弹性力学第二章 平面问题的基本理论

第二章

平面问题的基本理论要点——建立平面问题的基本方程包括：平衡微分方程；几何方程；物理方程；变形协调方程；边界条件的描述；方程的求解方法等第2章平面问题的基本理论

2.1平面应力问题与平面应变问题2.2平衡微分方程2.3斜面上的应力。主应力2.4几何方程。刚体位移2.6物理方程2.7边界条件2.8圣维南原理2.9按位移求解平面问题2.10按应力求解平面问题。相容方程2.11常体力情况下的简化2.12应力函数。逆解法与半逆解法

2.1平面应力问题与平面应变问题

板壳2.1平面应力问题与平面应变问题

应力符号的意义：第1个下标x表示切应力所在面的法线方向；第2个下标y

表示切应力的方向.应力正负号的规定：正应力——拉为正，压为负。切应力——坐标正面上，与坐标正向一致时为正；坐标负面上，与坐标正向相反时为正。xyzO2.1平面应力问题与平面应变问题

2.1平面应力问题与平面应变问题

2.1.1平面应力问题

（1）几何特征：

薄板

一个方向的尺寸比另两个方向的尺寸小得多。——平板如旋转圆盘，工字形梁的腹板等xyyztba2.1平面应力问题与平面应变问题

2.1.1平面应力问题

（1）受力特征：

薄板xyyztba外力（体力、面力）和约束，仅平行于板面作用，沿

z

方向不变化。2.1平面应力问题与平面应变问题

2.1.1平面应力问题

（3）应力特征：如图选取坐标系，以板的中面为xy

平面，垂直于中面的任一直线为z轴。由于板面上不受力，有因板很薄，且外力沿z轴方向不变。可认为整个薄板的各点都有：xyyztba由剪应力互等定理，有2.1平面应力问题与平面应变问题

2.1.1平面应力问题

结论：平面应力问题只有三个应力分量：应变分量、位移分量也仅为x、y的函数，与z无关。2.1平面应力问题与平面应变问题

2.1.2平面应变问题

（1）几何特征：一个方向的尺寸比另两个方向的尺寸大得多，且沿长度方向几何形状和尺寸不变化。

2.1平面应力问题与平面应变问题

2.1.2平面应变问题

（2）受力特征：

外力（体力、面力）平行于横截面作用，且沿长度z方向不变化。

约束——沿长度z方向不变化。

2.1平面应力问题与平面应变问题

2.1.2平面应变问题

（3）变形特征：

如图建立坐标系：以任一横截面为xy面，任一纵线为z轴。

设z方向为无限长，则沿z方向都不变化，仅为x，y的函数。任一横截面均可视为对称面因为任一横截面均可视为对称面，则有所有各点的位移矢量都平行于xy平面。——平面位移问题2.1平面应力问题与平面应变问题

2.1.2平面应变问题

又有对称条件知，根据切应力的互等关系，由于z方向的伸缩被阻止，所以一般不等于零2.1平面应力问题与平面应变问题

2.1.2平面应变问题

结论：注：(1)平面应变问题中但是，(2)平面应变问题中应力分量：水坝名称平面应力问题平面应变问题未知量已知量未知量已知量位移应变

应力外力体力、面力的作用面平行中面，外力沿板厚均布且只作用于板。体力、面力的作用面平行于xy面，外力沿z轴无变化。形状

Z向尺寸远小于板面尺寸（等厚薄平板）Z向尺寸远大于XY平面内的尺寸（等截面长柱体）在弹性力学分析问题，从三个方面考虑：静力学方面，几何学方面和物理学方面，分别对应平衡微分方程，几何方程以及物理方程。2.2平衡微分方程首先考虑平面问题的静力学方面，根据平衡条件导出应力分量和体力分量之间的关系式，也就是平面问题的平衡微分方程。取微元体PABC（P点附近）Z方向取单位长度。设P点应力已知：2.2平衡微分方程oxyCoxyPABC2.2平衡微分方程以x轴为投影轴，建立平衡方程2.2平衡微分方程以微分体中心C并平行与z轴的直线为矩轴，建立力矩的平衡方程2.2平衡微分方程2.3斜面上的应力。主应力如果已知任一点P处的应力分量，就可以求得经过该点的、平行于z轴而倾斜于x轴和y轴的任何斜面上的应力。切应力顺时针为正2.3斜面上的应力。主应力斜面AB的面积为PB的面积为PA的面积为由,可得2.3斜面上的应力。主应力由,可得将和分别向外法线方向和切应力方向投影得：2.3斜面上的应力。主应力主应力——切向应力为零的面上的的正应力。主应力面——切向应力为零的面。应力主向——切向应力为零的面的法向方向。2.3斜面上的应力。主应力假设AB是p点的一个应力主面2.3斜面上的应力。主应力从而可求的两个主应力：下面来求出主应力的方向，即应力主向。2.3斜面上的应力。主应力2.3斜面上的应力。主应力2.3斜面上的应力。主应力，代入上式，得

在与应力主向成450的斜面上现在考虑平面问题的几何学方面，导出变形分量与位移分量之间的关系式，也就是平面问题的几何方程。2.4几何方程。刚体位移设P点在x方向的位移分量是u，则A点的位移分量为线段PA的线应变是2.4几何方程。刚体位移设P点在y方向的位移分量是v，则B点的位移分量为线段PB的线应变是2.4几何方程。刚体位移现在来求PA与PB之间直角的改变，也就是切应变该切应变是由两部分组成：一部分x方向的线段PA的夹角；另一部分是y方向的线段PB的夹角。2.4几何方程。刚体位移首先求PA线段的转角，设P点在y方向的位移分量是v，则A点在y方向上的位移分量为因此PA的转角为：2.4几何方程。刚体位移首先求PB线段的转角，设P点在x方向的位移分量是u，则A点在y方向上的位移分量为因此PB的转角为：2.4几何方程。刚体位移于是可见，PA与PB之间的直角改变（以减小时为正），也就是切应变：2.4几何方程。刚体位移变形分量与位移分量之间的关系式，即几何方程在平面问题中的简化形式：2.4几何方程。刚体位移2.6物理方程现在考虑平面问题的物理学方面，导出形变分量与应力分量之间的关系式，也就平面问题的物理方程。在完全弹性的各向同性体内，形变分量与应力分量之间的关系，根据虎克定律建立如下：2.6平面应力问题的物理方程在平面应力问题中，

，另外2.6平面应变问题的物理方程在平面应变问题中，因为物体的所有各点都不沿z方向移动，即

，所以z方向的线段都没有伸缩，即弹性力学平面问题的基本方程，包括：2个平衡微分方程，3个几何方程，3个物理方程。根据边界条件的不同，弹性力学问题分为位移边界条件、应力边界条件和混合边界条件。2.7边界条件位移边界条件：物体在全部边界上的位移分量都是已知的，也就是在边界上，有2.7边界条件应力边界条件：弹性体在全部边界上所受的面力都是已知的，也就是在边界上，有2.7边界条件在垂直于x轴的边界上在垂直于y轴的边界上混合边界条件：物体的一部分边界具有已知位移，因而具有位移边界条件；另一部分边界则具有已知的面力，因而具有应力边界条件。2.7边界条件圣维南原理：如果把物体的一小部分边界上的面力，变换为分布不同但静力等效的面力（主矢量相同，对于同一点的主矩也相同），那么近处的应力分布将有显著的改变，但是远处所受的影响可以不计。2.8圣维南原理2.8圣维南原理(1)(5)(2)(3)(4)2.9按位移求解平面问题2.9按位移求解平面问题在弹性力学里求解问题，有三种基本方法，按位移求解，按应力求解和混合求解。按位移求解的步骤：1.以位移分量为基本未知函数2.由包含位移分量的微分方程和边界条件求出位移分量3.再用几何方程求出形变分量4.最后用物理方程求出应力分量2.9按位移求解平面问题在弹性力学里求解问题，有三种基本方法，按位移求解，按应力求解和混合求解。按应力求解的步骤：1.以应力分量为基本未知函数2.由包含应力分量的微分方程和边界条件求出应力分量3.再用物理方程求出形变分量4.最后用几何方程求出位移分量2.9按位移求解平面问题现在导出按位移求解平面问题时所需用的微分方程和边界条件：2.9按