河北省秦皇岛市某中学2022年高二数学理联考试卷含解析

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河北省秦皇岛市第二中学2022年高二数学理联考试卷

含解析

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选

项中，只有是一个符合题目要求的

1.已知向量&=(1,1,0),b=(-1,o,2),且ka+b与2a-b互相垂直，贝收

的值是()

237

A.1B.5C.5D.5

参考答案：

D

【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系.

【专题】平面向量及应用.

—-♦—♦—*■

【分析】根据题意，易得k'b,2a-胸坐标，结合向量垂直的性质，可得3(k-1)

+2k-2X2=0,解可得k的值，即可得答案.

【解答】解：根据题意，易得k3珠(1,1»0)+(-1,012)=(k-1,k,2)»

23-b2(1,1,0)-(-1,0,2)=(3,2,-2).

•••两向量垂直，

.*.3(k-1)+2k-2X2=0.

7

k=5,

故选D.

【点评】本题考查向量数量积的应用，判断向量的垂直，解题时，注意向量的正确表示方

法.

2.右图是某公司1°个销售店某月销售某产品数量(单位：台)的茎叶图，则数据落在区间

[2。，30)内的概率为()

A.0?B,04

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c.05D.0・6

V89"

2・02379y

301g

参考答案:

C

略

3.双曲线左一,=1的渐近线方程为

A>3B"士代产土去

参考答案：

B

4.在钝角△4BC中，角4B,C所对的边分别为a,b,c,且a>。，已知

sin.cxtslA---

a=8,sia2r-sittC=4,。皿8,则△ABC的面积为（）

A.3B,6C.3汨D.6汨

参考答案：

C

【分析】

1

cosA=—

由正弦定理可得B—C=2,再利用二倍角公式可求4,再利用余弦定理求出

6c=24后可求人必C的面积.

b-c———2easd=一

【详解】由正弦定理，得4,由cos2/t=2c2odd-l,得4（舍），

.1

CD6d=一

由余弦定理，得

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4F-be=8

即Y2,解得6G=24

cns/=一！♦/=叵S二一Zicsiii=—x24x4历

由4,得4,所以&必C的面积2

me.

【点睛】在解三角形中，如果题设条件是关于边的二次形式，我们可以利用余弦定理化简

该条件，如果题设条件是关于边的齐次式或是关于内角正弦的齐次式，那么我们可以利用

正弦定理化简该条件，如果题设条件是边和角的混合关系式，那么我们也可把这种关系式

转化为角的关系式或边的关系式.

5.已知，为虚数单位，£是Z的共物复数，且满足：Z+厄|=2+。则|z卜

()

]_35

A.4B.4C.4

7

D.4

参考答案：

C

略

6.在九43c中，若acos8=BcosR,则AA?C的形状一定是()

A.锐角三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.等腰三角形

参考答案：

D

7.正弦函数是奇函数，Rx)=sin(X2+1)是正弦函数，因此«x)=sin(X2+1)是奇函数.以上推

理()

A.结论正确

B.大前提不正确

C.小前提不正确

D.全不正确

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参考答案:

C

略

=1=2

8.等比数列｛%｝中，见一餐闯一，则4与喙的等比中项是（〉

tl1

A.±4B.4C,4D.4

参考答案：

A

【分析】

利用等比数列｛aj的性质可得4二4%,即可得出.

【详解】设.与■的等比中项是X.

由等比数列｛4｝的性质可得《二%，，二工=±..

X=X=±JX25=±4.

.•.a,与ag的等比中项8

故选：A.

【点睛】本题考查了等比中项的求法，属于基础题.

9.下表提供了某厂节能降耗技术改造后在生产A产品过程中记录的产量/吨）与相应的生

产

我耗y（吨）的几蛆对应数据：■”

,X3I4I56.

y2.5t44.5

■■I根

据上表提供的数据，求出少关于x的线性回归方程为了=Q7X+Q35,那么表中£的值为

A.3B.3.15C.3.5D.4.5

参考答案：

A

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解：a=y-bx

—c”-2.5+1+4+4.5八sx3+4+5+6

由回归方程加］0.35=y-0.7x=--------------------0.7X------,

解得t=3,

10.极坐标方程p=cos0和参数方程(t为参数)所表示的图形分别是()

A.圆、直线B.直线、圆C.圆、圆D.直线、直

线

参考答案：

A

略

二、填空题:本大题共7小题,每小题4分，共28分

,r=­h

11..已知正三角形内切圆的半径「与它的高力的关系是：3,把这个结论推广到空间

正四面体，则正四面体内切球的半径厂与正四面体高内的关系是.

参考答案：

略

12.在平面直角坐标xOy中，设圆M的半径为1,圆心在直线x-y-1=0上，若圆M上不存

1

在点N,使N0=5NA,其中A(0,3)，则圆心M横坐标的取值范围.

参考答案：

12

(-0)u(5,+8)

考点：轨迹方程；圆的标准方程.

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程.

分析：求出N的轨迹方程，然后判断所求轨迹方程与圆的方程没有解即可.

I

解答：解：设N(x,y),N0=2NA,其中A(0,3),

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.Vx2+y2=^Vx2+(y-3)2

解得N的轨迹方程为：X2+(y+1)2=4,y圆心坐标Q(0,-1),半径为2,

在平面直角坐标xOy中，设圆M的半径为1,圆心在直线x-y-1=0上，若圆M上不存在

1

点N,使N0=2NA,

则M所在位置如图：M的横坐标在C、F两点的外侧，D、E两点之间，

一8一丈一返返公+8

圆心M横坐标的取值范围：('2)u(2'2)u(2r)

12

(-8,0)(J(5,+8).

-03—逗-翌送

故答案为：('2)u(22)u

2^,+8

(2).

点评：本题考查圆的方程的综合应用，轨迹方程的求法，考查数形结合思想的应用.

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13.在aABC中，若acosB=bcosA,则AABC的形状为__.

参考答案：

等腰三角形

【考点】三角形的形状判断.

【专题】计算题.

【分析】利用正弦定理，将等式两端的“边”转化为“边所对角的正弦”，再利用两角和

与差的正弦即可.

【解答】解：在4ABC中，；acosB=bcosA,

，由正弦定理得：sinAcosB=sinBcosA,

Asin(A-B)=0,

AA-B=0,

/.A=B.

.,.△ABC的形状为等腰三角

形.故答案为：等腰三角形.

【点评】本题考查三角形的形状判断，着重考查正弦定理，考查转化思想，属于中档题.

14.在1和256中间插入3个正数，使这5个数成等比，则公比为一.

参考答案：

4

【考点】等比数列的性质.

【专题】计算题；等差数列与等比数列.

【分析】利用在1和256中间插入3个正数，使这5个数成等比，可得q,=256且q>0,

即可求出公比.

【解答】解：•••在1和256中间插入3个正数，使这5个数成等比，设公比为q,

贝ljq尸256且q>0,

解得：q=4,

故答案为：4.

【点评】本题主要考查了等比关系的确定和等比数列的通项公式，属基础题.

15.函数〃融='—靖+1在

x=_____处取得极小值.

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参考答案:

2

由题意F（分=3^-6X=3JK（X-2）,令人©=0得冗=0或X=2.因工<0或x>2时，

。<“<2时，八力〈°..”=2时/任）取得极小值.

16.某校有老师200人，男学生1200人，女学生1000人，现用分层抽样的方法从所有师生中抽取

一个容量为n的样本，已知从女学生中抽取的人数为80人，则联.

参考答案：

192

17.某射手射击1次，击中目标的概率是0.9,他连续射击4次，且各次射击是否

击中目标相互

之间没有影响，有下列结论，其中正确结论的序号（写出所有正确

结论序号）。

①他第3次击中目标的概率是0.9；

②他恰好击中目标3次的概率是O.yxO]

③他至少击中目标1次的概率是1-of

参考答案：

①③

三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算

步骤

r1

x=c+一

<s

1

y=s——

18.过点尸（一3,0）且倾斜角为30。的直线?和曲线C：Is（访参数）相交于

AB两点,请写出直线？的参数方程并求线段的长。

参考答案:

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』+冬

V=­t

解：由已知，直线的参数方程为/2(£为参数)，3分

1

X=6+一

S

1

y=S——22

曲线S（s为参数）可以化为x-y=4。6分

将直线的参数方程代入上式，得”-6后£+10=0。......8分

设对应的参数分别为〜仇-1+£2=8后/向=10・............10分

l-Z+£2-Z

..AB=\i2|=7^I2)^12=o...........12分

19.已知AABC的三个顶点A(-1,0),B(1,0),C(3,2),其外接圆为。H.若直

线1过点C,且被。H截得的弦长为2,求直线1的方程.

参考答案：

【考点】直线与圆的位置关系.

【专题】计算题；转化思想；综合法；直线与圆.

【分析】先求出圆H的方程，再根据直线1过点C,且被。H截得的弦长为2,设出直线方

程，利用勾股定理，即可求直线1的方程

【解答】解:线段AB的垂直平分线方程为x=0,线段BC的垂直平分线方程为x+y-3=0,

所以外接圆圆心为H(0,3),半径为2+32二小，

故。H的方程为X2+(y-3)

TO.设圆心H到直线1的距离为

囱为直线1被。H截得的弦长为2,所以(V10)2-1=3

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当直线1垂直于x轴时，显然符合题意，即x=3为所求；

I-3k-l|

当直线1不垂直于x轴时，设直线方程为y-2=k(x-3),则Vl+k2,解得

k4.

综上，直线1的方程为x=3或4x-3y-6=0.

【点评】本题考查圆的方程的求法，考查直线方程的求法，是中档题，解题时要认真审

题，注意待定系数法及点到直线的公式的合理运用.

=3

20.数列14）中，12,即

-1=--1----1--

（1）求证：，4+1T

SR=+++••••+

⑵设％%%%,总＞2,证明：＜2

参考答案：

证明：（1）（证法1）要证——只要证」：=一二一-J八,只要运3t.i—1

%Sn-113,-1-13t—1/3c（^―1）

=afl（at-l）,

只要证%.：=ag—ac+1,根据已知条件，得证.........7分

（法法2）*.*at7=&—迎+1=阳乙-1）+1,

：•ac-i-l=ac（ac-1）»

...1=1=11

…％・】—1%（%—1）%一1~

(2)由(1)知，：=占一7^，...........1。分

_1_=21—

3r-1-1Sr-l-1

*.*a；..；-ar=ai—2ar4-1-（30-1）*^0»且a】=RL

J.2——^—<2,ffSn<2.............16分

4711

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21.判断下列命题是否正确，并说明理由：

(1)共线向量一定在同一条直线上。(2)

所有的单位向量都相等。

(3)向量a与b共线，b与c共线，则a与c共线。

(4)向量a与b共线，则a"b

(5)向量蠢/品，则AB〃CD。

(6)平行四边形两对边所在的向量一定是相等向量。

参考答案：

(1)错。因为两个向量的方向相同或相反叫共线向量，而两个向量所在直线平行时

也称它们为共线向量，即共线向量不一定在同一条直线上。

(2)错。单位向量是指长度等于1个单位长度的向量，而其方向不一定相同，它不

符合相等向量的意义。

(3)错。注意到零向量与任意向量共线，当芸为零向量时，它不成立。(想一想：

你能举出反例吗？又若bk。时，此结论成立吗？)

(4)对。因共线向量又叫平行向量。(5)

错。平行向量与平行直线是两个不同概念，AB、CD也可能是同一条直线上。(6)

错。平行四边形两对边所在的向量也可能方向相反。

21.已知a=(cosx+sinx,sinx),b=(cosx-sinx,2cosx).

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⑴求证：向量a与向量b不可能平行；

(2)若ab=1,且属[一加0],求x的值.

【答案】⑴证明：假设a\\b,则2cosx(cosx+sinx)=sinx(cosx-

sinx).即2cos2x+2sinxcosx=sinxcosx—sin2x,1+sinxcosx+cos2x=

0,1+sin2x+=0,即sin=-3?sin=一.

而sinG[—1,1],—<—1,矛盾.

故假设不成立，即向量a与向量b不可能平行.

(2)a-b=(cosx+sinx)(cosx—sinx)+2sinxcosx=cos2x—sin2x+sin2x=cos2x+