河南省郑州市2025届高三数学第二次质量预测二模试题理含解析

PAGE20-河南省郑州市2025届高三数学其次次质量预料（二模）试题理（含解析）一、选择题（每小题5分）.1．设集合A＝{x∈N|2＜x＜6}，B＝{x|log2（x﹣1）＜2}，则A∩B＝（）A．{x|3≤x＜5} B．{x|2＜x＜5} C．{3，4} D．{3，4，5}2．若复数（a∈R，i为虚数单位）是纯虚数，则a的值为（）A．﹣2 B． C．﹣ D．23．如图是某统计部门网站发布的《某市2024年2～12月国民经济和社会发展统计公报》中居民消费价格指数（CPI）月度涨跌幅度折线图（注：同比是今年第n个月与去年第n个月相比，环比是现在的统计周期和上一个统计周期相比）下列说法错误的是（）①2024年9月CPI环比上升0.5%，同比上涨2.1%②2024年9月CP1环比上升0.2%，同比无改变③2024年3月CPI环比下降1.1%，同比上涨0.2%④2024年3月CPI环比下降0.2%，同比上涨1.7%A．①③ B．①④ C．②④ D．②③4．函数f（x）＝sinxln在（﹣π，π）的图象大致为（）A． B． C． D．5．Sn是公比不为1的等比数列{an}的前n项和，S9是S3和S6的等差中项，则＝（）A． B． C． D．6．已知x，y满意，则z＝2x+4y的取值范围是（）A．[0，4] B．[4，6] C．[0，6] D．[6，8]7．已知实数a，b，c满意lna＝eb＝，则下列不等式中不行能成立的是（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞a＞b D．c＞b＞a8．关于函数f（x）＝|sin（2x﹣）+cos（2x﹣）|，下列推断正确的是（）A．f（x）的值域为[0，] B．f（x）是以π为最小正周期的周期函数 C．f（x）在[0，π]上有两个零点 D．f（x）在区间[，]上单调递减9．元宵节是中国传统佳节，放烟花、吃汤圆、观花灯是常见的元宵活动．某社区支配举办元宵节找花灯活动，打算在3个不同的地方悬挂5盏不同的花灯，其中2盏是人物灯．现要求这3个地方都有灯（同一地方的花灯不考虑位置的差别），且人物灯不能挂在同一个地方，则不同的悬挂方法种数有（）A．114 B．92 C．72 D．4210．已知函数f（x）＝2x4+ex+e﹣x﹣1，若不等式f（1+ax）＜f（2+x2）对随意x∈R恒成立，则实数a的取值范围是（）A．（﹣2，2） B．（﹣2，2） C．（﹣2，2） D．（﹣2，2）11．已知三棱锥P﹣ABC的各个顶点都在球O的表面上，PA⊥底面ABC，AB⊥AC，AB＝6，AC＝8，D是线段AB上一点，且AD＝5DB．过点D作球O的截面，若所得截面圆面积的最大值与最小值之差为28π，则球O的表面积为（）A．128π B．132π C．144π D．156π12．已知梯形ABCD中，以AB中点O为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系．|AB|＝2|CD|，点E在线段AC上，且＝，若以A，B为焦点的双曲线过C、D、E三点，则该双曲线的离心率为（）A． B． C． D．二、填空题（每小题5分）.13．函数f（x）＝ln（x+1）+x2ex的图象在点（0，f（0））处的切线方程为．14．已知向量与的夹角为60°，||＝3，||＝6，则2﹣在方向上的投影为．15．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，∠ABC＝90°，∠ABC的平分线交AC于点D．若a+4c的最小值为9，则BD＝．16．已知a＞0，不等式（x+1）1﹣aex+1﹣aln（x+1）≥0对随意的x∈（0，+∞）恒成立，则实数a的取值范围为．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必需作答．第22、23题为选考题，考生依据要求作答．（一）必考题：共60分．17．已知数列{an}满意a1＝1，Sn＝．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）若bn＝（﹣1）n+1，数列{bn}的前n项和为Tn，求T2024．18．在四棱锥P﹣ABCD中，AP＝PD＝DC＝CB＝1，AB＝2，∠APD＝∠DCB＝∠CBA＝90°，平面PAD⊥平面ABCD．（Ⅰ）求证：PB＝PC；（Ⅱ）求直线PA与平面PCD所成角的正弦值．19．已知椭圆C：＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，左顶点为A，点D（1，）是椭圆C上一点，离心率为．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若直线l过椭圆右焦点F2且与椭圆交于P、Q两点，直线AP、AQ与直线x＝4分别交于M，N．（ⅰ）求证：M，N两点的纵坐标之积为定值；（ⅱ）求△AMN面积的最小值．20．已知某生产线的生产设备在正常运行的状况下，生产的零件尺寸X（单位：mm）听从正态分布N（280，25）．（Ⅰ）从该生产线生产的零件中随机抽取10个，求至少有一个尺寸小于265mm的概率；（Ⅱ）为了保证生产线正常运行，须要对生产设备进行维护，包括日常维护和故障修理，假设该生产设备运用期限为四年，每一年为一个维护周期，每个周期内日常维护费为5000元，若生产设备能连续运行，则不会产生故障修理费；若生产设备不能连续运行，则除了日常维护费外，还会产生一次故障修理费．已知故障修理费第一次为2000元，此后每增加一次则故障修理费增加2000元．假设每个维护周期相互独立，每个周期内设备不能连续运行的概率为．求该生产设备运行的四年内生产维护费用总和Y的分布列与数学期望．参考数据：若Z～N（μ，σ2），则P（p﹣σ＜Z＜μ+σ）＝0.6827，P（μ﹣2σ＜Z＜μ+2σ）＝0.9545，P（μ﹣3σ＜Z＜μ+3σ）＝0.9974，0.998710≈0.9871．21．已知函数f（x）＝xex﹣alnx﹣e．（Ⅰ）当a＝2e时，不等式f（x）≥mx﹣m在[1，+∞）上恒成立，求实数m的取值范围；（Ⅱ）若a＞0，f（x）最小值为g（a），求g（a）的最大值以及此时a的值．(二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．在答题卷上将所选题号涂黑，假如多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程是（t是参数，α∈[0，）），以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程是ρ＝4sin（）﹣2cosθ．（Ⅰ）写出曲线C2的直角坐标方程；（Ⅱ）若曲线C1与C2有且仅有一个公共点，求sin2α﹣sinαcosα的值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|2x﹣4|+|x+a|（a＞0）．（Ⅰ）若a＝1，求不等式f（x）≥5的解集；（Ⅱ）若f（x）≥a2﹣2a+4恒成立，求实数a的取值范围．

参考答案一、选择题（每小题5分）.1．设集合A＝{x∈N|2＜x＜6}，B＝{x|log2（x﹣1）＜2}，则A∩B＝（）A．{x|3≤x＜5} B．{x|2＜x＜5} C．{3，4} D．{3，4，5}解：∵A＝{3，4，5}，B＝{x|0＜x﹣1＜4}＝{x|1＜x＜5}，∴A∩B＝{3，4}．故选：C．2．若复数（a∈R，i为虚数单位）是纯虚数，则a的值为（）A．﹣2 B． C．﹣ D．2解：复数＝＝，它是纯虚数，所以2a﹣1＝0，a＝故选：B．3．如图是某统计部门网站发布的《某市2024年2～12月国民经济和社会发展统计公报》中居民消费价格指数（CPI）月度涨跌幅度折线图（注：同比是今年第n个月与去年第n个月相比，环比是现在的统计周期和上一个统计周期相比）下列说法错误的是（）①2024年9月CPI环比上升0.5%，同比上涨2.1%②2024年9月CP1环比上升0.2%，同比无改变③2024年3月CPI环比下降1.1%，同比上涨0.2%④2024年3月CPI环比下降0.2%，同比上涨1.7%A．①③ B．①④ C．②④ D．②③解：依据折线图（下图）可得，其中上一条折线为月度同比折线图，下一条为月度环比折线图，所以依据数据可得，9月份月度环比比上年上涨0.5%，同比比上年上涨2.1%，故①正确；依据数据可得，3月份月度环比比上年下降0.2%，同比比上年上涨1.7%，故④正确；因此②③错误．故选：B．4．函数f（x）＝sinxln在（﹣π，π）的图象大致为（）A． B． C． D．解：依据题意，函数f（x）＝sinxln，x∈（﹣π，π），f（﹣x）＝sin（﹣x）ln＝sinxln＝f（x），则f（x）在区间（﹣π，π）上为偶函数，解除BC，又由f（）＝sinln＝ln＜0，解除D，故选：A．5．Sn是公比不为1的等比数列{an}的前n项和，S9是S3和S6的等差中项，则＝（）A． B． C． D．解：∵S9是S3和S6的等差中项，∴S3+S6＝2S9，∵Sn是公比不为1的等比数列{an}的前n项和，∴，整理得，q3（2q6﹣q3﹣1）＝0，∵q≠0，∴2q6﹣q3﹣1＝0，则（2q3+1）（q3﹣1）＝0，又∵q≠1，∴2q3+1＝0，解得，，则＝＝．故选：A．6．已知x，y满意，则z＝2x+4y的取值范围是（）A．[0，4] B．[4，6] C．[0，6] D．[6，8]解：作出不等式组对应的平面区域如图：由z＝2x+4y得y＝﹣x+，平移直线y＝﹣x+，由图象知当直线经过A点时，直线的截距最大，此时z最大，此时x+2y＝3，即z＝2x+4y＝6，经过点C（2，0）时，直线的截距最小，此时z最小，z＝2x+4y＝4+0＝4，即4≤z≤6，即z的取值范围是[4，6]，故选：B．7．已知实数a，b，c满意lna＝eb＝，则下列不等式中不行能成立的是（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞a＞b D．c＞b＞a解：∵实数a，b，c满意lna＝eb＝，∴eb＞0，∴a＞1，c＞0，当a＝e时，b＝0，c＝1，此时a＞c＞b，故B可能成立；当a＝e3时，b＝ln3∈（1，2），c＝∈（0.5，1），此时a＞b＞c，故A可能成立；当b＝﹣1时，c＝e，a＝，此时，c＞a＞b，故C可能成立；∴由解除法得D不行能成立．故选：D．8．关于函数f（x）＝|sin（2x﹣）+cos（2x﹣）|，下列推断正确的是（）A．f（x）的值域为[0，] B．f（x）是以π为最小正周期的周期函数 C．f（x）在[0，π]上有两个零点 D．f（x）在区间[，]上单调递减解：f（x）＝|sin（2x﹣）+cos（2x﹣）|＝|sin（2x﹣）+sin2x|＝|2sin（2x﹣）cos|＝|sin（2x﹣）|，对于A，f（x）的值域为[0，]，不是[0，]，所以A错；对于B，f（x）的最小正周期为，不是π，所以B错；对于C，因为f（x）一个周期（0，]内只有一个零点，f（0）≠0，所以f（x）在[0，π]上有两个零点，所以C对；对于D，因为区间，]长度为，所以f（x）在区间[，]上不是单调函数，所以D错．故选：C．9．元宵节是中国传统佳节，放烟花、吃汤圆、观花灯是常见的元宵活动．某社区支配举办元宵节找花灯活动，打算在3个不同的地方悬挂5盏不同的花灯，其中2盏是人物灯．现要求这3个地方都有灯（同一地方的花灯不考虑位置的差别），且人物灯不能挂在同一个地方，则不同的悬挂方法种数有（）A．114 B．92 C．72 D．42解：依据题意，分2步分析：①将5盏不同的灯分为3组，要求两盏人物灯不在同一组，若分为3、1、1的三组，有C53﹣C31＝7种分组方法，若分为2、2、1的三组，有﹣C32＝12种分组方法，则有7+12＝19种分组方法，②将分好的三组全排列，支配到3个不同的地方，有A33＝6种状况，则有19×6＝114种支配方法，故选：A．10．已知函数f（x）＝2x4+ex+e﹣x﹣1，若不等式f（1+ax）＜f（2+x2）对随意x∈R恒成立，则实数a的取值范围是（）A．（﹣2，2） B．（﹣2，2） C．（﹣2，2） D．（﹣2，2）解：函数f（x）＝2x4+ex+e﹣x﹣1，所以f（﹣x）＝2（﹣x）4+e﹣x+ex﹣1＝f（x），故函数f（x）为偶函数，故当x＞0时，f'（x）＝8x3+ex﹣e﹣x单调递增，故f'（x）＞f'（0）＝0，所以f（x）在（0，+∞）上单调递增，则不等式f（1+ax）＜f（2+x2）对随意x∈R恒成立，等价于不等式f（|1+ax|）＜f（|2+x2|）对随意x∈R恒成立，即|1+ax|＜|2+x2|对随意x∈R恒成立，即|1+ax|＜2+x2对随意x∈R恒成立，所以﹣2﹣x2＜1+ax＜2+x2对随意x∈R恒成立，则对随意x∈R恒成立，所以，解得﹣2＜a＜2，所以实数a的取值范围是（﹣2，2）．故选：D．11．已知三棱锥P﹣ABC的各个顶点都在球O的表面上，PA⊥底面ABC，AB⊥AC，AB＝6，AC＝8，D是线段AB上一点，且AD＝5DB．过点D作球O的截面，若所得截面圆面积的最大值与最小值之差为28π，则球O的表面积为（）A．128π B．132π C．144π D．156π解：因为AB⊥AC，AB＝6，AC＝8，所以，设面ABC所截的截面圆的圆心为O'，外接球的球心为O，则O'为BC的中点，且OO'⊥平面ABC，则有O'A＝O'B＝O'C＝，取AB的中点E，连结O'E，O'O，则O'E＝，因为AD＝5DB，AB＝8，E为AB的中点，所以DE＝2，所以，设OO'＝x，则有OD2＝O'D2+OO'2＝20+x2，则球的半径R2＝O'A2+x2＝52+x2＝25+x2，故与OD垂直的截面圆的半径，所以截面圆面积的最小值为πr2＝5π，截面圆面积的最大值为πR2，由题意可得πR2﹣5π＝28π，解得R2＝33π，所以球的表面积为S＝4πR2＝132π．故选：B．12．已知梯形ABCD中，以AB中点O为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系．|AB|＝2|CD|，点E在线段AC上，且＝，若以A，B为焦点的双曲线过C、D、E三点，则该双曲线的离心率为（）A． B． C． D．解：设双曲线方程为，由题中的条件可知|CD|＝c，且CD所在直线平行x轴，设C（），A（﹣c，0），E（x，y），∴，，∴，…①由＝，可得，点E的坐标满意双曲线方程，所以，…②联立①②可得，故选：B．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．函数f（x）＝ln（x+1）+x2ex的图象在点（0，f（0））处的切线方程为x﹣y＝0．解：∵f（x）＝ln（x+1）+x2ex，∴f′（x）＝+2xex+x2ex，则f′（0）＝1，又f（0）＝0，∴函数y＝f（x）图象在点（0，0）处的切线方程为：y﹣0＝x，即函数y＝f（x）图象在点（0，0）处的切线方程为y＝x；故答案为：x﹣y＝0．14．已知向量与的夹角为60°，||＝3，||＝6，则2﹣在方向上的投影为﹣3．解：向量与的夹角为60°，||＝3，||＝6，可得2﹣在方向上的投影为：＝＝＝﹣3．故答案为：﹣3．15．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，∠ABC＝90°，∠ABC的平分线交AC于点D．若a+4c的最小值为9，则BD＝．解：如图，∠ABC的平分线交AC于点D，所以∠ABD＝∠CBD＝45°，所以S△ABC＝acsin90°＝c•BD•sin45°+a•BD•sin45°，可得2ac＝c•BD+a•BD，可得＝1，所以a+4c＝•BD，a+4c＝BD（+5+）≥BD•（5+2）＝BD＝9，当且仅当a＝2c时取等号，所以BD＝．故答案为：．16．已知a＞0，不等式（x+1）1﹣aex+1﹣aln（x+1）≥0对随意的x∈（0，+∞）恒成立，则实数a的取值范围为（0，e]．解：不等式（x+1）1﹣aex+1﹣aln（x+1）≥0对随意的x∈（0，+∞）恒成立，令t＝x+1，则t＞1，所以不等式等价于t1﹣aet﹣alnt≥0对t＞1恒成立，变形可得不等式tet≥talnta对t＞1恒成立，令f（t）＝tet，t＞1，则不等式等价于f（t）≥f（lnta）对t＞1恒成立，f'（t）＝（t+1）et，当t＞1时，f'（t）＞0，故f（t）单调递增，所以不等式转化为t≥lnta对t＞1恒成立，即对t＞1恒成立，令，所以，令g'（t）＝0，解得t＝e，当1＜t＜e时，g'（t）＜0，则g（t）单调递减，当t＞e时，g'（t）＞0，则g（t）单调递增，所以当t＝e时，g（t）取得最小值g（e）＝e，所以a≤e，又a＞0，所以实数a的取值范围为（0，e]．故答案为：（0，e]．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必需作答．第22、23题为选考题，考生依据要求作答．（一）必考题：共60分．17．已知数列{an}满意a1＝1，Sn＝．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）若bn＝（﹣1）n+1，数列{bn}的前n项和为Tn，求T2024．解：（Ⅰ）由a1＝1，Sn＝，①可得n≥2时，Sn﹣1＝，②由①﹣②可得an＝Sn﹣Sn﹣1＝﹣，化为（n﹣1）an＝nan﹣1，即＝＝…＝＝1，可得an＝n，上式对n＝1也成立，则数列{an}的通项公式为an＝n，n∈N*；（Ⅱ）bn＝（﹣1）n+1＝（﹣1）n+1＝（﹣1）n+1（+），所以T2024＝（1+）﹣（+）+（+）﹣…+（+）＝1+＝．18．在四棱锥P﹣ABCD中，AP＝PD＝DC＝CB＝1，AB＝2，∠APD＝∠DCB＝∠CBA＝90°，平面PAD⊥平面ABCD．（Ⅰ）求证：PB＝PC；（Ⅱ）求直线PA与平面PCD所成角的正弦值．【解答】（Ⅰ）证明：设AD，BC的中点分别为O，E，连结PO，OE，EP，则OE为直角梯形ABCD的中位线，故BC⊥OE，又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，PO⊥AD，所以PO⊥平面ABCD，又BC⊂平面ABCD，所以PO⊥BC，又PO∩OE＝O，PO，OE⊂平面PEO，所以BC⊥平面PEO，又PE⊂平面PEO，所以BC⊥PE，又E为BC的中点，所以PB＝PC；（Ⅱ）解：在AB上取一点F，使得AB＝4AF，则OF，OE，OP两两垂直，以O为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，则，所以，设平面PCD的法向量为，则有，令z＝﹣1，则y＝0，x＝，故，所以，故直线PA与平面PCD所成角的正弦值为．19．已知椭圆C：＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，左顶点为A，点D（1，）是椭圆C上一点，离心率为．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若直线l过椭圆右焦点F2且与椭圆交于P、Q两点，直线AP、AQ与直线x＝4分别交于M，N．（ⅰ）求证：M，N两点的纵坐标之积为定值；（ⅱ）求△AMN面积的最小值．解：（Ⅰ）由题意可知，解得a2＝4，b2＝3，所以椭圆C的方程为+＝1．（Ⅱ）（ⅰ）设直线l的方程为x＝my+1，联立，得（3m2+4）y2+6my﹣9＝0，设P（x1，y1），Q（x2，y2），所以y1+y2＝，y1y2＝，直线AP的方程为y＝（x+2），令x＝4得yM＝，同理可得yN＝，所以yMyN＝＝＝＝＝﹣9．（ⅱ）S△AMN＝•6•|yM﹣yN|＝3|yM+|≥3•2＝18．当且仅当yM＝3，yN＝﹣3或yM＝﹣3，yN＝3时等号成立．20．已知某生产线的生产设备在正常运行的状况下，生产的零件尺寸X（单位：mm）听从正态分布N（280，25）．（Ⅰ）从该生产线生产的零件中随机抽取10个，求至少有一个尺寸小于265mm的概率；（Ⅱ）为了保证生产线正常运行，须要对生产设备进行维护，包括日常维护和故障修理，假设该生产设备运用期限为四年，每一年为一个维护周期，每个周期内日常维护费为5000元，若生产设备能连续运行，则不会产生故障修理费；若生产设备不能连续运行，则除了日常维护费外，还会产生一次故障修理费．已知故障修理费第一次为2000元，此后每增加一次则故障修理费增加2000元．假设每个维护周期相互独立，每个周期内设备不能连续运行的概率为．求该生产设备运行的四年内生产维护费用总和Y的分布列与数学期望．参考数据：若Z～N（μ，σ2），则P（p﹣σ＜Z＜μ+σ）＝0.6827，P（μ﹣2σ＜Z＜μ+2σ）＝0.9545，P（μ﹣3σ＜Z＜μ+3σ）＝0.9974，0.998710≈0.9871．解：（Ⅰ）因为X～N（280，25），则μ＝280，σ＝5，265＝μ﹣3σ，所以P（X＜265）＝＝0.0013，所以从该生产线生产的零件中随机抽取10个，至少有一个尺寸小于265mm的概率为：P＝1﹣（1﹣0.0013）10＝1﹣0.998710≈0.0129．（Ⅱ）由题意可得Y的全部可能取值为20000，22000，24000，26000，28000，P（Y＝20000）＝＝，P（Y＝22000）＝××＝，P（Y＝24000）＝××＝，P（Y＝26000）＝××＝，P（Y＝28000）＝＝，所以Y的分布列为：Y2000022000240002600028000P数学期望E（Y）＝20000×+22000×+24000×+26000×+28000×＝22000．21．已知函数f（x）＝xex﹣alnx﹣e．（Ⅰ）当a＝2e时，不等式f（x）≥mx﹣m在[1，+∞）上恒成立，求实数m的取值范围；（Ⅱ）若a＞0，f（x）最小值为g（a），求g（a）的最大值以及此时a的值．解：（Ⅰ）a＝2e时，f（x）＝xex﹣2elnx﹣e，令u（x）＝f（x）﹣mx+m＝xex﹣2elnx﹣e﹣mx+m，则u′（x）＝（x+1）ex﹣﹣m，u″（x）＝（x+2）ex+＞0，故u′（x）在[1，+∞）递增，u′（1）＝﹣m，u′（x）≥u′（1），当m＞0时，u′（1）＝﹣m＜0，故存在x0＞1，使得u（x）在[1，x0）递减，∴u（x0）＜u（1）＝0，∴u（x）≥0在[1，+∞）上不恒成立，∴m＞0不行取，m≤0可取，∴m的取值范围是（﹣∞，0]；（Ⅱ）f′（x）＝（x+1）ex﹣，令f′（x）＝0，得a＝ex（x2+x），令h（x）＝ex（x2+x），则h′（x）＝ex