福建省厦门市2025届高三数学线上质量检查试题文含解析

PAGE24-福建省厦门市2025届高三数学线上质量检查试题文（含解析）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先化简集合B，再与集合A求交集.【详解】因为，又因为，所以.故选：D【点睛】本题主要考查集合的基本运算，还考查了运算求解的实力，属于基础题.2.椭圆：焦点坐标为（）A.， B.，C.， D.，【答案】B【解析】【分析】先化为标准方程，求得，推断焦点位置，写焦点坐标.【详解】因为椭圆：，所以标准方程为，解得，因为焦点在y轴上，所以焦点坐标为，.故选：B【点睛】本题主要考查椭圆的几何性质，还考查了理解辨析的实力，属于基础题.3.记为等差数列的前项和，且，，则数列的公差是（）A.2 B.1 C.－1 D.－2【答案】C【解析】【分析】依据，，即，联立求解.【详解】设等差数列的公差为d，因为，，所以，，解得d=-1.故选：C【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式和前n项和，还考查了运算求解的实力，属于基础题.4.《周髀算经》中给出了勾股定理的绝妙证明.如图是赵爽弦图及注文.弦图是一个以勾股形之弦为边的正方形，其面积称为弦实.图中包含四个全等的勾股形及一个小正方形，分别涂成朱色及黄色，其面积称为朱实、黄实.由2×勾×股+（股－勾）2=4×朱实+黄实=弦实，化简得勾2+股2=弦2.若图中勾股形的勾股比为，向弦图内随机抛掷100颗图钉（大小忽视不计），则落在黄色图形内的图钉颗数大约为（）（参考数据：，）A.2 B.4 C.6 D.8【答案】C【解析】【分析】设勾为a，则股为，求得大正方形的边长，面积，小正方形的边长，面积，再利用几何概型求得概率即可.【详解】设勾为a，则股为，大正方形的边长为，则其面积为，小正方形的边长为，则其面积为，所以落在黄色图形内的概率为：，落在黄色图形内的图钉颗数大约.故选：C【点睛】本题主要考查几何概型的概率，还考查了数形结合的思想和运算求解的实力，属于基础题.5.已知角的终边经过点，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】依据角的终边经过点，利用三角函数的定义求得，再利用两角和与差的正切公式求解.【详解】因为角的终边经过点，所以，所以.故选：D【点睛】本题主要考查三角函数的定义及两角和与差的正切公式，还考查了数形结合的思想和运算求解的实力，属于基础题.6.，是两个平面，，是两条直线，且，，则下列命题中正确的是（）A.若，则 B.若，则C.若，则 D.若，则【答案】B【解析】【分析】利用面面平行和面面垂直的性质定理推断.【详解】若，因为，所以则，又因为，所以，故B正确，A错误.若，因为，或，故C，D错误故选：B【点睛】本题主要考查面面平行和面面垂直的性质定理，还考查了空间想象，理解辨析的实力，属于基础题.7.在菱形中，，，为的中点，则（）A.10 B.12 C.16 D.36【答案】B【解析】【分析】利用向量的中点坐标公式，将，转化为，再利用数量积的运算律和公式求解.【详解】在菱形中，，，为的中点，则.故选：B【点睛】本题主要考查平面对量在平面几何中的应用，还考查了运算求解的实力，属于中档题.8.已知数列满意，（），则（）A.31 B.32 C.63 D.64【答案】D【解析】【分析】依据时，由，得两式相减得：，得到数列是等比数列，再利用通项公式求解.【详解】当时，由，得，两式相减得：，又因为，所以数列时等比数列.所以.故选：D【点睛】本题主要考查数列的通项公式和前n项和公式，还考查了运算求解的实力，属于中档题.9.已知，，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】依据，得，，，再比较.【详解】因为，所以，所以，又因为，，所以.故选：A【点睛】本题主要考查对数的换底公式和对数比较大小，还考查了运算求解的实力，属于中档题.10.在正三棱柱中，，，，，分别为，，，的中点，是线段上的一点.有下列三个结论：①平面；②；③三棱锥的体积是定值.其中全部正确结论的编号是（）A.①② B.①③ C.②③ D.①②③【答案】D【解析】【分析】充分利用正三棱柱的几何特征，面面平行的性质定理和线面垂直的推断定理以及等体积法求解.【详解】如图所示：因为，所以平面BDF.又因为DF//EG，所以EG//平面BDF，，所以平面平面BDF，所以平面，故①正确.因为，所以，又因为，，所以平面BDF，所以，故②正确.，故③正确.故选：D【点睛】本题主要考查直线与平面的位置关系，还考查了空间想象和运算求解的实力，属于中档题.11.已知双曲线：（）的左，右焦点分别为，，抛物线：（）的焦点与重合，点是与的交点，且，则的离心率是（）A2 B. C.3 D.【答案】C【解析】【分析】依据抛物线的定义和，得到，再依据双曲线的定义，求得，，然后用余弦定理求解.【详解】如图所示：过作抛物线的准线的垂线，因为，所以，又，∴，在中，由余弦定理得即，∴∴，∴或又，∴，即，∴.故选：C【点睛】本题主要考查抛物线的定义和双曲线的定义及几何性质，还考查了转化化归的思想和运算求解的实力，属于中档题.12.函数，若（）对恒成立，则（）A.－1 B.0 C.1 D.2【答案】A【解析】【分析】由，求导，可知在R上是增函数，而当时，，当时，，依据，对恒成立，则必有成立.【详解】因为，所以，所以在R上是增函数，当时，，当时，，当时，，因为，对恒成立，所以，所以.故选：A【点睛】本题主要考查导数与函数的单调性和不等式恒成立问题，还考查了转化化归的思想和运算求解的实力，属于中档题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.复数（为虚数单位），则的虚部是______.【答案】2【解析】【分析】先化简复数，再由复数概念求解.【详解】因为复数所以的虚部是2故答案为：2【点睛】本题主要考查复数的运算及概念，还考查了运算求解和理解辨析的实力，属于基础题.14.若，满意约束条件则的最大值是______.【答案】4【解析】【分析】依据，满意约束条件，画出可行域，平移所在的直线，找到最优点，将坐标代入求解.【详解】因为，满意约束条件所对应的可行域如图所示：平移所在的直线，找到最优点A（1，1），所以的最大值是4.故答案为：4【点睛】本题主要考查线性规划求最值，还考查了数形结合的思想和运算求解的实力，属于基础题.15.如图，函数（，）的图象与坐标轴交于点，，，直线交的图象于点，（坐标原点）为的重心，，则点的坐标为______，______.【答案】(1).(2).【解析】【分析】依据（坐标原点）为的重心，，则有d，，得到，同时，是半个周期，可求得，再代入一个零点，求得即可.【详解】因为（坐标原点）为的重心，，所以，所以，所以.所以，，因为，，所以.所以.故答案为：①.②.【点睛】本题主要考查三角函数的图象和性质，还考查了数形结合的思想和运算求解的实力，属于中档题.16.已知数列满意，且（），则的最大值是______.【答案】【解析】【分析】依据题意有，两式相减的，则数列的奇数项和偶数项都是递减数列，再依据求几项即可.【详解】依据题意得：，所以，所以数列的奇数项和偶数项都是递减数列，又因为，所以，，的最大值是.故答案为：【点睛】本题主要考查数列的递推关系的应用，还考查了运算求解的实力，属于中档题.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必需作答.第22、23题为选考题，考生依据要求作答.17.的内角，，的对边分别为，，，已知，.（1）求；（2）若，点在边上，且，求的面积.【答案】（1）5；（2）【解析】【分析】（1）由正弦定理将，转化为，再利用两角和与差的三角函数转化为，再求解.（2）在中，利用余弦定理求得边a，在中，求得，，再利用正弦定理求解.【详解】（1）∵，∴，∴，∴，∴，∴（2）如图所示:∵，∴，∴，∵，∴.∵在中，，，∴是等边三角形，∴，，∴，，∴.【点睛】本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用，还考查了数形结合的思想和运算求解的实力，属于中档题.18.如图，四边形是边长为2的菱形，，，都垂直于平面，且.（1）证明：平面；（2）若，求三棱锥的体积.【答案】（1）见解析；（2）【解析】【分析】（1）法一由，利用线面平行的判定定理，得到面，同理面，再由面面平行的判定定理得到面面即可.（2）法一：连接，交于点，利用线面垂直的判定定理易得面，面，面，∴，又，，四边形为矩形，利用等体积法求解.【详解】（1）法一∵，面，面，∴面，∵平面，平面，∴，又面，面，∴面，∵，∴面面，又面，∴面.法二：取中点，连接，，∵平面，平面，∴，∴四边形为平行四边形，∴，∴四边形为平行四边形，∴.∵平面，平面，∴，∴，，，四点共面.∴面.又面，∴面.（2）法一：连接，交于点，∵面，面，∴.又，，∴面.等边中，，，∵面，面，∴，又，.∴四边形为矩形，∴.∴.法二：∵面，面，∴，又面，面，∴面.取中点，连接，∵面，面，∴，在等边中，，又，∴面，∴到面的距离即为.又，∴.【点睛】本题主要考查线面平行、面面平行的判定定理和性质定理，还考查了数形结合、转化化归的思想和空间想象的实力，属于中档题.19.凤梨穗龙眼原产厦门，是厦门市的名果，栽培历史已有100多年.龙眼干的级别按直径的大小分为四个等级（如下表）.级别三级品二级品一级品特级品某商家为了解某农场一批龙眼干的质量状况，随机抽取了100个龙眼干作为样本（直径分布在区间），统计得到这些龙眼干的直径的频数分布表如下：频数1297用分层抽样的方法从样本的一级品和特级品中抽取6个，其中一级品有2个.（1）求、的值，并估计这批龙眼干中特级品的比例；（2）已知样本中的100个龙眼干约500克，该农场有500千克龙眼干待出售，商家提出两种收购方案：方案：以60元/千克收购；方案：以级别分装收购，每袋100个，特级品40元/袋、一级品30元/袋、二级品20元/袋、三级品10元/袋.用样本的频率分布估计总体分布，哪个方案农场的收益更高？并说明理由.【答案】（1），；（2）应选择方案，理由见解析【解析】分析】（1）依据题意，建立方程组求解/（2）农场选择方案获得的收入为（元），设农场选择方案获得的收入为元，依题意先计算500千克龙眼干共可以分装多少袋，再利用样本估计总体，分别明确特级品，一级品，二级品，三级品各多少袋，再求解比较.【详解】（1）依题意得，解得.∴所抽取的100个龙眼干中特级品的频率为，∴用样本频率估计总体分布得，这批龙眼干中特级品的比例为58%.（2）农场选择方案获得的收入为（元），设农场选择方案获得的收入为元，则依题意得500千克龙眼干共可以分装1000袋，用样本频率估计总体分布得：特级品有袋，一级品有袋，二级品有袋，三级品有袋.∴（元）∵，∴农场应选择方案.【点睛】本题主要考查样本估计总体，还考查了数据处理的实力，属于中档题.20.已知点，，直线，相交于点，且它们的斜率乘积为.（1）求点的轨迹的方程；（2）设曲线与轴正半轴交于点，直线：与交于，两点，是线段的中点.证明：.【答案】（1）（）；（2）见解析【解析】【分析】（1）设点的坐标为，依据题意，即，再化简求解.（2）设直线：与曲线的交点为，由，得，又，，，要证，依据三角形中线定理，即证，再利用向量法由求解.【详解】（1）设点的坐标为，∵，∴，化简得：，又，故动点的轨迹的方程为（）.（2）设直线：与曲线的交点为，，由，得，又，，，法一：要证，即证，即证①，∵，，∴，.故①式成立，则命题得证.法二：点坐标为，则，，，故，则命题得证.【点睛】本题主要考查轨迹方程的求法和直线与椭圆的位置关系，还考查了数形结合、转化化归的思想和运算求解的实力，属于中档题.21.已知函数.（1）若在上单调递增，求实数的取值范围；（2）若有两个极值点，，证明：.【答案】（1）；（2）见解析【解析】【分析】（1）将在上单调递增，转化为在上恒成立，恒成立求解.（2）利用换元法，设，将，转化为，则由，，∴，得到有两个极值点，（），再将证明，转化为证明，令（），求其最大值即可.【详解】（1）依题意得在上恒成立，得，∵（当时等号成立），∴的取值范围为.（2）令，设，则（*），当时，，设方程（*）的两个实根为，（），则，，∴，∴，当时，，单调递增，当时，，单调递减，当时，，单调递增，∴有两个极值点，（），∴，（），令（），∴，当时，，单调递增；当时，，单调递减.∴，∴，即.【点睛】本题主要考查导数与函数的单调性，导数与函数的极值，还考查了数形结合、转化化归的思想和运算求解的实力，属于难题.22.在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）.以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系.曲线的极坐标方程为.（1）写出的