必修二课后作业第一章立体几何初步1.2.3第5课时

第5课时线面垂直的综合应用学习目标1.理解斜线在平面内的射影及与平面所成角的概念，会求简单的线面角.2.理解点到平面的距离的概念，会求简单的点面距离.3.线面平行与垂直的有关定理的综合运用．知识点一直线与平面所成的角思考直线与平面所成的角是如何定义的？取值范围是什么？答案平面的一条斜线与它在这个平面内的射影所成的锐角，叫做这条直线与这个平面所成的角．规定：一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角是直角；一条直线与平面平行或在平面内，我们说它们所成的角是0°的角．直线与平面所成的角θ的取值范围是[0°，90°]．梳理有关概念对应图形斜线一条直线与一个平面相交，但不和这个平面垂直，图中直线PA斜足斜线与平面的交点，图中点A射影过平面外一点P向平面α引斜线和垂线，那么过斜足A和垂足O的直线就是斜线在平面内的正投影(简称射影)，线段OA就是斜线段PA在平面α内的射影直线与平面所成的角定义：平面的一条斜线与它在这个平面内的射影所成的锐角，图中为∠PAO，规定：一条直线垂直于平面，它们所成的角是直角；一条直线与平面平行或在平面内，它们所成的角是0°的角取值范围设直线与平面所成的角为θ，则0°≤θ≤90°知识点二两种距离1．点到平面的距离从平面外一点引平面的垂线，这个点和垂足间的距离，叫做这个点到这个平面的距离．2．直线和平面的距离一条直线和一个平面平行，这条直线上任意一点到这个平面的距离，叫做这条直线和这个平面的距离．类型一与线面角有关的问题例1已知∠BAC在平面α内，P∉α，∠PAB＝∠PAC.求证：点P在平面α内的射影在∠BAC的平分线上．证明如图所示，作PO⊥α，PE⊥AB，PF⊥AC，垂足分别为O，E，F，连结OE，OF，OA.eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(PE⊥AB，PF⊥AC,∠PAE＝∠PAF,PA＝PA))⇒Rt△PAE≌Rt△PAF⇒AE＝AF.eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(PO⊥α,AB⊂α))⇒\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(AB⊥PO,AB⊥PE,PO∩PE＝P))))⇒AB⊥平面PEO⇒AB⊥OE.同理，AC⊥OF.在Rt△AOE和Rt△AOF中，AE＝AF，OA＝OA，所以Rt△AOE≌Rt△AOF.于是∠EAO＝∠FAO，因此，点P在α内的射影O在∠BAC的平分线上．反思与感悟(1)求直线和平面所成角的步骤①寻找过斜线上一点与平面垂直的直线；②连结垂足和斜足得到斜线在平面上的射影，斜线与其射影所成的锐角或直角即为所求的角；③把该角归结在某个三角形中，通过解三角形，求出该角．(2)在上述步骤中，其中作角是关键，而确定斜线在平面内的射影是作角的关键，几何图形的特征是找射影的依据，图形中的特殊点是突破口．跟踪训练1如图所示，在斜三棱柱ABC—A1B1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，C1H⊥AB，证明：点H是C1在平面ABC内的射影．证明连结AC1.∵∠BAC＝90°，∴AB⊥AC，又AC⊥BC1，BC1∩AB＝B，∴AC⊥平面ABC1.又∵C1H⊂平面ABC1，∴AC⊥C1H.又AB⊥C1H，AB∩AC＝A，∴C1H⊥平面ABC，∴点H是C1在平面ABC上的射影．类型二直线与平面垂直的判定与性质的综合应用例2如图，在四棱锥P—ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中点．求证：(1)CD⊥AE；(2)PD⊥平面ABE.证明(1)在四棱锥P—ABCD中，∵PA⊥底面ABCD，CD⊂平面ABCD，∴PA⊥CD.∵AC⊥CD，PA∩AC＝A，∴CD⊥平面PAC.而AE⊂平面PAC，∴CD⊥AE.(2)由PA＝AB＝BC，∠ABC＝60°，可得AC＝PA.∵E是PC的中点，∴AE⊥PC.由(1)知，AE⊥CD，又PC∩CD＝C，∴AE⊥平面PCD.而PD⊂平面PCD，∴AE⊥PD.∵PA⊥底面ABCD，∴PD在底面ABCD内的射影是AD，又∵AB⊥AD，∴AB⊥PD.又AB∩AE＝A，∴PD⊥平面ABE.反思与感悟证明线面垂直的核心是证明线线垂直，而证明线线垂直又可借助于线面垂直的性质．因此，判定定理与性质定理的合理转化是证明线面垂直的基本思想．跟踪训练2如图，直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝a，AA1＝2a，D为棱B1B的中点．(1)证明：A1C1∥平面ACD；(2)求异面直线AC与A1D所成角的大小；(3)证明：直线A1D⊥平面ADC.(1)证明在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC∥A1C1.又A1C1⊄平面ACD，AC⊂平面ACD，∴A1C1∥平面ACD.(2)解在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，∴A1A⊥AC.又∠BAC＝90°，∴AC⊥AB.∵AA1∩AB＝A，∴AC⊥平面A1ABB1，又A1D⊂平面A1ABB1，∴AC⊥A1D.∴异面直线AC与A1D所成的角为90°.(3)证明∵△A1B1D和△ABD都为等腰直角三角形，∴∠A1DB1＝∠ADB＝45°，∴∠A1DA＝90°，即A1D⊥AD.由(2)知，A1D⊥AC，且AD∩AC＝A，∴A1D⊥平面ADC.1．下列说法：①平面的斜线与平面所成的角的取值范围是0°<θ<90°；②直线与平面所成的角的取值范围是0°<θ≤90°；③若两条直线与一个平面所成的角相等，则这两条直线互相平行；④若两条直线互相平行，则这两条直线与一个平面所成的角相等．其中正确的是________．(填序号)答案①④解析②应为0°≤θ≤90°；③中这两条直线可能平行，也可能相交或异面．2．AB是平面α的斜线段，其长为a，它在平面α内的射影A′B的长为b，则垂线A′A的长为________．答案eq\r(a2－b2)3．在长方体ABCD—A1B1C1D1中，MN在平面BCC1B1内，MN⊥BC于M，则MN与AB的位置关系为______．答案垂直解析AB⊥平面BCC1B1，又MN⊂平面BCC1B1，∴AB⊥MN.4.若长方体ABCD—A1B1C1D1的底面边长为1，AB1与底面ABCD成60°角，则A1C1到底面ABCD的距离为________．答案eq\r(3)解析依题可知∠B1AB＝60°，A1C1∥平面ABCD，A1A⊥平面ABCD，∴A1A即为A1C1到底面ABCD的距离．由题意得A1A＝B1B＝eq\r(3).5.如图所示，平面ABB1A1为圆柱OO1的轴截面，点C为底面圆周上异于A，B的任意一点．(1)求证：BC⊥平面A1AC；(2)若D为AC的中点，求证：A1D∥平面O1BC.证明(1)∵AB为⊙O的直径，点C为⊙O上的任意一点，∴BC⊥AC.又在圆柱OO1中，AA1⊥底面⊙O，∴AA1⊥BC，又AA1∩AC＝A，∴BC⊥平面A1AC.(2)取BC的中点E，连结DE，O1E，∵D为AC的中点，∴在△ABC中，DE∥AB，且DE＝eq\f(1,2)AB，又在圆柱OO1中，A1O1∥AB，且A1O1＝eq\f(1,2)AB，∴DE∥A1O1，DE＝A1O1，∴四边形A1DEO1为平行四边形，∴A1D∥EO1.而A1D⊄平面O1BC，EO1⊂平面O1BC，∴A1D∥平面O1BC.立体几何中经常遇到由一个点向一个平面引垂线的问题，垂线的位置是由这个点在平面内的射影来确定的，因此这个点的射影就是一个关键量，一般来说，可以直接由这个点作平面的垂线，然后通过证明或计算说明垂足的位置，也可以借助一些常见结论进行确定，如：(1)如果一个角所在平面外一点到角的两边距离相等，那么这一点在平面内的射影在这个角的平分线上．(2)经过一个角的顶点引这个角所在平面的斜线，如果斜线与这个角的两边的夹角相等，那么斜线在平面内的射影是这个角的平分线所在的直线．课时作业一、填空题1．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，PA⊥平面ABC，AB＝AC，D是BC的中点，则图中直角三角形的个数是____．答案8解析在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，PA⊥平面ABC，∴AB⊥PA，PA⊥DA，PA⊥AC.∵AB＝AC，D是BC的中点，∴AD⊥BC，∴BP＝CP，可得PD⊥BC，∴图中直角三角形有△PAC，△PAB，△PAD，△ABC，△ABD，△ADC，△BPD，△DPC，共8个．2．下列命题：①eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a⊥α,b⊂α))⇒a⊥b;②eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a⊥α,a∥b))⇒b⊥α；③eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a⊥α,b∥α))⇒a⊥b;④eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a⊥b,b⊂α))⇒a⊥α；⑤eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a∥α,a⊥b))⇒b⊥α；⑥eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a⊥α,b⊥a))⇒b∥α或b⊂α.其中正确的命题是________．(填序号)答案①②③⑥3．已知△ABC的三条边长分别是5,12,13，点P到A，B，C三点的距离都等于7，则点P到平面ABC的距离为________．答案eq\f(3\r(3),2)解析由点P到△ABC三个顶点的距离相等可知，P在平面ABC上的射影为△ABC的外心．∵△ABC为直角三角形，∴其外心是斜边的中点，即点P在平面ABC上的射影是△ABC斜边的中点D，如图．∴点P到平面ABC的距离为PD＝eq\r(72－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(13,2)))2)＝eq\f(3\r(3),2).4．下列四个正方体图形中，l是正方体的一条体对角线，点M，N，P分别为其所在棱的中点，能得出l⊥平面MNP的图形的序号是________．(写出所有符合要求的图形的序号)答案①④解析设定正方体的顶点如图，连结DB，AC，∵M，N分别为中点，∴MN∥AC.∵四边形ABCD为正方形，∴AC⊥BD.∵BB′⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴BB′⊥AC.∵BB′∩DB＝B，BB′⊂平面DBB′，DB⊂平面DBB′，∴AC⊥平面DBB′，∵DB′⊂平面DBB′，∴AC⊥DB′.∵MN∥AC，∴DB′⊥MN，同理可证DB′⊥MF，DB′⊥NF，∵MF∩NF＝F，MF⊂平面MNF，NF⊂平面MNF，∴DB′⊥平面MNF，即l垂直于平面MNP，故①正确；④中由①证明可知l⊥MP，∵MN∥AC，AC⊥l，∴l⊥MN，∴l⊥平面MNP.5.如图，ABCD—A1B1C1D1为正方体，下列结论中正确的是________．(填序号)①BD∥平面CB1D1；②AC1⊥平面CB1D1；③过点A1与异面直线AD和CB1成90°角的直线有2条．答案①②解析由题图可知，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，由于BD∥B1D1，由直线和平面平行的判定定理可得BD∥平面CB1D1，故①正确；由正方体的性质可得B1D1⊥A1C1，CC1⊥B1D1，故B1D1⊥平面ACC1A1，故B1D1⊥AC1.同理可得B1C⊥AC1.再根据直线和平面垂直的判定定理可得AC1⊥平面CB1D1，故②正确；过点A1与直线AD成90°角的直线必和BC也垂直，过点A1与CB1成90°角的直线必和CB1垂直，则该直线必和平面B1C1CB垂直，满足条件的只有直线A1B1，故③不正确．6．已知平面α外两点A、B到平面α的距离分别是2和4，则A，B的中点P到平面α的距离是________．答案3或1解析若A，B在α同侧，如图①，则P到α的距离为3；若A，B在α异侧，如图②，则P到α的距离为PO′－OO′＝3－2＝1.7．如图，直线PA垂直于圆O所在的平面，△ABC内接于圆O，且AB为圆O的直径，点M为线段PB的中点．现有以下命题：①BC⊥PC；②OM∥平面APC；③点B到平面PAC的距离等于线段BC的长．其中正确的命题为________．(填序号)答案①②③解析∵PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴PA⊥BC，∵AB是圆O的直径，∴AC⊥BC，又∵PA⊂平面PAC，AC⊂平面PAC，PA∩AC＝A，∴BC⊥平面PAC，∵PC⊂平面PAC，∴BC⊥PC，故①③正确．∵M是PB的中点，O是AB的中点，∴OM∥PA，∵PA⊂平面PAC，OM⊄平面PAC，∴OM∥平面PAC.故②正确．8.如图，四棱锥S—ABCD的底面为正方形，SD⊥底面ABCD，则下列结论中正确的有________个．①AC⊥SB；②AB∥平面SCD；③SA与平面ABCD所成的角是∠SAD；④AB与SC所成的角等于DC与SC所成的角．答案4解析∵AC⊥BD，SD⊥AC，BD与AC相交，∴AC⊥平面SBD，∴AC⊥SB，故①正确；∵AB∥CD，∴AB∥平面SCD，故②正确；∵SD⊥平面ABCD，∴SA在平面ABCD的射影是AD，故③正确；∵AB∥CD，故④正确．9.如图所示，在直四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，当底面四边形A1B1C1D1满足条件________时，有A1C⊥B1D1.(注：填上你认为正确的一种情况即可，不必考虑所有可能的情况)答案B1D1⊥A1C1(答案不惟一)解析由直四棱柱可知CC1⊥面A1B1C1D1，所以CC1⊥B1D1，要使B1D1⊥A1C，只要B1D1⊥平面A1CC1，所以只要B1D1⊥A1C1，还可以填写四边形A1B1C1D1是菱形、正方形等条件．10.如图是底面边长为a的正三棱柱(侧棱与底面垂直且底面为正三角形的棱柱)，则AA1到平面BB1C1C的距离为________．答案eq\f(\r(3),2)a解析∵AA1∥BB1，∴AA1∥平面BB1C1C，∴AA1到平面BB1C1C的距离等于A到平面BB1C1C的距离．取BC的中点D，连结AD，则AD⊥BC.又AD⊥BB1.∴AD⊥平面BB1C1C.∴AD＝eq\f(\r(3),2)a，∴AA1到平面BB1C1C的距离为eq\f(\r(3),2)a.11．如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，点P在侧面BCC1B1及其边界上运动，并且总是保持AP与BD1垂直，则动点P的轨迹为________．答案线段CB1解析如图，先找到一个平面总是保持与BD1垂直，连结AC，AB1，B1C，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，易得BD1⊥CB1，BD1⊥AC.则BD1⊥平面ACB1，又点P在侧面BCC1B1及其边界上运动，根据平面的基本性质，得点P的轨迹为平面ACB1与平面BCC1B1的交线段CB1.二、解答题12．如图，在边长为2的正方形ABCD中，点E，F分别是AB，BC的中点，将△AED，△DCF分别沿DE，DF折起，使A，C两点重合于点A′，求证：A′D⊥EF.证明在正方形ABCD中，有AD⊥AE，CD⊥CF，则A′D⊥A′E，A′D⊥A′F.又A′E∩A′F＝A′，∴A′D⊥平面A′EF，又EF⊂平面A′EF，∴A′D⊥EF.13．如图，在正三棱柱ABC—A1B1C1中，点D是BC的中点，BC＝2，BB1＝eq\r(2)，求证：(1)A1C∥平面AB1D；(2)BC1⊥平面AB1D.证明(1)连结A1B，交AB1于点O，连结OD，则点O是A1B的中点．又点D是BC的中点，所以A1C∥OD.又OD⊂平面AB1D，A1C⊄平面AB1D，所以A1C∥平面AB1D.(2)因为D为BC的中点，所以AD⊥BC.在正三棱柱ABC—A1B1C1中，BB1⊥平面ABC，AD⊂平面ABC，所以AD⊥BB1.又BC∩BB1＝B，BC⊂平面BCC1B1，BB1⊂平面BCC1B1，所以AD⊥平面BCC1B1.又BC1⊂平面BCC1B1，所以AD⊥BC1.设B1D∩BC1＝F，在Rt△DBB1和Rt△BB1C1中，eq\f(BD,BB1)＝eq\f(1,\r(2))，eq\f(BB1,B1C1)＝eq\f(\r(2),2)，所以△DBB1∽△BB1C1，所以∠BDF＝∠C1BB1.又∠C1BB1＋∠FBD＝90°，所以∠BDF＋∠FBD＝90°，所以BC1⊥B1D.又BC1⊥AD，AD∩B1D＝D，AD⊂平面AB1D，B1D⊂平面AB1D，所以BC1⊥平面AB1D.三、探究与拓展14.如图，已知AB是圆O的直径，C为圆上一点，AB＝2，AC＝1，P为⊙O所在平面外一点，且PA垂直于圆O所在