爱提分中考复习 15三轮-圆的综合-第02讲 圆的综合（二）(教师版)

高思爱提分演示（KJ)初中数学教师辅导讲义[教师版]学员姓名王李 年级辅导科目初中数学学科教师王涵上课时间01-1806:30:00-08:30:00 知识图谱圆的综合（二）知识精讲圆的综合证明与计算垂径定理1．定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．2．推论：（1）平分弦（非直径）的直径，垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧．（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．圆周角1．圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．2．推论:推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等．推论2：半圆(或直径)所对的圆周角是直角，的圆周角所对的弦是直径．圆内接四边形的性质性质1：圆内接四边形的对角互补．性质2：圆内接四边形的外角等于它的内角的对角．圆内接四边形的判定判定定理：如果一个四边形的对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆．推论:如果四边形的一个外角等于它的内角的对角，那么这个四边形的四个顶点共圆．切线的性质1．性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径．推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．：推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．2．注意事项：这个定理共有三个条件，即一条直线满足：①垂直于切线②过切点③过圆心①过圆心，过切点垂直于切线．过圆心，过切点，则．②过圆心，垂直于切线过切点．过圆心，，则过切点．③过切点，垂直于切线过圆心．，过切点，则过圆心．切线的判定1.定义法：和圆只有一个公共点的直线是圆的切线；2.距离法：和圆心距离等于半径的直线是圆的切线；3.判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．弦切角定理弦切角定义：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角．

弦切角定理：弦切角等于其所夹的弧所对的圆周角．

相交弦定理：在中，弦与交与点，则有三点剖析考点：圆的综合计算与证明．二．重难点：圆的综合计算与证明．三．易错点：1．计算线段长度时，多数考虑到垂径定理和勾股定理的使用；2．切线的性质定理属于圆中常考知识点，牵涉到切线部分一定要连接切点和圆心构造垂线．圆的综合证明与计算例题例题1、如图，点P为⊙O上一点，弦AB=cm，PC是∠APB的平分线，∠BAC=30°．（Ⅰ）求⊙O的半径；（Ⅱ）当∠PAC等于多少时，四边形PACB有最大面积？最大面积是多少？（直接写出答案）【答案】（1）1；（2）（cm2）．【解析】（Ⅰ）如图1，连接OA，OC，∵∠ABC=30°，∴∠AOC=60°，∵PC是∠APB的平分线，∴∠APC=∠BPC，∴，∴AD=BD=，OC⊥AB，∴OA=1，∴⊙O的半径为1；（Ⅱ）如图2，∵PC平分∠APB，∴∠APC=∠BPC，∴AC=BC，由AB=cm，求得AC=BC=1，∵S四边形PACB=S△ABC+S△PAB，S△ABC为定值，当S△PAB最大时，四边形PACB面积最大，由图可知四边形PACB由△ABC和△PAB组成，且△ABC面积不变，故要使四边形PACB面积最大，只需求出面积最大的△PAB即可，在△PAB中，AB边不变，其最长的高为过圆心O与AB垂直（即AB的中垂线）与圆O交点P，此时四边形PACB面积最大．此时△PAB为等边三角形，此时PC应为圆的直径∠PAC=90°，∵∠APC=∠BAC=30°，∴PC=2AC=2，∴四边形PACB的最大面积为×=（cm2）．例题2、如图，AD是⊙O的直径．（1）如图①，垂直于AD的两条弦B1C1，B2C2把圆周4等分，则∠B1的度数是____°，∠B2的度数是____°；（2）如图②，垂直于AD的三条弦B1C1，B2C2，B3C3把圆周6等分，分别求∠B1，∠B2，∠B3的度数；（3）如图③，垂直于AD的n条弦B1C1，B2C2，B3C3，…，BnCn把圆周2n等分，请你用含n的代数式表示∠Bn的度数（只需直接写出答案）．【答案】（1）22.5；67.5（2）B1=15°；∠B2=45°；∠B3=75°（3）∠Bn=（90-）°【解析】（1）垂直于AD的两条弦B1C1，B2C2把圆周4等分，则弧AC1是圆的，因而度数是45°，因而∠B1的度数是22.5°，同理弧AC2的度数是135度，因而，∠B2的度数是67.5°；（4分）（2）∵圆周被6等分∴弧B1C1=弧C1C2=弧C2C3=360°÷6=60°（1分）∵直径AD⊥B1C1∴弧AC1=弧B1C1=30°，∴∠B1=AC1=15°（1分）∠B2=AC2=×（30°+60°）=45°（1分）∠B3=AC3=×（30°+60°+60°）=75°；（1分）（3）BnCn把圆周2n等分，则弧BnD的度数是：，则∠BnAD=，在直角△ABnD中，∠Bn=90°-=（90-）°例题3、如图①，已知等腰梯形ABCD的周长为48，面积为S，AB∥CD，∠ADC=60°，设AB=3x．（1）用x表示AD和CD；（2）用x表示S，并求S的最大值；（3）如图②，当S取最大值时，等腰梯形ABCD的四个顶点都在⊙O上，点E和点F分别是AB和CD的中点，求⊙O的半径R的值．【答案】（1）；（2）；最大值为（3）【解析】（1）作AH⊥CD于H，BG⊥CD于G，如图①，则四边形AHGB为矩形，∴HG=AB=3x，∵四边形ABCD为等腰梯形，∴AD=BC，DH=CG，在Rt△ADH中，设DH=t，∵∠ADC=60°，∴∠DAH=30°，∴AD=2t，AH=t，∴BC=2t，CG=t，∵等腰梯形ABCD的周长为48，∴3x+2t+t+3x+t+2t=48，解得t=8-x，∴AD=2（8-x）=16-2x，CD=8-x+3x+8-x=16+x；（2）S=（AB+CD）•AH=（3x+16+x）•（8-x）=-2x2+8x+64，∵S=-2（x-2）2+72，∴当x=2时，S有最大值72；（3）连结OA、OD，如图②，当x=2时，AB=6，CD=16+2=18，等腰梯形的高为×（8-2）=6，则AE=3，DF=9，∵点E和点F分别是AB和CD的中点，∴直线EF为等腰梯形ABCD的对称轴，∴EF垂直平分AB和CD，EF为等腰梯形ABCD的高，即EF=6，∴等腰梯形ABCD的外接圆的圆心O在EF上，设OE=a，则OF=6-a，在Rt△AOE中，∵OE2+AE2=OA2，∴a2+32=R2，在Rt△ODF中，∵OF2+DF2=OD2，∴（6-a）2+92=R2，∴a2+32=（6-a）2+92，解得a=5，∴R2=（5）2+32=84，∴R=2．例题4、如图，⊙O是△ABC的外接圆，AE平分∠BAC交⊙O于点E，交BC于点D，过点E做直线l∥BC．（1）判断直线l与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若∠ABC的平分线BF交AD于点F，求证：BE=EF；（3）在（2）的条件下，若DE=4，DF=3，求AF的长．【答案】（1）直线l与⊙O相切，理由见解析（2）见解析（3）【解析】（1）直线l与⊙O相切．理由：如图1所示：连接OE、OB、OC．∵AE平分∠BAC，∴∠BAE=∠CAE．∴．∴∠BOE=∠COE．又∵OB=OC，∴OE⊥BC．∵l∥BC，∴OE⊥l．∴直线l与⊙O相切．（2）∵BF平分∠ABC，∴∠ABF=∠CBF．又∵∠CBE=∠CAE=∠BAE，∴∠CBE+∠CBF=∠BAE+∠ABF．又∵∠EFB=∠BAE+∠ABF，∴∠EBF=∠EFB．∴BE=EF．（3）由（2）得BE=EF=DE+DF=7．∵∠DBE=∠BAE，∠DEB=∠BEA，∴△BED∽△AEB．∴，即，解得；AE=．∴AF=AE﹣EF=﹣7=．例题5、阅读理解：我们把满足某种条件的所有点所组成的图形，叫做符合这个条件的点的轨迹．例如：角的平分线是到角的两边距离相等的点的轨迹．问题：如图1，已知EF为△ABC的中位线，M是边BC上一动点，连接AM交EF于点P，那么动点P为线段AM中点．理由：∵线段EF为△ABC的中位线，∴EF∥BC，由平行线分线段成比例得：动点P为线段AM中点．由此你得到动点P的运动轨迹是：__________．知识应用：如图2，已知EF为等边△ABC边AB、AC上的动点，连结EF；若AF=BE，且等边△ABC的边长为8，求线段EF中点Q的运动轨迹的长．拓展提高：如图3，P为线段AB上一动点（点P不与点A、B重合），在线段AB的同侧分别作等边△APC和等边△PBD，连结AD、BC，交点为Q．（1）求∠AQB的度数；（2）若AB=6，求动点Q运动轨迹的长．【答案】阅读理解：线段EF知识应用：4拓展提高：（1）∠AQB=120°（2）【解析】阅读理解：根据轨迹的定义可知，动点P的运动轨迹是线段EF．故答案为线段EF．知识应用：如图1中，作△ABC的中位线MN，作EG∥AC交NM的延长线于G，EF与MN交于点Q′∵△ABC是等边三角形，MN是中位线，∴AM=BM=AN=CN，∵AF=BE，∴EM=FN，∵MN∥BC，∴∠AMN=∠B=∠GME=60°，∵∠A=∠GEM=60°，∴△GEM是等边三角形，∴EM=EG=FN，在△GQ′E和△NQ′F中，，∴△GQ′E≌△NQ′F，∴EQ′=FQ′，∵EQ=QF，′点Q、Q′重合，∴点Q在线段MN上，∴段EF中点Q的运动轨迹是线段MN，MN=BC=×8=4．∴线段EF中点Q的运动轨迹的长为4．拓展提高：如图2中，（1）∵△APC，△PBD都是等边三角形，∴AP=PC，PD=PB，∠APC=∠DPB=60°，∴∠APD=∠CPB，在△APD和△CPB中，，∴△APD≌△CPB，∴∠ADP=∠CBP，设BC与PD交于点G，∵∠QGD=∠PGB，∴∠DQG=∠BPG=60°，∴∠AQB=180°﹣∠DQG=120°（2）由（1）可知点P的运动轨迹是，设弧AB所在圆的圆心为O，Z圆上任意取一点M，连接AM，BM，则∠M=60°，∴∠AOB=2∠M=120°，作OH⊥AB于H，则AH=BH=3，OH=，OB=，∴弧AB的长=．∴动点Q运动轨迹的长．例题6、如图，在平面直角坐标系中，直线AB与x轴，y轴分别交于点A（6，0），B（0，8），点C的坐标为（0，m），过点C作CE⊥AB于点E，点D为x轴上的一动点，连接CD，DE，以CD，DE为边作▱CDEF．（1）当0＜m＜8时，求CE的长（用含m的代数式表示）；（2）当m=3时，是否存在点D，使▱CDEF的顶点F恰好落在y轴上？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由；（3）点D在整个运动过程中，若存在唯一的位置，使得▱CDEF为矩形，请求出所有满足条件的m的值．【答案】（1）（2）（3）或0或或【解析】（1）∵A（6，0），B（0，8）．∴OA=6，OB=8．∴AB=10，∵∠CEB=∠AOB=90°，又∵∠OBA=∠EBC，∴△BCE∽△BAO，∴=，即=，∴CE=-m；（2）∵m=3，∴BC=8-m=5，CE=-m=3．∴BE=4，∴AE=AB-BE=6．∵点F落在y轴上（如图2）．∴DE∥BO，∴△EDA∽△BOA，∴=即=．∴OD=，∴点D的坐标为（，0）．（3）取CE的中点P，过P作PG⊥y轴于点G．则CP=CE=-m．（Ⅰ）当m＞0时，①当0＜m＜8时，如图3．易证∠GCP=∠BAO，∴cos∠GCP=cos∠BAO=，∴CG=CP•cos∠GCP=（-m）=-m．∴OG=OC+CG=m+-m=m+．根据题意得，得：OG=CP，∴m+=-m，解得：m=；②当m≥8时，OG＞CP，显然不存在满足条件的m的值．（Ⅱ）当m=0时，即点C与原点O重合（如图4）．（Ⅲ）当m＜0时，①当点E与点A重合时，（如图5），易证△COA∽△AOB，∴=，即=，解得：m=-．②当点E与点A不重合时，（如图6）．OG=OC-CG=-m-（-m）=-m-．由题意得：OG=CP，∴-m-=-m．解得m=-．综上所述，m的值是或0或-或-．随练随练1、已知，△ADB内接于⊙O，DG⊥AB于点G，交⊙O于点C，点E是⊙O上一点，连接AE分别交CD、BD于点H、F．（1）如图1，当AE经过圆心O时，求证：∠AHG=∠ADB；（2）如图2，当AE不经过点O时，连接BC、BH，若∠GBC=∠HBG时，求证：HF=EF；（3）如图3，在（2）的条件下，连接DE，若AB=8，DH=6，求sin∠DAE的值．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）【解析】证明：（1）如图1中，连接BE，∵AE是⊙O的直径∴∠ABE=90°，∵DG⊥AB，∴∠ABE=∠AGD=90°，∴DG∥BE，∴∠AEB=∠AHG，∵∠ADB=∠AEB∴∠ADB=∠AHG．（2）连接AC、DE，EB、AC、BC．∠GBC=∠HBG，DG⊥AB∴∠GHB=∠BCH，BH=BC，∴HG=CG，∴AH=AC，∠AHC=∠HCA，∠BAC=∠HAG∵∠AED=∠ACH，∠DHE=∠AHC，∴∠AED=∠DHE，∴DH=DE，∵∠EDB=∠EAB，∠CDB=∠BAC，∴∠EDB=∠CDB，∴HF=EF．（3）过点O作ON⊥DE，OM⊥AB垂足分别为N、M，连接OD、OE、OA、OB．∴BM=AB=4，∵DH=DE=6，HF=EF，∴DF⊥AE，∴∠DAE+∠BDA=90°，∵∠EOD=2∠DAE∠AOB=2∠ADB，∴∠BOA+∠EOD=180°，∵∠DOE=2∠NOE∠AOB=2∠BOM，∴∠NOE+∠BOM=90°∠NOE+∠NEO=90°，∵∠NEO=∠BOM，OE=OB，∴△NOE≌△MBO∴NE=OM=3，∴OB==5，∵∠ADB=∠BOM，∴∠DAF=∠OBM，在RT△OMB中sin∠OBM==∴sin∠DAE=．随练2、操作与探究我们知道：过任意一个三角形的三个顶点能作一个圆，探究过四边形四个顶点作圆的条件．（1）分别测量图1、2、3各四边形的内角，如果过某个四边形的四个顶点能一个圆，那么其相对的两个角之间有什么关系？证明你的发现．（2）如果过某个四边形的四个顶点不能一个圆，那么其相对的两个角之间有上面的关系吗？试结合图4、5的两个图说明其中的道理．（提示：考虑与180°之间的关系）由上面的探究，试归纳出判定过四边形的四个顶点能作一个圆的条件．【答案】（1）对角互补（或对角之和等于180°）；（2）不满足（1）的关系，因此图4、图5中的四个点均不共圆．【解析】（1）对角互补（对角之和等于180°）；（2）图1中，．图2中，．过四边形的四个顶点能作一个圆的条件是：对角互补（对角之和等于180°）．随练3、小明遇到这样一个问题：如图1，在锐角△ABC中，AD、BE、CF分别为△ABC的高，求证：．小明是这样思考问题的：如图2，以BC为直径做半⊙O，则点F、E在⊙O上，，所以．（1）请回答：若，则∠AEF的度数是___________．（2）参考小明思考问题的方法，解决问题：如图3，在锐角△ABC中，AD、BE、CF分别为△ABC的高，求证：．图图1图2图3【答案】（1）40°；（2）见解析．【解析】（1）40°；（2）如图，由题意，∵，∴点A、E、D、B在以AB为直径的半圆上，∴．又∵，∴．同理，点A、F、D、C在以AC为直径的半圆上．∴，∴．随练4、阿基米德折弦定理：如图1，AB和BC是⊙O的两条弦（即折线ABC是圆的一条折弦），BC＞AB，M是的中点，则从M向BC所作垂线的垂足D是折弦ABC的中点，即CD=AB+BD．下面是运用“截长法”证明CD=AB+BD的部分证明过程．证明：如图2，在CB上截取CG=AB，连接MA，MB，MC和MG．∵M是的中点，∴MA=MC任务：（1）请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分；（2）填空：如图（3），已知等边△ABC内接于⊙O，AB=2，D为上一点，∠ABD=45°，AE⊥BD于点E，则△BDC的周长是__【答案】（1）见解析（2）2+2【解析】（1）证明：如图2，在CB上截取CG=AB，连接MA，MB，MC和MG．∵M是的中点，∴MA=MC．在△MBA和△MGC中，∴△MBA≌△MGC（SAS），∴MB=MG，又∵MD⊥BC，∴BD=GD，∴DC=GC+GD=AB+BD；（2）解：如图3，截取BF=CD，连接AF，AD，CD，由题意可得：AB=AC，∠ABF=∠ACD，在△ABF和△ACD中∵，∴△ABF≌ACD（SAS），∴AF=AD，∵AE⊥BD，∴FE=DE，则CD+DE=BE，∵∠ABD=45°，∴BE==，则△BDC的周长是2+2．故答案为：2+2．随练5、先阅读材料，再解答问题：小明同学在学习与圆有关的角时了解到：在同圆或等圆中，同弧（或等弧）所对的圆周角相等．如图，点A、B、C、D均为⊙O上的点，则有∠C=∠D．小明还发现，若点E在⊙O外，且与点D在直线AB同侧，则有∠D＞∠E．请你参考小明得出的结论，解答下列问题：（1）如图1，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（0，7），点B的坐标为（0，3），点C的坐标为（3，0）．①在图1中作出△ABC的外接圆（保留必要的作图痕迹，不写作法）；②若在x轴的正半轴上有一点D，且∠ACB=∠ADB，则点D的坐标为__________；（2）如图2，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（0，m），点B的坐标为（0，n），其中m＞n＞0．点P为x轴正半轴上的一个动点，当∠APB达到最大时，直接写出此时点P的坐标．【答案】（1）①②D（7，0）（2）P（，0）【解析】（1）①②根据图形可得，点D的坐标是（7，0）；（2）当以AB为弦的圆与x轴正半轴相切时，作CD⊥y轴，连接CP、CB．∵A的坐标为（0，m），点B的坐标为（0，n），∴D的坐标是（0，），即BC=PC=，在直角△BCD中，BC=，BD=，则CD==，则OP=CD=，故P的坐标是（，0）．随练6、已知，AB是⊙O的直径，点P在弧AB上（不含点A、B），把△AOP沿OP对折，点A的对应点C恰好落在⊙O上．（1）当P、C都在AB上方时（如图1），判断PO与BC的位置关系（只回答结果）；（2）当P在AB上方而C在AB下方时（如图2），（1）中结论还成立吗？证明你的结论；（3）当P、C都在AB上方时（如图3），过C点作CD⊥直线AP于D，且CD是⊙O的切线，证明：AB=4PD．【答案】（1）PO∥BC（2）见解析（3）见解析【解析】（1）PO与BC的位置关系是PO∥BC；（2）（1）中的结论PO∥BC成立，理由为：由折叠可知：△APO≌△CPO，∴∠APO=∠CPO，又∵OA=OP，∴∠A=∠APO，∴∠A=∠CPO，又∵∠A与∠PCB都为所对的圆周角，∴∠A=∠PCB，∴∠CPO=∠PCB，∴PO∥BC；（3）∵CD为圆O的切线，∴OC⊥CD，又AD⊥CD，∴OC∥AD，∴∠APO=∠COP，由折叠可得：∠AOP=∠COP，∴∠APO=∠AOP，又OA=OP，∴∠A=∠APO，∴∠A=∠APO=∠AOP，∴△APO为等边三角形，∴∠AOP=60°，又∵OP∥BC，∴∠OBC=∠AOP=60°，又OC=OB，∴△BCO为等边三角形，∴∠COB=60°，∴∠POC=180°﹣（∠AOP+∠COB）=60°，又OP=OC，∴△POC也为等边三角形，∴∠PCO=60°，PC=OP=OC，又∵∠OCD=90°，∴∠PCD=30°，在Rt△PCD中，PD=PC，又∵PC=OP=AB，∴PD=AB，即AB=4PD．随练7、四边形ABCD是⊙O的内接正方形，AD=8，EB、EC是⊙O的两条，切点分别为B、C，P是边AB上的动点，连接DP．（1）如图1，当点P与点B重合时，连接OC．①求∠E的度数；②求CE的长度；（2）如图2，当点P在AB上，且AP＜AB时，过点P作FP⊥DP于点P，交BE于点F，连接DF．①试判断DP与FP之间的数量关系，并说明理由；②若，求DP的长度．【解析】（1）如图1①∵EB、EC是⊙O的两条切线，∴∠OCE=∠OBE=90°，由四边形ABCD是⊙O的内接正方形，可知，∠BOC=90°，∴∠E=90°；∵EB、EC是⊙O的两条切线，∴EB=EC，在直角三角形BEC中，设EB=EC=x，由勾股定理得：x2+x2=82，解得：x=，∴CE=；（2）如图2在AD上截取AM=AP，由∠A=90°可求∠AMP=∠APM=45°，∴∠PMD=135°，∵AD=AB，∴MD=BP，由（1）②知三角形BEC是等腰直角三角形，∴∠CBE=45°，∴∠PBF=135°，∴∠PMD=∠PBF，又可求：∠BPF+∠BFP=45°，∵FP⊥DP，∴∠MPD+∠BPD=45°，∴∠MPD=∠BFP，在△MPD和△BFP中，，∴△MPD≌△BFP，DP=FP；②由（2）①知，△DPF为等腰直角三角形，又△DAB是等腰直角三角形，∴△DPF∽△DAB，∴，∵，AD=8，可求：DP=．随练8、如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AC的垂直平分线分别与AC，BC及AB的延长线相交于点D，E，F，⊙O是△BEF的外接圆，∠EBF的平分线交EF于点G，交⊙O于点H，连接BD、FH．（1）试判断BD与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）当AB=BE=1时，求⊙O的面积；（3）在（2）的条件下，求HG•HB的值．【答案】(1)BD与⊙O相切，理由见解析；（2）；（3）2+．【解析】（1）BD与⊙O相切，理由：如图1，连接OB，∵OB=OF，∴∠OBF=∠OFB，∵∠ABC=90°，AD=CD，∴BD=CD，∴∠C=∠DBC，∵∠C=∠BFE，∴∠DBC=∠OBF，∵∠CBO+∠OBF=90°，∴∠DBC+∠CBO=90°，∴∠DBO=90°，∴BD与⊙O相切；（2）如图2，连接CF，HE，∵∠CBF=90°，BC=BF，∴CF=BF，∵DF垂直平分AC，∴AF=CF=AB+BF=1+BF=BF，∴BF=+1，∴EF==，∵∠CBF=90°，∴EF是⊙O的直径，∴⊙O的面积=（EF）2•π=；（3）∵BH平分∠CBF，∴=，∴EH=FH，∴△EHF是等腰直角三角形，∴HF=EF=，∵∠EFH=∠HBF=45°，∠BHF=∠BHF，∴△BHF∽△FHG，∴，∴HG•HB=HF2=2+．随练9、如图，正方形ABCD中，以BC为直径作半圆，BC=2cm．现有两动点E、F，分别从点B、点A同时出发，点E沿线段BA以1cm/秒的速度向点A运动，点F沿折线A﹣D﹣C以2cm/秒的速度向点C运动．当点E到达A点时，E、F同时停止运动，设点E运动时间为t．（1）当t为何值时，线段EF与BC平行？（2）设1＜t＜2，当t为何值时，EF与半圆相切？（3）如图2，将图形放在直角坐标系中，当1＜t＜2时，设EF与AC相交于点P，双曲线经过点P，并且与边AB交于点H，求出双曲线的函数关系式，并直接写出的值．【答案】（1）（2）（3）；【解析】（1）设E、F出发后经过t秒时，EF∥BC，此时BE=t，CF=4﹣2t，BE=CF，即t=4﹣2t，∴；（2）如图，设E、F出发后t秒时，EF与半圆相切，过F点作FK∥BC，交AB于K．则BE=t，CF=4﹣2t，EK=EB﹣KB=EB﹣FC=t﹣（4﹣2t）=3t﹣4．EF=BE+CF（切线长相等）=4﹣t在Rt△EKF中，EF2=EK2+KF2=（4﹣t）2=（3t﹣4）2+22解得：或，∵1＜t＜2，∴．（3）当1＜t＜2时，如图：由，∵AB∥DC，∴△APE∽△CPE则，即点P的位置与t的数值无关．∴点P的位置不会发生变化，AP：PC的值为，∵AB=BC=2，∴，∵AP：PC=1：2，∴CP=，∴P（），将P（）代入双曲线解析式，得，∴反比例函数的解析式为，把x=﹣2代入得y=，∴H（），∴．随练10、数学活动﹣旋转变换（1）如图①，在△ABC中，∠ABC=130°，将△ABC绕点C逆时针旋转50°得到△A′B′C，连接BB′，求∠A′B′B的大小；（2）如图②，在△ABC中，∠ABC=150°，AB=3，BC=5，将△ABC绕点C逆时针旋转60°得到△A′B′C，连接BB′，以A′为圆心，A′B′长为半径作圆．（Ⅰ）猜想：直线BB′与⊙A′的位置关系，并证明你的结论；（Ⅱ）连接A′B，求线段A′B的长度；（3）如图③，在△ABC中，∠ABC=α（90°＜α＜180°），AB=m，BC=n，将△ABC绕点C逆时针旋转2β角度（0°＜2β＜180°）得到△A′B′C，连接A′B和BB′，以A′为圆心，A′B′长为半径作圆，问：角α与角β满足什么条件时，直线BB′与⊙A′相切，请说明理由，并求此条件下线段A′B的长度（结果用角α或角β的三角函数及字母m、n所组成的式子表示）【答案】（1）65°；（2）；（3）A′B==．【解析】（1）如图①中，∵△A′B′C是由△ABC旋转得到，∴∠A′B′C=∠ABC=130°，CB=CB′，∴∠CBB′=∠CB′B，∵∠BCB′=50°，∴∠CBB′=∠CB′B=65°，∴∠A′B′B=∠A′B′C﹣∠BB′C=65°．（2）（Ⅰ）结论：直线BB′与⊙A′相切．理由：如图②中，∵∠A′B′C=∠ABC=150°，CB=CB′，∴∠CBB′=∠CB′B，∵∠BCB′=60°，∴∠CBB′=∠CB′B=60°，∴∠A′B′B=∠A′B′C﹣∠BB′C=90°．∴AB′⊥BB′，∴直线BB′与⊙A′相切．（Ⅱ）∵在Rt△ABB′中，∵∠AB′B=90°，BB′=BC=5，AB′=AB=3，∴A′B==．（3）如图③中，当α+β=180°时，直线BB′与⊙A′相切．理由：∵∠A′B′C=∠ABC=α，CB=CB′，∴∠CBB′=∠CB′B，∵∠BCB′=2β，∴∠CBB′=∠CB′B=，∴∠A′B′B=∠A′B′C﹣∠BB′C=α﹣90°+β=180°﹣90°=90°．∴AB′⊥BB′，∴直线BB′与⊙A′相切．在△CBB′中，∵CB=CB′=n，∠BCB′=2β，∴BB′=2•nsinβ，在Rt△A′BB′中，A′B==．随练11、已知点M是锐角△ABC的外心，线段AM的延长线交边BC于点N，⊙O经过点A、M，分别交AB、AC于点D、E．（1）如图1，当线段AM为⊙O的直径时，①求证：DE∥BC；②若AD=AE，∠BAC=60°，连接DN，求证：直线DN是⊙O的切线；③若AD=AE，∠BAC=45°，BC=2a，用含a的式子表示AD2；（2）如图2，连MD、ME，若△ABC是等边三角形，且四边形ADME的面积为3，试求AB的长．【答案】（1）①见解析；②见解析；③AD2=（2+）a2（2）6【解析】（1）①如图1，∵线段AM为⊙O的直径，∴⊙O，⊙M内切于点A，过点A作⊙O，⊙M的外公切线PA，在⊙O中，∠PAD=∠AED，在⊙M中，∠PAD=∠ACB，∴∠AED=∠ACB，∴DE∥BC，②如图1﹣1，∵AM是⊙O的直径，且AD=AE，∴AM平分∠BAC，AN⊥DE，∴∠DAN=∠BAC=×60°=30°，连接OD，∴OA=OD，∴∠OAD=∠ODA=30°，在Rt△ODI中，∠DOI=2∠OAD=60°，∴∠ODI=30°，∴DI=OI，OA=OD=2OI，∴AM=2OA=4OI，AI=OA+OI=3OI，∴IM=AM﹣AI=4OI﹣3OI=OI，∵M是△ABC的外心，∴BM=AM=4OI，∠BMN=2∠BAN=60°，∴∠MBN=30°，在Rt△BMN中，MN=BM=2OI，∴NI=IM+MN=OI+2OI=3OI，∴AI=NI，∵DE⊥AN，∴AD=DN，∴∠DNI=∠DAI=30°，∴∠NDI=60°，∴∠ODN=∠ODI+∠NDI=90°，∵D在⊙O上，∴直线DN是⊙O的切线；③如图2，连接DM，BM，∵AM是⊙O的直径，且AD=AE，∴AM平分∠BAC，AN⊥DE，∴BN=BC=a，∠DAN=∠BAC=×45°=22.5°，∴∠ABN=90°﹣∠DAN=67.5°，∵M是△ABC的外心，∴∠BMN=2∠BAN=45°，在Rt△BMN中，MN=BN=a，BM=BN=2a，∴AM=BM=2a，∴AN=AM+MN=2a+a=（2+）a，在Rt△ABN中，AB2=AN2+BN2=[（2+）a]2+2a2=（8+4）a2，连接DM，∵AM是⊙O的直径，∴∠ADM=90°，∵AM=BM，∴AD=AB，∴AD2=（AB）2=AB2=（8+4）a2=（2+）a2．（2）∵点M是等边三角形ABC的外心，∴AM=BM，AN⊥BC，AN平分∠BAC，过点M作MH⊥AB，MG⊥AC，∴MH=MG，∵四边形ADME是⊙O的内接圆，∴∠HDM=∠GEM，在△DHM和△EGM中，，∴△DHM≌△EGM，∴S△DHM=S△EGM，∴S四边形ADME=S四边形AHMG=2S△AHM=2×AH×HM=AH×HM=3，∵AN平分∠BAC，∴∠BAN=∠BAC=30°，∴HM=AH，∴AH×AH=3，∴AH=3，∵AM=BM，MH⊥AB，∴AB=2AH=6．拓展拓展1、如图，已知直线l与⊙O相离，OA⊥l于点A，OA=5．OA与⊙O相交于点P，AB与⊙O相切于点B，BP的延长线交直线l于点C．（1）试判断线段AB与AC的数量关系，并说明理由；（2）若PC=2，求⊙O的半径和线段PB的长；（3）若在⊙O上存在点Q，使△QAC是以AC为底边的等腰三角形，求⊙O的半径r的取值范围．【答案】（1）AB=AC；（2）PB=；（3）≤r＜5．【解析】（1）AB=AC，理由如下：连接OB．∵AB切⊙O于B，OA⊥AC，∴∠OBA=∠OAC=90°，∴∠OBP+∠ABP=90°，∠ACP+∠APC=90°，∵OP=OB，∴∠OBP=∠OPB，∵∠OPB=∠APC，∴∠ACP=∠ABC，∴AB=AC；（2）延长AP交⊙O于D，连接BD，设圆半径为r，则OP=OB=r，PA=5﹣r，则AB2=OA2﹣OB2=52﹣r2，AC2=PC2﹣PA2=﹣（5﹣r）2，∴52﹣r2=﹣（5﹣r）2，解得：r=3，∴AB=AC=4，∵PD是直径，∴∠PBD=90°=∠PAC，又∵∠DPB=∠CPA，∴△DPB∽△CPA，∴=，∴=，解得：PB=．∴⊙O的半径为3，线段PB的长为；（3）作出线段AC的垂直平分线MN，作OE⊥MN，则可以推出OE=AC=AB=又∵圆O与直线MN有交点，∴OE=≤r，≤2r，25﹣r2≤4r2，r2≥5，∴r≥，又∵圆O与直线相离，∴r＜5，即≤r＜5．拓展2、已知⊙O1与⊙O2相交于A、B两点，点O1在⊙O2上，C为⊙O2上一点（不与A，B，O1重合），直线CB与⊙O1交于另一点D．（1）如图（1），若AD是⊙O1的直径，AC是⊙O2的直径，求证：AC=CD；（2）如图（2），若C是⊙O1外一点，求证：O1C丄AD；（3）如图（3），若C是⊙O1内的一点，判断（2）中的结论是否成立？【答案】见解析【解析】此题主要考查了圆周角定理以及相交两圆的性质和圆内接四边形的性质，根据圆内接四边形的性质得出对应角之间的关系是解决问题的关键．（1）证明：连接C01∵AC为⊙O2直径∴∠AO1C=90°即CO1⊥AD，∵AO1=DO1∴DC=AC（垂直平分线的性质）；（2）证明：连接AO1，连接AB，延长AO1交⊙O1于点E，连接ED，∵四边形AEDB内接于⊙O1，∴∠E+∠ABD=180°，∵∠ABC+∠ABD=180°，∴∠ABC=∠E，又∵=，∴∠ABC=∠AO1C，∴∠E=∠AO1C，∴CO1∥ED，又AE为⊙O1的直径，∴ED⊥AD，∴O1C⊥AD，（3）（2）中的结论仍然成立．证明：连接AO1，连接AB，延长AO1交⊙O1于点E，连接ED，∵∠B+∠AO1C=180°，∠EO1C+∠AO1C═180°，∴∠B=∠EO1C，又∵∠E=∠B，∴∠EO1C=∠E，∴CO1∥ED，又ED⊥AD，∴CO1⊥AD．拓展3、已知：如图1，点A在半圆O上运动（不与半圆的两个端点重合），以AC为对角线作矩形ABCD，使点D落在直径CE上，CE=8．将△ADC沿AC折叠，得到△AD'C．（1）求证：AD'是半圆O的切线；（2）如图2，当AB与CD'的交点F恰好在半圆O上时，连接OA．①求证：四边形AOCF是菱形；②求四边形AOCF的面积．【答案】（1）见解析（2）①见解析②8【解析】（1）证明：连接OA，如图1所示：由折叠的性质得：∠1=∠2，∵四边形ABCD是矩形，∴∠ADC=90°，∴∠1+∠DCA=90°，∵OA=OC，∴∠OAC=∠DCA，即∠1+∠3=∠DCA，∴∠1+∠1+∠3=90°，∴∠1+∠2+∠3=90°，即∠OAD′=90°，∴AD′⊥OA，∴AD′是半圆的切线；（2）①证明：如图2所示：由折叠的性质得：∠1=∠2，∠D′=∠ADC=90°，∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，∴∠3=∠2，∴∠1=∠3，∴AF=CF，∵OA=OC，∴∠2=∠4，∴∠3=∠4，在△AFC和△AOC中，∴△AFC≌△AOC（ASA），∴AF=OA，∴AF=CF=OA=OC，∴四边形AOCF是菱形；②解：∵AD是半圆O的切线，∴∠D′AF=∠1，∴∠D′AF=∠3=∠4，∵四边形AOCF是菱形，∴OA∥CF，∴∠OAD′+∠D′=180°，∴∠OAD′=90°，∴∠3=∠4=30°，∵OA=OC=CE=4，∴OD=OA=2，∴AD=OD=2，∴菱形AOCF的面积=OC•AD=4×2=8．拓展4、如图，BC是⊙O的直径，点A在⊙O上，AD⊥BC，垂足为D，弧AE等于弧AB，BE分别交AD、AC于点F、G．（1）判断△FAG的形状，并说明理由；（2）若点E和点A在BC的两侧，BE、AC的延长线交于点G，AD的延长线交BE于点F，其余条件不变，（1）中的结论还成立吗？请说明理由．【答案】（1）等腰三角形（2）成立【解析】（1）等腰三角形；∵BC为直径，AD⊥BC，∴∠BAD+∠CAD=90°，∠C+∠CAD=90°，∴∠BAD=∠C，∵，∴∠ABE=∠C，∴∠ABE=∠BAD，∴AF=BF，∵∠BAD+∠CAD=90°，∠ABE+∠AGB=90°，∴∠DAC=∠AGB，∴FA=FG，∴△FAG是等腰三角形；（2）成立；∵BC为直径，AD⊥BC，∴∠BAD+∠CAD=90°，∠C+∠CAD=90°，∴∠BAD=∠C，∵，∴∠ABE=∠C，∴∠ABE=∠BAD，∴AF=BF，∵∠BAD+∠CAD=90°，∠ABE+∠AGB=90°，∴∠DAC=∠AGB，∴FA=FG，∴△FAG是等腰三角形．拓展5、如图，在△ABC中，已知AB=BC=CA=4cm，AD⊥BC于D，点P、Q分别从B、C两点同时出发，其中点P沿BC向终点C运动，速度为1cm/s；点Q沿CA、AB向终点B运动，速度为2cm/s，设它们运动的时间为x（s）．（1）求x为何值时，PQ⊥AC；（2）设△PQD的面积为y（cm2），当0＜x＜2时，求y与x的函数关系式；（3）当0＜x＜2时，求证：AD平分△PQD的面积；（4）探索以PQ为直径的圆与AC的位置关系，请写出相应位置关系的x的取值范围（不要求写出过程）．【答案】（1）x=；（2）y=﹣x²+x；（3）证明见解析；（4）当0≤x＜或＜x＜或＜x≤4时，以PQ为直径的圆与AC相交．【解析】（1）当Q在AB上时，显然PQ不垂直于AC，当Q在AC上时，由题意得，BP=x，CQ=2x，PC=4﹣x；∵AB=BC=CA=4，∴∠C=60°；若PQ⊥AC，则有∠QPC=30°，∴PC=2CQ，∴4﹣x=2×2x，∴x=；（2）y=﹣x²+x，如图，当0＜x＜2时，P在BD上，Q在AC上，过点Q作QN⊥BC于N；∵∠C=60°，QC=2x，∴QN=QC×sin60°=x；∵AB=AC，AD⊥BC，∴BD=CD=BC=2，∴DP=2﹣x，∴y=PD•QN=（2﹣x）•x=﹣x²+x；（3）当0＜x＜2时，在Rt△QNC中，QC=2x，∠C=60°；∴NC=x，∴BP=NC，∵BD=CD，∴DP=DN；∵AD⊥BC，QN⊥BC，∴AD∥QN，∴OP=OQ，∴S△PDO=S△DQO，∴AD平分△PQD的面积；（4）显然，不存在x的值，使得以PQ为直径的圆与AC相离，由（1）可知，当x=时，以PQ为直径的圆与AC相切；当点Q在AB上时，8﹣2x=，解得x=，故当x=或时，以PQ为直径的圆与AC相切，当0≤x＜或＜x＜或＜x≤4时，以PQ为直径的圆与AC相交．拓展6、△ABC为等边三角形，边长为a，DF⊥AB，EF⊥AC，（1）求证：△BDF∽△CEF；（2）若a=4，设BF=m，四边形ADFE面积为S，求出S与m之间的函数关系，并探究当m为何值时S取最大值；（3）已知A、D、F、E四点共圆，已知tan∠EDF=，求此圆直径．【答案】（1）见解析（2）S═-（m-2）2+3；m=2时，S取到最大值3（3）【解析】（1）∵DF⊥AB，EF⊥AC，∴∠BDF=∠CEF=90°．∵△ABC为等边三角形，∴∠B=∠C=60°．∵∠BDF=∠CEF，∠B=∠C，∴△BDF∽△CEF．（2）∵∠BDF=90°，∠B=60°，∴sin60°==，cos60°==．∵BF=m，∴DF=m，BD=．∵AB=4，∴AD=4-．∴S△ADF=AD•DF=×（4-）×m=-m2+m．同理：S△AEF=AE•EF=×（4-）×（4-m）=-m2+2．∴S=S△ADF+S△AEF=-m2+m+2=-（m2-4m-8）=-（m-2）2+3．其中0＜m＜4．∵-＜0，0＜2＜4，∴当m=2时，S取最大值，最大值为3．∴S与m之间的函数关系为：S═-（m-2）2+3（其中0＜m＜4）．当m=2时，S取到最大值，最大值为3．（3）如图2，∵A、D、F、E四点共圆，∴∠EDF=∠EAF．∵∠ADF=∠AEF=90°，∴AF是此圆的直径．∵tan∠EDF=，∴tan∠EAF=．∴=．∵∠C=60°，∴=tan60°=．设EC=x，则EF=x，EA=2x．∵AC=a，∴2x+x=a．∴x=．∴EF=a，AE=a．∵∠AEF=90°，∴AF==a．∴此圆直径长为a．拓展7、如图，在矩形ABCD中，AB=6cm，AD=8cm，点P从点B出发，沿对角线BD向点D匀速运动，速度为4cm/s，过点P作PQ⊥BD交BC于点Q，以PQ为一边作正方形PQMN，使得点N落在射线PD上，点O从点D出发，沿DC向点C匀速运动，速度为3m/s，以O为圆心，0.8cm为半径作⊙O，点P与点O同时出发，设它们的运动时间为t（单位：s）（0＜t＜）．（1）如图1，连接DQ平分∠BDC时，t的值为；（2）如图2，连接CM，若△CMQ是以CQ为底的等腰三角形，求t的值；（3）在运动过程中，当直线MN与⊙O相切时，求t的值．【答案】（1）1（2）t=（3）当直线MN与⊙O相切时，t的值是s或s【解析】（1）由题意得：PB=4t，∵四边形ABCD是矩形，∴∠C=90°∵PQ⊥BC∴∠BPQ=90°∵BC=AD=8，CD=6∴tan∠DBC==∴=∴PQ=3t由勾股定理得：BQ=5t∴CQ=BC﹣BQ=8﹣5t，∵DQ平分∠BDC，DC⊥BC，∴CQ=PQ，则8﹣5t=3t，t=1；（2）如图2中，作MT⊥BC于T，∵MC=MQ，MT⊥CQ，∴TC=TQ，由（1）可知TQ=（8﹣5t），QM=PQ=3t，∵四边形PQMN为正方形，∴MQ∥PN，∴∠MQT=∠DBC，∴△QTM∽△BCD，∴，∴=，∴t=（s）；∴t=s时，△CMQ是以CQ为底的等腰三角形；（3）设MN与⊙O相切于点F，与CD交于点E，则OF=0.8，由题意∠OEF=∠DEN=∠ADB，∴sin∠OEF=sin∠DEN=sin∠ADB=3：5，∴，∴，∴OE=，①若点O在正方形外MN与⊙O相切，如图3所示，∵OD=3t，∴DE=3t+，∵BP=4t，NP=PQ=3t，∴DN=10﹣7t，∴=，∴t=；②若点O在正方形内MN与⊙O相切，如图4所示，∵OD=3t∴DE=3t﹣，∵BP=4t，NP=PQ=3t，∴DN=10﹣7t，∴=，∴t=，综上所述，当直线MN与⊙O相切时，t的值是s或s．拓展8、如图，PQ为圆O的直径，点B在线段PQ的延长线上，OQ=QB=1，动点A在圆O的上半圆运动（含P、Q两点），以线段AB为边向上作等边三角形ABC．（1）当线段AB所在的直线与圆O相切时，求△ABC的面积（图1）；（2）设∠AOB=α，当线段AB与圆O只有一个公共点（即A点）时，求α的范围（图2，直接写出答案）；（3）当线段AB与圆O有两个公共点A、M时，如果AO⊥PM于点N，求CM的长度（图3）．【答案】（1）（2）0°≤α≤60°（3）【解析】（1）连接OA，过点B作BH⊥AC，垂足为H，如图1所示．∵AB与⊙O相切于点A，∴OA⊥AB．∴∠OAB=90°．∵OQ=QB=1，∴OA=1．∴AB===．∵△ABC是等边三角形，∴AC=AB=，∠CAB=60°．∵sin∠HAB=，∴HB=AB•sin∠HAB=×=．∴S△ABC=AC•BH=××=．∴△ABC的面积为．（2）①当点A与点Q重合时，线段AB与圆O只有一个公共点，此时α=0°；②当线段A1B所在的直线与圆O相切时，如图2所示，线段A1B与圆O只有一个公共点，此时OA1⊥BA1，OA1=1，OB=2，∴cos∠A1OB==．∴∠A1OB=60°．∴当线段AB与圆O只有一个公共点（即A点）时，α的范围为：0°≤α≤60°．（3）连接MQ，如图3所示．∵PQ是⊙O的直径，∴∠PMQ=90°．∵OA⊥PM，∴∠PNO=90°．∴∠PNO=∠PMQ．∴ON∥MQ．∴△PNO∽△PMQ．∴==∵PO=OQ=PQ．∴PN=PM，ON=MQ．同理：MQ=AO，BM=AB．∵AO=1，∴MQ=．∴ON=．∵∠PNO=90°，PO=1，ON=，∴PN=．∴PM=．∴