必修第一册北师大版第二章单元测试卷

第二章函数单元检测卷一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.函数y=x-1+1x+1的定义域为(A.{x|x>-1} B.{x|x≥1} C.{x|x≥0} D.{x|x≥-1}2.已知2≈1.41421,如果对应关系f将n对应到2的小数点后第n位上的数字,则f(2)+f(4)=()A.5 B.6 C.3 D.23.函数y=x|x|的图象可能是()ABCD4.函数f(x)=2x2+1xA.是奇函数且在区间(22,+∞)B.是奇函数且在区间(22,+∞)C.是偶函数且在区间(22,+∞)D.是偶函数且在区间(22,+∞)5.甲、乙两人在一次赛跑中,路程s与时间t的函数关系如图1所示,则下列说法正确的是()图1A.甲比乙先出发 B.乙比甲跑的路程多C.甲、乙两人的速度相同 D.甲先到达终点6.对于任意实数a,b,定义:F(a,b)=a,a≥b,b,a<b.若函数f(x)=x2,g(x)=x+2,则函数G(x)=F(f(A.0 B.1 C.2 D.47.偶函数y=f(x)在区间[0,4]上单调递减,则有()A.f(-1)>f(π3)>f(-π) B.f(π3)>f(-1)>f(-π) C.f(-π)>f(-1)>f(π3) D.f(-1)>f(-π)>f8.已知函数f(x)=ax2-x+1(a≠0),若对任意x1,x2∈[1,+∞)且x1≠x2,都有f(x1)-f(x2)A.[1,+∞) B.(0,1] C.[2,+∞) D.(0,+∞)二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.9.下列函数中,定义域是其值域子集的有()A.y=85x+6 B.y=-x2-2x+5 C.y=x-1 D.y=110.德国数学家狄利克雷在1837年时提出:如果对于x的每一个值,y总有一个完全确定的值与之对应,那么y是x的函数.这个定义较清楚地说明了函数的内涵.只要有一个法则,使得取值范围中的每一个x,有一个确定的y和它对应就行了,不管这个法则是用公式还是用图象、表格等形式表示,例如狄利克雷函数D(x),即:当自变量取有理数时,函数值为1;当自变量取无理数时,函数值为0.下列关于狄利克雷函数D(x)的性质表述正确的是()A.D(π)=1 B.D(x)的值域为{0,1}C.D(x)的图象关于直线x=1对称 D.D(x)的图象关于直线x=2对称11.已知函数f(x)的定义域为R,对任意实数x,y满足f(x+y)=f(x)+f(y)+12,且f(12)=0,当x>12时,f(x)>0.则下列结论中正确的是(A.f(0)=-12 B.f(-1)=-32C.f(x)为R上的减函数 D.y=f(x)+12三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.12.已知函数f(x)=x2-4,0≤x≤2,2x,x>2,若f(x013.我国的酒驾标准是指车辆驾驶员血液中的酒精含量大于或者等于20mg/100ml,已知一驾驶员某次饮酒后体内每100ml血液中的酒精含量y(单位:mg)与时间x(单位:h)的关系是:当0<x<113时,y=-27011x2+108011x;当x≥113时,y=110x.14.已知f(x)是定义在R上的偶函数,且f(x)在[0,+∞)上单调递增,如果对于任意的x∈[1,2],f(ax+1)≤f(x-3)恒成立,则实数a的取值范围是.四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.(13分)在①a=-2;②a=1;③a=5这三个条件中任选一个,补充在下面问题中,并完成解答.已知函数f(x)=(x-a)2-3|x-1|-b,且.

(1)判断f(x)的单调性;(2)若f(x)的图象与x轴有两个交点,求实数b的取值范围.注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.

16.(15分)已知幂函数f(x)=(k2+k-1)·x(2-k)(1+k),且f(2)<f(3).(1)求实数k的值,并写出相应的函数f(x)的解析式;(2)对于(1)中的函数f(x),是否存在正数m,使函数g(x)=1-f(x)+2mx在区间[0,1]上的最大值为5?若存在,求出m的值;若不存在,请说明理由.

17.(15分)已知f(x)是定义在(0,+∞)上的增函数,且满足f(xy)=f(x)+f(y),f(2)=1.(1)求证:f(8)=3;(2)求不等式f(x)-f(x-2)>3的解集.

18.(17分)我们把函数f(x)在区间[a,b]上的最大值与最小值的差称为f(x)在区间[a,b]上的极差,记作d(a,b).(1)若f(x)=x2-2x+2,求d(1,2);(2)若f(x)=x+mx,且d(1,2)≠|f(2)-f(1)|,求实数m的取值范围

19.(17分)我们知道,函数y=f(x)的图象关于坐标原点成中心对称的充要条件是函数y=f(x)为奇函数,有同学发现可以将其推广为:函数y=f(x)的图象关于点P(a,b)成中心对称的充要条件是函数y=f(x+a)-b为奇函数.(1)若f(x)=x3-3x2,①求此函数图象的对称中心;②求f(-2020)+f(-2021)+f(2022)+f(2023)的值;(2)类比上述推广结论,写出“函数y=f(x)的图象关于y轴成轴对称的充要条件是函数y=f(x)为偶函数”的一个推广结论.

第二章函数单元检测卷参考答案1.B由题意知x-1≥0,x+1≠0,解得x2.C根据题意,对应关系f将n对应到2的小数点后第n位上的数字,则f(2)=1,f(4)=2,则f(2)+f(4)=3,故选C.3.C因为函数y=x|x|为奇函数,故排除A,B,D,选C.4.A∵函数f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),关于原点对称,f(-x)=2x2+1-x=-f(x),∴f(x)是奇函数,排除C,D.∵f(2)=92,f(1)=3,f(2)>f5.D从题图可以看出甲、乙的出发时间相同;甲、乙两人所走的路程相同,即s甲=s乙,故可排除A,B.从题图中的横坐标可以看出甲用的时间小于乙用的时间,故甲先到达终点,而两人的路程相同,所以甲的速度大于乙的速度,故D正确,C错误.6.B由题意可得G(x)=F(f(x),g(x))=x当x≥2或x≤-1时,G(x)≥1;当-1<x<2时,1<G(x)<4.所以G(x)≥1,因此G(x)的最小值是1.7.A函数y=f(x)为偶函数,所以f(-1)=f(1),f(-π)=f(π),又函数在区间[0,4]上单调递减,所以f(1)>f(π3)>f(π),所以f(-1)>f(π3)>f(-8.A任取x1,x2∈[1,+∞),不妨设x1>x2,则由f(x1)-f(x2)x1-x2>1,可得f(x1)-x1>f(x2)-x2,则y=f(x)-x在[1,+∞)上单调递增.∵f(x)-x=ax2-2x+1的图象的对称轴为直线x=19.AC对于A,y=85x+6的定义域、值域均为R,符合要求对于B,y=-x2+2x+5的定义域为R,值域为(-∞,6],不符合要求;对于C,y=x-1的定义域为[1,+∞),值域为[0,+∞),符合要求对于D,y=1x-1的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),值域为(-∞,-1)∪(-1,+∞),不符合要求故定义域是其值域子集的有A,C.10.BCD由题意可得D(x)=0,x为无理数,1,x∈Q,由于π为无理数,则D结合函数D(x)的定义及分段函数的性质可知,函数D(x)的值域为{0,1},故B正确;结合函数D(x)的定义可知,当x∈Q时,D(x)=1,相关图象关于直线x=1,x=2都对称,当x为无理数时,D(x)=0,相关图象关于直线x=1,x=2都对称,故C,D正确.故选BCD.11.ABD令x=y=0,得f(0)=f(0)+f(0)+12,即f(0)=-12,故A因为f(12)=0,令x=y=12,得f(1)=f(12)+f(12)+12=12,令x=1,y=-1,得f(0)=f(1)+f即12+f(-1)+12=-12,解得f(-1)=-32,取y=-1,得f(x-1)=f(x)+f(-1)+12,即f(x-1)-f(x)=f(-1)+12=-1<0,即f(x-1)<f(x),故C令y=-x,得-12=f(0)=f(x)+f(-x)+12,即f(x)+12+f(-x)+12=0,即y=f(x)+12为奇函数12.4若0≤x0≤2,由x02-4=8,解得x0=-23或x0=23,均不符合题意,若x0>2,由2x0=8,解得x0=4.综上可得,x0=4.13.5.5根据二次函数的单调性和反比例函数的单调性进行求解即可,当0<x<113时,y=-27011x2+108011x=-27011(x-2)2+108011,当x=2时,函数有最大值108011>20,当x=113时,函数值为30,大于20,且当0<x<113时,饮酒后体内每100mL血液中的酒精含量先单调递增,再单调递减.当x≥113时,函数y=110x单调递减,令y=110x=20,得x=5.5,因此饮酒14.[-1,0]由题意可得|ax+1|≤|x-3|在x∈[1,2]上恒成立,即有|ax+1|≤3-x,即x-3≤ax+1≤3-x,所以1-4x≤a≤2x-1在x∈[1,2]由y=1-4x在x∈[1,2]上单调递增,可得当x=2时,y取得最大值,最大值为y=1-2=-由y=2x-1在x∈[1,2]上单调递减,可得当x=2时,y取得最小值,最小值为y=1-1=0故-1≤a≤0.15.f(x)=(x-a)2-3|x-1|-b=x选①.(1)当x≥1时,函数y=x2-(2a+3)x+a2-b+3图象的对称轴为直线x=-12,且-12所以f(x)在[1,+∞)上单调递增.当x<1时,函数y=x2-(2a-3)x+a2-b-3图象的对称轴为直线x=-72,且-72≤1,所以f(x)在(-∞,-72)上单调递减,在[-7综上所述,数形结合可知,f(x)在(-∞,-72)上单调递减,在[-72,+∞)(2)由(1)知,f(x)min=f(-72)=-b-45因为f(x)的图象与x轴有两个交点,所以f(x)min<0,即-b-454<0,所以实数b的取值范围是(-454,+∞选②.(1)当x≥1时,因为函数y=x2-(2a+3)x+a2-b+3图象的对称轴为直线x=52,且57>1,所以f(x)在[1,52)上单调递减,在[52,当x<1时,因为函数y=x2-(2a-3)x+a2-b-3图象的对称轴为直线x=-12,且-12<1,所以f(x)在(-∞,-12)上单调递减,在[-1综上所述,f(x)在(-∞,-12),[1,52)上单调递减,在[-12,1),[52,(2)由(1)知,f(-12)=-b-94,f(52)=-b-94=f(因为f(x)的图象与x轴有两个交点,所以f(52)=f(-12)=0或f(1)<由-b-94=0或f(1)=-b<0,得b=-94或所以实数b的取值范围是{-94}∪(0,+∞)选③.(1)当x≥1时,函数y=x2-(2a+3)x+a2-b+3图象的对称轴为直线x=132,且132>1,所以f(x)在[1,132)上单调递减,在[132,当x<1时,函数y=x2-(2a-3)x+a2-b-3图象的对称轴为直线x=72,且72所以f(x)在(-∞,1)上单调递减.综上所述,数形结合可知f(x)在(-∞,132)上单调递减,在[132,+∞)(2)由(1)知,f(x)min=f(132)=-b-57因为f(x)的图象与x轴有两个交点,所以f(x)min<0.由-b-574<0,得b>-57所以实数b的取值范围是(-574,+∞)16.(1)∵f(x)是幂函数,故k2+k-1=1,∴k=-2或k=1.当k=1时,f(x)=x2,满足f(2)<f(3);当k=-2时,f(x)=x-4,不满足f(2)<f(3).故f(x)=x2.(2)∵g(x)=1-f(x)+2mx=-x2+2mx+1,∴g(x)图象开口方向向下,对称轴方程为x=m(m>0).①当0<m<1时,g(x)在区间[0,m]上单调递增,在区间[m,1]上单调递减,∴g(x)max=g(m)=m2+1=5,∴m=±2,均不符合题意,舍去;②当m≥1时,g(x)在区间[0,1]上递增,∴g(x)max=g(1)=2m=5,∴m=52,符合题意综上所述,m=52.17.(1)由题意,得f(8)=f(4×2)=f(4)+f(2)=f(2×2)+f(2)=f(2)+f(2)+f(2)=3f(2),∵f(2)=1,∴f(8)=3.(2)不等式可化为f(x)>f(x-2)+3.由(1)知f(8)=3,∴f(x)>f(x-2)+f(8)=f(8x-16).∵f(x)是定义在(0,+∞)上的增函数,∴x>0,8x-16>0,x故原不等式的解集为{x|2<x<167}18.(1)由f(x)=x2-2x+2图象的对称轴为直线x=1,可得f(x)在[1,2]上单调递增,所以f(x)的最大值为f(2)=2,最小值为f(1)=1,所以d(1,2)=2-1=1