2023学年二轮复习解答题专题三十七：抛物线上翻折问题的探究(原卷版+解析)

2023学年二轮复习解答题专题三十七：抛物线上翻折问题的探究典例分析例1（2022衡阳中考）如图，已知抛物线交轴于、两点，将该抛物线位于轴下方的部分沿轴翻折，其余部分不变，得到的新图象记为“图象”，图象交轴于点．（1）写出图象位于线段上方部分对应的函数关系式；（2）若直线与图象有三个交点，请结合图象，直接写出的值；（3）为轴正半轴上一动点，过点作轴交直线于点，交图象于点，是否存在这样的点，使与相似？若存在，求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．专题过关1.（2022沈阳中考）如图，平面直角坐标系中，O是坐标原点，抛物线经过点和点与x轴另一个交点A．抛物线与y轴交于点C，作直线AD．（1）①求抛物线的函数表达式②并直接写出直线AD的函数表达式．（2）点E是直线AD下方抛物线上一点，连接BE交AD于点F，连接BD，DE，面积记为，的面积记为，当时，求点E的坐标；（3）点G为抛物线的顶点，将抛物线图象中x轴下方部分沿x轴向上翻折，与抛物线剩下部分组成新的曲线为，点C的对应点，点G的对应点，将曲线，沿y轴向下平移n个单位长度（）．曲线与直线BC的公共点中，选两个公共点作点P和点Q，若四边形是平行四边形，直接写出P的坐标．2.（2022西宁中考）如图，抛物线与x轴交于点，与y轴交于点B，点C在直线AB上，过点C作轴于点，将沿CD所在直线翻折，使点A恰好落在抛物线上的点E处．（1）求抛物线解析式；（2）连接BE，求的面积；（3）拋物线上是否存在一点P，使？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由．3.（2022柳州中考）已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（m，0）两点，与y轴交于点C（0，5）．（1）求b，c，m的值；（2）如图1，点D是抛物线上位于对称轴右侧的一个动点，且点D在第一象限内，过点D作x轴的平行线交抛物线于点E，作y轴的平行线交x轴于点G，过点E作EF⊥x轴，垂足为点F，当四边形DEFG的周长最大时，求点D的坐标；（3）如图2，点M是抛物线的顶点，将△MBC沿BC翻折得到△NBC，NB与y轴交于点Q，在对称轴上找一点P，使得△PQB是以QB为直角边的直角三角形，求出所有符合条件的点P的坐标．4.（2022成都中考）如图，在平面直角坐标系中，直线与抛物线相交于，两点（点在点的左侧），点关于轴的对称点为．（1）当时，求，两点的坐标；（2）连接，，，，若的面积与的面积相等，求的值；（3）试探究直线是否经过某一定点．若是，请求出该定点的坐标；若不是，请说明理由．5.（2022宿迁中考）如图，二次函数与轴交于(0，0)，(4，0)两点，顶点为，连接、，若点是线段上一动点，连接，将沿折叠后，点落在点的位置，线段与轴交于点，且点与、点不重合．（1）求二次函数的表达式；（2）①求证：；②求；（3）当时，求直线与二次函数的交点横坐标．6.（2022邵阳中考）如图，已知直线y=2x+2与抛物线y=ax2+bx+c相交于A，B两点，点A在x轴上，点B在y轴上，点C(3，0)在抛物线上．（1）求该抛物线的表达式．（2）正方形OPDE的顶点O为直角坐标系原点，顶点P在线段OC上，顶点E在y轴正半轴上，若△AOB与△DPC全等，求点P的坐标．（3）在条件（2）下，点Q是线段CD上的动点（点Q不与点D重合），将△PQD沿PQ所在的直线翻折得到△PQD'，连接CD'，求线段CD'长度的最小值．7.（2022武威中考）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，点在轴上，且，，分别是线段，上的动点（点，不与点，，重合）．（1）求此抛物线的表达式；（2）连接并延长交抛物线于点，当轴，且时，求的长；（3）连接．①如图2，将沿轴翻折得到，当点在抛物线上时，求点的坐标；②如图3，连接，当时，求的最小值．8.（2021锦州中考）如图1，在平面直角坐标系中，直线y＝x+1分别与x轴、y轴交于点A，C，经过点C的抛物线y＝x2+bx+c与直线y＝x+1的另一个交点为点D，点D的横坐标为6．（1）求抛物线的表达式．（2）M为抛物线上的动点．①N为x轴上一点，当四边形CDMN为平行四边形时，求点M的坐标；②如图2，点M在直线CD下方，直线OM（OM∥CD的情况除外）交直线CD于点B，作直线BD关于直线OM对称的直线BD′，当直线BD′与坐标轴平行时，直接写出点M的横坐标．9.（2021呼伦贝尔中考）如图，直线y＝x+2与抛物线y＝ax2+bx+6（a≠0）相交于点A（，）和点B（4，m）．抛物线与x轴的交点分别为H、K（点H在点K的左侧）．点F在线段AB上运动（不与点A、B重合），过点F作直线FC⊥x轴于点P，交抛物线于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，连接AC，是否存在点F，使△FAC是直角三角形？若存在，求出点F的坐标；若不存在，说明理由；（3）如图2，过点C作CE⊥AB于点E，当△CEF的周长最大时，过点F作任意直线l，把△CEF沿直线l翻折180°，翻折后点C的对应点记为点Q，求出当△CEF的周长最大时，点F的坐标，并直接写出翻折过程中线段KQ的最大值和最小值．10．（2021镇江中考）（11分）将一张三角形纸片ABC放置在如图所示的平面直角坐标系中，点A（﹣6，0），点B（0，2），点C（﹣4，8），二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点A，B，该抛物线的对称轴经过点C，顶点为D．（1）求该二次函数的表达式及点D的坐标；（2）点M在边AC上（异于点A，C），将三角形纸片ABC折叠，使得点A落在直线AB上，且点M落在边BC上，点M的对应点记为点N，折痕所在直线l交抛物线的对称轴于点P，然后将纸片展开．①请作出图中点M的对应点N和折痕所在直线l；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）②连接MP，NP，在下列选项中：A．折痕与AB垂直，B．折痕与MN的交点可以落在抛物线的对称轴上，C.＝，D.＝，所有正确选项的序号是．③点Q在二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象上，当△PDQ∼△PMN时，求点Q的坐标．11．（2021无锡中考）（10分）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，直线y＝﹣x+3与x轴交于点B，与y轴交于点C，二次函数y＝ax2+2x+c的图象过B、C两点，且与x轴交于另一点A，点M为线段OB上的一个动点，过点M作直线l平行于y轴交BC于点F，交二次函数y＝ax2+2x+c的图象于点E．（1）求二次函数的表达式；（2）当以C、E、F为顶点的三角形与△ABC相似时，求线段EF的长度；（3）已知点N是y轴上的点，若点N、F关于直线EC对称，求点N的坐标．12.（2021聊城中考）如图，抛物线y＝ax2＋x＋c与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，已知A，C两点坐标分别是A（1，0），C（0，﹣2），连接AC，BC．（1）求抛物线的表达式和AC所在直线的表达式；（2）将ABC沿BC所在直线折叠，得到DBC，点A的对应点D是否落在抛物线的对称轴上，若点D在对称轴上，请求出点D的坐标；若点D不在对称轴上，请说明理由；（3）若点P是抛物线位于第三象限图象上的一动点，连接AP交BC于点Q，连接BP，BPQ的面积记为S1，ABQ的面积记为S2，求的值最大时点P的坐标．13．（2021营口中考）（14分）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝3x2+bx+c过点A（0，﹣2），B（2，0），点C为第二象限抛物线上一点，连接AB，AC，BC，其中AC与x轴交于点E，且tan∠OBC＝2．（1）求点C坐标；（2）点P（m，0）为线段BE上一动点（P不与B，E重合），过点P作平行于y轴的直线l与△ABC的边分别交于M，N两点，将△BMN沿直线MN翻折得到△B′MN，设四边形B′NBM的面积为S，在点P移动过程中，求S与m的函数关系式；（3）在（2）的条件下，若S＝3S△ACB′，请直接写出所有满足条件的m值．14.（2021锦州中考）如图1，在平面直角坐标系中，直线y＝x+1分别与x轴、y轴交于点A，C，经过点C的抛物线y＝x2+bx+c与直线y＝x+1的另一个交点为点D，点D的横坐标为6．（1）求抛物线的表达式．（2）M为抛物线上的动点．①N为x轴上一点，当四边形CDMN为平行四边形时，求点M的坐标；②如图2，点M在直线CD下方，直线OM（OM∥CD的情况除外）交直线CD于点B，作直线BD关于直线OM对称的直线BD′，当直线BD′与坐标轴平行时，直接写出点M的横坐标．15.（2021益阳中考）已知函数y＝的图象如图所示，点A（x1，y1）在第一象限内的函数图象上．（1）若点B（x2，y2）也在上述函数图象上，满足x2＜x1．①当y2＝y1＝4时，求x1，x2的值；②若|x2|＝|x1|，设w＝y1﹣y2，求w的最小值；（2）过A点作y轴的垂线AP，垂足为P，点P关于x轴的对称点为P′，过A点作x轴的垂线AQ，垂足为Q，Q关于直线AP′的对称点为Q′，直线AQ′是否与y轴交于某定点？若是，求出这个定点的坐标；若不是，请说明理由．2023学年二轮复习解答题专题三十七：抛物线上翻折问题的探究典例分析例1（2022衡阳中考）如图，已知抛物线交轴于、两点，将该抛物线位于轴下方的部分沿轴翻折，其余部分不变，得到的新图象记为“图象”，图象交轴于点．（1）写出图象位于线段上方部分对应的函数关系式；（2）若直线与图象有三个交点，请结合图象，直接写出的值；（3）为轴正半轴上一动点，过点作轴交直线于点，交图象于点，是否存在这样的点，使与相似？若存在，求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）（2）或（3）存在，或或【解析】【分析】（1）先求出点A、B、C坐标，再利用待定系数法求解函数关系式即可；（2）联立方程组，由判别式△=0求得b值，结合图象即可求解；（3）根据相似三角形性质分∠CNM=90°和∠NCM=90°讨论求解即可．【小问1详解】解：由翻折可知：.令，解得：，，∴，，设图象的解析式为，代入，解得，∴对应函数关系式为=．【小问2详解】解：联立方程组，整理，得：，由△=4-4（b-2）=0得：b=3，此时方程有两个相等的实数根，由图象可知，当b=2或b=3时，直线与图象有三个交点；【小问3详解】解：存在．如图1，当时，，此时，N与C关于直线x=对称，∴点N的横坐标为1，∴；如图2，当时，，此时，点纵坐标为2，由，解得，（舍），∴N的横坐标为，所以；如图3，当时，，此时，直线的解析式为，联立方程组：，解得，（舍），∴N的横坐标为，所以，因此，综上所述：点坐标为或或．【点睛】本题考查二次函数的综合，涉及翻折性质、待定系数法求二次函数解析式、二次函数与一次函数的图象交点问题、相似三角形的性质、解一元二次方程等知识，综合体现数形结合思想和分类讨论思想的运用，属于综合题型，有点难度．专题过关1.（2022沈阳中考）如图，平面直角坐标系中，O是坐标原点，抛物线经过点和点与x轴另一个交点A．抛物线与y轴交于点C，作直线AD．（1）①求抛物线的函数表达式②并直接写出直线AD的函数表达式．（2）点E是直线AD下方抛物线上一点，连接BE交AD于点F，连接BD，DE，面积记为，的面积记为，当时，求点E的坐标；（3）点G为抛物线的顶点，将抛物线图象中x轴下方部分沿x轴向上翻折，与抛物线剩下部分组成新的曲线为，点C的对应点，点G的对应点，将曲线，沿y轴向下平移n个单位长度（）．曲线与直线BC的公共点中，选两个公共点作点P和点Q，若四边形是平行四边形，直接写出P的坐标．【答案】（1）①；②（2）（2，-4）（3）【解析】【分析】（1）①利用待定系数解答，即可求解；②利用待定系数解答，即可求解；（2）过点E作EG⊥x轴交AD于点G，过点B作BH⊥x轴交AD于点H，设点，则点，可得，然后根据△EFG∽△BFH，即可求解；（3）先求出向上翻折部分的图象解析式为，可得向上翻折部分平移后的函数解析式为，平移后抛物线剩下部分的解析式为，分别求出直线BC和直线的解析式为，可得BC∥C′G′，再根据平行四边形的性质可得点，然后分三种情况讨论：当点P，Q均在向上翻折部分平移后的图象上时；当点P在向上翻折部分平移后的图象上，点Q在平移后抛物线剩下部分的图象上时；当点P在平移后抛物线剩下部分的图象上，点Q在向上翻折部分平移后的图象上时，即可求解．【小问1详解】解：①把点和点代入得：，解得：，∴抛物线解析式为；②令y=0，则，解得：，∴点A（-2，0），设直线AD的解析式为，∴把点和点A（-2，0）代入得：，解得：，∴直线AD的解析式为；【小问2详解】解：如图，过点E作EG⊥x轴交AD于点G，过点B作BH⊥x轴交AD于点H，当x=6时，，∴点H（6，-4），即BH=4，设点，则点，∴，∵的面积记为，的面积记为，且，∴BF=2EF，∵EG⊥x，BH⊥x轴，∴△EFG∽△BFH，∴，∴，解得：或0（舍去），∴点E的坐标为（2，-4）；【小问3详解】解：，∴点G的坐标为（2，-4），当x=0时，y=-3，即点C（0，-3），∴点，∴向上翻折部分的图象解析式为，∴向上翻折部分平移后的函数解析式为，平移后抛物线剩下部分的解析式为，设直线BC的解析式为，把点B（6，0），C（0，-3）代入得：，解得：，∴直线BC的解析式为，同理直线的解析式为，∴BC∥C′G′，设点P的坐标为，∵点，∴点C′向右平移2个单位，再向上平移1个单位得到点G′，∵四边形是平行四边形，∴点，当点P，Q均在向上翻折部分平移后的图象上时，，解得：（不合题意，舍去），当点P在向上翻折部分平移后的图象上，点Q在平移后抛物线剩下部分的图象上时，，解得：或（不合题意，舍去），当点P在平移后抛物线剩下部分的图象上，点Q在向上翻折部分平移后的图象上时，，解得：或（不合题意，舍去），综上所述，点P的坐标为．【点睛】本题主要考查了二次函数的综合题，熟练掌握二次函数的图象和性质，平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，并利用数形结合思想解答是解题的关键．2.（2022西宁中考）如图，抛物线与x轴交于点，与y轴交于点B，点C在直线AB上，过点C作轴于点，将沿CD所在直线翻折，使点A恰好落在抛物线上的点E处．（1）求抛物线解析式；（2）连接BE，求的面积；（3）拋物线上是否存在一点P，使？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）（2）2（3）存在，或【解析】【分析】（1）先根据翻折得到E点坐标，然后结合运用待定系数法求解即可；（2）先确定点B的坐标，然后确定直线AB的解析式，进而确定、、，最后根据结合三角形的面积公式即可解答；（3）先说明是等腰直角三角形，设点P坐标为，然后分点P在x轴上方和下方两种情况分别解答即可．【小问1详解】解：∵沿CD所在直线翻折，点A落在点E处∴把A，E两点坐标代入得，解得∴抛物线的解析式为．【小问2详解】解：∵抛物线与y轴交于点B∴令时，∴设直线AB的解析式为把A，B两点坐标代入得解得∴直线AB的解析式为；∴点C在直线AB上轴于点当时∴∴∴，，∴∴的面积是2．【小问3详解】解：存在，理由如下：∵，∴在中∴是等腰直角三角形∵点P在抛物线上∴设点P的坐标为①当点P在x轴上方时记为，过作轴于点M在中∵∴即解得（舍去）当时∴②当点P在x轴下方时记为，过作轴于点N在中∴∴∴解得（舍去）当时∴综上，符合条件的P点坐标是或．【点睛】本题属于二次函数综合题，涉及求二次函数的性质、二次函数解析式、二次函数与几何图形综合等知识点，灵活运用二次函数的性质以及其与几何知识的联系是解答本题的关键．3.（2022柳州中考）已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（m，0）两点，与y轴交于点C（0，5）．（1）求b，c，m的值；（2）如图1，点D是抛物线上位于对称轴右侧的一个动点，且点D在第一象限内，过点D作x轴的平行线交抛物线于点E，作y轴的平行线交x轴于点G，过点E作EF⊥x轴，垂足为点F，当四边形DEFG的周长最大时，求点D的坐标；（3）如图2，点M是抛物线的顶点，将△MBC沿BC翻折得到△NBC，NB与y轴交于点Q，在对称轴上找一点P，使得△PQB是以QB为直角边的直角三角形，求出所有符合条件的点P的坐标．【答案】（1）b=4，c=5，m=5（2）当四边形DEFG的周长最大时，点D的坐标为（3，8）（3）所有符合条件的点P的坐标为（2，），（2，﹣9）【解析】【分析】（1）把A（﹣1，0），C（0，5）代入y＝﹣x2+bx+c，利用待定系数法求解b，c即可，再令y=0，再解方程求解m即可；（2）先求解抛物线的对称轴为x＝2，设D（x，﹣x2+4x+5），则E（4﹣x，﹣x2+4x+5），证明四边形DEFG是矩形，而可得四边形DEFG的周长＝2（﹣x2+4x+5）+2（2x﹣4）＝﹣2x2+12x+2＝﹣2（x﹣3）2+20，再利用二次函数的性质可得答案；（3）过点C作CH⊥对称轴于H，过点N作NK⊥y轴于K，证明△MCH≌△NCK（AAS），再求解N（﹣4，3），求解直线的解析式为：可得设P（2，p），再利用勾股定理表示BP2＝，再分两种情况建立方程求解即可．【小问1详解】把A（﹣1，0），C（0，5）代入y＝﹣x2+bx+c，，解得：∴这个抛物线的解析式为：y＝﹣x2+4x+5，令y＝0，则﹣x2+4x+5＝0，解得x1＝5，x2＝﹣1，∴B（5，0），∴m＝5；【小问2详解】∵抛物线的解析式为：y＝﹣x2+4x+5＝﹣（x﹣2）2+9，∴对称轴为x＝2，设D（x，﹣x2+4x+5），∵轴，∴E（4﹣x，﹣x2+4x+5），∵过点D作x轴的平行线交抛物线于点E，作y轴的平行线交x轴于点G，过点E作EF⊥x轴，∴四边形DEFG是矩形，∴∴四边形DEFG的周长＝2（﹣x2+4x+5）+2（2x﹣4）＝﹣2x2+12x+2＝﹣2（x﹣3）2+20，∴当x＝3时，四边形DEFG的周长最大，∴当四边形DEFG的周长最大时，点D的坐标为（3，8）；【小问3详解】过点C作CH⊥对称轴于H，过点N作NK⊥y轴于K，∴∠NKC＝∠MHC＝90°，由翻折得CN＝CM，∠BCN＝∠BCM，∵B（5，0），C（0，5）．∴OB＝OC，∴∠OCB＝∠OBC＝45°，∵CH⊥对称轴于H，∴轴，∴∠BCH＝45°，∴∠BCH＝∠OCB，∴∠NCK＝∠MCH，∴△MCH≌△NCK（AAS），∴NK＝MH，CK＝CH，∵抛物线的解析式为：y＝﹣x2+4x+5＝﹣（x﹣2）2+9，∴对称轴为x＝2，M（2，9），∴MH＝9﹣5＝4，CH＝2，∴NK＝MH＝4，CK＝CH＝2，∴N（﹣4，3），设直线BN的解析式为y＝mx+n，∴解得：∴直线的解析式为：∴设P（2，p），∴BP2＝，分两种情况：①当∠BQP＝90°时，BP2＝PQ2+BQ2，∴解得：∴②当∠QBP＝90°时，P′Q2＝BP′2+BQ2，∴解得：∴点P′的坐标为（2，﹣9）．综上，所有符合条件的点P的坐标为或．【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解二次函数的解析式，二次函数与坐标轴的交点坐标问题，二次函数的性质，对称轴的性质，二次函数与直角三角形，勾股定理的应用，清晰的分类讨论是解本题的关键．4.（2022成都中考）如图，在平面直角坐标系中，直线与抛物线相交于，两点（点在点的左侧），点关于轴的对称点为．（1）当时，求，两点的坐标；（2）连接，，，，若的面积与的面积相等，求的值；（3）试探究直线是否经过某一定点．若是，请求出该定点的坐标；若不是，请说明理由．【答案】（1）点的坐标为，点的坐标为（2）或（3）是，【解析】【分析】(1)解方程组，整理得到，解方程即可得到答案．(2)分k＜0和k＞0，两种情形求解．(3)设直线A的解析式为y=px+q，根据题意求得p，q的值，结合方程组的意义，确定与y轴的交点即可．【小问1详解】根据题意，得，整理得到，解方程，得，当x=-3时，y=-9；当x=1时，y=-1；∵点在点的左侧，∴点的坐标为（-3，-9），点的坐标为（1，-1）．【小问2详解】∵A，B是抛物线图像上的点，设A（m，），B（n，），则（-n，），当k＞0时，根据题意，得，整理得到，∴m，n是两个根，∴，设直线y=kx-3与y轴的交点为D，则点D（0，-3）∴，，∴==，∴3==，∴，∵n≠0，∴，，∴，解得k=或k=-(舍去)，故k=；当k＜0时，根据题意，得，整理得到，∴m，n是的两个根，∴，设直线y=kx-3与y轴的交点为D，则点D（0，-3）∴，，∴==，∴3==-，∴-，∵n≠0，∴，，∴，解得k=-或k=(舍去)，故k=-；综上所述，k的值为或．【小问3详解】直线A一定过定点（0，3）．理由如下：∵A，B是抛物线图像上的点，∴设A（m，），B（n，），则（-n，），根据题意，得，整理得到，∴m，n是的两个根，∴，设直线A的解析式为y=px+q，根据题意，得，解得，∴直线A的解析式为y=（n-m）x-mn，∵mn=-3，∴-mn=3，∴直线A的解析式为y=（n-m）x+3，故直线A一定过定点（0，3）．【点睛】本题考查了抛物线与一次函数的交点问题，待定系数法，一元二次方程根与系数关系定理，对称性，熟练掌握抛物线与一次函数的交点，及其根与系数关系定理是解题的关键．5.（2022宿迁中考）如图，二次函数与轴交于(0，0)，(4，0)两点，顶点为，连接、，若点是线段上一动点，连接，将沿折叠后，点落在点的位置，线段与轴交于点，且点与、点不重合．（1）求二次函数的表达式；（2）①求证：；②求；（3）当时，求直线与二次函数的交点横坐标．【答案】（1）（2）①证明见解析，②（3）或．【解析】【分析】（1）二次函数与轴交于(0，0)，A(4，0)两点，代入求得b，c的值，即可得到二次函数的表达式；（2）①由＝，得到顶点C的坐标是（2，﹣2），抛物线和对称轴为直线x＝2，由抛物线的对称性可知OC＝AC，得到∠CAB＝∠COD，由折叠的性质得到△ABC≌△BC，得∠CAB＝∠，AB＝B，进一步得到∠COD＝∠，由对顶角相等得∠ODC＝∠BD，证得结论；②由，得到，设点D的坐标为（d，0），由两点间距离公式得DC＝，在0＜d＜4的范围内，当d＝2时，DC有最小值为，得到的最小值，进一步得到的最小值；（3）由和得到，求得B＝AB＝1，进一步得到点B的坐标是（3，0），设直线BC的解析式为y＝x＋，把点B（3，0），C（2，﹣2）代人求出直线BC的解析式为y＝2x－6，设点的坐标是（p，q），则线段A的中点为（，），由折叠的性质知点（，）在直线BC上，求得q＝2p－4，由两点间距离公式得B＝，解得p＝2或p＝，求得点的坐标，设直线的解析式为y＝x＋，由待定系数法求得直线的解析式为y＝x＋4，联立直线和抛物线，解方程组即可得到答案．【小问1详解】解：∵二次函数与轴交于(0，0)，(4，0)两点，∴代入(0，0)，(4，0)得，，解得：，∴二次函数的表达式为；【小问2详解】①证明：∵＝，∴顶点C的坐标是（2，﹣2），抛物线的对称轴为直线x＝2，∵二次函数与轴交于(0，0)，(4，0)两点，∴由抛物线的对称性可知OC＝AC，∴∠CAB＝∠COD，∵沿折叠后，点落在点的位置，线段与轴交于点，∴△ABC≌△BC，∴∠CAB＝∠，AB＝B，∴∠COD＝∠，∵∠ODC＝∠BD，∴；②∵，∴，设点D的坐标为（d，0），由两点间距离公式得DC＝，∵点与、点不重合，∴0＜d＜4，对于＝来说，∵a＝1＞0，∴抛物线开口向上，在顶点处取最小值，当d＝2时，的最小值是4，∴当d＝2时，DC有最小值为，由两点间距离公式得OC＝，∴有最小值为，∴的最小值为；【小问3详解】解：∵，∴，∵，∴，∵OC＝2，∴B＝AB＝1，∴点B的坐标是（3，0），设直线BC的解析式为y＝x＋，把点B（3，0），C（2，﹣2）代人得，解得，∴直线BC的解析式为y＝2x－6，设点的坐标是（p，q），∴线段A的中点为（，），由折叠的性质知点（，）在直线BC上，∴＝2×－6，解得q＝2p－4，由两点间距离公式得B＝，整理得＝1，解得p＝2或p＝，当p＝2时，q＝2p－4＝0，此时点（2，0），很显然不符合题意，当p＝时，q＝2p－4＝，此时点（，），符合题意，设直线的解析式为y＝x＋，把点B（3，0），（，）代人得，，解得，∴直线的解析式为y＝x＋4，联立直线和抛物线得到，，解得，，∴直线与二次函数的交点横坐标为或．【点睛】此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数求函数的表达式、两点间距离公式、相似三角形的判定和性质、中点坐标公式、一次函数的图象和性质、二次函数的图象和性质、图形的折叠等知识，难度较大，属于中考压轴题，数形结合是解决此问题的关键．6.（2022邵阳中考）如图，已知直线y=2x+2与抛物线y=ax2+bx+c相交于A，B两点，点A在x轴上，点B在y轴上，点C(3，0)在抛物线上．（1）求该抛物线的表达式．（2）正方形OPDE的顶点O为直角坐标系原点，顶点P在线段OC上，顶点E在y轴正半轴上，若△AOB与△DPC全等，求点P的坐标．（3）在条件（2）下，点Q是线段CD上的动点（点Q不与点D重合），将△PQD沿PQ所在的直线翻折得到△PQD'，连接CD'，求线段CD'长度的最小值．【答案】（1）该抛物线的表达式为y=x2+x+2；（2）点P的坐标为(1，0)或(2，0)；（3）线段CD'长度的最小值为1．【解析】【分析】（1）先求得点A(-1，0)，点B(0，2)，利用待定系数法即可求解；（2）分两种情况讨论：△AOB≌△DPC和△AOB≌△CPD，利用全等三角形的性质求解即可；（3）按照（2）的结论，分两种情况讨论，当P、D'、C三点共线时，线段CD'长度取得最小值，据此求解即可．【小问1详解】解：令x=0，则y=2x+2=2，令y=0，则0=2x+2，解得x=-1，点A(-1，0)，点B(0，2)，把A(-1，0)，B(0，2)，C(3，0)代入y=ax2+bx+c，得，解得，∴该抛物线的表达式为y=x2+x+2；【小问2详解】解：若△AOB和△DPC全等，且∠AOB=∠DPC=90°，分两种情况：①△AOB≌△DPC，则AO=PD=1，OB=PC=2，∵OC=3，∴OP=3-2=1，∴点P的坐标为(1，0)；②△AOB≌△CPD，则OB=PD=2，∴正方形OPDE的边长为2，∴点P的坐标为(2，0)；综上，点P的坐标为(1，0)或(2，0)；【小问3详解】解：①点P的坐标为(1，0)时，∵△PQD'与△PQD关于PQ对称，∴PD'=PD，∴点D'在以点P为圆心，1为半径的圆上运动，当P、D'、C三点共线时，线段CD'长度取得最小值，最小值为2-1=1；②点P的坐标为(2，0)时，∵△PQD'与△PQD关于PQ对称，∴PD'=PD，∴点D'在以点P为圆心，2为半径的圆上运动，当P、C、D'三点共线时，线段CD'长度取得最小值，最小值为2-1=1；综上，线段CD'长度的最小值为1．【点睛】此题主要考查了二次函数的综合应用，全等三角形的判定与性质以及待定系数法求二次函数解析式，正方形的性质的应用，点和圆的位置关系，解题的关键是正确进行分类讨论．7.（2022武威中考）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，点在轴上，且，，分别是线段，上的动点（点，不与点，，重合）．（1）求此抛物线的表达式；（2）连接并延长交抛物线于点，当轴，且时，求的长；（3）连接．①如图2，将沿轴翻折得到，当点在抛物线上时，求点的坐标；②如图3，连接，当时，求的最小值．【答案】（1）（2）（3）①；②【解析】【分析】（1）把点B代入抛物线关系式，求出a的值，即可得出抛物线的关系式；（2）根据抛物线可求出点A的坐标，点C的坐标，根据，利用三角函数，求出DE的长，再求出点E的坐标，根据点P与点E的横坐标相同，得出点P的横坐标，代入抛物线的关系式，求出点P的纵坐标，即可得出EP的值，最后求出DP的值即可；（3）①连接交于点，设，则，求出，得出点，将其代入抛物线关系式，列出关于a的方程，解方程，求出a的值，即可得出G的坐标；②在下方作且，连接，，证明，得出，说明当，，三点共线时，最小，最小为，过作，垂足为，先证明∠CAH=45°，算出AC长度，即可求出CH、AH，得出HQ，最后根据勾股定理求出CQ的长度即可得出结果．【小问1详解】解：∵在抛物线上，∴，解得，∴，即；【小问2详解】在中，令，得，，∴，，∵，∴，∵，∴，，∴，∵轴，∴，∴，∴，∴．【小问3详解】①连接交于点，如图1所示：∵与关于轴对称，∴，，设，则，，∴，∵点在抛物线上，∴，解得（舍去），，∴；②在下方作且，连接，，如图2所示：∵，∴，∴，∴当，，三点共线时，最小，最小为，过作，垂足为，∵，，∴，，∵，，，，∴，即的最小值为．【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用，待定系数法求抛物线的关系式，全等三角形的判定和性质，解直角三角形，三角函数的定义，作出辅助线，证明，得出当，，三点共线时，最小，是解题的关键．8.（2021锦州中考）如图1，在平面直角坐标系中，直线y＝x+1分别与x轴、y轴交于点A，C，经过点C的抛物线y＝x2+bx+c与直线y＝x+1的另一个交点为点D，点D的横坐标为6．（1）求抛物线的表达式．（2）M为抛物线上的动点．①N为x轴上一点，当四边形CDMN为平行四边形时，求点M的坐标；②如图2，点M在直线CD下方，直线OM（OM∥CD的情况除外）交直线CD于点B，作直线BD关于直线OM对称的直线BD′，当直线BD′与坐标轴平行时，直接写出点M的横坐标．【考点】二次函数综合题．【专题】数形结合；分类讨论；平移、旋转与对称；几何直观；运算能力；模型思想．【答案】（1）抛物线的表达式为：y＝；（2）①点M的坐标为（，）或（，）；②点M的横坐标为3或或．【分析】（1）先由直线解析式求出A，C，D的坐标，再由C，D坐标求出抛物线解析式；（2）①因为直线BD′与坐标轴平行，所以BD′∥x轴和BD′∥y轴分类讨论，以BD′∥x轴为例，画出草图，由于BM平分∠DBD′，又∠AOB＝∠D′BM，等量代换，可以证得△AOB是等腰三角形，求出AB的长度，并且有A和D点坐标，求出∠DAO的三角函数值，过B作BH⊥x轴于H，在直角△ABH中，利用AB的长度，和∠BAH的三角函数值，求出AH和BH的长度，得到B点坐标，进一步得到直线OB的解析式，联立直线OB和抛物线解析式，求得交点M点坐标，当BD′∥y轴，用同样的方法解决．【解答】解：（1）令x＝0，则y＝x+1＝1，∴C点坐标为（0，1），令y＝0，则，①∴，∴A点坐标为（，0），令x＝6，则y＝，∴D点坐标为（），将C，D两点坐标代入到抛物线解析式中得，，解得，∴抛物线的表达式为：y＝；（2）①设N（n，0），∵四边形CDMN为平行四边形，∴由平移与坐标关系可得M（n+6，），∵点M在抛物线上，∴，∴n2+9n﹣4＝0，∴，∴点M的坐标为（，）或（，）；②第一种情况：如图1，当BD′∥x轴时，分别过A，D作x轴的垂线，垂足分别为H，Q，在直角△ADQ中，AQ＝6+＝，DQ＝，∴tan∠DAQ＝＝，∴cos∠DAQ＝，∵∠BAH＝∠DAQ，∴cos∠BAH＝，∵直线BD与直线BD′关于直线OM对称，∴∠DBM＝∠D′BM，∵BD′∥x轴，∴∠HOB＝∠D′BM＝∠DBM，∴AB＝AO＝，∴，∴AH＝，∴OH＝AH+AO＝令x＝﹣，则y＝＝，∴B点坐标为（﹣，﹣），设直线OB的解析式为y＝kx，代入点B得，k＝，∴直线OB的解析式为y＝x，联立，解得，，∴点M的横坐标为3或，第二种情况，如图2，当BD′∥y轴时，设BD′交x轴于H，∴∠COB＝∠OBH，∵直线BD与直线BD′关于直线OM对称，∴∠CBO＝∠OBH＝∠COB，∴CB＝CO＝1，过C作CE⊥BH于E，∴CE∥x轴，∴∠BCE＝∠CAO，∵tan∠CAO＝＝，∴cos∠CAO＝，∴cos∠BCE＝＝，∴CE＝＝，∴＝，∵CE⊥BH，BH⊥x轴，∴∠CEH＝∠BHO＝∠COH＝90°，∴四边形CEHO为矩形，∴EH＝CO＝1，CE＝OH＝，∴BH＝BE+EH＝，∴点B的坐标为（），∴直线OB的解析式为y＝2x，联立，化简得，x211x+4＝0，∴，∵点M在直线CD下方，∴x＜6，∴x＝，∴点M的横坐标为，即点M的横坐标为3或或．9.（2021呼伦贝尔中考）如图，直线y＝x+2与抛物线y＝ax2+bx+6（a≠0）相交于点A（，）和点B（4，m）．抛物线与x轴的交点分别为H、K（点H在点K的左侧）．点F在线段AB上运动（不与点A、B重合），过点F作直线FC⊥x轴于点P，交抛物线于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，连接AC，是否存在点F，使△FAC是直角三角形？若存在，求出点F的坐标；若不存在，说明理由；（3）如图2，过点C作CE⊥AB于点E，当△CEF的周长最大时，过点F作任意直线l，把△CEF沿直线l翻折180°，翻折后点C的对应点记为点Q，求出当△CEF的周长最大时，点F的坐标，并直接写出翻折过程中线段KQ的最大值和最小值．【考点】二次函数综合题．【专题】二次函数的应用；推理能力．【答案】（1）；（2）存在点F（3，5）或（，）；（3）当时，CF最大即△FEC的周长最大，此时F点坐标为，折叠过程中，KQ的最大值为，KQ的最小值为．【分析】（1）先把点B代入直线的解析式，求出m的值，再把点A和点B代入抛物线的解析式，即可求出抛物线的解析式；（2）先设出F的坐标，然后分A为直角顶点和C为直角顶点两种情况，利用等腰直角三角形得性质即可求出点F的坐标；（3）先设出点C的坐标，再设出点F的坐标，然后表示出三角形CEF的周长，求出周长取最大值时点C和F的坐标即可，折叠过程中，当K，F，Q共线，且K和Q在F两侧时，KQ的最大，K和Q在F同侧时，KQ的最小．【解答】解：（1）∵直线y＝x+2过点B（4，m），∴m＝4+2，解得m＝6，∴B（4，6），把点A和B代入抛物线的解析式，得：，解得，∴抛物线的解析式为；（2）存在点F，使△FAC为直角三角形，设F（n，n+2），直线AB与x轴交与M，则M（﹣2，0），直线AB与y轴交与点N，则N（0，2），∵FC∥y轴，∴C（n，2n2﹣8n+6），∵直线y＝x+2与x轴的交点为M（﹣2，0），与y轴交点为N（0，2），∴OM＝ON＝2，∴∠ONM＝45°，∵FC∥y轴，∴∠AFC＝∠ONM＝45°，若△FAC为直角三角形，则分两种情况讨论：（i）若点A为直角顶点，即∠FAC＝90°，过点A作AD⊥FC于点D，在Rt△FAC中，∵∠AFC＝45°，∴AF＝AC，∴DF＝DC，∴AD＝FC，∵n＝，化简得：2n2﹣7n+3＝0，解得：n1＝3，（与A重合舍去），∴F（3，5），（ii）若点C为直角顶点，即∠FCA＝90°，则AC∥x轴，在Rt△FAC中，∵∠AFC＝45°，∴AC＝CF，∴n＝（n+2）﹣（2n2﹣8n+6，化简得：4n2﹣16n+7＝0，解得：，（舍去），∴F（，），综上所述：存在点F（3，5）或（，），使△FAC为直角三角形；（3）设F（c，c+2），∵FC∥y轴，∴C（c，2c2﹣8c+6），在Rt△FEC中，∵∠AFC＝45∴EF＝EC＝CF•sin∠AFC＝，∴当CF最大时，△FEC的周长最大，∵CF＝（c+2）﹣（2c2﹣8c+6）＝﹣2c2+9c﹣4＝，又∵﹣2＜0，∴当时，CF最大即△FEC的周长最大，此时F点坐标为，折叠过程中，当K，F，Q共线，且K和Q在F两侧时，KQ的最大，K和Q在F同侧时，KQ的最小，∵CF＝，由（1）知点K的坐标为（3，0），∴KF＝，∴KQ的最大值为CF+KF＝，KQ的最小值为CF﹣KF＝．10．（2021镇江中考）（11分）将一张三角形纸片ABC放置在如图所示的平面直角坐标系中，点A（﹣6，0），点B（0，2），点C（﹣4，8），二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点A，B，该抛物线的对称轴经过点C，顶点为D．（1）求该二次函数的表达式及点D的坐标；（2）点M在边AC上（异于点A，C），将三角形纸片ABC折叠，使得点A落在直线AB上，且点M落在边BC上，点M的对应点记为点N，折痕所在直线l交抛物线的对称轴于点P，然后将纸片展开．①请作出图中点M的对应点N和折痕所在直线l；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）②连接MP，NP，在下列选项中：A．折痕与AB垂直，B．折痕与MN的交点可以落在抛物线的对称轴上，C.＝，D.＝，所有正确选项的序号是．③点Q在二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象上，当△PDQ∼△PMN时，求点Q的坐标．【分析】（1）利用待定系数法求解即可．（2）①根据要求作出图形即可．②如图2中，设线段MN的垂直平分线交抛物线对称轴于P，交MN于点Q，很高点M作MH⊥CD，过点Q作QJ⊥CD于J，QT⊥MH于T．想办法证明△PMN是等腰直角三角形，可得结论．③设P（﹣4，m）．由△PDQ∽△PMN，△PMN是等腰直角三角形，推出△PDQ是等腰直角三角形，推出∠DPQ＝90°，DP＝PQ＝m+，推出Q（﹣+m，m），构建方程求出m即可．【解答】解（1）由题意得：，解之得：a＝，b＝，c＝2，∴y＝+，∴当x＝﹣4时，y＝＝﹣，∴D（﹣4，﹣）．（2）①如图1中，点N，直线l即为所求．②如图2中，设线段MN的垂直平分线交抛物线对称轴于P，交MN于点Q，很高点M作MH⊥CD，过点Q作QJ⊥CD于J，QT⊥MH于T．由题意A（﹣6，0），B（0，2），C（﹣4，8），∴直线AC的解析式为y＝4x+24，直线AB的解析式为y＝x+2，直线BC的解析式为y＝﹣x+2，∵MN∥AB，∴可以假设直线MN的解析式为y＝x+t，由，解得，∴M（，），由．解得，∴N（，），∴Q（（，），∵QJ⊥CD，QT⊥MH，∴QJ＝+4＝，QT＝﹣＝，∴QJ＝QT，∵∠PJQ＝∠MTQ＝90°，∠QPJ＝∠QMT，QJ＝QT，∴△PJQ≌△MTQ（AAS），∴PQ＝MQ，∵∠PQM＝90°，∴∠PMN＝∠MPQ＝45°，∵PM＝PN，∴∠PMN＝∠PNM＝45°，∴∠MPN＝90°，∴△PMN是等腰直角三角形，∴＝，故选项D正确，B，C错误，∵将三角形纸片ABC折叠，使得点A落在直线AB上，且点M落在边BC上，∴折痕与AB垂直，故选项A正确，故答案为：A，D．③设P（﹣4，m）．∵△PDQ∽△PMN，△PMN是等腰直角三角形，∴△PDQ是等腰直角三角形，∴∠DPQ＝90°，DP＝PQ＝m+，∴Q（﹣4+m+，m），即Q（﹣+m，m），把Q的坐标代入y＝+，得到，m＝（﹣+m）2+（﹣+m）+2，整理得，9m2﹣42m﹣32＝0，解得m＝或﹣（舍弃），∴Q（2，），根据对称性可知Q′（﹣10，）也满足条件，综上所述，满足条件的点Q的坐标为（2，）或（﹣10，）．11．（2021无锡中考）（10分）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，直线y＝﹣x+3与x轴交于点B，与y轴交于点C，二次函数y＝ax2+2x+c的图象过B、C两点，且与x轴交于另一点A，点M为线段OB上的一个动点，过点M作直线l平行于y轴交BC于点F，交二次函数y＝ax2+2x+c的图象于点E．（1）求二次函数的表达式；（2）当以C、E、F为顶点的三角形与△ABC相似时，求线段EF的长度；（3）已知点N是y轴上的点，若点N、F关于直线EC对称，求点N的坐标．【分析】（1）由y＝﹣x+3得B（3，0），C（0，3），代入y＝ax2+2x+c即得二次函数的表达式为y＝﹣x2+2x+3；（2）由y＝﹣x2+2x+3得A（﹣1，0），OB＝OC，AB＝4，BC＝3，故∠ABC＝∠MFB＝∠CFE＝45°，以C、E、F为顶点的三角形与△ABC相似，B和F为对应点，设E（m，﹣m2+2m+3），则F（m，﹣m+3），EF＝﹣m2+3m，CF＝m，①△ABC∽△CFE时，＝，可得EF＝，②△ABC∽△EFC时，＝，可得EF＝；（3）连接NE，由点N、F关于直线EC对称，可得CF＝EF＝CN，故﹣m2+3m＝m，解得m＝0（舍去）或m＝3﹣，即得CN＝CF＝m＝3﹣2，N（0，3+1）．【解答】解：（1）在y＝﹣x+3中，令x＝0得y＝3，令y＝0得x＝3，∴B（3，0），C（0，3），把B（3，0），C（0，3）代入y＝ax2+2x+c得：，解得，∴二次函数的表达式为y＝﹣x2+2x+3；（2）如图：在y＝﹣x2+2x+3中，令y＝0得x＝3或x＝﹣1，∴A（﹣1，0），∵B（3，0），C（0，3），∴OB＝OC，AB＝4，BC＝3，∴∠ABC＝∠MFB＝∠CFE＝45°，∴以C、E、F为顶点的三角形与△ABC相似，B和F为对应点，设E（m，﹣m2+2m+3），则F（m，﹣m+3），∴EF＝（﹣m2+2m+3）﹣（﹣m+3）＝﹣m2+3m，CF＝＝m，①△ABC∽△CFE时，＝，∴＝，解得m＝或m＝0（舍去），∴EF＝，②△ABC∽△EFC时，＝，∴＝，解得m＝0（舍去）或m＝，∴EF＝，综上所述，EF＝或．（3）连接NE，如图：∵点N、F关于直线EC对称，∴∠NCE＝∠FCE，CF＝CN，∵EF∥y轴，∴∠NCE＝∠CEF，∴∠FCE＝∠CEF，∴CF＝EF＝CN，由（2）知：设E（m，﹣m2+2m+3），则F（m，﹣m+3），EF＝（﹣m2+2m+3）﹣（﹣m+3）＝﹣m2+3m，CF＝＝m，∴﹣m2+3m＝m，解得m＝0（舍去）或m＝3﹣，∴CN＝CF＝m＝3﹣2，∴N（0，3+1）．12.（2021聊城中考）如图，抛物线y＝ax2＋x＋c与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，已知A，C两点坐标分别是A（1，0），C（0，﹣2），连接AC，BC．（1）求抛物线的表达式和AC所在直线的表达式；（2）将ABC沿BC所在直线折叠，得到DBC，点A的对应点D是否落在抛物线的对称轴上，若点D在对称轴上，请求出点D的坐标；若点D不在对称轴上，请说明理由；（3）若点P是抛物线位于第三象限图象上的一动点，连接AP交BC于点Q，连接BP，BPQ的面积记为S1，ABQ的面积记为S2，求的值最大时点P的坐标．【答案】（1）；；（2）点D不在抛物线的对称轴上，理由见解析；（3）点P坐标为（－2，－3）【解析】【分析】（1）利用待定系数法求解即可；（2）先求出点B坐标，再结合点A、C坐标利用相似三角形的判定及性质可证得，延长AC到点D，使DC＝AC，过点D作DEy轴，垂足为点E，由此可得，进而可求得点D的横坐标为－1，最后根据抛物线的对称轴是直线即可判断出点B不在对称轴上；（3）先利用待定系数法求出直线BC的函数表达式，然后过点A作x轴的垂线交BC的延长线于点M，则点M坐标为，过点P作x轴的垂线交BC于点N，垂足为点H，设点P坐标为，则点N坐标为，根据相似三角形的判定及性质可得，由此可得答案．【详解】解；（1）∵抛物线过A（1，0），C（0，﹣2），∴，解得：，∴抛物线的表达式为．设AC所在直线的表达式为，∴，解得，∴AC所在直线的表达式为；（2）点D不在抛物线的对称轴上，理由是∶∵抛物线的表达式是，∴令y＝0，则，解得，，∴点B坐标为（－4，0）．，，∴．又∴．∴．∴，∴．∴将△ABC沿BC折叠，点A的对应点D一定在直线AC上．如下图，延长AC到点D，使DC＝AC，过点D作DEy轴，垂足为点E．又∵，∴，∴DE＝OA＝1，∴点D的横坐标为－1，∵抛物线的对称轴是直线，∴点D不在抛物线的对称轴上；（3）设过点B，C的直线表达式为，∵点C坐标是（0，－2），点B坐标是（－4，0），∴过点B，C的直线表达式为．过点A作x轴的垂线交BC的延长线于点M，则点M坐标为，如下图，过点P作x轴的垂线交BC于点N，垂足为点H，设点P坐标为，则点N坐标为，∴．∵，∴，∵若分别以PQ，AQ为底计算△BPQ与△BAQ的面积，则△BPQ与△BAQ的面积的比为，即．∴，∵，∴当m＝－2时，的最大值为，将m＝－2代入，得，∴当取得最大值时，点P坐标为（－2，－3）．【点睛】本题考查了用待定系数法求函数表达式，二次函数图像与性质，相似三角形的判定及性质，熟练掌握二次函数的图像与性质及相似三角形的判定与性质是解决本题的关键．13．（2021营口中考）（14分）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝3x2+bx+c过点A（0，﹣2），B（2，0），点C为第二象限抛物线上一点，连接AB，AC，BC，其中AC与x轴交于点E，且tan∠OBC＝2．（1）求点C坐标；（2）点P（m，0）为线段BE上一动点（P不与B，E重合），过点P作平行于y轴的直线l与△ABC的边分别交于M，N两点，将△BMN沿直线MN翻折得到△B′MN，设四边形B′NBM的面积为S，在点P移动过程中，求S与m的函数关系式；（3）在（2）的条件下，若S＝3S△ACB′，请直接写出所有满足条件的m值．【分析】（1）如图1中，设BC交y轴于D．利用待定系数法求出b，c，解直角三角形求出点D的坐标，求出直线BD的解析式，构建方程组确定点C的坐标即可．（2）分两种情形：当0＜m＜2时，当﹣＜m≤0时，分别求出MN，根据S＝•BB′•MN，构建关系式即可．（3）分两种情形：根据S＝3S△ACB′，构建方程求出m即可．【解答】解：（1）∵抛物线y＝3x2+bx+c过点A（0，﹣2），B（2，0），∴，解得，∴抛物线的解析式为y＝3x2﹣5x﹣2，如图1中，设BC交y轴于D．∵tan∠OBD＝2＝，OB＝2，∴OD＝4，∴D（0，4），设直线BD的解析式为y＝kx+b，则有，解得，∴直线BD的解析式为y＝﹣2x+4，由，解得（即点B）或，∴C（﹣1，6）．（2）对于抛物线y＝3x2﹣5x﹣2，令y＝0，得到3x2﹣5x﹣2＝0，解得x＝2或﹣，∴E（﹣，0），∵A（0，﹣2），B（2，0），C（﹣1，6），∴直线AB的解析式为y＝x﹣2，直线AC的解析式为y＝﹣8x﹣2，当0＜m＜2时，∵P（m，0），∴M（m，﹣2m+4），N（m，m﹣2），∴MN＝﹣2m+4﹣m+2＝﹣3m+6，∴S＝•BB′•MN＝×2（2﹣m）×（﹣3m+6）＝3m2﹣12m+12．当﹣＜m≤0时，如图2中，∵P（m，0），∴M（m，﹣2m+4），N（m，﹣8m﹣2），∴MN＝﹣2m+4+8m+2＝6m+6，∴S＝•BB′•MN＝×2（2﹣m）×（6m+6）＝﹣6m2+6m+12．综上所述，S＝．（3）∵直线AC交x轴于（﹣，0），B′（2m﹣2），当﹣6m2+6m+12＝3××|2m﹣2+|×8，解得m＝或（都不符合题意舍弃），当3m2﹣12m+12＝3××|2m﹣2+|×8，解得m＝1或11（舍弃）或﹣2+或﹣2﹣（舍弃），综上所述，满足条件的m的值为1或﹣2+．14.（2021锦州中考）如图1，在平面直角坐标系中，直线y＝x+1分别与x轴、y轴交于点A，C，经过点C的抛物线y＝x2+bx+c与直线y＝x+1的另一个交点为点D，点D的横坐标为6．（1）求抛物线的表达式．（2）M为抛物线上的动点．①N为x轴上一点，当四边形CDMN为平行四边形时，求点M的坐标；②如图2，点M在直线CD下