2024～2025学年度八年级数学上册第2课时 用“SAS”判定三角形全等教学设计

第2课时用“SAS”判定三角形全等教学目标课题12.2第2课时用“SAS”判定三角形全等授课人素养目标1.掌握基本事实：两边及其夹角分别相等的两个三角形全等，经历探索“SAS”的过程，培养学生观察、归纳及动手能力，发展学生的几何直观感知能力与推理能力.2.能用尺规作图：已知两边及其夹角作三角形，培养学生分析与作图能力.教学重点“SAS”的探索及运用，尺规作图：已知两边及其夹角作三角形．教学难点“SAS”的探究过程.教学活动教学步骤师生活动活动一：创设情境，新课导入设计意图设置悬念引起学生思考，为接下来探究三角形全等的判定条件——“SAS”做铺垫.【情境引入】小红到小明家去玩，发现小明正拿着一只玻璃容器苦思冥想，原来他想测量一下它的内径是多少，但是无法将刻度尺伸进去直接测量．小红帮他想出一个办法：把两根长度相等的小木条AB，CD的中点连在一起，木条可以绕中点O自由转动，如下图所示，这样只要测量A，C之间的距离，就可以知道玻璃容器的内径.你想知道为什么吗？经过这节课的学习你就会知道答案了.【教学建议】此问题实际求证BD＝AC，学生可联想到利用全等三角形的性质，而已有两边和夹角分别相等，自然过渡到探讨“SAS”是否可行，顺利衔接新课．这个问题中涉及了转化思想与数学建模思想.活动二：动手操作，探究新知设计意图以“两边一角分别相等”能否保证两个三角形全等切入主题，经历探索三角形全等的判定条件——“SAS”的过程，学会尺规作图：已知两边及其夹角作三角形的方法，并运用“SAS”解题，经历“SSA”无法判定两个三角形全等的探索过程.探究点用“SAS”判定三角形全等在上节课中我们知道用三个条件探索三角形全等共有四种情况——三边分别相等、两边一角分别相等、两角一边分别相等、三角分别相等，并探索了用“SSS”判定三角形全等的过程．这节课我们将继续探索“两边一角分别相等”能否证明两个三角形全等.问题“两边一角分别相等”有几种可能性呢？请举例.答：有两种可能性，如图所示.我们分情况进行讨论.探究先任意画出一个△ABC.再画出一个△A′B′C′，使A′B′＝AB，A′C′＝AC，∠A′＝∠A(即两边和它们的夹角分别相等)．把画好的△A′B′C′剪下来，放到△ABC上，它们全等吗？【教学建议】“探究”中讨论的是两边一角分别相等中的两边及其夹角分别相等的情形．这里对“SAS”的处理与“SSS”类似，先通过作图实验操作，让学生充分经历探究满足两边及其夹角分别相等的两个三角形是否全等的过程，然后总结规律，直接以基本事实的方式给出“SAS”的判定方法．需注意已知两边及其夹角作三角形也是课标要求的重要作图，需要学生掌握作图步骤，作图过程中利用了上节课学到的作一个角等于已知角的基本作图.教学步骤师生活动设计意图问题4揭示图形语言与文字语言之间的联系，使学生经历从现实世界抽象出几何模型的过程，认识三角形的各个基本要素.如图给出了画△A′B′C′的方法．你是这样画的吗？答：上述画法是先画一个角，再画夹这个角的两边．也可以采用先画一边，然后画角，再画另一边的方法，步骤如下：(1)作A′B′＝AB；(2)作∠B′A′E＝∠A；(3)在射线A′E上截取A′C′＝AC；(4)连接B′C′.探究的结果反映了什么规律？由探究可以得到以下基本事实，用它可以判定两个三角形全等：也就是说，三角形的两条边的长度和它们的夹角的大小确定了，这个三角形的形状、大小就确定了.例(教材P38例2)如图，有一池塘，要测池塘两端A，B的距离，可先在平地上取一个点C，从点C不经过池塘可以直接到达点A和B.连接AC并延长到点D，使CD＝CA.连接BC并延长到点E，使CE＝CB.连接DE，那么量出DE的长就是A，B的距离．为什么？分析：如果能证明△ABC≌△DEC，就可以得出AB＝DE.由题意可知，△ABC和△DEC具备“边角边”的条件.∴△ABC≌△DEC(SAS)∴AB＝DE.追问：想一想，∠1＝∠2的根据是什么？AB＝DE的根据是什么？答：∠1＝∠2的根据是对顶角相等，AB＝DE的根据是全等三角形的对应边相等.从例题可以看出：因为全等三角形的对应边相等，对应角相等，所以证明线段相等或角相等时，常常通过证明它们是全等三角形的对应边或对应角来解决.思考如图，把一长一短的两根木棍的一端固定在一起，摆出△ABC.固定住长木棍，转动短木棍，得到△ABD.这个实验说明了什么？图中的△ABC与△ABD满足两边和其中一边的对角分别相等，即AB＝AB，AC＝AD，∠B＝∠B，但△ABC与△ABD不全等．这说明，有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等.【教学建议】例题从实际背景中引申出几何问题——证明两条线段相等．可引导学生观察思考，要证的线段是两个三角形中的两条边，如果能证明两个三角形全等，那么就能利用全等三角形的性质得到线段相等．于是通过例题可以达到三个教学目的，一是让学生学会运用“SAS”解题；二是让学生更透彻地认识到证线段相等或角相等可以利用判定三角形全等的手段(之前的学习中已经提到过)；三是启发学生联想，以另外的实际背景对活动一中的问题进行解释.【教学建议】“思考”以做实验的方式探讨两边和其中一边的对角分别相等能否保证两个三角形全等．教学中也可以画出如左栏图所示的图形，让学生直观地发现结论．这个过程也再次让学生体会到要判断一个命题是假命题，只要举出一个反例．最后是对“两边一角分别相等”能否保证两个三角形全等进行总结性描述.教学步骤师生活动注意：为方便记忆，我们常将上述这种情形简记为“SSA”．与“SSS”或“SAS”不同，“SSA”不可作为判定三角形全等的依据.归纳总结：通过上述探究我们发现：“两边一角分别相等”的两个三角形不一定全等，其中只有“SAS”能作为判定三角形全等的依据.【对应训练】教材P39练习第1～2题.活动三：综合练习，巩固提升设计意图综合考查利用“SAS”判定三角形全等与全等三角形的性质，加深学生对新知的掌握程度.例如图，AC＝DC，E为AB上一点，EC＝BC，并且∠1＝∠2.(1)求证：△ABC≌△DEC；(2)已知∠CEB＝∠B＝75°，求∠3的度数.(1)证明：∵∠1＝∠2，∴∠1＋∠ACE＝∠2＋∠ACE，即∠DCE＝∠ACB.在△ABC和△DEC中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AC＝DC，,∠ACB＝∠DCE，,BC＝EC，))∴△ABC≌△DEC(SAS).(2)解：∵△ABC≌△DEC，∴∠B＝∠DEC＝75°.∴∠3＝180°－∠DEC－∠CEB＝180°－75°－75°＝30°.【对应训练】如图，在四边形ABCD中，BC＝CD，AB＝EC，∠B＝∠DCE＝90°，AC与DE相交于点F.(1)求证：△ABC≌△ECD；(2)判断AC与DE的数量关系与位置关系，并说明理由.(1)证明：在△ABC和△ECD中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AB＝EC，,∠B＝∠DCE，,BC＝CD，))∴△ABC≌△ECD(SAS).(2)解：AC＝DE，AC⊥DE.理由如下：∵△ABC≌△ECD，∴∠BCA＝∠CDE，AC＝ED.∵∠DCE＝90°，∴∠BCA＋∠ACD＝90°，∴∠CDE＋∠ACD＝90°，∴△DCF是直角三角形，∠CFD＝90°，∴AC⊥DE.【教学建议】在证明三角形全等时，所需三个条件可能不会全部直接给出，有时需要根据已知去推得，有时需要发掘隐藏条件(如公共边、公共角、对顶角等)，还可能需多次证全等来获得(不多见)．解答此类题目首先应该捋清思路，当前学情下证全等看到两边分别相等时要想到找两边的夹角(注意不是任意一个角)或找第三边，看到一角及夹角的一边分别相等时要想到找夹角的另一边(注意不是角的对边)．活动四：随堂训练，课堂总结【随堂训练】见《创优作业》“随堂小练”册子相应课时随堂训练.【课堂总结】师生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题：1.什么是“SAS”？你能用“SAS”判定两个三角形全等吗？2.“SSA”一定能判定两个三角形全等吗？你能举例说明吗？3.你能用尺规作图的方法已知两边及其夹角作三角形吗？【知识结构】教学步骤师生活动【作业布置】1.教材P43～45习题12.2第3，10，13题.2.《创优作业》主体本部分相应课时训练.板书设计第2课时用“SAS”判定三角形全等1.基本事实：两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等(“边角边”或“SAS”). 2.尺规作图：已知两边及其夹角作三角形. 3.实际应用：用“SAS”判定三角形全等． 教学反思本节课是探索三角形全等条件的第2课时，是在学习了“SSS”之后展开的．它不仅是下节课探索其他判定三角形全等条件的基础，又为后面探索直角三角形全等的条件提供了很好的模式和方法．因此，本节课的知识具有承前启后的作用，占有相当重要的地位．同时，本节课具有较强的操作性和直观性，有利于学生从直观上积累感性认识，促进学生对新知识的理解和掌握.解题大招一用“SAS”判定三角形全等的实际应用在实际生活中，常常通过说明两个三角形全等，得出对应边相等，对应角相等，从而解决一些实际问题，如把不能直接测量的长度(或角度)“转移”到可以直接测量的位置测量．例1如图是雨伞在开合过程中某时刻的截面图，D，E分别是伞骨AB，AC的中点，DM，EM是连接弹簧M和伞骨的支架，且DM＝EM，在弹簧向上滑动的过程中，∠AMD＝∠AME，试说明AB＝AC.解：在△ADM和△AEM中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(DM＝EM，,∠AMD＝∠AME，,AM＝AM，))∴△ADM≌△AEM(SAS)，∴AD＝AE.∵D，E分别是AB，AC的中点，∴AD＝eq\f(1,2)AB，AE＝eq\f(1,2)AC，∴AB＝AC.解题大招二用倍长中线法构造全等三角形当出现中线，而现有图形中不存在两个全等三角形时，常通过倍长中线法将中线延长一倍，根据“SAS”构造全等三角形，再利用对应边相等去寻求线段间的数量关系．例2在数学课上，老师出示了这样一个问题：“如图①，在△ABC中，AC＝8，BC＝5，D为AB边的中点，求AB边上的中线CD的取值范围．”经过小组合作交流，找到了解决方法——“倍长中线法”．请按照图②所示的思维框图，完成求解过程．解：如图①，延长CD至点E，使DE＝CD，连接AE，则CE＝2CD.∵D为AB边的中点，∴AD＝BD.又∠ADE＝∠BDC，DE＝DC，∴△ADE≌△BDC(SAS)，∴AE＝BC＝5.在△ACE中，AC－AE＜CE＜AC＋AE，∴8－5＜2CD＜8＋5，∴1.5＜CD＜6.5.解题大招三利用“SAS”证三角形全等的“手拉手”模型例3两个大小不同的等腰直角三角板如图①放置，图②是由它抽象出的几何图形，B，C，E三点在同一直线上，连接CD.(1)求证：△ABE≌△ACD；(2)试猜想CD与BE的位置关系，并证明你的结论．(1)证明：∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝90°，∴∠BAC＋∠CAE＝∠DAE＋∠CAE，即∠BAE＝∠CAD.在△ABE和△ACD中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AB＝AC，,∠BAE＝∠CAD，,AE＝AD，))∴△ABE≌△ACD(SAS)．(2)解：CD⊥BE.证明如下：∵△ABE≌△ACD，∴∠B＝∠ACD.∵∠BAC＝90°，∴∠B＋∠ACB＝90°，∴∠ACD＋∠ACB＝90°，即∠BCD＝90°，∴CD⊥BE.培优点用“SAS”判定三角形全等解决动点问题例如图①，在△ABC中，∠A＝∠B，AC＝BC＝20cm，AB＝16cm，D为AC的中点．(1)如果点P在线段AB上以6cm/s的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段BC上由点B向点C运动．①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1s后，△APD与△BQP是否全等？说明理由．②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，设运动时间为ts，当t为何值时，△APD与△BQP全等？求出此时点Q的运动速度．(2)如图②，若点Q以②中的运动速度从点B出发，点P以原来的运动速度从点A同时出发，都按逆时针方向沿△ABC的三边运动，经过多长时间，点P与点Q第一次在△ABC的哪条边上相遇？解：(1)①△APD与△BQP全等．理由：经过1s后，AP＝BQ＝6cm.∵AC＝20cm，D为AC的中点，∴AD＝eq\f(1,2)AC＝10cm.又BP＝AB－AP＝16－6＝10(cm)，∴AD＝BP.又∠A＝∠B，∴△APD≌△BQP(SAS)．②因为vP≠vQ，所以AP≠BQ.又∠A＝∠B，所以要使△APD与△BQP全等，只能AP＝BP＝eq\f(1,2)AB＝8cm，BQ＝AD＝10cm，∴6t＝8，解得t＝eq\f(4,3)，∴点Q的运动速度为10÷eq\f(4,3)