上海市2024-2025学年高一上学期期末考试数学试题（含答案）

2024学年第一学期高一年级数学期末2025.01一、填空题：（共48分，每小题3分）1．的角是第________象限角．2．已知集合，则的子集个数为________．3．已知，则________．4．若函数在上存在零点，则实数的取值范围是________．5．给出下列说法：①终边相同的角不一定相等；②第二象限的角大于第一象限的角；③若，则是第一象限的角；④小于的角是锐角．其中错误的序号．是________．6．已知，则________．7．已知实数、满足，则的最小值为________．8．已知，则________．9．如图，若扇形的中心角，扇形半径，则阴影表示的弓形面积为________．10．若函数在区间内的值域为，则的取值范围为________．11．不等式的解集为________12．设函数的定义域为，若函数满足条件：存在，使得在上的取值范围是，则称为“半缩函数”．若函数为“半缩函数”，则实数的取值范围是________．二、选择题：（共12分，每小题3分）13．若实数，，满足，，则（）．A． B． C． D．14．函数（，且）的图像不经过第四象限，则、满足的条为（）．A．， B．，C．， D．，15．已知幂函数，当取不同的正数时，在区间上它们的图像是一族曲线（如图）．设点，，连接，线段恰好被其中的两个幂函数，的图像三等分，即有，那么（）．A． B． C．1 D．316．已知为定义在上的函数，则“（既不是奇函数也不是偶函数”是“存在，使得”的（）．A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件 D．既非充分也非必要条件三、解答题：（共52分）17．（本题10分）已知集合，．（1）若，求；（2）若“”是“”的充分条件，求的取值范围．18．（本题10分）在平面直角坐标系中，角、的终边分别与单位圆交于，两点，两点的纵坐标分别为，．（1）求的值：（2）求的值．19．（本题10分）设，其中．（1）若函数的图像关于原点成中心对称图形，求实数的值；（2）若函数在上是严格增函数，求实数的取值范围．

20．（本题10分）已知一辆城际列车满载时为550人，人均票价为4元，十分适合城市间的运营．城际铁路运营公司通过一段时间的营业发现，每辆列车的单租营业额（元）与发车时间间隔（分钟）相关；当间隔时间到达或超过12分钟后，列车均为满载状态；当时，单程营业额与成正比：当时，单程营业额会在时的基础上减少，减少的数量为．（1）求当时，单程营业额关于发车间隔时间的函数表达式；（2）由于工作日和节假日的日运营时长不同，据统计每辆车日均次单程运营．为体现节能减排，发车间隔时间，则当发车时间间隔为多少分钟时，每辆列车的日均营业总额最大？求出该最大值．

21．（本题12分）布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它得名于荷兰数学家鲁伊兹•布劳威尔，简单地讲就是对于满足一定条件的连续函数，存在一个点，使得，那么我们称该函数为＂不动点＂函数，而称为该函数的一个不动点．现新定义：若满足，则称为的次不动点。

（1）判断函数是否是＂不动点＂函数，若是，求出其不动点；若不是，请说明理由．

（2）已知函数，若是的次不动点，求实数的值；

（3）若函数在上仅有一个不动点和一个次不动点，求实数的取值范围． 参考答案一、填空题1.二；2.；3.；4.；5.②③④；6.；7.；8.；9.；10.；11.；12.；12.设函数的定义域为，若函数满足条件：存在，使得在上的取值范围是，则称为“半缩函数”．若函数为“半缩函数”，则实数的取值范围是________．【答案】【解析】因为函数为＂半缩函数＂，

所以存在，使得在上的取值范围是，

由复合函数的单调性可知，在上单调递增，

所以，即

所以，所以有两个不等的实数根，且两根都大于0，所以，解得．故答案为：．二、选择题13.D；14.B；15.C；16.B15.已知幂函数，当取不同的正数时，在区间上它们的图像是一族曲线（如图）．设点，，连接，线段恰好被其中的两个幂函数，的图像三等分，即有，那么（）．A． B． C．1 D．3【答案】C【解析】

将两点坐标分别代入,得到，故选C16.已知为定义在上的函数，则“（既不是奇函数也不是偶函数”是“存在，使得”的（）．A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件 D．既非充分也非必要条件【答案】B【解析】题目解答为定义在上的函数，又存在，使得，

所以，所以函数为非奇非偶函数，则必要性成立；

若为非奇非偶函数，对，均有，充分性不成立．所以＂既不是奇函数也不是偶函数＂是＂存在，使得＂的必要不充分条件。故选：B．三、解答题17.（1）（2）18.（1）（2）19.（1）（2）20.已知一辆城际列车满载时为550人，人均票价为4元，十分适合城市间的运营．城际铁路运营公司通过一段时间的营业发现，每辆列车的单租营业额（元）与发车时间间隔（分钟）相关；当间隔时间到达或超过12分钟后，列车均为满载状态；当时，单程营业额与成正比：当时，单程营业额会在时的基础上减少，减少的数量为．（1）求当时，单程营业额关于发车间隔时间的函数表达式；（2）由于工作日和节假日的日运营时长不同，据统计每辆车日均次单程运营．为体现节能减排，发车间隔时间，则当发车时间间隔为多少分钟时，每辆列车的日均营业总额最大？求出该最大值．【答案】（1）（2）时，【解析】（1）由题意知，当时，设营业额

根据时满载，得，解得，所以营业额的表达式为

根据，

整理得到，，

设，故可以得到，

所以，即时，．21.布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它得名于荷兰数学家鲁伊兹•布劳威尔，简单地讲就是对于满足一定条件的连续函数，存在一个点，使得，那么我们称该函数为＂不动点＂函数，而称为该函数的一个不动点．现新定义：若满足，则称为的次不动点。

（1）判断函数是否是＂不动点＂函数，若是，求出其不动点；若不是，请说明理由．

（2）已知函数，若是的次不动点，求实数的值；

（3）若函数在上仅有一个不动点和一个次不动点，求实数的取值范围．【答案】（1