第4章三角形证明 题型解读10 证角相等的三大典型图形-2020-2021学年北师大版七年级数学下册

《三角形证明》题型解读10证角相等的三大典型图形【知识梳理】1.共角模型如图，∠BAD与∠CAE有一个共同的角：∠CAD用法：①当∠BAC=∠DAE时，则∠BAD=∠CAE；即小角相等，必证大角相等；②当∠BAD=∠CAE时，则∠BAC=∠DAE；即大角相等，必证小角相等；2.“8字模型”用法：如图，∵∠1=∠2，若∠A=∠D，则∠B=∠E；若∠B=∠E，则∠A=∠D.3.角平分线上的典型图形（1）两条角平分线的夹角问题①两内角角平分线的夹角：∠②两内角角平分线的夹角：∠③两内角角平分线的夹角：∠（2）“角平分线+平行线=等腰△”模型【典型例题】例1.如图所示，CE=CB，CD=CA，∠DCA=∠ECB，求证：DE=AB.解析：“小角相等必证大角相等”，由∠DCA=∠ECB可得∠DCE=∠ACB，则在△DCE与△ACB中，∵CD=∴△DCE≌△ACB,∴DE=AB；例2.如图，∠A=∠B，AE=BE，点D在AC边上，∠1=∠2，AE和BD相交于点O，求证：△AEC≌△BED.解析：由“8字模型”可知，∠2=∠BEA,则∠1=∠2可得∠1=∠BEA，“大角相等必证小角相等”，由∠1=∠BEA可得∠CEA=∠DEB，则在△CEA与△DEB中，∵∠CEA∴△CEA≌△DEB例3.如图，点E在△ABC的外部，点D在边BC上，DE交AC于点F，若∠1=∠2，AE=AC，BC=DE.（1）求证：AB=AD；（2）若∠1=60°，判断△ABD的形状，并说明理由.（提示：有一个60°的等腰三角形是等边三角形）解析：（1）由“8字模型”可得，∠2=∠1,则∠E=∠C，则在△BAC与△DAE中，∵AC=AE∠C=∴AB=AD；（2）由△BAC≌△DAE可得AB=AD，∠BAC=∠DAE，“大角相等必证小角相等”，由∠BAC=∠DAE可得∠BAD=∠1=60°，∵AB=AD，∠BAD=60°，∴△BAD是等边三角形.例4.已知，BE⊥CD，BE=DE，CE=AD，（1）求证：△BEC≌△DEA；（2）求证：DF⊥BC.解析：（1）在△BEC与△DEA中，∵BE=∴△BEC≌△DEA；（2）由△BEC≌△DEA可得∠B=∠D，由△BFA与△DEA组成的“8字模型”可得∠BFA=∠AED=90°，即DF⊥BC.例5.如图所示，在△ABC中，BO、CO是角平分线.（1）∠ABC=50°，∠ACB=60°，求∠BOC的度数，并说明理由.（2）若将（1）中的“∠ABC=50°，∠ACB=60°”改为“∠A=70°”，求∠BOC的度数，并说明理由.（3）若∠A=n°,则∠BOC的度数为____________解析：（1）由BO、CO是角平分线可得∠OBC=12∠ABC=25°,∠OCB=12∠ACB=30°,在△OBC中，由三角形内角和公式可得∠BOC=180°-∠OBC-∠OCB=180°-25°-30°=125°(2)∠BOC=90°+12∠A=90°+35°=125°.∠BOC=180°-∠OBC-∠OCB=180°-12∠ABC-12=180°-12（∠ABC+∠ACB=180°-12（180°-∠A=180°-90°+12∠=90°+12∠A=125（3）∠BOC=90°+12∠A=90°+12例6.已知，如图，BP、CP分别平分△ABC的外角∠CBD、∠BCE，BQ、CQ分别平分∠PBC、∠PCB.当∠BAC=40°时，∠BPC=______;∠BQC=______.解析：由“两条角平分线的夹角问题的结论③”可得∠BPC=90°-12∠A=90°由“两条角平分线的夹角问题的结论①”可得∠BQC=90°+12∠BPC=90°例7：已知△ABC中，DE//BC，∠AED=50°，CD平分∠ACB，求∠CDE的度数.解析：由CD平分∠ACB可得∠BCD=∠ECD，由DE//BC可得∠BCD=∠CDE，∴∠EDC=∠ECD，即△EDC是等腰三角形，由外角性质可得∠AED=∠EDC+∠ECD=2∠CDE=50°,∴∠CDE=25°例8.如图,∠ABC,∠ACB的平分线相交于点F,过点F作DE//BC交AB于点D,交AC于点E,若AB=9cm,AC=8cm,求△ADE的周长.解析：由“BF是角平分线+DE//BC=△DBF是等腰三角形”可得DB=D