爱提分中考复习 17三轮-新定义压轴-第01讲 新定义压轴题（一）(学生版)

高思爱提分演示（KJ)初中数学学生辅导讲义[学生版]学员姓名王李 年级辅导科目初中数学学科教师王涵上课时间01-1806:30:00-08:30:00 知识图谱新定义压轴题（一）知识精讲一．函数与新定义函数与新定义综合的题目，要求在理解新定义的基础上，重点考察数形结合的数学思想，经常将一次函数、二次函数与方程、不等式结合起来考察，但也有与勾股定理、相似三角形等综合，在考试中一般位于最后一道压轴题的位置．二．四边形与新定义四边形有关的新定义一般更偏向于几何综合，结合题目中给出的新定义，探究题目中图形的角度、线段关系，但有时也经常放在坐标系中，注意坐标和线段长度的转化．三点剖析一．考点：1．函数与新定义；2．四边形与新定义．二．重难点：1．新定义的理解；2．代几综合．三．易错点：1．题意理解错误；2．坐标系中坐标或者线段计算错误．函数与新定义问题例题例题1、对某一个函数给出如下定义：若存在实数，对于任意的函数值，都满足，则称这个函数是有界函数．在所有满足条件的M中，其最小值称为这个函数的边界值．例如，下图中的函数时有界函数，其边界值是1．（1）分别判断函数和是不是有界函数？若是有界函数，求其边界值；（2）若函数的边界值是2，且这个函数的最大值也是2，求b的取值范围；（3）将函数的图像向下平移个单位，得到的函数的边界值是t，当在什么范围时，满足？例题2、在平面直角坐标系xOy中，对于点和点，给出如下定义：若，则称点为点的限变点．例如：点的限变点的坐标是，点的限变点的坐标是．（1）①点的限变点的坐标是___________；②在点，中有一个点是函数图象上某一个点的限变点，这个点是_______________；（2）若点在函数的图象上，其限变点的纵坐标的取值范围是，求的取值范围；（3）若点在关于的二次函数的图象上，其限变点的纵坐标的取值范围是或，其中．令，求关于的函数解析式及的取值范围．例题3、在平面直角坐标系xOy中，定义直线y=ax+b为抛物线y=ax2+bx的特征直线，C（a，b）为其特征点．设抛物线y=ax2+bx与其特征直线交于A、B两点（点A在点B的左侧）．（1）当点A的坐标为（0，0），点B的坐标为（1，3）时，特征点C的坐标为；（2）若抛物线y=ax2+bx如图所示，请在所给图中标出点A、点B的位置；（3）设抛物线y=ax2+bx的对称轴与x轴交于点D，其特征直线交y轴于点E，点F的坐标为（1，0），DE∥CF．①若特征点C为直线y=﹣4x上一点，求点D及点C的坐标；②若＜tan∠ODE＜2，则b的取值范围是．例题4、给定一个函数，如果这个函数的图象上存在一个点，它的横、纵坐标相等，那么这个点叫做该函数的不变点．（1）一次函数y＝3x－2的不变点的坐标为________．（2）二次函数y＝x2－3x＋1的两个不变点分别为点P、Q（P在Q的左侧），将点Q绕点P顺时针旋转90°得到点R，求点R的坐标．（3）已知二次函数y＝ax2＋bx－3的两个不变点的坐标为A（－1，－1）、B（3，3）．①求a、b的值．②如图，设抛物线y＝ax2＋bx－3与线段AB围成的封闭图形记作M．点C为一次函数的不变点，以线段AC为边向下作正方形ACDE．当D、E两点中只有一个点在封闭图形M的内部（不包含边界）时，求出m的取值范围．例题5、在平面直角坐标系xOy中，给出如下定义：若直线l和图形W相交于两点，且这两点的距离不小于定值k，则称直线l与图形W成“k相关”，此时称直线与图形W的相关系数为k．（1）若图形W是由，，，顺次连线而成的矩形：①l1：y＝x＋2，l2：y＝x＋1，l3：y＝－x－3这三条直线中，与图形W成“相交”的直线有________．②画出一条经过（0，1）的直线，使得这条直线与W成“相关”．③若存在直线与图形W成“2相关”，且该直线与直线平行，与y轴交于点Q，求点Q纵坐标yQ的取值范围．（2）若图形W为一个半径为2的圆，其圆心K位于x轴上，若直线与图形W成“3相关”，请直接写出圆心K的横坐标xK的取值范围．例题6、类比特殊四边形的学习，我们可以定义：有一组对角相等而另一组对角不相等的凸四边形叫做“等对角四边形”．【探索体验】（1）如图1，已知在四边形ABCD中，∠A＝40°，∠B＝100°，∠C＝120°．求证：四边形ABCD是“等对角四边形”．（2）如图2，若AB＝AD＝a，CB＝CD＝b，且a≠b，那么四边形ABCD是“等对角四边形”吗？试说明理由．【尝试应用】（3）如图3，在边长为6的正方形木板ABEF上裁出“等对角四边形”ABCD，若已经确定DA＝4m，∠DAB＝60°，是否在正方形ABEF内（包括边上）存在一点C，使四边形ABCD以∠DAB＝∠BCD为等对角的四边形的面积最大？若存在，试求出四边形ABCD的最大面积；若不存在，请说明理由．随练随练1、如图，在平面直角坐标系xOy中，定义直线x=m与双曲线yn=的交点Am，n（m、n为正整数）为“双曲格点”，双曲线yn=在第一象限内的部分沿着竖直方向平移或以平行于x轴的直线为对称轴进行翻折之后得到的函数图像为其“派生曲线”．（1）①“双曲格点”A2，1的坐标为；②若线段A4，3A4，n的长为1个单位长度，则n=；（2）图中的曲线f是双曲线y1=的一条“派生曲线”，且经过点A2，3，则f的解析式为y=；（3）画出双曲线y3=的“派生曲线”g（g与双曲线y3=不重合），使其经过“双曲格点”A2，a、A3，3、A4，b．随练2、在平面直角坐标系xOy中，对于任意两点P1（x1，y1）与P2（x2，y2）的“非常距离”，给出如下定义：若|x1﹣x2|≥|y1﹣y2|，则点P1与点P2的“非常距离”为|x1﹣x2|；若|x1﹣x2|＜|y1﹣y2|，则点P1与点P2的“非常距离”为|y1﹣y2|．例如：点P1（1，2），点P1（3，5），因为|1﹣3|＜|2﹣5|，所以点P1与点P2的“非常距离”为|2﹣5|=3，也就是图1中线段P1Q与线段P2Q长度的较大值（点Q为垂直于y轴的直线P1Q与垂直于x轴的直线P2Q的交点）．（1）已知点A（﹣），B为y轴上的一个动点，①若点A与点B的“非常距离”为2，写出满足条件的点B的坐标；②直接写出点A与点B的“非常距离”的最小值；（2）如图2，已知C是直线上的一个动点，点D的坐标是（0，1），求点C与点D的“非常距离”最小时，相应的点C的坐标．随练3、如图1，对于平面上小于等于90°的∠MON，我们给出如下定义：若点P在∠MON的内部或边上，作PE⊥OM于点E，PF⊥ON于点F，则将PE+PF称为点P与∠MON的“点角距”，记作d（∠MON，P）．如图2，在平面直角坐标系xOy中，x、y正半轴所组成的角为∠xOy．（1）已知点A（5，0）、点B（3，2），则d（∠xOy，A）=，d（∠xOy，B）=．（2）若点P为∠xOy内部或边上的动点，且满足d（∠xOy，P）=5，画出点P运动所形成的图形．（3）如图3与图4，在平面直角坐标系xOy中，射线OT的函数关系式为y=x（x≥0）．①在图3中，点C的坐标为（4，1），试求d（∠xOT，C）的值；②在图4中，抛物线y=﹣x2+2x+经过A（5，0）与点D（3，4）两点，点Q是A，D两点之间的抛物线上的动点（点Q可与A，D两点重合），求当d（∠xOT，Q）取最大值时点Q的坐标．随练4、在平面直角坐标系xOy中，对于点P（x，y）和Q（x，y′），给出如下定义：若，则称点Q为点P的“可控变点”．例如：点（1，2）的“可控变点”为点（1，2）．结合定义，请回答下列问题：（1）点（﹣3，4）的“可控变点”为点___________．（2）若点N（m，2）是函数y=x﹣1图像上点M的“可控变点”，则点M的坐标为_____________________________；（3）点P为直线y=2x﹣2上的动点，当x≥0时，它的“可控变点”Q所形成的图像如图所示（实线部分含实心点）．请补全当x＜0时，点P的“可控变点”Q所形成的图像．四边形与新定义问题例题例题1、定义：长度比为：1（n为正整数）的矩形称为矩形．下面，我们通过折叠的方式折出一个矩形，如图①所示．操作1：将正方形ABCD沿过点B的直线折叠，使折叠后的点C落在对角线BD上的点G处，折痕为BH．操作2：将AD沿过点G的直线折叠，使点A，点D分别落在边AB，CD上，折痕为EF．则四边形BCEF为矩形．证明：设正方形ABCD的边长为1，则BD=．由折叠性质可知BG=BC=1，∠AFE=∠BFE=90°，则四边形BCEF为矩形．∴∠A=∠BFE．∴EF∥AD∴，即．∴BF=．∴BC：BF=1：=：1．∴四边形BCEF为矩形．阅读以上内容，回答下列问题：（1）在图①中，求线段GH的长．（2）已知四边形BCEF为矩形，模仿上述操作，得到四边形BCMN，如图②，求证：四边形BCMN是矩形．（3）将图②中的矩形BCMN沿用（2）中的方式操作5次后，得到一个“矩形”，则n的值是____．例题2、【定义】如图1，在四边形ABCD中，点E在边BC上（不与点B，C重合），连接AE，DE，四边形ABCD分成三个三角形：△ABE，△AED和△ECD，如果其中有△ABE与△ECD相似，我们就把点E叫做四边形ABCD在边BC上的相似点；如果这三个三角形都相似，我们就把点E叫做四边形ABCD在边BC上的完美相似点．【解决问题】如图2，在平面直角坐标系中，过点A（6，0）作x轴的垂线交二次函数y=x2﹣2x﹣4的图像于点B．（1）写出点B的坐标；（2）点P是线段OA上的一个动点（不与点O，A重合），PC⊥PB交y轴于点C．求证：点P是四边形ABCO在边OA上的相似点；（3）在四边形ABCO中，当点P是OA边上的完美相似点时，写出点P的坐标．随练随练1、在课外活动中，我们要研究一种四边形﹣﹣筝形的性质．定义：两组邻边分别相等的四边形是筝形（如图1）．小聪根据学习平行四边形、菱形、矩形、正方形的经验，对筝形的性质进行了探究．下面是小聪的探究过程，请补充完整：（1）根据筝形的定义，写出一种你学过的四边形满足筝形的定义的是______；（2）通过观察、测量、折叠等操作活动，写出两条对筝形性质的猜想，并选取其中的一条猜想进行证明；（3）如图2，在筝形ABCD中，AB=4，BC=2，∠ABC=120°，求筝形ABCD的面积．随练2、类比等腰三角形的定义，我们定义：有一组邻边相等的凸四边形叫做“等邻边四边形”．（1）概念理解如图1，在四边形中，添加一个条件使得四边形是“等邻边四边形”.请写出你添加的一个条件．（2）问题探究①小红猜想：对角线互相平分的“等邻边四边形”是菱形.她的猜想正确吗？请说明理由．②如图2，小红画了一个，其中，，，并将沿的平分线方向平移得到，连结，.小红要是平移后的四边形是“等邻边四边形”，应平移多少距离（即线段的长）？（3）应用拓展如图3，“等邻边四边形”中，，，，为对角线，.试探究，，的数量关系．随练3、在图1中，点A在边OB上，点D在边OC上，且AD∥BC﹒将这样的图形定义为“A型”﹒将△OAD绕着点O旋转α°（0＜α＜90）得到新的图形（如图2），将图2中的四边形A′B′C′D′称为“准梯形”，A′D′称为上底，B′C′称为下底﹒【新知学习】（1）若情境阅读中的△OBC是等腰直角三角形，OB=OC，∠BOC=90°，其余条件不变﹒①请说明图2中的△O′A′B′≌△O′D′C′﹒②在图1中，S四边形ABCD=S△OBC﹣S△OAD，请探索图2中的S四边形A′B′C′D′与图1中的S四边形ABCD的大小关系﹒【变式探究】（2）如图3，四边形ABCD是由有一个角是60°的“A型”通过旋转变换得到的“准梯形”，AD是上底，BC是下底，且AB=5，BC=8，CD=5，DA=2﹒求这个“准梯形”的面积．【迁移拓展】（3）如图4是由具有公共直角顶点的“A型”绕着直角定点旋转α°（0＜α＜90）得到的“准梯形”，斜边AD为上底，斜边BC为下底，且AB=3，BC=4，CD=6，AD=3．求这个“准梯形”的面积．随练4、定义：有三个内角相等的四边形叫三等角四边形．（1）三等角四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C，求∠A的取值范围；（2）如图，折叠平行四边形纸片DEBF，使顶点E，F分别落在边BE，BF上的点A，C处，折痕分别为DG，DH．求证：四边形ABCD是三等角四边形．（3）三等角四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C，若CB=CD=4，则当AD的长为何值时，AB的长最大，其最大值是多少？并求此时对角线AC的长．拓展拓展1、在平面直角坐标系xOy中，若P和Q两点关于原点对称，则称点P与点Q是一个“和谐点对”，表示为[P，Q]，比如[P（1，2），Q（－1，－2）]是一个“和谐点对”．（1）写出反比例函数图象上的一个“和谐点对”．（2）已知二次函数y＝x2＋mx＋n，①若此函数图象上存在一个和谐点对[A，B]，其中点A的坐标为（2，4），求m，n的值．②在①的条件下，在y轴上取一点M（0，b），当∠AMB为锐角时，求b的取值范围．拓展2、在平面直角坐标系xOy中，对于任意三点A、B、C的“矩面积”，给出如下定义：“水平底”a：任意两点横坐标差的最大值，“铅垂高”h：任意两点纵坐标差的最大值，则“矩面积”S=ah．例如：三点坐标分别为A（1，2），B（﹣3，1），C（2，﹣2），则“水平底”a=5，“铅垂高”h=4，“矩面积”S=ah=20．（1）已知点A（1，2），B（﹣3，1），P（0，t）．①若A、B、P三点的“矩面积”为12，求点P的坐标；②A、B、P三点的“矩面积”的最小值为__．（2）已知点E（4，0），F（0，2）M（m，4m），其中m＞0．若E、F、M三点的“矩面积”的为8，求m的取值范围．拓展3、研究几何图形，我们往往先给出这类图形的定义，再研究它的性质和判定方法．我们给出如下定义：如图，四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD像这样两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”；小文根据学习几何图形的经验，通过观察、实验、归纳、类比、猜想、证明等方法，对AB≠BC的“筝形”的性质和判定方法进行了探究．下面是小文探究的过程，请补充完成：（1）他首先发现了这类“筝形”有一组对角相等，并进行了证明，请你完成小文的证明过程．已知：如图，在”筝形”ABCD中，AB=AD，CB=CD．求证：∠ABC=∠ADC．（2）小文由（1）得到了这类“筝形”角的性质，他进一步探究发现这类“筝形”还具有其它性质，请再写出这类“筝形”的一条性质（除“筝形”的定义外）____（3）继性质探究后，小文探究了这类“筝形”的判定方法，写出这类“筝形”的一条判定方法（除“筝形”的定义外）：____．拓展4、小明在课外学习时遇到这样一个问题：定义：如果二次函数y=a1x2+b1x+c1（a1≠0，a1，b1，c1是常数）与y=a2x2+b2x+c2（a2≠0，a2，b2，c2是常数）满足a1+a2=0，b1=b2，c1+c2=0，则称这两个函数互为“旋转函数”．求函数y=﹣x2+3x﹣2的“旋转函数”．小明是这样思考的：由函数y=﹣x2+3x﹣2可知，a1=﹣1，b1=3，c1=﹣2，根据a1+a2=0，b1=b2，c1+c2=0，求出a2，b2，c2，就能确定这个函数的“旋转函数”．请参考小明的方法解决下面问题：（1）写出函数y=﹣x2+3x﹣2的“旋转函数”；（2）若函数y=﹣x2+mx﹣2与y=x2﹣2nx+n互为“旋转函数”，求（m+n）2015的值；（3）已知函数y=﹣（x+1）（x﹣4）的图象与x轴交于点A、B两点，与y轴交于点C，点A、B、C关于原点的对称点分别是A1，B1，C1，试证明经过点A1，B1，C1的二次函数与函数y=﹣（x+1）（x﹣4）互为“旋转函数．”拓展5、我们给出如下定义：若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称这个四边形为勾股四边形，这两条相邻的边称为这个四边形的勾股边．（1）如图（1），已知格点（小正方形的顶点）O（0，0），A（3，0），B（0，4）请你画出以格点为顶点，OA，OB为勾股边且对角线相等的勾股四边形OAMB；（2）如图（2），将△ABC绕顶点B按顺时针方向旋转60°，得到△DBE，连结AD，DC，∠DCB=30°．求证：DC2+BC2=AC2，即四边形ABCD是勾股四边形．拓展6、定义：我们把三角形被一边中线分成的两个三角形叫做“友好三角形”性质：如果两个三角形是“友好三角形”，那么这两个三角形的面积相等．理解：如图①，在△ABC中，CD是AB边上的中线，那么△ACD和△BCD是“友好三角形”，并且S△ACD=S△BCD．应用：如图②，在矩形ABCD中，AB=8，BC=12，点E在AD上，点