爱提分中考复习 3一轮-函数-第02讲 二次函数（一）(教师版)

高思爱提分演示（KJ)初中数学教师辅导讲义[教师版]学员姓名王晓与 年级初一辅导科目初中数学学科教师卫雅鑫上课时间2019-09-2411:30:00-12:30:00 知识图谱二次函数（1）知识精讲一．二次函数的概念1．二次函数的定义：一般地，形如（为常数，）的函数称为的二次函数，其中为自变量，为因变量，分别为二次函数的二次项、一次项和常数项系数．

2．二次函数的结构特征：

（1）等号左边是函数，右边是关于自变量的二次式，的最高次数是2；（2）是常数，是二次项系数，是一次项系数，是常数项．3．二次函数图像与性质

的图象与性质的符号的符号图象开口方向对称轴顶点坐标性质向上轴时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值．向下轴时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值．

的图象与性质

的符号的符号图象开口方向对称轴顶点坐标性质向上轴时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值．向下轴时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值．

的图象与性质

的符号的符号图象开口方向对称轴顶点坐标性质向上时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值．向下时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最大值．

二．二次函数解析式与图像变换1．二次函数的表达式（1）一般式：．（2）顶点式：．（3）

两根式（交点式）：（）．

2．二次函数图象的平移（1）函数的图象可以看做是由函数的图象向上或向下平移个单位得到的；时，向上平移；时，向下平移．（2）函数的图象可以看做是由函数的图象向左或向右平移个单位得到的；时，向右平移；时，向左平移．（3）函数的图象可以看做是由函数的图象先向左或向右平移个单位，再向上或向下平移个单位得到的；当时，向右平移，当时，向左平移；时，向上平移，时，向下平移．（4）将二次函数，向左平移个单位，函数解析式变为；向右平移个单位，函数解析式变为．（即：左加右减）（5）将二次函数，向上平移个单位，函数解析式变为；向下平移个单位，函数解析式变为．（即：上加下减）通常，将平移前的函数利用配方法化成的形式，在根据顶点的平移情况确定函数的平移情况，再将顶点式整理成一般式．平移前后的的函数的开口方向与开口大小不改变，即不变．

3．二次函数图象的轴对称变换

（1）关于轴对称关于轴对称后，得到的解析式是；关于轴对称后，得到的解析式是.（2）关于轴对称关于轴对称后，得到的解析式是；

关于轴对称后，得到的解析式是.4．二次函数图象的中心对称变换（1）关于原点对称关于原点对称后，得到的解析式是；

关于原点对称后，得到的解析式是；（2）关于顶点对称关于顶点对称后，得到的解析式是；

关于顶点对称后，得到的解析式是．（3）关于点对称关于点对称后，得到的解析式是

三．二次函数与一元二次方程的综合1.

抛物线与轴的交点：二次函数的图像与轴的两个交点的横坐标、，是对应一元二次方程的两个实数根.抛物线与轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：

①有两个交点抛物线与轴相交；

②有一个交点（顶点在轴上）抛物线与轴相切；

③没有交点抛物线与轴相离.2.

平行于轴的直线与抛物线的交点：可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为，则横坐标是的两个实数根.3.

抛物线与轴两交点之间的距离．若抛物线与轴两交点为，由于、是方程的两个根，故

方法点拨求二次函数的图象与轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；

1．求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式．2．根据图象的位置判断二次函数中，，的符号，或由二次函数中，，的符号判断图象的位置，要数形结合．3．二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标．三点剖析一．考点：二次函数的图像和性质，二次函数的解析式和图像变换，二次函数的代数综合，二次函数与三角形．二．重难点：1．几条抛物线的解析式中，若相等，则其形状相同，即若相等，则开口及形状相同，若互为相反数，则形状相同、开口相反．2．根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式．三．易错点：1．确定方程是否为一元二次方程只需要检验最高次项—--二次项的系数是否为零即可；2．注意对于关于的方程，当时，方程是一元二次方程；当且时，方程是一元一次方程；3．一元二次方程的系数一定要化为一般式之后再看．二次函数的图像和性质例题例题1、若是二次函数，则的值是__________．【答案】【解析】由二次函数的定义可知．例题2、若点A（﹣5，y1），B（﹣，y2），C（，y3）为二次函数y=x2+4x+5的图象上的三点，则y1，y2，y3的大小关系是______________（用“＜”连接）．【答案】y2＜y1＜y3【解析】∵y=x2+4x+5=（x+2）2+1，∴抛物线开口向上，对称轴为x=﹣2，∵A、B、C三点中，B点离对称轴最近，C点离对称轴最远，∴y2＜y1＜y3．例题3、如图为二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象，则下列说法：①a＞0②2a+b=0③a+b+c＞0④当﹣1＜x＜3时，y＞0其中正确的个数为（）A.1B.2C.3D.4【答案】C【解析】①图象开口向下，能得到a＜0；②对称轴在y轴右侧，x==1，则有﹣=1，即2a+b=0；③当x=1时，y＞0，则a+b+c＞0；④由图可知，当﹣1＜x＜3时，y＞0．故选C．随练随练1、将抛物线y=2（x﹣1）2﹣1，先向上平移2个单位，再向右平移1个单位后其顶点坐标是（）A.（2，1）B.（1，2）C.（1，﹣1）D.（1，1）【答案】A【解析】将抛物线y=2（x﹣1）2﹣1，先向上平移2个单位，再向右平移1个单位后所得抛物线解析式为y=2（x﹣2）2+1，所以平移后的抛物线的顶点为（2，1）．故选A．随练2、已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，有以下结论：①abc＞0，②a﹣b+c＜0，③2a=b，④4a+2b+c＞0，⑤若点（﹣2，y1）和（﹣，y2）在该图象上，则y1＞y2．其中正确的结论是____________填入正确结论的序号）．【答案】②④【解析】∵二次函数开口向下，且与y轴的交点在x轴上方，∴a＜0，c＞0，∵对称轴为x=1，∴﹣=1，∴b=﹣2a＞0，∴abc＜0，故①、③都不正确；∵当x=﹣1时，y＜0，∴a﹣b+c＜0，故②正确；由抛物线的对称性可知抛物线与x轴的另一交点在2和3之间，∴当x=2时，y＞0，∴4a+2b+c＞0，故④正确；∵抛物线开口向下，对称轴为x=1，∴当x＜1时，y随x的增大而增大，∵﹣2＜﹣，∴y1＜y2，故⑤不正确；综上可知正确的为②④，二次函数的解析式和图像变换例题例题1、将抛物线y=3x2向左平移2个单位，再向下平移1个单位，所得抛物线为（）A.y=3（x-2）2-1B.y=3（x-2）2+1C.y=3（x+2）2-1D.y=3（x+2）2+1【答案】C【解析】抛物线y=3x2向左平移2个单位，再向下平移1个单位后的抛物线顶点坐标为（-2，-1），所得抛物线为y=3（x+2）2-1．故选C．例题2、已知二次函数的图象经过点（0，3），（-3，0），（2，-5），且与x轴交于A、B两点．（1）试确定此二次函数的解析式；（2）判断点P（-2，3）是否在这个二次函数的图象上？如果在，请求出△PAB的面积；如果不在，试说明理由．【答案】（1）y=-x2-2x+3（2）在，6【解析】（1）设二次函数的解析式为y=ax2+bx+c；∵二次函数的图象经过点（0，3），（-3，0），（2，-5），则有：（2分），解得；∴y=-x2-2x+3（1分）（2）∵-（-2）2-2×（-2）+3=-4+4+3=3∴点P（-2，3）在这个二次函数的图象上（1分）∵-x2-2x+3=0，∴x1=-3，x2=1；∴与x轴的交点为：（-3，0），（1，0）（1分）∴S△PAB=×4×3=6．（1分）例题3、将抛物线绕原点O旋转，则旋转后的抛物线的解析式为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】该题考察的是二次函数图象与几何变换．的顶点坐标为，所以抛物线绕原点O旋转180°，旋转后的抛物线的顶点坐标为，且旋转后开口向下，因此旋转后的抛物线的解析式为．故答案是C．例题4、已知抛物线经过点和点，且顶点到轴的距离为，求抛物线的解析式．【答案】或【解析】由题意可得抛物线的顶点坐标为或，设抛物线解析式为，将顶点坐标分别代入可得或．随练随练1、如果抛物线经过点，和，则的值为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】由待定系数法求得，，，所以．随练2、将抛物线y=x2向左平移2个单位，再向下平移3个单位，则得到的抛物线解析式是（）A.y=（x﹣2）2﹣3B.y=（x﹣2）2+3C.y=（x+2）2﹣3D.y=（x+2）2+3【答案】C【解析】依题意可知，原抛物线顶点坐标为（0，0），平移后抛物线顶点坐标为（﹣2，﹣3），又因为平移不改变二次项系数，所以所得抛物线解析式为：y=（x+2）2﹣3．随练3、将抛物线绕原点O旋转，则旋转后的抛物线的解析式为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】该题考查的是抛物线的旋转问题．由旋转的性质知，抛物线旋转180°后得到的图形和原图形成中心对称，则设点在所求抛物线上，则点A旋转180°之后的点必定在抛物线上，则将代入，有，整理得，即为所求．所以，本题的正确答案是D．随练4、已知二次函数y=﹣x2+2x+m．（1）如果二次函数的图象与x轴有两个交点，求m的取值范围；（2）如图，二次函数的图象过点A（3，0），与y轴交于点B，直线AB与这个二次函数图象的对称轴交于点P，求点P的坐标．【答案】（1）m＞﹣1；（2）P（1，2）．【解析】（1）∵二次函数的图象与x轴有两个交点，∴△=22+4m＞0∴m＞﹣1；（2）∵二次函数的图象过点A（3，0），∴0=﹣9+6+m∴m=3，∴二次函数的解析式为：y=﹣x2+2x+3，令x=0，则y=3，∴B（0，3），设直线AB的解析式为：y=kx+b，∴，解得：，∴直线AB的解析式为：y=﹣x+3，∵抛物线y=﹣x2+2x+3，的对称轴为：x=1，∴把x=1代入y=﹣x+3得y=2，∴P（1，2）．二次函数的代数综合例题例题1、已知抛物线与x轴有两个不同的交点．（1）求k的取值范围；（2）若k为正整数，且该抛物线与x轴的交点都是整数点，求k的值．（3）如果反比例函数的图象与（2）中的抛物线在第一象限内的交点的横坐标为，且满足，请直接写出m的取值范围．【答案】（1）；（2）；（3）【解析】（1）抛物线与x轴有两个不同的交点，∴，解得（2）∵且k为正整数，∴或1．当时，，不合题意，舍去；当时，，与x轴的两个交点是与．∴（3）例题2、已知：二次函数y=ax2+bx-2的图象经过点（1，0），一次函数图象经过原点和点（1，-b），其中a＞b＞0且a、b为实数．（1）求一次函数的表达式（用含b的式子表示）；（2）试说明：这两个函数的图象交于不同的两点；（3）设（2）中的两个交点的横坐标分别为x1、x2，求|x1-x2|的范围．【答案】（1）y=-bx（2）见解析（3）2＜|x1-x2|＜2【解析】（1）∵一次函数过原点，∴设一次函数的解析式为y=kx；∵一次函数过（1，-b），∴y=-bx．（3分）（2）∵y=ax2+bx-2过（1，0），即a+b=2，（4分）∴b=2-a．由，得：（5分）ax2+bx-2=-bx，∴ax2+（2-a）x-2=-（2-a）x，∴ax2+2（2-a）x-2=0①；∵△=4（2-a）2+8a=16-16a+4a2+8a=4（a2-2a+1）+12=4（a-1）2+12＞0，∴方程①有两个不相等的实数根，∴方程组有两组不同的解，∴两函数图象有两个不同的交点．（6分）（3）∵两交点的横坐标x1、x2分别是方程①的解，∴x1+x2=-，∴x1+x2=-，x1x2=；∴|x1-x2|===；（或由求根公式得出）（8分）∵a＞b＞0，a+b=2，∴2＞a＞1；令函数y=(-1)2+3，∵在1＜a＜2时，y随a增大而减小．∴4＜(-1)2+3＜12；（9分）∴2＜＜2，∴2＜|x1-x2|＜2．（10分）例题3、已知，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过原点，顶点为A（h，k）（h≠0）．（1）当h=1，k=2时，求抛物线的解析式；（2）若抛物线y=tx2（t≠0）也经过A点，求a与t之间的关系式；（3）当点A在抛物线y=x2﹣x上，且﹣2≤h＜1时，求a的取值范围．【答案】（1）y=﹣2x2+4x；（2）t=﹣a；（3）a＞0或a≤﹣．【解析】（1）∵顶点为A（1，2），设抛物线为y=a（x﹣1）2+2，∵抛物线经过原点，∴0=a（0﹣1）2+2，∴a=﹣2，∴抛物线解析式为y=﹣2x2+4x．（2）∵抛物线经过原点，∴设抛物线为y=ax2+bx，∵h=﹣，∴b=﹣2ah，∴y=ax2﹣2ahx，∵顶点A（h，k），∴k=ah2﹣2ah2=﹣ah2，抛物线y=tx2也经过A（h，k），∴k=th2，∴th2=ah2﹣2ah2，∴t=﹣a，（3）∵点A在抛物线y=x2﹣x上，∴k=h2﹣h，又k=ah2﹣2ah2，∴h=，∵﹣2≤h＜1，∴﹣2≤＜1，①当1+a＞0时，即a＞﹣1时，，解得a＞0，②当1+a＜0时，即a＜﹣1时，解得a≤﹣，综上所述，a的取值范围a＞0或a≤﹣．例题4、如图，抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），B（5，0）两点，直线y=﹣x+3与y轴交于点C，与x轴交于点D．点P是x轴上方的抛物线上一动点，过点P作PF⊥x轴于点F，交直线CD于点E．设点P的横坐标为m．（1）求抛物线的解析式；（2）若PE=5EF，求m的值；（3）若点E′是点E关于直线PC的对称点，是否存在点P，使点E′落在y轴上？若存在，请直接写出相应的点P的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）y=﹣x2+4x+5（2）m=2或m=（3）存在满足条件的点P，可求得点P坐标为（﹣，），（4，5），（3﹣，2﹣3）【解析】方法一：解：（1）将点A、B坐标代入抛物线解析式，得：，解得，∴抛物线的解析式为：y=﹣x2+4x+5．（2）∵点P的横坐标为m，∴P（m，﹣m2+4m+5），E（m，﹣m+3），F（m，0）．∴PE=|yP﹣yE|=|（﹣m2+4m+5）﹣（﹣m+3）|=|﹣m2+m+2|，EF=|yE﹣yF|=|（﹣m+3）﹣0|=|﹣m+3|．由题意，PE=5EF，即：|﹣m2+m+2|=5|﹣m+3|=|m+15|①若﹣m2+m+2=m+15，整理得：2m2﹣17m+26=0，解得：m=2或m=；②若﹣m2+m+2=﹣（m+15），整理得：m2﹣m﹣17=0，解得：m=或m=．由题意，m的取值范围为：﹣1＜m＜5，故m=、m=这两个解均舍去．∴m=2或m=．（3）假设存在．作出示意图如下：∵点E、E′关于直线PC对称，∴∠1=∠2，CE=CE′，PE=PE′．∵PE平行于y轴，∴∠1=∠3，∴∠2=∠3，∴PE=CE，∴PE=CE=PE′=CE′，即四边形PECE′是菱形．当四边形PECE′是菱形存在时，由直线CD解析式y=﹣x+3，可得OD=4，OC=3，由勾股定理得CD=5．过点E作EM∥x轴，交y轴于点M，易得△CEM∽△CDO，∴，即，解得CE=|m|，∴PE=CE=|m|，又由（2）可知：PE=|﹣m2+m+2|∴|﹣m2+m+2|=|m|．①若﹣m2+m+2=m，整理得：2m2﹣7m﹣4=0，解得m=4或m=﹣；②若﹣m2+m+2=﹣m，整理得：m2﹣6m﹣2=0，解得m1=3+，m2=3﹣．由题意，m的取值范围为：﹣1＜m＜5，故m=3+这个解舍去．当四边形PECE′是菱形这一条件不存在时，此时P点横坐标为0，E，C，E'三点重合与y轴上，菱形不存在．综上所述，存在满足条件的点P，可求得点P坐标为（﹣，），（4，5），（3﹣，2﹣3）方法二：（1）略．（2）略．（3）若E关于直线PC的对称点E′在y轴上，则直线CD与直线CE关于PC轴对称．∴点D关于直线PC的对称点D′也在y轴上，∴DD′⊥CP，∵y=﹣x+3，∴D（4，0），CD=5，∵OC=3，∴OD′=8或OD′=2，①当OD′=8时，D′（0，8），设P（t，﹣t2+4t+5），D（4，0），C（0，3），∵PC⊥DD′，∴KPC×KDD′=﹣1，∴，∴2t2﹣7t﹣4=0，∴t1=4，t2=，②当OD′=2时，D′（0，﹣2），设P（t，﹣t2+4t+5），∵PC⊥DD′，∴KPC×KDD′=﹣1，∴，∴t1=3+，t2=3﹣，∵点P是x轴上方的抛物线上一动点，∴﹣1＜t＜5，∴点P的坐标为（﹣，），（4，5），（3﹣，2﹣3）．随练随练1、已知关于的方程．（1）求证：不论为任意实数，此方程总有实数根；（2）若抛物线与轴交于两个不同的整数点，且为正整数，试确定此抛物线的解析式；（3）若点P（，）与点Q（，）在（2）中抛物线上，（点P、Q不重合），且，求代数式的值．【答案】（1）见解析（2）（3）【解析】（1）当时，原方程化为此时方程有实数根x=-3.当时，原方程为一元二次方程.∵．∴此时方程有两个实数根．综上，不论m为任何实数时，方程总有实数根．（2）∵令,则．解得，．∵抛物线与轴交于两个不同的整数点，为正整数，∴.∴抛物线的解析式为.（3）∵点与在抛物线上，∴.∵，∴.可得，即．∵点P,Q不重合，∴．∴.∴随练2、如图，已知二次函数y=ax2+bx+c的图象过A（2，0），B（0，-1）和C（4，5）三点．（1）求二次函数的解析式；（2）设二次函数的图象与x轴的另一个交点为D，求点D的坐标；（3）在同一坐标系中画出直线y=x+1，并写出当x在什么范围内时，一次函数的值大于二次函数的值．【答案】（1）y=x2-x-1（2）（-1，0）（3）-1＜x＜4【解析】（1）∵二次函数y=ax2+bx+c的图象过A（2，0），B（0，-1）和C（4，5）三点，∴，∴a=，b=-，c=-1，∴二次函数的解析式为y=x2-x-1；（2）当y=0时，得x2-x-1=0；解得x1=2，x2=-1，∴点D坐标为（-1，0）；（3）图象如图，当一次函数的值大于二次函数的值时，x的取值范围是-1＜x＜4．随练3、如图，抛物线y=x2﹣3x+与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，点D是直线BC下方抛物线上一点，过点D作y轴的平行线，与直线BC相交于点E（1）求直线BC的解析式；（2）当线段DE的长度最大时，求点D的坐标．【答案】（1）直线BC的解析式为：y=x+；（2）D点的坐标为（，）；【解析】（1）∵抛物线y=x2﹣3x+与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，∴令y=0，可得x=或x=，∴A（，0），B（，0）；令x=0，则y=，∴C点坐标为（0，），设直线BC的解析式为：y=kx+b，则有，，解得：，∴直线BC的解析式为：y=x+；（2）设点D的横坐标为m，则坐标为（m，），∴E点的坐标为（m，m），设DE的长度为d，∵点D是直线BC下方抛物线上一点，则d=m+﹣（m2﹣3m+），整理得，d=﹣m2+m，∵a=﹣1＜0，∴当m=时，d最大=，∴D点的坐标为（，）．随练4、已知：直线y=ax+b过抛物线y=-x2-2x+3的顶点P，如图所示．（1）顶点P的坐标是____；（2）若直线y=ax+b经过另一点A（0，11），求出该直线的表达式；（3）在（2）的条件下，若有一条直线y=mx+n与直线y=ax+b关于x轴成轴对称，求直线y=mx+n与抛物线y=-x2-2x+3的交点坐标．【答案】（1）（-1，4）（2）y=7x+11（3）（7，-60），（-2，3）【解析】（1）∵y=-x2-2x+3=-（x2+2x）+3=-（x+1）2+4，∴P点坐标为：（-1，4）；故答案为：（-1，4）；（2）将点P（-1，4），A（0，11）代入y=ax+b得：，解得：，∴该直线的表达式为：y=7x+11；（3）∵直线y=mx+n与直线y=7x+11关于x轴成轴对称，∴y=mx+n过点P′（-1，-4），A′（0，-11），∴，解得：，∴y=-7x-11，∴-7x-11=-x2-2x+3，解得：x1=7，x2=-2，此时y1=-60，y2=3，∴直线y=mx+n与抛物线y=-x2-2x+3的交点坐标为：（7，-60），（-2，3）．随练5、如图，已知二次函数的图象经过点A点B．（1）求二次函数的表达式；（2）若反比例函数的图象与二次函数的图象在第一象限内交于点，落在两个相邻的正整数之间，请你直接写出这两个相邻的正整数；

（3）若反比例函数（的图象与二次函数的图象在第一象限内交于点，且，试求实数k的取值范围．【答案】（1）（2）1和2（3）【解析】该题考查的是二次函数的综合．（1）由图可知：点A、点B的坐标分别为，，……1分且在抛物线上，∴解得：…………………2分∴二次函数的表达式为………………3分（2）两个相邻的正整数为1,2……………4分（3）由题意可得：………………6分解得：.……………7分∴实数k的取值范围为拓展拓展1、若是二次函数，则的值是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】根据二次函数的定义可得且，解得，故答案为A选项．拓展2、把抛物线y=x2-1先向右平移1个单位，再向下平移2个单位，得到的抛物线的解析式为（）A.y=(x+1)2-3B.y=(x-1)2-3C.y=(x+1)2+1D.y=(x-1)2+1【答案】B【解析】抛物线y=x2-1的顶点坐标为（0，-1），∵向右平移一个单位，再向下平移2个单位，∴平移后的抛物线的顶点坐标为（1，-3），∴得到的抛物线的解析式为y=（x-1）2-3．故选B．拓展3、（1）若二次函数有最大值，则________．（2）若二次函数有最小值，则________．【答案】（1）（2）【解析】（1）因为二次函数有最大值，所以且，所以；（2）因为二次函数有最小值，所以且，所以拓展4、把抛物线y=x2+bx+4的图象向右平移3个单位，再向上平移2个单位，所得到的图象的解析式为y=x2﹣2x+3，则b的值为（）A.2B.4C.6D.8【答案】B【解析】∵y=x2﹣2x+3=x2﹣2x+1+2=（x﹣1）2+2，∴顶点坐标为（1，2），∴向左平移3个单位，再向下平移2个单位，得（﹣2，0），则原抛物线y=x2+bx+4的顶点坐标为（﹣2，0），∴原抛物线y=x2+bx+4=（x+2）2=x2+4x+4，∴b=4．拓展5、已知二次函数的图象过坐标原点，它的顶点坐标是（1，-2），求这个二次函数的关系式．【答案】y=2x2-4x【解析】设这个二次函数的关系式为y=a（x-1）2-2，∵二次函数的图象过坐标原点，∴0=a（0-1）2-2解得：a=2故这个二次函数的关系式是y=2（x-1）2-2，即y=2x2-4x．拓展6、如图，直线y=-x-2交x轴于点A，交y轴于点B，抛物线y=ax2+bx+c的顶点为A，且经过点B．（1）求该抛物线的解析式；（2）若点C（m，-）在抛物线上，求m的值．【答案】（1）y=-x2-2x-2（2）1或-5【解析】（1）由直线y=-x-2，令x=0，则y=-2，∴点B坐标为（0，-2），令y=0，则x=-2，∴点A坐标为（-2，0），设抛物线解析式为y=a（x-h）2+k，∵抛物线顶点为A，且经过点B，∴y=a（x+2）2，∴-2=4a，解得a=-，∴抛物线解析式为y=-（x+2）2，即y=-x2-2x-2；（2）方法1：∵点C（m，-）在抛物线y=-（x+2）2上，∴-（m+2）2=-，（m+2）2=9，解得m1=1，m2=-5；方法2：∵点C（m，-）在抛物线y=-x2-2x-2上，∴-m2-2m-2=-，∴m2+4m-5=0，解得m1=1，m2=-5．拓展7、已知关于的方程有两个实数根，且为非负整数．（1）求的值；（2）将抛物线：向右平移个单位，再向上平移个单位得到抛物线，若抛物线过点和点，求抛物线的表达式；（3）将抛物线绕点()旋转得到抛物线，若抛物线与直线有两个交点且交点在其对称轴两侧，求的取值范围．【答案】（1）1（2）或（3）【解析】该题考查的是二次函数综合．（1）∵方程有两个实数根，∴且，则有且∴且又∵m为非负整数，∴．（2）抛物线：平移后，得到抛物线：，∵抛物线过点，，可得，同理：，可得，∴：或．（3）将抛物线：绕点旋转后得到的抛物线，顶点为，当时，，由题意，，即：．拓展8、在同一坐标系中，一次函数y=ax+1与二次函数y=x2+a的图象可能是（）A.A选项B.B选项C.C选项D.D选项【答案】C【解析】A、由抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴上可知，a＜0，由直线可知，a＞0，错误；B、由抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上可知，a＞0，二次项系数为负数，与二次函数y=x2+a矛盾，错误；C、由抛物线y轴的交点在y轴的负半轴上可知，a＜0，由直线可知，a＜0，正确；D、由直线可知，直线经过（0，1），错误，故选C．拓展9、已知关于x的一元二次方程．（1）求证：无论k取何值，方程总有两个实数根；（2）若二次函数的图象与x轴两个交点的横坐标均为整数，且k为整数，求k的值．【答案】（1）见解析（2）【解析】该题考察的是二次函数综合．（1）对于一元二次方程，．当时，有两个不相等的实数根，当时，有两个相等的实数根，当时，无实数根．对于∴………1分∴∴无论k取何值，方程总有两个实数根．……2分（2）令，则有利用求根公式，得……3分∴，…………………4分∵与x轴两个交点的横坐标均为整数，且k为整数∴………………5分拓展10、已知二次函数的图象与x轴交于点和，且．（1）求x2的值；（2）求代数式的值．【答案】（1）（2）3【解析】该题考查的是二次函数综合（1）∵二次函数的图象与x轴交于点和,∴令，即，因式分解∵∴∴或∵，∴．（2）由（1）得，得由是方程的根，得∴拓展11、如图，已知抛物线经过点A（-2，0）、B（4，0）、C（0，-8）．（1）求抛物线的解析式及其顶点D的坐标；（2）直线CD交x轴于点E，过抛物线上在对称轴的右边的点P，作y轴的平行线交x轴于点F，交直线CD于M，使PM=EF，请求出点P的坐标；（3）将抛物线沿对称轴平移，要使抛物线与（2）中的线段EM总有交点，那么抛物线向上最多平移多少个单位长度，向下最多平移多少个单位长度．【答案】（1）y=x2-2x-8；（2）（2，-8）（3）向上最多平移个单位长度，向下最多平移72个单位长度【解析】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式、用待定系数法求一次函数的解析式、解一元二次方程、根的判别式、抛物线与直线的交点问题等知识，而把抛物线与直线相切的问题转化为一元二次方程有两个相等的实数根的问题是解决第三小题的关键，有一定的综合性．（1）由于抛物线与x轴的两个交点已知，抛物线的解析式可设成交点式：y=a（x+2）（x-4），然后将点C的坐标代入就可求出抛物线的解析式，再将该解析式配成顶点式，即可得到顶点坐标．（2）先求出直线CD的解析式，再求出点E的坐标，然后设点P的坐标为（m，n），从而可以用m的代数式表示出PM、EF，然后根据PM=EF建立方程，就可求出m，进而求出点P的坐标．（3）先求出点M的坐标，然后设平移后的抛物线的解析式为y=x2-2x-8+c，然后只需考虑三个临界位置（①向上平移到与直线EM相切的位置，②向下平移到经过点M的位置，③向下平移到经过点E的位置）所对应的c的值，就可以解决问题．（1）根据题意可设抛物线的解析式为y=a（x+2）（x-4）．∵点C（0，-8）在抛物线y=a（x+2）（x-4）上，∴-8a=-8．∴a=1．∴y=（x+2）（x-4）=x2-2x-8=（x-1）2-9．∴抛物线的解析式为y=x2-2x-8，顶点D的坐标为（1，-9）．（2）如图，设直线CD的解析式为y=kx+b．∴解得：．∴直线CD的解析式为y=-x-8．当y=0时，-x-8=0，则有x=-8．∴点E的坐标为（-8，0）．设点P的坐标为（m，n），则PM=（m2-2m-8）-（-m-8）=m2-m，EF=m-（-8）=m+8．∵PM=EF，∴m2-m=（m+8）．整理得：5m2-6m-8=0．∴（5m+4）（m-2）=0解得：m1=-，m2=2．∵点P在对称轴x=1的右边，∴m=2．此时，n=22-2×2-8=-8．∴点P的坐标为（2，-8）．（3）当m=2时，y=-2-8=-10．∴点M的坐标为（2，-10）．设平移后的抛物线的解析式为y=x2-2x-8+c，①若抛物线y=x2-2x-8+c与直线y=-x-8相切，则方程x2-2x-8+c=-x-8即x2-x+c=0有两个相等的实数根．∴（-1）2-4×1×c=0．∴c=．②若抛物线y=x2-2x-8+c经过点M，则有22-2×2-8+c=-10．∴c=-2．③若抛物线y=x2-2x-8+c经过点E，则有（-8）2-2×（-8）-8+c=0．∴c=-72．综上所述：要使抛物线与（2）中的线段EM总有交点，抛物线向上最多平移个单位长度，向下最多平移72个单位长度．拓展12、设a、b是任意两个不等实数，我们规定：满足不等式a≤x≤b的实数x的所有取值的全体叫做闭区间，表示为[a，b]．对于一个函数，如果它的自变量x与函数值y满足：当m≤x≤n时，有m≤y≤n，我们就称此函数是闭区间[m，n]上的“闭函数”．（1）反比例函数y=是闭区间[1，2013]上的“闭函数”吗？请判断并说明理由；（2）若一次函数y=kx+b（k≠0）是闭区间[m，n]上的“闭函数”，求此函数的解析式；（3）若二次函数y=x2-x-是闭区间[a，b]上的“闭函数”，求实数a，b的值．【答案】见解析【解析】（1）反比例函数y=是闭区间[1，2013]上的“