第06讲二次函数的应用-实际应用(原卷版+解析)

第06讲二次函数的应用-实际应用一、列二次函数解应用题列二次函数解应用题与列整式方程解应用题的思路和方法是一致的，不同的是，学习了二次函数后，表示量与量的关系的代数式是含有两个变量的等式．对于应用题要注意以下步骤：(1)审清题意，弄清题中涉及哪些量，已知量有几个，已知量与变量之间的基本关系是什么，找出等量关系(即函数关系)．(2)设出两个变量，注意分清自变量和因变量，同时还要注意所设变量的单位要准确．(3)列函数表达式，抓住题中含有等量关系的语句，将此语句抽象为含变量的等式，这就是二次函数．(4)按题目要求，结合二次函数的性质解答相应的问题。(5)检验所得解是否符合实际：即是否为所提问题的答案．(6)写出答案．要点：常见的问题：求最大(小)值(如求最大利润、最大面积、最小周长等)、涵洞、桥梁、抛物体、抛物线的模型问题等.解决这些实际问题关键是找等量关系，把实际问题转化为函数问题，列出相关的函数关系式.二、建立二次函数模型求解实际问题一般步骤：(1)恰当地建立直角坐标系；(2)将已知条件转化为点的坐标；(3)合理地设出所求函数关系式；(4)代入已知条件或点的坐标，求出关系式；(5)利用关系式求解问题．要点：(1)利用二次函数解决实际问题，要建立数学模型，即把实际问题转化为二次函数问题，利用题中存在的公式、内含的规律等相等关系，建立函数关系式，再利用函数的图象及性质去研究问题.在研究实际问题时要注意自变量的取值范围应具有实际意义.(2)对于本节的学习，应由低到高处理好如下三个方面的问题：①首先必须了解二次函数的基本性质；②学会从实际问题中建立二次函数的模型；③借助二次函数的性质来解决实际问题.例1．一台机器原价100万元，若每年的折旧率是x，两年后这台机器约为y万元，则y与x的函数关系式为（

）A． B． C． D．例2．长为，宽为的矩形，四个角上剪去边长为的小正方形，然后把四边折起来，作成底面为的无盖的长方体盒子，则y与x的关系式为（

）A． B．C． D．例3．重装专卖店销售一种童装，若这种童装每天获利y（元）与销售单价x（元）满足关系，则要想获得最大利润每天必须卖出（

）A．25件 B．20件 C．30件 D．40件例4．在中考体育训练期间，小宇对自己某次实心球训练的录像进行分析，发现实心球飞行高度y（米）与水平距离x（米）之间的关系式为，由此可知小宇此次实心球训练的成绩为（）A．米 B．8米 C．10米 D．2米例5．如图，某农场拟建一间矩形奶牛饲养室，打算一边利用房屋现有的墙（墙足够长），其余三边除大门外用栅栏围成，栅栏总长度为50m，门宽为2m．若饲养室长为xm，占地面积为y，则y关于x的函数表达式为（）A．y＝﹣x2+26x（2≤x＜52） B．y＝﹣x2+50x（2≤x＜52）C．y＝﹣x2+52x（2≤x＜52） D．y＝﹣x2+27x﹣52（2≤x＜52）例6．下表所列为某商店薄利多销的情况，某商品原价为元，随着不同幅度的降价，日销量（单位为件）发生相应的变化．如果售价为元时，日销量为（

）件．降价（元）日销量（件）A．1200 B．750 C．1110 D．1140例7．一位运动员在距篮筐正下方水平距离处跳起投篮，球运行的路线是抛物线，当球运行的水平距离为时，达到最大高度，然后准确落入篮筐．如图所示，建立平面直角坐标系，已知篮筐中心到地面的距离为，该运动员身高，在这次跳投中，球在头顶上方处出手，球出手时，他跳离地面的高度是()A． B． C． D．例8．如图，花坛水池中央有一喷泉，水管OP=3m，水从喷头P喷出后呈抛物线状先向上至最高点后落下，若最高点距水面4m，P距抛物线对称轴1m，则为使水不落到池外，水池半径最小为（）A．1 B．1.5C．2 D．3例9．小明周末前往游乐园游玩，他乘坐了摩天轮，摩天轮转一圈，他离地面高度与旋转时之间的关系可以近似地用来刻画．如图记录了该摩天轮旋转时和离地面高度的三组数据，根据上述函数模型和数据，可以推断出：当小明乘坐此摩天轮离地面最高时，需要的时间为（）A． B． C． D．例10．在某种病毒的传播过程中，每轮传染平均人会传染个人，若最初个人感染该病毒，经过两轮传染，共有人感染．则与的函数关系式为（

）A． B． C． D．例11．一人一盔安全守规，一人一带平安常在！某商店销售一批头盔，售价为每顶80元，每月可售出200顶．在“创建文明城市”期间，计划将头盔降价销售，经调查发现：每降价1元，每月可多售出20顶．已知头盔的进价为每顶50元，则该商店每月获得最大利润时，每顶头盔的售价为（）元．A．60 B．65 C．70 D．75例12．某公司销售一种藜麦，成本价为30元/千克，若以35元/千克的价格销售，每天可售出450千克．当售价每涨0.5元/千克时，日销售量就会减少15千克．设当日销售单价为（元/千克）（，且是按0.5的倍数上涨），当日销售量为（千克）．有下列说法：①当时，②与之间的函数关系式为③若使日销售利润为2880元，且销售量较大，则日销售单价应定为42元/千克④若使日销售利润最大，销售价格应定为40元/千克其中正确的是（

）A．①② B．①②④ C．①②③ D．②④一、单选题1．一台机器原价100万元，若每年的折旧率是x，两年后这台机器约为y万元，则y与x的函数关系式为（

）A． B． C． D．2．重装专卖店销售一种童装，若这种童装每天获利y（元）与销售单价x（元）满足关系，则要想获得最大利润每天必须卖出（

）A．25件 B．20件 C．30件 D．40件3．长为，宽为的矩形，四个角上剪去边长为的小正方形，然后把四边折起来，作成底面为的无盖的长方体盒子，则y与x的关系式为（

）A． B．C． D．4．在中考体育训练期间，小宇对自己某次实心球训练的录像进行分析，发现实心球飞行高度y（米）与水平距离x（米）之间的关系式为，由此可知小宇此次实心球训练的成绩为（）A．米 B．8米 C．10米 D．2米5．某市新建一座景观桥．如图，桥的拱肋可视为抛物线的一部分，桥面可视为水平线段，桥面与拱肋用垂直于桥面的杆状景观灯连接，拱肋的跨度为40米，桥拱的最大高度为16米（不考虑灯杆和拱肋的粗细），则与的距离为5米的景观灯杆的高度为（

）A．13米 B．14米 C．15米 D．16米6．西安大雁塔音乐喷泉是西安的一张名片，许多人慕名前往．若其中一组喷泉水型可近似看成抛物线族，如图出立坐标系后，可由函数确定，其中1为实数．若其中某个喷泉水柱的最大高度是4，则此时对应的t值为（）A．2 B．4 C．2或 D．4成7．如图，一个滑道由滑坡（段）和缓冲带（段）组成，如图所示，滑雪者在滑坡上滑行的距离（单位：m）和滑行的时间（单位：s）满足二次函数关系，并测得相关数据：滑雪者在缓冲带上滑行的距离（单位：m），和在缓冲带上滑行时间（单位：s）满足：，滑雪者从A出发在缓冲带上停止，一共用了24s，则滑坡的长度为（

）滑行时间01234滑行距离04.51428.548A．275米 B．384米 C．375米 D．270米8．足球运动员将足球沿与地面成一定角度的方向踢出，足球飞行的路线是一条抛物线，不考虑空气阻力，足球距离地面的高度h（单位：）与足球被踢出后经过的时间t（单位：）之间的关系如下表：t01234567……h08141820201814……下列结论：①足球距离地面的最大高度为；②足球飞行路线的对称轴是直线；③足球被踢出时落地；④足球被踢出时，距离地面的高度是，其中正确的结论有（

）个A．1 B．2 C．3 D．49．根据防疫的相关要求，学生入校需晨检，体温超标的同学须进入临时隔离区进行留观．某校要建一个长方形临时隔离区，隔离区的一面利用学校边墙（墙长5米），其它三面用防疫隔离材料搭建，但要开一扇1米宽的进出口（不需材料），共用防疫隔离材料10米搭建的隔离区的面积最大为（

）平方米．A． B．25 C． D．1510．某池塘的截面如图所示，池底呈抛物线形，在图中建立平面直角坐标系，并标出相关数据（单位：m）．有下列结论：①；②池底所在抛物线的解析式为；③池塘最深处到水面CD的距离为1.8m；④若池塘中水面的宽度减少为原来的一半，则最深处到水面的距离减少为原来的．其中结论正确的是（

）A．①② B．②④ C．③④ D．①④二、填空题11．加工爆米花时，爆开且不糊的颗粒的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，可食用率与加工时间（单位：）满足函数表达式，则最佳加工时间为________．12．如图，以地面为x轴，一名男生推铅球，铅球行进高度y（单位：米）与水平距离x（单位：米）之间的关系是．则他将铅球推出的距离是___米．13．如图，某单位的围墙由一段段形状相同的抛物线形栅栏组成，为了牢固，每段栅栏间隔0.2米设置一根立柱（即AB间间隔0.2米的7根立柱）进行加固，若立柱EF的长为0.28米，则拱高OC为_____米14．在东京奥运会跳水比赛中，中国小花全红婵的表现，令人印象深刻．在正常情况下，跳水运动员进行10米跳台训练时，必须在距水面5米之前完成规定的翻腾动作，并调整好入水姿势，否则容易出现失误．假设某运动员起跳后第t秒离水面的高度为h米，且．那么为了避免出现失误，这名运动员最多有_____秒时间，完成规定的翻腾动作．15．如图所示，三孔桥横截面的三个孔都呈抛物线形，两小孔形状、大小都相同．正常水位时，大孔水面宽度为，顶点M距水面（即），小孔顶点N距水面（即）．当水位上涨到刚好淹没小孔时，借助图中的直角坐标系，可以得出此时大孔的水面宽度是_________m．16．小刚家装有一种可调节淋浴喷头高度的淋浴器，完全开启后，水流近似呈抛物线状，升降器AB和淋浴喷头BC所成∠ABC＝135°，其中AB＝10cm，BC＝cm．刚开始时，OA＝140cm，水流所在的抛物线恰好经过点A，抛物线落地点D和点O相距70cm．为了方便淋浴，淋浴器仍需完全处于开启的状态，且要求落地点和点O的距离增加10cm，则小刚应把升降器AB向上平移____________cm．17．一个玻璃杯竖直放置时的纵向截面如图1所示，其左右轮廓线，为同一抛物线的一部分，，都与水平地面平行，当杯子装满水后，，液体高度，将杯子绕倾斜倒出部分液体，当倾斜角时停止转动，如图2所示，此时液面宽度________，液面到点所在水平地面的距离是________．18．“水晶晶南浔”的美食文化中以特有的双交画出名，盛面的瓷碗截面图如图1所示，碗体DEC呈抛物线状（碗体厚度不计），点E是抛物线的顶点，碗底高EF＝1cm，碗底宽AB＝2cm，当瓷碗中装满面汤时，液面宽CD＝8cm，此时面汤最大深度EG＝6cm，将瓷碗绕点B缓缓倾斜倒出部分面汤，如图2，当∠ABK＝30°时停止，此时液面CH宽_____cm；碗内面汤的最大深度是_____cm．三、解答题19．如图，若被击打的小球飞行高度（单位：）与飞行时间（单位：）之间具有的关系为，请根据要求解答下列问题：(1)在飞行过程中，小球从飞出到落地所用时间是多少?(2)在飞行过程中，小球飞行高度何时最大?最大高度是多少?20．某架飞机着陆后滑行的距离（单位：）与滑行时间（单位：）近似满足函数关系．由电子监测获得滑行时间与滑行距离的几组数据如下：滑行时间x/s滑行距离y/m(1)根据上述数据，求出满足的函数关系式；(2)飞机着陆后滑行多远才能停下来？此时滑行的时间是多少？21．某游乐场的圆形喷水池中心O有一雕塑OA，从A点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同。如图，以水平方向为x轴，点O为原点建立直角坐标系，点A在y轴上，x轴上的点C、D为水柱的落水点，水柱所在抛物线(第一象限部分)的函数表达式为．(1)求落水点C、D之间的距离；(2)若需在OD上离O点10米的E处竖立雕塑EF，，且雕塑的顶部刚好碰到水柱，求雕塑EF的高．22．如图，一个圆形喷水池的中央竖直安装了一个柱形喷水装置，处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，水流喷出的高度与水平距离之间的关系式是．(1)喷头离地面的高度是多少？(2)水流喷出的最大高度是多少？(3)若不计其他因素，水池的半径至少为多少，才能使喷出的水流不落在池外？23．如图1所示的某种发石车是古代一种远程攻击的武器，发射出去的石块的运动轨迹是抛物线的一部分，且距离发射点20米时达到最大高度10米．将发石车置于山坡底部O处，山坡上有一点A，点A与点O的水平距离为30米，与地面的竖直距离为3米，AB是高度为3米的防御墙．若以点O为原点，建立如图2所示的平面直角坐标系．(1)求石块运动轨迹所在抛物线的解析式；(2)试通过计算说明石块能否飞越防御墙AB；(3)在竖直方向上，试求石块飞行时与坡面OA的最大距离．24．原地正面掷实心球是体育训练项目之一、受测者站在起掷线后，被掷出的实心球进行斜抛运动，实心球着陆点到起掷线的距离即为此项目成绩．实心球的运动轨迹可看作抛物线的一部分，如图，建立平面直角坐标系，实心球从出手到着陆的过程中，竖直高度y（m）与水平距离x（m）近似满足函数关系（）．小明使用内置传感器的智能实心球进行掷实心球训练．

(1)第一次训练时，智能实心球回传的水平距离x（m）与竖直高度y（m）的几组对应数据如下：水平距离x/m01234567竖直高度y/m求出y与x近似满足的函数关系式，并求本次训练的成绩．(2)第二次训练时，y与x近似满足函数关系，则第二次训练成绩与第一次相比是否有提高？为什么？若有提高，提高了多少？25．过山车是一项富有刺激性的娱乐工具，深受年轻游客的喜爱．某游乐场修建了一款大型过山车．如图所示，为这款过山车的一部分轨道（B为轨道最低点），它可以看成一段抛物线，其中米，米（轨道厚度忽略不计）．

(1)求抛物线的函数表达式；(2)在轨道上有两个位置P和C到地面的距离均为n米，当过山车运动到C处时，又进入下坡段（接口处轨道忽略不计，E为轨道最低点），已知轨道抛物线的形状与抛物线完全相同，E点坐标为，求n的值；(3)现需要对轨道下坡段进行安全加固，建造某种材料的水平和竖直支架，且要求，已知这种材料的价格是100000元/米，请计算多长时，造价最低？最低造价为多少元？26．如图1，某桥拱截面可视为抛物线的一部分，以为坐标原点、所在直线为轴建立平面直角坐标系．在某一时刻，桥拱内的水面宽米，桥拱顶点到水面的距离是4米．

(1)①直接写出、两点的坐标：（），（）；②求抛物线对应的函数解析式；(2)要保证高米的小船能够通过此桥（船顶与桥拱的距离不小于米），求小船的最大宽度是多少？(3)如图2，桥拱所在的抛物线在轴下方部分与桥拱在平静水面中的倒影组成一个新函数图像，将新函数图像向右平移个单位长度，平移后的函数图像在时，的值随值的增大而减小，结合函数图像，直接写出的取值范围．一、单选题1．（2021·北京·统考中考真题）如图，用绳子围成周长为的矩形，记矩形的一边长为，它的邻边长为，矩形的面积为．当在一定范围内变化时，和都随的变化而变化，则与与满足的函数关系分别是（

）A．一次函数关系，二次函数关系 B．反比例函数关系，二次函数关系C．一次函数关系，反比例函数关系 D．反比例函数关系，一次函数关系2．（2020·山西·统考中考真题）竖直上抛物体离地面的高度与运动时间之间的关系可以近似地用公式表示，其中是物体抛出时离地面的高度，是物体抛出时的速度．某人将一个小球从距地面的高处以的速度竖直向上抛出，小球达到的离地面的最大高度为（

）A． B． C． D．3．（2020·四川绵阳·统考中考真题）三孔桥横截面的三个孔都呈抛物线形，两小孔形状、大小完全相同．当水面刚好淹没小孔时，大孔水面宽度为10米，孔顶离水面1.5米；当水位下降，大孔水面宽度为14米时，单个小孔的水面宽度为4米，若大孔水面宽度为20米，则单个小孔的水面宽度为（）A．4米 B．5米 C．2米 D．7米二、填空题4．（2022·江苏南通·统考中考真题）根据物理学规律，如果不考虑空气阻力，以的速度将小球沿与地面成角的方向击出，小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间的函数关系是，当飞行时间t为___________s时，小球达到最高点．5．（2022·贵州黔西·统考中考真题）如图，是一名男生推铅球时，铅球行进过程中形成的抛物线．按照图中所示的平面直角坐标系，铅球行进高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）之间的关系是，则铅球推出的水平距离OA的长是_____m．6．（2022·山东聊城·统考中考真题）某食品零售店新上架一款冷饮产品，每个成本为8元，在销售过程中，每天的销售量y（个）与销售价格x（元/个）的关系如图所示，当时，其图象是线段AB，则该食品零售店每天销售这款冷饮产品的最大利润为______________元（利润=总销售额-总成本）．三、解答题7．（2022·四川巴中·统考中考真题）端午节吃粽子是中华民族的传统习俗，市场上猪肉粽进价比豆沙粽进价每盒贵10元，一盒猪肉粽加两盒豆沙粽进价为100元．(1)求每盒猪肉粽和豆沙粽的进价；(2)在销售中，某商家发现当每盒猪肉粽售价为50元时，每天可售出100盒，若每盒售价提高1元，则每天少售出2盒．设每盒猪肉粽售价为元，销售猪肉粽的利润为元，求该商家每天销售猪肉粽获得的最大利润．第06讲二次函数的应用-实际应用一、列二次函数解应用题列二次函数解应用题与列整式方程解应用题的思路和方法是一致的，不同的是，学习了二次函数后，表示量与量的关系的代数式是含有两个变量的等式．对于应用题要注意以下步骤：(1)审清题意，弄清题中涉及哪些量，已知量有几个，已知量与变量之间的基本关系是什么，找出等量关系(即函数关系)．(2)设出两个变量，注意分清自变量和因变量，同时还要注意所设变量的单位要准确．(3)列函数表达式，抓住题中含有等量关系的语句，将此语句抽象为含变量的等式，这就是二次函数．(4)按题目要求，结合二次函数的性质解答相应的问题。(5)检验所得解是否符合实际：即是否为所提问题的答案．(6)写出答案．要点：常见的问题：求最大(小)值(如求最大利润、最大面积、最小周长等)、涵洞、桥梁、抛物体、抛物线的模型问题等.解决这些实际问题关键是找等量关系，把实际问题转化为函数问题，列出相关的函数关系式.二、建立二次函数模型求解实际问题一般步骤：(1)恰当地建立直角坐标系；(2)将已知条件转化为点的坐标；(3)合理地设出所求函数关系式；(4)代入已知条件或点的坐标，求出关系式；(5)利用关系式求解问题．要点：(1)利用二次函数解决实际问题，要建立数学模型，即把实际问题转化为二次函数问题，利用题中存在的公式、内含的规律等相等关系，建立函数关系式，再利用函数的图象及性质去研究问题.在研究实际问题时要注意自变量的取值范围应具有实际意义.(2)对于本节的学习，应由低到高处理好如下三个方面的问题：①首先必须了解二次函数的基本性质；②学会从实际问题中建立二次函数的模型；③借助二次函数的性质来解决实际问题.例1．一台机器原价100万元，若每年的折旧率是x，两年后这台机器约为y万元，则y与x的函数关系式为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】原价为100万元，一年后的价格是100×（1-x），二年后的价格是为：100×（1-x）×（1-x）=100（1-x）2，则函数解析式求得．解：由题意得：二年后的价格是为：100×（1-x）×（1-x）=100（1-x）2，则函数解析式是：y=100（1-x）2．故选A．【点睛】本题考查了根据实际问题列二次函数关系式的知识，需注意第二年的价位是在第一年的价位的基础上降价的．例2．长为，宽为的矩形，四个角上剪去边长为的小正方形，然后把四边折起来，作成底面为的无盖的长方体盒子，则y与x的关系式为（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】【分析】利用现有一块长20cm、宽10cm的矩形，将它的四个角各剪去一个边长为xcm的小正方形，则底面长与宽均减少2xcm，表示出无盖的长方体盒子底边的长，进而得出y与x之间的函数关系式．解：设小正方形边长为xcm，由题意知：现在底面长为（20-2x）cm，宽为（10-2x）cm，则y=（10-2x）（20-2x）（0＜x＜5），故选：C．【点睛】此题主要考查了根据实际问题列二次函数关系式，表示出长方体盒子底边的长与宽是解题关键．例3．重装专卖店销售一种童装，若这种童装每天获利y（元）与销售单价x（元）满足关系，则要想获得最大利润每天必须卖出（

）A．25件 B．20件 C．30件 D．40件【答案】A【解析】【分析】将函数解析式配方成顶点式后，利用二次函数的性质求解可得．解：∵y=-x2+50x-500=-（x-25）2+125，∴当x=25时，y取得最大值，最大值为125，即销售单价为25元时，销售利润最大，故选：A．【点睛】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是熟练将二次函数的一般式化为顶点式的能力及掌握二次函数的性质．例4．在中考体育训练期间，小宇对自己某次实心球训练的录像进行分析，发现实心球飞行高度y（米）与水平距离x（米）之间的关系式为，由此可知小宇此次实心球训练的成绩为（）A．米 B．8米 C．10米 D．2米【答案】B【解析】【分析】小宇此次实心球训练的成绩就是抛物线，与x轴交点的横坐标，即当y＝0时，求x的值即可．解：当y＝0时，即＝0，解得：x1＝﹣2（舍去），x2＝8，所以小宇此次实心球训练的成绩为8米，故选：B．【点睛】本题考查了二次函数的应用中函数式中变量与函数表达的实际意义，需要结合题意，取函数或自变量的特殊值列方程求解是解题关键．例5．如图，某农场拟建一间矩形奶牛饲养室，打算一边利用房屋现有的墙（墙足够长），其余三边除大门外用栅栏围成，栅栏总长度为50m，门宽为2m．若饲养室长为xm，占地面积为y，则y关于x的函数表达式为（）A．y＝﹣x2+26x（2≤x＜52） B．y＝﹣x2+50x（2≤x＜52）C．y＝﹣x2+52x（2≤x＜52） D．y＝﹣x2+27x﹣52（2≤x＜52）【答案】A【解析】【分析】直接根据题意表示出垂直与墙饲养室的一边长，再利用矩形面积求法得出答案．解：y关于x的函数表达式为：y（50+2﹣x）xx2+26x（2≤x＜52）．故选：A．【点睛】此题主要考查了根据实际问题列二次函数关系，正确表示出另一边长是解题关键．例6．下表所列为某商店薄利多销的情况，某商品原价为元，随着不同幅度的降价，日销量（单位为件）发生相应的变化．如果售价为元时，日销量为（

）件．降价（元）日销量（件）A．1200 B．750 C．1110 D．1140【答案】C【解析】【分析】由题意根据表中的数据分析得，每降元，销售量增加件，就可求出降元时的销售量，以此进行分析即可．解：由表中数据得，每降元，销售量增加件，即每降元，销售量增加件，降元时，销售量为（件）．故答案为：．【点睛】本题考查一次函数的应用以及二次函数的应用：在商品经营活动中，经常会遇到求最大利润，最大销量等问题．解答此类题的关键是通过题意，确定出二次函数的解析式．例7．一位运动员在距篮筐正下方水平距离处跳起投篮，球运行的路线是抛物线，当球运行的水平距离为时，达到最大高度，然后准确落入篮筐．如图所示，建立平面直角坐标系，已知篮筐中心到地面的距离为，该运动员身高，在这次跳投中，球在头顶上方处出手，球出手时，他跳离地面的高度是()A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】设抛物线的表达式为y=ax2+3.5，依题意可知图象经过的坐标，由此可得a的值，设球出手时，他跳离地面的高度为hm，则可得h+2.15=-0.2×（-2.5）2+3.5．∵当球运行的水平距离为时，达到最大高度，∴抛物线的顶点坐标为，∴设抛物线的解析式为．由题意知图象过点，∴，解得，抛物线的解析式为．设球出手时，他跳离地面的高度为．∵抛物线的解析式为，球出手时，球的高度为．∴，∴．故选：A．【点睛】此题主要考查了二次函数的应用，建立合适的平面直角坐标系是解决本题的突破点，求得二次函数的解析式是解决本题的关键．例8．如图，花坛水池中央有一喷泉，水管OP=3m，水从喷头P喷出后呈抛物线状先向上至最高点后落下，若最高点距水面4m，P距抛物线对称轴1m，则为使水不落到池外，水池半径最小为（）A．1 B．1.5C．2 D．3【答案】D【解析】【分析】首先建立坐标系，然后利用待定系数法求得函数的解析式，然后令y=0，即可求解．如图建立坐标系：抛物线的顶点坐标是（1，4），设抛物线的解析式是y=a（x-1）2+4，把（0，3）代入解析式得：a+4=3，解得：a=-1，则抛物线的解析式是：y=-（x-1）2+4，当y=0时，-（x-1）2+4=0，解得：x1=3，x2=-1（舍去），则水池的最小半径是3米．故选：D．【点睛】本题考查了二次函数的应用，待定系数法求函数的解析式是本题的关键．例9．小明周末前往游乐园游玩，他乘坐了摩天轮，摩天轮转一圈，他离地面高度与旋转时之间的关系可以近似地用来刻画．如图记录了该摩天轮旋转时和离地面高度的三组数据，根据上述函数模型和数据，可以推断出：当小明乘坐此摩天轮离地面最高时，需要的时间为（）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】把已知点的坐标代入函数解析式，求得b，c的值，可得函数解析式，再由二次函数求最值．解：把（160，60），（190，67.5）分别代入，可得，解得：，则，∵，∴当时，有最大值，∴当小明乘坐此摩天轮离地面最高时，需要的时间为s，故选：C．【点睛】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是熟练掌握待定系数法，学会构建二次函数解决问题，是基础题．例10．在某种病毒的传播过程中，每轮传染平均人会传染个人，若最初个人感染该病毒，经过两轮传染，共有人感染．则与的函数关系式为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】用含有x的代数式分别表示出每轮传染的人数和总人数即可得解.∵每轮传染平均人会传染个人，∴2人感染时，一轮可传染2x人，∴一轮感染的总人数为2x+2=2(1+x)人；∵每轮传染平均人会传染个人，∴2(1+x)人感染时，二轮可传染2(1+x)x人，∴二轮感染的总人数为[2(1+x)+2(1+x)x]=人；∴，故选A.【点睛】本题考查了平均增长问题，准确表示每一轮传染的人数是解题的关键.例11．一人一盔安全守规，一人一带平安常在！某商店销售一批头盔，售价为每顶80元，每月可售出200顶．在“创建文明城市”期间，计划将头盔降价销售，经调查发现：每降价1元，每月可多售出20顶．已知头盔的进价为每顶50元，则该商店每月获得最大利润时，每顶头盔的售价为（）元．A．60 B．65 C．70 D．75【答案】C【解析】【分析】根据题意，可以先设出每顶头盔降价x元，利润为w元，然后根据题意可以得到w与x的函数关系式，再将函数解析式化为顶点式，即可得到降价多少元时，w取得最大值，从而可以得到该商店每月获得最大利润时，每顶头盔的售价．解：每顶头盔降价x元，利润为w元，由题意可得，w＝（80﹣x﹣50）（200+20x）＝﹣20（x﹣10）2+8000，∴当x＝10时，w取得最大值，此时80﹣x＝70，即该商店每月获得最大利润时，每顶头盔的售价为70元，故选：C．【点睛】本题主要考查了二次函数的应用，准确计算是解题的关键．例12．某公司销售一种藜麦，成本价为30元/千克，若以35元/千克的价格销售，每天可售出450千克．当售价每涨0.5元/千克时，日销售量就会减少15千克．设当日销售单价为（元/千克）（，且是按0.5的倍数上涨），当日销售量为（千克）．有下列说法：①当时，②与之间的函数关系式为③若使日销售利润为2880元，且销售量较大，则日销售单价应定为42元/千克④若使日销售利润最大，销售价格应定为40元/千克其中正确的是（

）A．①② B．①②④ C．①②③ D．②④【答案】B【解析】【分析】根据题意求出二次函数的解析式，再根据利润的关系逐一判断即可；当时，，故①正确；由题意得：，故②正确；日销售利润为，由题意得：，整理得：，解得：，，∵销售单价为38元/千克时的销售量比销售单价为42元/千克时大，∴不合题意，即若使日销售利润为2880元，且销售量较大，则日销售单价应定为38元/千克，故③错误；由上问可知：，即，∵，∴当时，，即若使日销售利润最大，销售价格应定为40元/千克，故④正确；故正确的是①②④；故答案选B．【点睛】本题主要考查了二次函数的实际应用，准确计算是解题的关键．一、单选题1．一台机器原价100万元，若每年的折旧率是x，两年后这台机器约为y万元，则y与x的函数关系式为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】原价为100万元，一年后的价格是100×（1-x），二年后的价格是为：100×（1-x）×（1-x）=100（1-x）2，则函数解析式求得．【解析】解：由题意得：二年后的价格是为：100×（1-x）×（1-x）=100（1-x）2，则函数解析式是：y=100（1-x）2．故选A．【点睛】本题考查了根据实际问题列二次函数关系式的知识，需注意第二年的价位是在第一年的价位的基础上降价的．2．重装专卖店销售一种童装，若这种童装每天获利y（元）与销售单价x（元）满足关系，则要想获得最大利润每天必须卖出（

）A．25件 B．20件 C．30件 D．40件【答案】A【分析】将函数解析式配方成顶点式后，利用二次函数的性质求解可得．【解析】解：∵y=-x2+50x-500=-（x-25）2+125，∴当x=25时，y取得最大值，最大值为125，即销售单价为25元时，销售利润最大，故选：A．【点睛】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是熟练将二次函数的一般式化为顶点式的能力及掌握二次函数的性质．3．长为，宽为的矩形，四个角上剪去边长为的小正方形，然后把四边折起来，作成底面为的无盖的长方体盒子，则y与x的关系式为（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】利用现有一块长20cm、宽10cm的矩形，将它的四个角各剪去一个边长为xcm的小正方形，则底面长与宽均减少2xcm，表示出无盖的长方体盒子底边的长，进而得出y与x之间的函数关系式．【解析】解：设小正方形边长为xcm，由题意知：现在底面长为（20-2x）cm，宽为（10-2x）cm，则y=（10-2x）（20-2x）（0＜x＜5），故选：C．【点睛】此题主要考查了根据实际问题列二次函数关系式，表示出长方体盒子底边的长与宽是解题关键．4．在中考体育训练期间，小宇对自己某次实心球训练的录像进行分析，发现实心球飞行高度y（米）与水平距离x（米）之间的关系式为，由此可知小宇此次实心球训练的成绩为（）A．米 B．8米 C．10米 D．2米【答案】B【分析】小宇此次实心球训练的成绩就是抛物线，与x轴交点的横坐标，即当y＝0时，求x的值即可．【解析】解：当y＝0时，即＝0，解得：x1＝﹣2（舍去），x2＝8，所以小宇此次实心球训练的成绩为8米，故选：B．【点睛】本题考查了二次函数的应用中函数式中变量与函数表达的实际意义，需要结合题意，取函数或自变量的特殊值列方程求解是解题关键．5．某市新建一座景观桥．如图，桥的拱肋可视为抛物线的一部分，桥面可视为水平线段，桥面与拱肋用垂直于桥面的杆状景观灯连接，拱肋的跨度为40米，桥拱的最大高度为16米（不考虑灯杆和拱肋的粗细），则与的距离为5米的景观灯杆的高度为（

）A．13米 B．14米 C．15米 D．16米【答案】C【分析】以所在直线为x轴、所在直线为y轴建立坐标系，可设该抛物线的解析式为，将点B坐标代入求得抛物线解析式，再求当时y的值即可．【解析】解：建立如图所示平面直角坐标系，设抛物线表达式为，由题意可知，B的坐标为，∴，∴，∴，∴当时，．答：与距离为5米的景观灯杆的高度为15米，故选：C．【点睛】本题考查了二次函数的应用，涉及了待定系数法求抛物线解析式的知识，建立合适的平面直角坐标系是解题的关键．6．西安大雁塔音乐喷泉是西安的一张名片，许多人慕名前往．若其中一组喷泉水型可近似看成抛物线族，如图出立坐标系后，可由函数确定，其中1为实数．若其中某个喷泉水柱的最大高度是4，则此时对应的t值为（）A．2 B．4 C．2或 D．4成【答案】C【分析】由可得其对称轴为：，当时，，即有，解方程即可求解．【解析】由可得其对称轴为：，根据，可知：当时，，即有：，解得：，故选：C．【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质以及二次函数的应用等知识，明确题意，得出当时，，是解答本题的关键．7．如图，一个滑道由滑坡（段）和缓冲带（段）组成，如图所示，滑雪者在滑坡上滑行的距离（单位：m）和滑行的时间（单位：s）满足二次函数关系，并测得相关数据：滑雪者在缓冲带上滑行的距离（单位：m），和在缓冲带上滑行时间（单位：s）满足：，滑雪者从A出发在缓冲带上停止，一共用了24s，则滑坡的长度为（

）滑行时间01234滑行距离04.51428.548A．275米 B．384米 C．375米 D．270米【答案】D【分析】由滑行时间为0时，滑行距离为0可得，故设，取两组数据代入，求出解析式，滑雪者在段对应的二次函数取得最大值时即为滑雪者停下时，由此求出滑雪者在段的滑行时间，即可得出在段的滑行时间，最后代入函数解析式求出段的长度即可．【解析】解：由滑行时间为0时，滑行距离为0可得，设，取两组数据代入可得：，解得：，，滑雪者在缓冲带上滑行时间为：s，滑雪者在滑坡上滑行时间为：s，令，，滑坡的长度为270米．故选：D．【点睛】本题主要考查二次函数的实际应用，滑雪者在段对应的二次函数取得最大值时即为滑雪者停下时，由此求出滑雪者在段的滑行时间是解题关键．8．足球运动员将足球沿与地面成一定角度的方向踢出，足球飞行的路线是一条抛物线，不考虑空气阻力，足球距离地面的高度h（单位：）与足球被踢出后经过的时间t（单位：）之间的关系如下表：t01234567……h08141820201814……下列结论：①足球距离地面的最大高度为；②足球飞行路线的对称轴是直线；③足球被踢出时落地；④足球被踢出时，距离地面的高度是，其中正确的结论有（

）个A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】由题意，抛物线经过，所以可以假设抛物线的解析式为，把代入可得，可得，由此即可一一判断．【解析】解：∵当和时，h的值相同，∴抛物线的对称轴为直线，故②正确；∵当时，，∴当时，，即足球被踢出时落地，故③错误；∴可设抛物线的解析式为，把代入得解得，∴，∴足球距离地面的最大高度为，故①正确，∴足球被踢出时落地，故③错误，∵时，，故④正确．∴正确的有①②④，共3个，故C正确．故选：C．【点睛】本题考查二次函数的应用、求出抛物线的解析式是解题的关键．9．根据防疫的相关要求，学生入校需晨检，体温超标的同学须进入临时隔离区进行留观．某校要建一个长方形临时隔离区，隔离区的一面利用学校边墙（墙长5米），其它三面用防疫隔离材料搭建，但要开一扇1米宽的进出口（不需材料），共用防疫隔离材料10米搭建的隔离区的面积最大为（

）平方米．A． B．25 C． D．15【答案】C【分析】设这个隔离区一边AB长为x米，则另一边BC长为（10-x+1）米，根据隔离区面积为S平方米，列出二次函数表达式，配方后再根据二次函数的性质求解即可．【解析】设这个隔离区一边AB长为x米，则另一边BC长为（10-x+1）米，依题意，隔离区的面积为S=x•（10-x+1）=-x2+x=-（x-）2+，∵-＜0，∴当x=时，隔离区有最大面积，最大面积为平方米，故选：C．【点睛】本题考查了二次函数的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出二次函数表达式．10．某池塘的截面如图所示，池底呈抛物线形，在图中建立平面直角坐标系，并标出相关数据（单位：m）．有下列结论：①；②池底所在抛物线的解析式为；③池塘最深处到水面CD的距离为1.8m；④若池塘中水面的宽度减少为原来的一半，则最深处到水面的距离减少为原来的．其中结论正确的是（

）A．①② B．②④ C．③④ D．①④【答案】B【分析】根据两点距离公式可计算AB长度，由图像可知抛物线的对称轴和点坐标，设出抛物线解析式，将已知点坐标代入即可得出抛物线方程，进而逐项判断即可．【解析】①由题可知，AB=15－（﹣15）=30m，则①错误；②对称轴为y轴，交y轴于点(0，﹣5)，设函数解析式为,将点(15,0)代入解析式得，解得，池底所在抛物线解析式为，则②正确；③将代入解析式得，解得，则池塘最深处到水面CD的距离为m,则③错误；④设原宽度为时最深处到水面的距离为m，宽度减少为原来的一半时距离为m，故④正确，所以①、③错误，②、④正确，选项B正确，符合题意．故选：B．【点睛】本题考查了抛物线的图像与性质的实际应用，关键是结合图像设出适当的解析式，利用待定系数法求解．二、填空题11．加工爆米花时，爆开且不糊的颗粒的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，可食用率与加工时间（单位：）满足函数表达式，则最佳加工时间为________．【答案】3.75【分析】根据二次函数的对称轴公式直接计算即可．【解析】解：∵的对称轴为（min），故：最佳加工时间为3.75min，故答案为：3.75．【点睛】此题主要考查了二次函数性质的应用，涉及求顶点坐标、对称轴方程等，记住抛物线顶点公式是解题关键．12．如图，以地面为x轴，一名男生推铅球，铅球行进高度y（单位：米）与水平距离x（单位：米）之间的关系是．则他将铅球推出的距离是___米．【答案】10【分析】成绩就是当高度y=0时x的值，所以解方程可求解．【解析】解：当y=0时，，解得：（不合题意，舍去），所以推铅球的距离是10米；故答案为：10．【点睛】本题考查了把函数问题转化为方程问题，渗透了函数与方程相结合的解题思想方法．13．如图，某单位的围墙由一段段形状相同的抛物线形栅栏组成，为了牢固，每段栅栏间隔0.2米设置一根立柱（即AB间间隔0.2米的7根立柱）进行加固，若立柱EF的长为0.28米，则拱高OC为_____米【答案】0.64【分析】根据抛物线，建立直角坐标系，求出抛物线解析式，即可求得OC的长．【解析】解：如图，以点C为坐标系原点，OC所在直线为y轴，建立直角坐标系．设抛物线的解析式为，由题意可知：点A的横坐标为－0.8，点F的横坐标为－0.6，代入，有，，点A的纵坐标即为OC的长，∴0.36a＋0.28＝0.64a，解得a＝1，∴抛物线解析式为，，故OC的长为：0.64m．【点睛】本题考查根据抛物线构建直角坐标系，解决实际问题，熟练掌握二次函数相关知识点是解题的关键．14．在东京奥运会跳水比赛中，中国小花全红婵的表现，令人印象深刻．在正常情况下，跳水运动员进行10米跳台训练时，必须在距水面5米之前完成规定的翻腾动作，并调整好入水姿势，否则容易出现失误．假设某运动员起跳后第t秒离水面的高度为h米，且．那么为了避免出现失误，这名运动员最多有_____秒时间，完成规定的翻腾动作．【答案】/1.5【分析】根据题意，令，解一元二次方程求解即可．【解析】依题意整理得即解得（不符合题意，舍）故答案为：【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，读懂题意将代入关系式是解题的关键．15．如图所示，三孔桥横截面的三个孔都呈抛物线形，两小孔形状、大小都相同．正常水位时，大孔水面宽度为，顶点M距水面（即），小孔顶点N距水面（即）．当水位上涨到刚好淹没小孔时，借助图中的直角坐标系，可以得出此时大孔的水面宽度是_________m．【答案】【分析】利用待定系数法求出大孔抛物线的解析式，然后根据NC的长即可求出点E、F的坐标，从而求出结论．【解析】解：设大孔抛物线的解析式为，把点解析式，得，解得，因此大孔抛物线的解析式为；由，可知点F的纵坐标为4，代入解析式，解得．所以，所以．故答案为：．【点睛】此题考查的是二次函数的应用，掌握实际问题中的等量关系和利用待定系数法求二次函数解析式是解决此题的关键．16．小刚家装有一种可调节淋浴喷头高度的淋浴器，完全开启后，水流近似呈抛物线状，升降器AB和淋浴喷头BC所成∠ABC＝135°，其中AB＝10cm，BC＝cm．刚开始时，OA＝140cm，水流所在的抛物线恰好经过点A，抛物线落地点D和点O相距70cm．为了方便淋浴，淋浴器仍需完全处于开启的状态，且要求落地点和点O的距离增加10cm，则小刚应把升降器AB向上平移____________cm．【答案】60【分析】过点C作延长线于点E，先求出BE的长，再以点O为原点，OA为y轴正方向，OD为x轴正方向，以1cm为一个单位，建立直角坐标系，得出A、C、D的坐标，用待定系数法求出抛物线解析式，再把抛物线向上平移k个单位，再把坐标代入解析式求出k的值即可．【解析】解：过点C作延长线于点E，cm以点O为原点，OA为y轴正方向，OD为x轴正方向，以1cm为一个单位，建立直角坐标系，则设此时抛物线解析式为：代入点得，，整理得，解得设小刚应把升降器向上平移kcm，即将抛物线向上平移k个单位，则抛物线解析式为：将代入解析式得，即小刚应把升降器向上平移60cm故答案为：60【点睛】本题考查二次函数的应用，关键是根据实际情况建立直角坐标系，用待定系数法求解析式．17．一个玻璃杯竖直放置时的纵向截面如图1所示，其左右轮廓线，为同一抛物线的一部分，，都与水平地面平行，当杯子装满水后，，液体高度，将杯子绕倾斜倒出部分液体，当倾斜角时停止转动，如图2所示，此时液面宽度________，液面到点所在水平地面的距离是________．【答案】【分析】建立以抛物线对称轴为y轴，以DC为x轴的平面直角坐标系，作∠ABE=45°，交抛物线于E，交x轴于F点，过B作于M点．分别求出抛物线、直线BE的解析式，以及E点坐标，利用长度公式及勾股定理，勾股逆定理即可得出答案．【解析】解：依题意建立如图平面直角坐标系，作∠ABE=45°，交抛物线于E，交x轴于F点，过B作于M点，依题意得：，BM=12，设抛物线的解析式为：把A、B、C点坐标代入得：∴∴∴∵∴∵∴∴∵∴设直线BF的解析式为：把B、M点坐标代入得：∴∴∵∴∴∵∴∴∵∴又∵∴∴∴C到点BE的距离为：故图2中液面到点所在水平地面的距离是故答案为：，【点睛】本题考查了二次函数与实际问题的应用，计算量较大，需要学生熟练掌握二次函数与一次函数交点问题，以及利用勾股逆定理来判别直角三角形．18．“水晶晶南浔”的美食文化中以特有的双交画出名，盛面的瓷碗截面图如图1所示，碗体DEC呈抛物线状（碗体厚度不计），点E是抛物线的顶点，碗底高EF＝1cm，碗底宽AB＝2cm，当瓷碗中装满面汤时，液面宽CD＝8cm，此时面汤最大深度EG＝6cm，将瓷碗绕点B缓缓倾斜倒出部分面汤，如图2，当∠ABK＝30°时停止，此时液面CH宽_____cm；碗内面汤的最大深度是_____cm．【答案】【分析】以F为原点，直线AB为x轴，直线EF为y轴，建立平面直角坐标系，得出E、C的坐标用待定系数法求抛物线的解析式，将瓷碗绕点B缓缓倾斜倒出部分面汤，当∠ABK=30时停止，所以旋转前CH与水平方向的夹角为30°，即∠DCH=30°，求出CH与y轴的交点坐标G，把点C、G代入求出直线CH的解析式，联立两个函数求出交点坐标，用两点间的距离公式求出CH的长度；将直线CH向下平移与抛物线只有一个交点时，两直线间的距离最短，利用二次函数与一次函数的交点问题求出平移后的函数解析式，作GJ⊥l1，得出直角三角形，求出两条直线间的距离即为碗内面汤的最大深度是．【解析】以F为原点，直线AB为x轴，直线EF为y轴，建立平面直角坐标系，如图：由题意知：F（0，0），E（0，1），C（，7），D（，7），设抛物线的解析式为：，把点C（，7）代入得，，解得：a＝，∴，将瓷碗绕点B缓缓倾斜倒出部分面汤，当∠ABK＝30°时停止，所以旋转前CH与水平方向的夹角为30°，即∠DCH＝30°，设直线CH的解析式为y＝kx+b，与y轴交于点G，如图：由题意知：点C（，7），∵∠DCH＝30°，CK＝，∴KG＝tan30°＝4，∴FG＝3，即点G（0，3），∴，解得：，∴直线CH的解析式为：y＝x+3，由，解得或，∴H（，），∴CH＝．把直线CH：y＝x+3，向下平移m个单位得到直线：y＝，当直线与抛物线只有一个交点时，两平行线之间的距离最大，过G作GJ⊥，交于点J，与y轴交于点M，GJ的长即为碗内面汤的最大深度，联立，整理为：，∵只要一个交点，∴Δ＝0，即，解得：，∴直线l1的解析式为：，∴点M（0，），GM＝3﹣＝，∵CH与水平面的夹角为30°，∴直线与水平面的夹角为30°，即∠MGJ＝30°，∴在Rt△GMJ中，GJ＝GMcos30°＝，即碗内面汤的最大深度为：，故答案为：，．【点睛】题考查了二次函数，一次函数以及直角三角形在实际生活中的应用，建立合适的直角坐标系和待定系数法求解析式是解题的关键．三、解答题19．如图，若被击打的小球飞行高度（单位：）与飞行时间（单位：）之间具有的关系为，请根据要求解答下列问题：(1)在飞行过程中，小球从飞出到落地所用时间是多少?(2)在飞行过程中，小球飞行高度何时最大?最大高度是多少?【答案】(1)4s；(2)小球飞行2秒时高度最大，最大高度是20m．【分析】（1）落地即，由题意得：，即可解得的取值．（2）将函数解析式配方成顶点式可得最值；【解析】（1）解：由题意得：，解得：（不合题意舍去），，答：在飞行过程中，小球从飞出到落地所用时间是4s．（2）解：，当时，取得最大值m；答：在飞行过程中，小球飞行2秒时高度最大，最大高度是20m．【点睛】本题考查了二次函数的应用，主要考查了二次函数的最值问题，以及利用二次函数图象求不等式，并熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．20．某架飞机着陆后滑行的距离（单位：）与滑行时间（单位：）近似满足函数关系．由电子监测获得滑行时间与滑行距离的几组数据如下：滑行时间x/s滑行距离y/m(1)根据上述数据，求出满足的函数关系式；(2)飞机着陆后滑行多远才能停下来？此时滑行的时间是多少？【答案】(1)(2)飞机着陆后滑行才能停下来，此时滑行的时间是【分析】（1）利用待定系数法确定函数关系式；（2）根据题意和二次函数的性质，当滑行距离取最大值时求出对应的滑行时间即可．【解析】（1）解：根据表格可以得出函数图像过点，，∴，解得：，∴函数关系式为：．（2）根据题意，飞机着陆后滑行一段距离停下来，此时滑行距离取得最大值，∵函数关系式为，且，当时，最大值，∴飞机着陆后滑行才能停下来，此时滑行的时间是．【点睛】本题考查二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，求出二次函数的函数关系式．21．某游乐场的圆形喷水池中心O有一雕塑OA，从A点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同。如图，以水平方向为x轴，点O为原点建立直角坐标系，点A在y轴上，x轴上的点C、D为水柱的落水点，水柱所在抛物线(第一象限部分)的函数表达式为．(1)求落水点C、D之间的距离；(2)若需在OD上离O点10米的E处竖立雕塑EF，，且雕塑的顶部刚好碰到水柱，求雕塑EF的高．【答案】(1)22米(2)雕塑EF的高为米【分析】（1）利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点D的坐标，进而可得出OD的长度，由喷出的水柱为抛物线且形状相同，可得出OC的长，结合CD＝OC+OD即可求出落水点C，D之间的距离；（2）代入x＝10求出y值即可．【解析】（1）解：当y＝0时，，解得：x1＝﹣1（舍去），x2＝11，∴点D的坐标为（11，0），∴OD＝11m．∵从A点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同，∴OC＝OD＝11m，∴CD＝OC+OD＝22m．（2）解：∵，，当x＝10时，，∴点F（10，）∴雕塑EF的高为米．【点睛】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是：（1）利用二次函数图象上点的坐标特征，求出点D的坐标；（2）利用二次函数图象上点的坐标特征，求出抛物线上横坐标为10的点的坐标．22．如图，一个圆形喷水池的中央竖直安装了一个柱形喷水装置，处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，水流喷出的高度与水平距离之间的关系式是．(1)喷头离地面的高度是多少？(2)水流喷出的最大高度是多少？(3)若不计其他因素，水池的半径至少为多少，才能使喷出的水流不落在池外？【答案】(1)(2)(3)当米时，水流不落在池外【分析】（1）喷头离地面的高度是二次函数与的交点，由此即可求解；（2）水流喷出的最大高度是二次函数的顶点坐标的纵坐标，由此即可求解；（3）水池的半径是当二次函数时，自变量的值，由此即可求解．【解析】（1）解：根据题意得，，当时，，∴喷头离地面的高度是米．（2）解：，∴二次函数的顶点坐标是，∴水流喷出的最大高度是米．（3）解：原二次函数变形得，，即，解方程得，，，∵，∴，即当米时，水流不落在池外．【点睛】本题主要考查二次函数一实际问题的综合应用，掌握二次函数图像的特点是解题的关键．23．如图1所示的某种发石车是古代一种远程攻击的武器，发射出去的石块的运动轨迹是抛物线的一部分，且距离发射点20米时达到最大高度10米．将发石车置于山坡底部O处，山坡上有一点A，点A与点O的水平距离为30米，与地面的竖直距离为3米，AB是高度为3米的防御墙．若以点O为原点，建立如图2所示的平面直角坐标系．(1)求石块运动轨迹所在抛物线的解析式；(2)试通过计算说明石块能否飞越防御墙AB；(3)在竖直方向上，试求石块飞行时与坡面OA的最大距离．【答案】(1)y＝﹣x2＋x（0≤x≤40）(2)能飞越，理由见解析(3)8.1米【分析】（1）设石块运行的函数关系式为y＝a（x﹣20）2+10，用待定系数法求得a的值即可求得答案；（2）把x＝30代入y＝﹣x2+x，求得y的值，与6作比较即可；（3）用待定系数法求得OA的解析式为y＝x，设抛物线上一点P（t，﹣t2+t），过点P作PQ⊥x轴，交OA于点Q，则Q（t，t），用含t的式子表示出d关于t的表达式，再利用二次函数的性质可得答案；【解析】（1）解：设石块的运动轨迹所在抛物线的解析式为y＝a（x﹣20）2＋10．把（0，0）代入，得400a＋10＝0，解得a＝﹣．∴y＝﹣（x﹣20）2＋10．即y＝﹣x2＋x（0≤x≤40）．（2）解：把x＝30代入y＝﹣x2＋x，得y＝﹣×900＋30＝7.5．∵7.5＞3＋3，∴石块能飞越防御墙AB．（3）解：设直线OA的解析式为y＝kx（k≠0）．把（30，3）代入，得3＝30k，∴k＝．故直线OA的解析式为y＝x．设直线OA上方的抛物线上的一点P的坐标为（t，﹣t2＋t）．过点P作PQ⊥x轴，交OA于点Q，则Q（t，t）．∴PQ＝﹣t2＋t﹣t＝﹣t2＋t＝﹣（t﹣18）2＋8.1．∴当t＝18时，PQ取最大值，最大值为8.1．答：在竖直方向上，石块飞行时与坡面OA的最大距离是8.1米．【点睛】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，理清题中的数量关系并熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．24．原地正面掷实心球是体育训练项目之一、受测者站在起掷线后，被掷出的实心球进行斜抛运动，实心球着陆点到起掷线的距离即为此项目成绩．实心球的运动轨迹可看作抛物线的一部分，如图，建立平面直角坐标系，实心球从出手到着陆的过程中，竖直高度y（m）与水平距离x（m）近似满足函数关系（）．小明使用内置传感器的智能实心球进行掷实心球训练．

(1)第一次训练时，智能实心球回传的水平距离x（m）与竖直高度y（m）的几组对应数据如下：水平距离x/m01234567竖直高度y/m求出y与x近似满足的函数关系式，并求本次训练的成绩．(2)第二次训练时，y与x近似满足函数关系，则第二次训练成绩与第一次相比是否有提高？为什么？若有提高，提高了多少？【答案】(1)y与x的函数关系式为；本次训练的成绩为；(2)第二次训练成绩与第一次相比有提高，提高了．【分析】（1）利用待定系数法即可求得y与x的函数关系式，令即可求得本次训练的成绩；（2）令即可求得第二次训练的成绩，与第一次比较即可求解．【解析】（1）解：设y与x的函数关系式为，把，，代入得，，解得，∴y与x的函数关系式为；当时，，即，解得或(负值不符合题意，舍去)，∴本次训练的成绩为；（2）解：解方程，整理得，即，解得或(负值不符合题意，舍去)，∴本次训练的成绩为；，且，答：第二次训练成绩与第一次相比有提高，提高了．【点睛】本题主要考查了二次函数的应用，待定系数法求函数关系式，解题的关键是读懂题意，列出函数关系式．25．过山车是一项富有刺激性的娱乐工具，深受年轻游客的喜爱．某游乐场修建了一款大型过山车．如图所示，为这款过山车的一部分轨道（B为轨道最低点），它可以看成一段抛物线，其中米，米（轨道厚度忽略不计）．

(1)求抛物线的函数表达式；(2)在轨道上有两个位置P和C到地面的距离均为n米，当过山车运动到C处时，又进入下坡段（接口处轨道忽略不计，E为轨道最低点），已知轨道抛物线的形状与抛物线完全相同，E点坐标为，求n的值；(3)现需要对轨道下坡段进行安全加固，建造某种材料的水平和竖直支架，且要求，已知这种材料的价格是100000元/米，请计算多长时，造价最低？最低造价为多少元？【答案】(1)(2)(3)当为米时，造价最低，最低造价为2356000元【分析】（1）设抛物线的函数表达式为，利用待定系数法即可求解；（2）求得，推出，得到，据此即可求解；（3）设，得到l关于a的二次函数，利用二次函数的性质即可求解.【解析】（1）解：由题意可设抛物线的函数表达式为，把代入，得：，解得：，∴抛物线的函数表达式为；（2）解：∵米，E点坐标为，∴，∵P和C到地面的距离均为n米，且P，C在抛物线上，∴P，C关于直线对称．∵C为两条形状完全相同的抛物线与的交点，∴抛物线由抛物线向右平移20个单位得到，∴，∴，将代入得∴；（3）解：∵，设，则，，∴，∵，∴开口向上，∴当时，最短，最短为23.56．（元）∴当为米时，造价最低，最低造价为2356000元．【点睛】本题考查二次函数的应用以及平移的性质，关键用二次函数的性质解决实际问题．26．如图1，某桥拱截面可视为抛物线的一部分，以为坐标原点、所在直线为轴建立平面直角坐标系．在某一时刻，桥拱内的水面宽米，桥拱顶点到水面的距离是4米．

(1)①直接写出、两点的坐标：（），（）；②求抛物线对应的函数解析式；(2)要保证高米的小船能够通过此桥（船顶与桥拱的距离不小于米），求小船的最大宽度是多少？(3)如图2，桥拱所在的抛物线在轴下方部分与桥拱在平静水面中的倒影组成一个新函数图像，将新函数图像向右平移个单位长度，平移后的函数图像在时，的值随值的增大而减小，结合函数图像，直接写出的取值范围．【答案】(1)①，②(2)米(3)【解析】（1）①∵，且点A在x轴上，∴，根据抛物线的特点确定抛物线的对称轴为直线，∴点，故答案为：，．②设抛物线的解析式为，把原点代入得，解得，∴此二次函数的表达式．（2）∵二次函数的表达式，令得：，解得：，，∴小船的最大宽度为：米．（3）根据平移规律得到点O平移后的对应点为，对称轴平移后的对称轴为，点A平移后的对应点为，根据图像性质，得到函数在上，满足y随x的增大而减小，∴或，解得或（舍去），故n的取值范围是．

【点睛】本题考查了抛物线的解析式，抛物线的平移，函数的增减性，抛物线的应用，熟练掌握抛物线的平移，函数的增减性，抛物线的应用是解题的关键．一、单选题1．（2021·北京·统考中考真题）如图，用绳子围成周长为的矩形，记矩形的一边长为，它的邻边长为，矩形的面积为．当在一定范围内变化时，和都随的变化而变