线与抛物线有三种位置关系：相交、相切、相离.相交：直线与抛物线交于两个不同点，或直线与抛物线的对称轴平行.相切：直线与抛物线有且只有一个公共点，且直线不平行于抛物线的对称轴.相离：直线与抛物线无公共点.注意：直线与抛物线相切，必有一个公共点，但直线与抛物线只有一个公共点，却不一定相切，也可能相交.2直线与抛物线的位置关系的判断把直线的方程和抛物线的方程联立起来得到一个方程组，于是（1）方程组有一组解直线与抛物线相交或相切（1个公共点）；（2）方程组有两组解直线与抛物线相交（2个公共点）；（3）方程组无解直线与抛物线相离.知能解读：（四）弦长公式设直线与圆锥曲线交于，两点，直线的斜率为k.，同理可得，.说明：，的求法通常使用根与系数的关系，需作以下变形：，.解题方法荟萃Ⅰ数学思想方法思想方法：（一）数形结合思想说明：求线段的和或差的最值问题时，常利用对称思想来解决.本题的实际几何意义是：待求椭圆与已知直线l相切时，长轴最短.思想方法：（二）函数与方程思想说明：在研究直线和圆锥曲线的交点的性质时，巧妙运用根与系数的关系解题可以减少运算量.另外，不要忘记相交条件对参数的限制.尽管本题若漏掉对本题的答案无影响，但会造成解题步骤中重要环