专题10几何图形中动角问题的三种考法(原卷版+解析)(北师大版)

专题10几何图形中动角问题的三种考法类型一、定值问题例．如图1，把一副三角板拼在一起，边与直线重合，其中，．此时易得．(1)如图2，三角板固定不动，将三角板绕点以每秒的速度顺时针开始旋转，在转动过程中，三角板一直在的内部，设三角尺运动时间为秒．①当时，；②求当为何值时，使得；(2)如图3，在（1）的条件下，若平分，平分．①当时，；②请问在三角板的旋转过程中，的度数是否会发生变化？如果发生变化，请叙述理由；如果不发生变化，请求出的度数．【变式训练1】已知与互补，将绕点O逆时针旋转．(1)若①如图1，当时，；②将绕点O逆时针旋转至，求与的度数；(2)将绕点O逆时针旋转，在旋转过程中，的度数是否随之的改变而改变？若不改变，请求出这个度数；若改变，请说明理由．【变式训练2】已知，如图1，将一块直角三角板的直角顶点放置于直线上，直角边与直线重合，其中，然后将三角板绕点顺时针旋转，设，从点引射线和，平分，．(1)如图2，填空：当时，______．(2)如图2，当时，求的度数（用含的代数式表示）；(3)如图3，当时，请判断的值是否为定值，若为定值，求出该定值，若不是定值，请说明理由．类型二、数量关系问题例．已知，保持不动，的边与边重合，然后将绕点O按顺时针方向任意转动一个角度，（本题中研究的其它角的度数均小于）(1)[特例分析]如图1，若，则_______°，_______°(2)[一般化研究]如图2，若，随着的变化，探索与的数量关系，并说明理由．(3)[继续一般化]随着的变化，直接写出与的数量关系、（结果用含的代数式表示）．【变式训练1】已知，平分．(1)如图①，若，求的度数；(2)将绕顶点O按逆时针方向旋转至如图②的位置，和有怎样的数量关系？请说明理由；(3)将绕顶点O按逆时针方向旋转至如图③的位置，（2）中的关系是否成立？请说明理由．【变式训练2】如图，，，射线平分，射线平分（本题中的角均为大于且小于的角）．(1)如图，当，重合时，求的度数；(2)当从图中所示位置绕点O顺时针旋转n度时，的值是否为定值？若是定值，求出的值，若不是，请说明理由．(3)当从图中所示位置绕点O顺时针旋转n度时，与具有怎样的数量关系？类型三、求运动时间问题例1．已知，射线均为内的射线．

(1)如图1，若为的三等分线，则＝；(2)如图2，若，平分平分，求的大小(3)射线以每秒的速度顺时针方向旋转，射线以每秒的速度顺时针方向旋转，射线始终平分，两条射线同时从图1的位置出发，当其中一条射线到达的位置时两条射线同时停止运动．设运动的时间为t秒，当t为何值时，.例2．新定义：从一个角的顶点出发，在角的内部引两条射线，如果这两条射线所成的角等于这个角的一半，那么这两条射线所成的角叫做这个角的内半角．如图1，若射线，在的内部，且，则是的内半角．根据以上信息，解决下面的问题：(1)如图1，，，若是的内半角，则；(2)如图2，已知，将绕点按顺时针方向旋转一个角度（）至．若是的内半角，求的值；(3)把一块含有角的三角板按图3方式放置．使边与边重合，边与边重合．如图4，将三角板绕顶点以3度/秒的速度按顺时针方向旋转一周，旋转时间为秒，当射线、、、构成内半角时，直接写出的值．【变式训练1】已知直线过点O，，是的平分线．(1)操作发现：①如图1，若，则°．②如图1，若，则°．③如图1，若，则．（用含α的代数式表示）(2)操作探究：将图1中的绕顶点O顺时针旋转到图2的位置，其他条件不变，③中的结论是否成立？试说明理由．(3)如图3，已知，边、边分别绕着点O以每秒、每秒的速度顺时针旋转（当其中一边与重合时都停止旋转），求：运动多少秒后，【变式训练2】平面上顺时针排列射线，，，射线分别平分，（题目中所出现的角均小于）．(1)如图1，若，则___________，___________；(2)如图2，探究与的数量关系，并说明理由；(3)在（2）的条件下，若，将绕点O以每秒的速度顺时针旋转，同时将绕点O以每秒逆时针旋转，若旋转时间为t秒，当时，直接写出t的值．课后训练1．已知，以射线为起始边，按顺时针方向依次作射线、，使得，设，.(1)如图1，当时，若，求的度数；(2)备用图①，当时，试探索与的数量关系，并说明理由；(3)备用图②，当时，分别在内部和内部作射线，，使，，求的度数.2．点O为直线上一点，在直线AB同侧任作射线OC，OD，使得．(1)如图1，过点O作射线，当恰好为的角平分线时，另作射线，使得平分，则的度数是___________°；(2)如图2，过点O作射线，当恰好为的角平分线时，求出与的数量关系；(3)过点O作射线，当恰好为的角平分线时，另作射线，使得平分，若，求出的度数．3．已知，是过点O的射线，射线分别平分和．(1)如图1，若是的三等分线，则_________；(2)如图2，在内，若，则_________；（用含的代数式表示）(3)如图3，若，将绕着点O逆时针旋转到的外部，请直接写出此时的度数．4．问题情境：是一条射线，分别是和的角平分线．当是直角，，射线在的内部时，我们可以发现的度数是_____；当是直角，，射线在的内部时，的度数是____°．探索发现：分别是和的角平分线，当射线在的外面时．若是直角，，求出的大小；若是直角，，写出的度数；数学思考：分别是和的角平分线，若的度数是，，直接写出的度数．（用含的代数式表示）5．已知，过顶点O作射线，且平分．(1)如图1，若平分，则的度数为___________；(2)若，求的度数；(3)嘉嘉说：“如图2，若在内，平分，则的度数不变．”请你判断嘉嘉的说法是否正确，并说明理由；(4)若在外，设平分，当时，直接写出的度数．6．在内部作射线，，在的右侧，且．(1)如图1，若，平分，平分，求的度数；(2)如图2，平分，猜想与之间的数量关系，并说明理由；(3)如图3，请过点作射线，使平分，再作的角平分线．若，，请直接写出的度数（用含的式子表示）．7．（1）【特例感知】如图1，已知线段，，点C和点D分别是，的中点．若，则________cm；（2）【知识迁移】我们发现角的很多规律和线段一样，如图2，已知∠AOB在∠MON内部转动，射线OC和射线OD分别平分∠AOM和∠BON；①若，，求∠COD的度数；②请你猜想∠AOB，∠COD和∠MON三个角有怎样的数量关系？请说明理由．（3）【类比探究】如图3，∠AOB在∠MON内部转动，若，，，，求∠COD的度数．（用含有k的式子表示计算结果）．

专题10几何图形中动角问题的三种考法类型一、定值问题例．如图1，把一副三角板拼在一起，边与直线重合，其中，．此时易得．(1)如图2，三角板固定不动，将三角板绕点以每秒的速度顺时针开始旋转，在转动过程中，三角板一直在的内部，设三角尺运动时间为秒．①当时，；②求当为何值时，使得；(2)如图3，在（1）的条件下，若平分，平分．①当时，；②请问在三角板的旋转过程中，的度数是否会发生变化？如果发生变化，请叙述理由；如果不发生变化，请求出的度数．【答案】(1)①；②(2)①；②不变化，【分析】（1）①根据题意和角的和差进行求解即可；②由，结合题意可得，从而得出，，进而求出时间；（2）①根据平分，平分，可得，则可以将整理为，进而得出答案；②根据平分，平分，可得，，进而推导出，继而得出答案．【详解】（1）解：①当时，，∴，故答案为：；②∵，∴，∴，∴秒，∴当为秒时，；（2）①∵平分，平分，∴，∴，故答案为：；②的度数不发生变化，理由：平分，∴，∵平分，∴，，∵，∴，．【点睛】本题考查了几何图形中的角度计算，角平分线的定义，读懂题意，能准确得出相应角的数量关系是解本题的关键．【变式训练1】已知与互补，将绕点O逆时针旋转．(1)若①如图1，当时，；②将绕点O逆时针旋转至，求与的度数；(2)将绕点O逆时针旋转，在旋转过程中，的度数是否随之的改变而改变？若不改变，请求出这个度数；若改变，请说明理由．【答案】(1)①150；②，或，(2)不改变，其度数为【分析】（1）①先根据求出，再根据计算即可；②设，分两种情况：(Ⅰ)在内部，(Ⅱ)在内部，分别讨论即可；（2）设，求出所有情况后判断即可．【详解】（1）①∵，∴，∵，，∴，故答案为150；②(Ⅰ)当在内部时（如图1），设，则，，由得，，解得，∴，∴；(Ⅱ)当在内部时（如图2），设，则，由得，，解得，，，∴；（2）不改变，其度数为．设，由条件知，分四种情况：ⅰ)当在内部时（如图3），，，，∴；ⅱ)当在内部时（如图4），，，∴；ⅲ)当在内部时（如图5），，，∴；ⅳ)当在外部时（如图6），；综上所述，在旋转过程中，的度数不改变，其度数为．【点睛】本题考查了角的和差，关键是运用角的和差正确表示所需要的角．【变式训练2】已知，如图1，将一块直角三角板的直角顶点放置于直线上，直角边与直线重合，其中，然后将三角板绕点顺时针旋转，设，从点引射线和，平分，．(1)如图2，填空：当时，______．(2)如图2，当时，求的度数（用含的代数式表示）；(3)如图3，当时，请判断的值是否为定值，若为定值，求出该定值，若不是定值，请说明理由．【答案】(1)30(2)(3)是定值，理由见解析【分析】（1）根据题意，可得，再结合角平分线的定义即可获得答案；（2）当时，由题意可得，结合角平分线的定义易得，再由，可知，然后根据即可获得答案；（3）当时，由题意可得，，结合角平分线的定义易得，再由，，可推导，然后根据，进而确定．【详解】（1）解：当时，由题意可知，是平角，∴，又∵平分，∴．故答案为：30；（2）当时，如图2，∵是平角，，，∴，∵平分，∴，∵，，∴，∴；（3）当时（如图3），为定值．理由如下：∵是平角，，，∴，，∵平分，∴，∵，，∴，∴，∴，∴为定值，定值为．【点睛】本题主要考查了角平分线的定义、几何图形中角度运算等知识，解题关键是结合图形分析清楚各角之间的关系．类型二、数量关系问题例．已知，保持不动，的边与边重合，然后将绕点O按顺时针方向任意转动一个角度，（本题中研究的其它角的度数均小于）(1)[特例分析]如图1，若，则_______°，_______°(2)[一般化研究]如图2，若，随着的变化，探索与的数量关系，并说明理由．(3)[继续一般化]随着的变化，直接写出与的数量关系、（结果用含的代数式表示）．【答案】(1)30；180(2)，理由见解析(3)当时，；当时，；当时，；当时，；当时，．【分析】（1）由转动角度可知，，进而利用已知角的和差关系可求的度数；（2）分在内部，在外部时，在外部时，在外部时，在外部时，在外部时，作出图形进行讨论即可；（3）根据在转动的过程中的度数，分五种情况，当时；当时；当时；当时；当时，作出图形进行讨论即可．【详解】（1）由转动角度可知，，∵，即：，∴，故答案为：30；180．（2），理由如下：如图，在内部，在外部时，∵；∴，如图，在外部时，在外部时，如图，在外部时，在内部时，∵；∴，综上，；（3）A、O、D线B、O、C线①当时，，则，∴；②当时，，∴③当时，，∴④当时，，∴⑤当时，，∴综上，当时，；当时，；当时，；当时，；当时，．【点睛】本题考查了角的有关计算，根据题目要求作出图形，利用角度的和差关系是解决问题的关键问题．【变式训练1】已知，平分．(1)如图①，若，求的度数；(2)将绕顶点O按逆时针方向旋转至如图②的位置，和有怎样的数量关系？请说明理由；(3)将绕顶点O按逆时针方向旋转至如图③的位置，（2）中的关系是否成立？请说明理由．【答案】(1)(2)，理由见解析(3)不成立，理由见解析【分析】（1）先求出的度数，根据，求出，角平分线得到，再利用，即可得解；（2）设，易得：，求出，即可得出结论；（3）设，则，，求出，进而得到和的数量关系，即可得出结论．【详解】（1）解：∵，∴，∴，∵平分，∴，∴；（2）解：；理由如下：设，则，，∵平分，∴，∴，∴；（3）不成立，理由如下：设，则，∵平分，∴，∴，∴；∴（2）中的关系不成立．【点睛】本题考查几何图形中角度的计算，正确的识图，理清角的和差关系，熟练掌握角平分线平分角，是解题的关键．【变式训练2】如图，，，射线平分，射线平分（本题中的角均为大于且小于的角）．(1)如图，当，重合时，求的度数；(2)当从图中所示位置绕点O顺时针旋转n度时，的值是否为定值？若是定值，求出的值，若不是，请说明理由．(3)当从图中所示位置绕点O顺时针旋转n度时，与具有怎样的数量关系？【答案】(1)(2)为定值，理由见解析(3)当时，；当时，；当时，【分析】(1)根据角平分线的定义知、，再根据可得答案；(2)由题意知、，根据角平分线的定义得、，代入计算可得答案；(3)分情况计算，利用n表示出，，再根据角之间的关系即可求解．【详解】（1）解：，，射线平分，射线平分，、，；（2）解：的值为定值，理由如下：如图：从图中所示位置绕点O顺时针旋转n度，，点C、D在直线的右侧，射线平分，射线平分，，，，的值为定值；（3）解：当时，如图2：由(2)知，；当时，如图3所示，，，射线平分，射线平分，，，；当时，如图4所示，，，射线平分，射线平分，，，；综上，与具有的数量关系为：当时，；当时，；当时，．【点睛】本题考查了角度的计算以及角平分线的定义，找准各角之间的和差关系，采用分类讨论的思想是解决本题的关键．类型三、求运动时间问题例1．已知，射线均为内的射线．

(1)如图1，若为的三等分线，则＝；(2)如图2，若，平分平分，求的大小(3)射线以每秒的速度顺时针方向旋转，射线以每秒的速度顺时针方向旋转，射线始终平分，两条射线同时从图1的位置出发，当其中一条射线到达的位置时两条射线同时停止运动．设运动的时间为t秒，当t为何值时，.【答案】(1)(2)(3)或或【分析】（1）根据三等分角的定义求解即可；（2）设，根据角平分线性质表示出，，根据求解即可；（3）根据运动时间分类讨论，表示出，根据题意列方程求解即可．【详解】（1）解：∵为的三等分线，，∴，；故答案为：．（2）解：设，则，，，∵平分平分，∴，，．（3）解：如图所示，当时，，，，∵射线平分，∴，，，解得，；如图所示，当时，，，，∵射线平分，∴，，，解得，（舍去）；如图所示，当时，，，，∵射线平分，∴，，，解得，如图所示，当时，，，，∵射线平分，∴，，，解得，【点睛】本题考查了与角平分线有关的计算，解题关键是熟练运用角平分线的性质表示出角的度数，利用角的和差关系求解．例2．新定义：从一个角的顶点出发，在角的内部引两条射线，如果这两条射线所成的角等于这个角的一半，那么这两条射线所成的角叫做这个角的内半角．如图1，若射线，在的内部，且，则是的内半角．根据以上信息，解决下面的问题：(1)如图1，，，若是的内半角，则；(2)如图2，已知，将绕点按顺时针方向旋转一个角度（）至．若是的内半角，求的值；(3)把一块含有角的三角板按图3方式放置．使边与边重合，边与边重合．如图4，将三角板绕顶点以3度/秒的速度按顺时针方向旋转一周，旋转时间为秒，当射线、、、构成内半角时，直接写出的值．【答案】(1)(2)(3)的值为或30或90或【分析】（1）根据题意算出的度数，利用即可算出的度数；（2）根据旋转性质可推出和，然后可用含有的式子表示和的度数，根据是的内半角，即可求出的值；（3）根据旋转一周构成内半角的情况总共有四种，分别画出图形，求出对应值即可．【详解】（1）解：∵是的内半角，，∴，∴，故答案为：；（2）解：由旋转性质可知：，，∴，，∵是的内半角，∴，即，解得，∴的值为；（3）解：①如图4所示，此时是的内半角，由旋转性质可知，，∴，，∵是的内半角，∴，即，解得；②如图所示，此时是的半角，由旋转性质可得，，∴，，∵是的内半角，∴，即，解得；③如图所示，此时是的内半角，由旋转性质可知，，∴，，∵是的内半角，∴，即，解得；④如图所示，此时是的内半角，由旋转性质可知，，∴，，∵是的内半角，∴，即，解得．综上所述，当射线、、、构成内半角时，的值为或30或90或．【点睛】本题主要考查了平面内角的相关计算，解题关键是理解内半角并根据旋转情况画出图形．【变式训练1】已知直线过点O，，是的平分线．(1)操作发现：①如图1，若，则°．②如图1，若，则°．③如图1，若，则．（用含α的代数式表示）(2)操作探究：将图1中的绕顶点O顺时针旋转到图2的位置，其他条件不变，③中的结论是否成立？试说明理由．(3)如图3，已知，边、边分别绕着点O以每秒、每秒的速度顺时针旋转（当其中一边与重合时都停止旋转），求：运动多少秒后，【答案】(1)①；②；③(2)成立；理由见详解(3)或【分析】（1）①②③如图1，根据平角的定义和角平分线的定义，求出，利用角的差可得结论；（2）由，可得，则，根据平分，可得；所以．（3）设t秒后，可得或，即可解得或；【详解】（1）∵，∴，∵OE平分，∴，∴，故答案为：；②∵，∴，∵，∴，∴，∵平分，∴，∴，故答案为：；③，∴，∴，∵平分，∴；∴．故答案为．（2）成立，理由如下：设，∴，∵平分，∴；∴．∴③中所求出的结论还成立．（3）设t秒后，根据题意得：可得或，解得或，经检验，或均符合题意，答：运动或秒后，；【点睛】本题主要考查角度的和差计算，角平分线的定义（从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个完全相同的角，这条射线叫做这个角的角平分线），解决本题的关键是由图形得到角度之间的关系．【变式训练2】平面上顺时针排列射线，，，射线分别平分，（题目中所出现的角均小于）．(1)如图1，若，则___________，___________；(2)如图2，探究与的数量关系，并说明理由；(3)在（2）的条件下，若，将绕点O以每秒的速度顺时针旋转，同时将绕点O以每秒逆时针旋转，若旋转时间为t秒，当时，直接写出t的值．【答案】(1)，(2)(3)当时，或【分析】（1）先根据，射线平分求出，进而得到，即可求出，再根据射线平分求出，最后计算即可；（2）先由，射线平分求出，再由射线分别平分求出，最后根据计算即可．（3）先根据题意得到，，进而求出旋转前，再由“将绕点O以每秒的速度顺时针旋转”得到恒定，然后分类讨论即可．【详解】（1）∵，射线平分，∴，∴，∴，∵射线平分，∴，∴，故答案为，；（2）∵，射线平分，∴，∵射线分别平分，∴，∴，∵，，∴，∴；（3）∵，，∴，∴，∴，∵，∴，∵将绕点O以每秒的速度顺时针旋转，∴度数恒定，即恒定，在和相遇前，∵，射线平分，∴，∵，，∴，解得；在和相遇后，此时，∵射线平分，∴∵，，∴，即，解得；即当时，或．【点睛】本题考查了与角平分线有关的计算，难度较大，需要有良好的空间想象能力．因为题干要求题目中所出现的角均小于，所以第三问无需考虑后再次出现的情况．课后训练1．已知，以射线为起始边，按顺时针方向依次作射线、，使得，设，.(1)如图1，当时，若，求的度数；(2)备用图①，当时，试探索与的数量关系，并说明理由；(3)备用图②，当时，分别在内部和内部作射线，，使，，求的度数.【答案】(1)；(2)；理由见解析；(3)【分析】（1）根据图形可知，继而根据，即可求解；（2）根据图形得出，计算，即可得出结论；（3）分两种情况讨论，①当时，射线与重合，射线与互为反向延长线，②当时，如图4，射线、在的外部，结合图形分析即可求解．【详解】（1）如图1，，在内部，，，，，；（2）；理由如下：如图2，，射线、分别在内、外部，，，，；（3）①当时，射线与重合，射线与互为反向延长线，则，，如图3，，，，，；②当时，如图4，射线、在的外部，如图4，则，，，，，，，.综合①②得．【点睛】本题考查了结合图形中角度的计算，数形结合是解题的关键．2．点O为直线上一点，在直线AB同侧任作射线OC，OD，使得．(1)如图1，过点O作射线，当恰好为的角平分线时，另作射线，使得平分，则的度数是___________°；(2)如图2，过点O作射线，当恰好为的角平分线时，求出与的数量关系；(3)过点O作射线，当恰好为的角平分线时，另作射线，使得平分，若，求出的度数．【答案】(1)45(2)(3)为或【分析】（1）直接通过角平分线的定义直接求解即可．（2）用同一个角度表示不同的角，直接求解即可．（3）分类讨论H，K的位置关系直接求解即可．【详解】（1）平分，平分，，（2）平分，，根据图形有：，，，，，（3）当H在K左侧时平分平分当K在H左侧时平分平分综上所述：为或【点睛】此题考查角度的计算，解题关键是分类讨论H和K的位置．3．已知，是过点O的射线，射线分别平分和．(1)如图1，若是的三等分线，则_________；(2)如图2，在内，若，则_________；（用含的代数式表示）(3)如图3，若，将绕着点O逆时针旋转到的外部，请直接写出此时的度数．【答案】(1)100(2)(3)或【分析】（1）根据角平分线的定义得到，，，则；（2），，，，则；（3）反向延长、得到、，然后分类讨论：当在内部，当、在内部，当在内部三种情况分别求解即可．【详解】（1）解：、是的三等分线，，射线、分别平分和，，，；（2）射线、分别平分和，，，，，，，，；故答案为：；（3）反向延长、得到、，如图，当在内部，设，则，，，，，，；当、在内部，设，则，，∵，∴，∴；当在内部，设，则，∴，∴，∴，∴，∴，∴；综上：的度数为或．【点睛】本题考查了角度的计算，理清角的关系是解题的关键．4．问题情境：是一条射线，分别是和的角平分线．当是直角，，射线在的内部时，我们可以发现的度数是_____；当是直角，，射线在的内部时，的度数是____°．探索发现：分别是和的角平分线，当射线在的外面时．若是直角，，求出的大小；若是直角，，写出的度数；数学思考：分别是和的角平分线，若的度数是，，直接写出的度数．（用含的代数式表示）【答案】问题情境：；；探索发现：；；数学思考：【分析】问题情境：根据，分别是和的角平分线，计算即可得到答案；根据，分别是和的角平分线，计算即可得到答案；探索发现：根据，，分别是和的角平分线，计算即可得到答案；根据，，分别是和的角平分线，计算即可得到答案；数学思考：分两种情况讨论：当在内部时；当在外部时，计算得出答案即可．【详解】解：问题情境：，分别是和的角平分线，，故答案为：；，分别是和的角平分线，，故答案为：；探索发现：，分别是和的角平分线，，为；，，分别是和的角平分线，，为；数学思考：分两种情况当在内部时，如图所示，，的度数是，，，当在外部时，如图所示，，，∴．【点睛】本题主要考查了与角平分线有关的角度的计算，解题的关键是熟练掌握角平分线的性质，分清所求角的构成．5．已知，过顶点O作射线，且平分．(1)如图1，若平分，则的度数为___________；(2)若，求的度数；(3)嘉嘉说：“如图2，若在内，平分，则的度数不变．”请你判断嘉嘉的说法是否正确，并说明理由；(4)若在外，设平分，当时，直接写出的度数．【答案】(1)(2)或(3)正确，见解析(4)或【分析】（1）根据角平分线的定义先求的度数，再求的度数即可；（2）先求，再求，然后分两种情况根据角平分线的定义即可；（3）由角平分线的定义得，然后根据求解即可；（4）分3种情况解答：①当时；②当时，在的下方；③当时，在的上方．【详解】（1）∵，平分，∴，∵平分，∴；（2）∵