2023学年二轮复习解答题专题三十九抛物线上最值问题的探究(原卷版+解析)

2023学年二轮复习解答题专题三十九：抛物线上最值问题的探究典例分析例1（2022天津中考）已知抛物线（a，b，c是常数，）的顶点为P，与x轴相交于点和点B．（1）若，①求点P的坐标；②直线（m是常数，）与抛物线相交于点M，与相交于点G，当取得最大值时，求点M，G的坐标；（2）若，直线与抛物线相交于点N，E是x轴的正半轴上的动点，F是y轴的负半轴上的动点，当的最小值为5时，求点E，F的坐标．专题过关1.（2022宜宾中考）如图，抛物线与x轴交于、两点，与y轴交于点，其顶点为点D，连结AC．

（1）求这条抛物线所对应的二次函数的表达式及顶点D的坐标；（2）在抛物线的对称轴上取一点E，点F为抛物线上一动点，使得以点A、C、E、F为顶点、AC为边的四边形为平行四边形，求点F的坐标；（3）在（2）的条件下，将点D向下平移5个单位得到点M，点P为抛物线的对称轴上一动点，求的最小值．2.（2022雅安中考）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象过点A（﹣1，0），B（3，0），且与y轴交于点C（0，﹣3）．

（1）求此二次函数的表达式及图象顶点D的坐标；（2）在此抛物线的对称轴上是否存在点E，使△ACE为Rt△，若存在，试求点E的坐标，若不存在，请说明理由；（3）在平面直角坐标系中，存在点P，满足PA⊥PD，求线段PB的最小值．3.（2022凉山中考）在平面直角坐标系xoy中，已知抛物线y＝－x2＋bx＋c经过点A（－1，0）和点B（0，3），顶点为C，点D在其对称轴上，且位于点C下方，将线段DC绕点D按顺时针方向旋转90°，点C落在抛物线上的点P处．（1）求抛物线的解析式；（2）求点P的坐标；（3）将抛物线平移，使其顶点落在原点O，这时点P落在点E的位置，在y轴上是否存在点M，使得MP＋ME的值最小，若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．4.（2022广元中考）在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x﹣2与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）经过A，B两点，并与x轴的正半轴交于点C．（1）求a，b满足的关系式及c的值；（2）当a＝时，若点P是抛物线对称轴上的一个动点，求△PAB周长的最小值；（3）当a＝1时，若点Q是直线AB下方抛物线上的一个动点，过点Q作QD⊥AB于点D，当QD的值最大时，求此时点Q的坐标及QD的最大值．5．（2022遂宁中考）（12分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中点A的坐标为（﹣1，0），点C的坐标为（0，﹣3）．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，E为△ABC边AB上的一动点，F为BC边上的一动点，D点坐标为（0，﹣2），求△DEF周长的最小值；（3）如图2，N为射线CB上的一点，M是抛物线上的一点，M、N均在第一象限内，B、N位于直线AM的同侧，若M到x轴的距离为d，△AMN面积为2d，当△AMN为等腰三角形时，求点N的坐标．6.（2022邵阳中考）如图，已知直线y=2x+2与抛物线y=ax2+bx+c相交于A，B两点，点A在x轴上，点B在y轴上，点C(3，0)在抛物线上．（1）求该抛物线的表达式．（2）正方形OPDE的顶点O为直角坐标系原点，顶点P在线段OC上，顶点E在y轴正半轴上，若△AOB与△DPC全等，求点P的坐标．（3）在条件（2）下，点Q是线段CD上的动点（点Q不与点D重合），将△PQD沿PQ所在的直线翻折得到△PQD'，连接CD'，求线段CD'长度的最小值．7.（2022常德中考）如图，已经抛物线经过点，，且它的对称轴为．（1）求此抛物线的解析式；（2）若点是抛物线对称轴上的一点，且点在第一象限，当的面积为15时，求的坐标；（3）在（2）的条件下，是抛物线上的动点，当的值最大时，求的坐标以及的最大值8.（2022齐齐哈尔中考）综合与探究如图，某一次函数与二次函数的图象交点为A（-1，0），B（4，5）．

（1）求抛物线的解析式；（2）点C为抛物线对称轴上一动点，当AC与BC的和最小时，点C的坐标为；（3）点D为抛物线位于线段AB下方图象上一动点，过点D作DE⊥x轴，交线段AB于点E，求线段DE长度最大值；（4）在（2）条件下，点M为y轴上一点，点F为直线AB上一点，点N为平面直角坐标系内一点，若以点C，M，F，N为顶点的四边形是正方形，请直接写出点N的坐标．9.（2022牡丹江中考）如图，已知抛物线（a＞0）与x轴交于点B、C，与y轴交于点E，且点B在点C的左侧．

（1）若抛物线过点M（﹣2，﹣2），求实数a的值；（2）在（1）的条件下，解答下列问题；①求出△BCE的面积；②在抛物线的对称轴上找一点H，使CH+EH的值最小，直接写出点H的坐标．10.（2022梧州中考）如图，在平面直角坐标系中，直线分别与x，y轴交于点A，B，抛物线恰好经过这两点．（1）求此抛物线的解析式；（2）若点C的坐标是，将绕着点C逆时针旋转90°得到，点A的对应点是点E．①写出点E的坐标，并判断点E是否在此抛物线上；②若点P是y轴上的任一点，求取最小值时，点P的坐标．11．（2022桂林中考）（12分）如图，抛物线y＝﹣x2+3x+4与x轴交于A，B两点（点A位于点B的左侧），与y轴交于C点，抛物线的对称轴l与x轴交于点N，长为1的线段PQ（点P位于点Q的上方）在x轴上方的抛物线对称轴上运动．（1）直接写出A，B，C三点的坐标；（2）求CP+PQ+QB的最小值；（3）过点P作PM⊥y轴于点M，当△CPM和△QBN相似时，求点Q的坐标．

12.（2022武威中考）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，点在轴上，且，，分别是线段，上的动点（点，不与点，，重合）．（1）求此抛物线的表达式；（2）连接并延长交抛物线于点，当轴，且时，求的长；（3）连接．①如图2，将沿轴翻折得到，当点在抛物线上时，求点的坐标；②如图3，连接，当时，求的最小值．2023学年二轮复习解答题专题三十九：抛物线上最值问题的探究典例分析例1（2022天津中考）已知抛物线（a，b，c是常数，）的顶点为P，与x轴相交于点和点B．（1）若，①求点P的坐标；②直线（m是常数，）与抛物线相交于点M，与相交于点G，当取得最大值时，求点M，G的坐标；（2）若，直线与抛物线相交于点N，E是x轴的正半轴上的动点，F是y轴的负半轴上的动点，当的最小值为5时，求点E，F的坐标．【答案】（1）①；②点M的坐标为，点G的坐标为；（2）点和点；【解析】【分析】（1）①将b、c的值代入解析式，再将A点坐标代入解析式即可求出a的值，再用配方法求出顶点坐标即可；②先令y=0得到B点坐标，再求出直线BP的解析式，设点M的坐标为，则点G的坐标为，再表示出MG的长，配方求出最值得到M、G的坐标；（2）根据，解析式经过A点，可得到解析式：，再表示出P点坐标，N点坐标，接着作点P关于y轴的对称点，作点N关于x轴的对称点，再把和的坐标表示出来，由题意可知，当取得最小值，此时，将字母代入可得：，求出a的值，即可得到E、F的坐标；【小问1详解】①∵抛物线与x轴相交于点，∴．又，得．∴抛物线的解析式为．∵，∴点P的坐标为．②当时，由，解得．∴点B的坐标为．设经过B，P两点的直线的解析式为，有解得∴直线的解析式为．∵直线（m是常数，）与抛物线相交于点M，与相交于点G，如图所示：∴点M的坐标为，点G的坐标为．∴．∴当时，有最大值1．此时，点M的坐标为，点G的坐标为．【小问2详解】由（Ⅰ）知，又，∴．∴抛物线的解析式为．∵，∴顶点P的坐标为．∵直线与抛物线相交于点N，∴点N的坐标为．作点P关于y轴的对称点，作点N关于x轴的对称点，如图所示：得点的坐标为，点的坐标为．当满足条件的点E，F落在直线上时，取得最小值，此时，．延长与直线相交于点H，则．在中，．∴．解得（舍）．∴点的坐标为，点的坐标为．则直线的解析式为．∴点和点．【点睛】本题考查二次函数的几何综合运用，熟练掌握待定系数法求函数解析式、配方法求函数顶点坐标、勾股定理解直角三角形等是解决此类问题的关键．专题过关1.（2022宜宾中考）如图，抛物线与x轴交于、两点，与y轴交于点，其顶点为点D，连结AC．

（1）求这条抛物线所对应的二次函数的表达式及顶点D的坐标；（2）在抛物线的对称轴上取一点E，点F为抛物线上一动点，使得以点A、C、E、F为顶点、AC为边的四边形为平行四边形，求点F的坐标；（3）在（2）的条件下，将点D向下平移5个单位得到点M，点P为抛物线的对称轴上一动点，求的最小值．【答案】（1），顶点D的坐标为（2）或（3）【解析】【分析】（1）用待定系数法求解二次函数解析式，再化成顶点式即可得出顶点坐标；（2）先用待定系数法求直线AC解析式为，再过点F作于点G，证，得，设F点的坐标为，则G点的坐标为，所以，即可求出或，从而求得点F坐标；（3），是平移得得点M的坐标为，则（2）知点与点关于对称轴对称，连结，对称轴于点H，连结、，过点作于点N，交对称轴于点P，则，，．在中，，则在中，，所以，所以为最小值，根据，所以，即可求出．【小问1详解】解：∵抛物线经过点，，，∴，解得：，∴抛物线的解析式为：=-(x-1)2+4，∴顶点D的坐标为；【小问2详解】解：设直线AC的解析式为：，把点，代入得：，，∴直线AC解析式为：，过点F作于点G，

∵以A、C、E、F四点为顶点的四边形是以AC为边的平行四边形，∴，AC=EF，又∵，∴∴，∴，设F点的坐标为，则G点的坐标为，∴，∴或，当时，，∴，当时，∴，∴或；【小问3详解】解：由题意，得点M的坐标为，由题意知：点与点关于对称轴对称，连结，对称轴于点H，连结、，过点作于点N，交对称轴于点P，则，，．

在中，，则在中，∴，又∵∴为最小值，又∵，∴，∴求得的最小值为．【点睛】本题考查用待定系数法求函数解析式，二次函数图象性质，平行四边形的性质，解直角三角形，利用轴对称求最小值，本题属二次函数综合题目，掌握二交次函数图象性质和灵活运用是解题的关键．2.（2022雅安中考）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象过点A（﹣1，0），B（3，0），且与y轴交于点C（0，﹣3）．

（1）求此二次函数的表达式及图象顶点D的坐标；（2）在此抛物线的对称轴上是否存在点E，使△ACE为Rt△，若存在，试求点E的坐标，若不存在，请说明理由；（3）在平面直角坐标系中，存在点P，满足PA⊥PD，求线段PB的最小值．【答案】（1）（2）E的坐标为：或或或（3）BP的最小值为：【解析】【分析】（1）根据题意可设抛物线为再代入C的坐标可得函数解析式，化为顶点式可得顶点坐标；（2）如图，由可得抛物线对称轴为：设而A（﹣1，0），C（0，-3），再利用勾股定理分别表示再分三种情况讨论即可；（3）如图，连结AD，记AD的中点为H，由则在以H为圆心，HA为半径的圆H上，不与A，D重合，连结BH，交圆H于P，则PB最短，再求解H的坐标，结合勾股定理可得答案．【小问1详解】解：二次函数y＝ax2+bx+c的图象过点A（﹣1，0），B（3，0），∴设二次函数为：把C（0，﹣3）代入抛物线可得：解得：∴抛物线为：【小问2详解】如图，由可得抛物线的对称轴为：

设而A（﹣1，0），C（0，-3），当时，，解得即当时，解得：即当时，整理得：解得：综上：E的坐标为：或或或【小问3详解】如图，连结AD，记AD的中点为H，由则在以H为圆心，HA为半径的圆H上，不与A，D重合，

连结BH，交圆H于P，则PB最短，即BP的最小值为：【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解抛物线的解析式，二次函数的性质，勾股定理的应用，二次函数与圆的综合，判断PB最小时，P的位置是解本题的关键．3.（2022凉山中考）在平面直角坐标系xoy中，已知抛物线y＝－x2＋bx＋c经过点A（－1，0）和点B（0，3），顶点为C，点D在其对称轴上，且位于点C下方，将线段DC绕点D按顺时针方向旋转90°，点C落在抛物线上的点P处．（1）求抛物线的解析式；（2）求点P的坐标；（3）将抛物线平移，使其顶点落在原点O，这时点P落在点E的位置，在y轴上是否存在点M，使得MP＋ME的值最小，若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）（2）（3）存在，【解析】【分析】（1）根据点的坐标，利用待定系数法即可得；（2）先求出抛物线的对称轴，再设点的坐标为，则，根据旋转的性质可得，从而可得，将点代入抛物线的解析式求出的值，由此即可得；（3）先根据点坐标的平移规律求出点，作点关于轴的对称点，连接，从而可得与轴的交点即为所求的点，再利用待定系数法求出直线的解析式，由此即可得出答案．【小问1详解】解：将点代入得：，解得，则抛物线的解析式为．【小问2详解】解：抛物线的对称轴为直线，其顶点的坐标为，设点的坐标为，则，由旋转的性质得：，，即，将点代入得：，解得或（舍去），当时，，所以点的坐标为．【小问3详解】解：抛物线的顶点的坐标为，则将其先向左平移1个单位长度，再向下平移4个单位长度恰好落在原点，这时点落在点的位置，且，，即，恰好在对称轴直线上，如图，作点关于轴的对称点，连接，则，由两点之间线段最短可知，与轴的交点即为所求的点，此时的值最小，即的值最小，由轴对称的性质得：，设直线的解析式为，将点代入得：，解得，则直线的解析式为，当时，，故在轴上存在点，使得的值最小，此时点的坐标为．【点睛】本题考查了求二次函数的解析式、二次函数的图象与性质、旋转的性质、点坐标的平移规律等知识点，熟练掌握待定系数法和二次函数的图象与性质是解题关键．4.（2022广元中考）在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x﹣2与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）经过A，B两点，并与x轴的正半轴交于点C．（1）求a，b满足的关系式及c的值；（2）当a＝时，若点P是抛物线对称轴上的一个动点，求△PAB周长的最小值；（3）当a＝1时，若点Q是直线AB下方抛物线上的一个动点，过点Q作QD⊥AB于点D，当QD的值最大时，求此时点Q的坐标及QD的最大值．【答案】（1）2a=b+1，c=-2；（2）△PAB周长最小值是2+2；（3）此时Q（-1，-2），DQ最大值为．【解析】【分析】（1）先求得点A、点B的坐标，再利用待定系数法求解即可；（2）先利用对称性找出△PAB周长最小时点P的位置，此时AP=CP，△PAB的周长最小值为：PB+PA+AB=BC+AB，根据勾股定理求出AB、BC的长即可求出△PAB最小值；（3）过点Q作QF⊥x轴交于F点，交直线AB于点E，得到∠QED=∠EQD=45°，推出QD=ED=EQ，设Q（t，t2+t-2），E（t，-t-2），求得QE=-t2-2t，再利用二次函数的性质即可求解．【小问1详解】解：∵直线y＝﹣x﹣2与x轴交于点A，与y轴交于点B，∴点A的坐标为(-2，0)，点B的坐标为(0，-2)，∵抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）经过A，B两点，∴，∴2a=b+1，c=-2；【小问2详解】解：当a=时，则b=-，∴抛物线的解析式为y=x2-x-2，抛物线的对称轴为直线x=1，∵点A的坐标为(-2，0)，∴点C的坐标为(4，0)，△PAB的周长为：PB+PA+AB，且AB是定值，∴当PB+PA最小时，△PAB的周长最小，∵点A、C关于直线x=1对称，∴连接BC交直线x=1于点P，此时PB+PA值最小，∵AP=CP，∴△PAB的周长最小值为：PB+PA+AB=BC+AB，∵A（-2，0），B（0，-2），C（4，0），∴OA=2，OB=2，OC=4，由勾股定理得BC=2，AB=2，∴△PAB的周长最小值是：2+2．【小问3详解】解：当a=1时，b=1，∴抛物线的解析式为y=x2+x-2，过点Q作QF⊥x轴交于F点，交直线AB于点E，∵A（-2，0），B（0，-2），∴OA=OB，∴∠OAB=45°，∵QD⊥AB，∴∠AEF=∠QED=∠EQD=45°，∴QD=ED=EQ，设Q（t，t2+t-2），E（t，-t-2），∴QE=-t-2-(t2+t-2)=-t2-2t，∴DQ=QE=-(t2+2t)=-(t+1)2+，当t=-1时，DQ有最大值，此时Q（-1，-2）．【点睛】本题是二次函数的综合题，熟练掌握二次函数的图象及性质，等腰直角三角形的性质是解题的关键．5．（2022遂宁中考）（12分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中点A的坐标为（﹣1，0），点C的坐标为（0，﹣3）．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，E为△ABC边AB上的一动点，F为BC边上的一动点，D点坐标为（0，﹣2），求△DEF周长的最小值；（3）如图2，N为射线CB上的一点，M是抛物线上的一点，M、N均在第一象限内，B、N位于直线AM的同侧，若M到x轴的距离为d，△AMN面积为2d，当△AMN为等腰三角形时，求点N的坐标．【分析】（1）利用待定系数法把问题转化为方程组解决；（2）如图，设D1为D关于直线AB的对称点，D2为D关于ZX直线BC的对称点，连接D1E，D2F，D1D2．当D1，E．F．D2共线时，△DEF的周长最小，最小值为D1D2的长；（3）求出直线AM的解析式，利用方程组求出点M的坐标，过点M作x轴的平行线l，过点N作y轴的平行线交x轴于点P，交直线l于点Q．分三种情形：当AM＝AN时，当AM＝MN时，当AN＝MN时，分别构建方程求解．【解答】解：（1）∵抛物线y＝x2+bx+c经过点A（﹣1，0），点C（0，﹣3）．∴，∴，∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3；（2）如图，设D1为D关于直线AB的对称点，D2为D关于ZX直线BC的对称点，连接D1E，D2F，D1D2．由对称性可知DE＝D1E，DF＝D2F，△DEF的周长＝D1E+EF+D2F，∴当D1，E．F．D2共线时，△DEF的周长最小，最小值为D1D2的长，令y＝0，则x2﹣2x﹣3＝0，解得x＝﹣1或3，∴B（3，0），∴OB＝OC＝3，∴△BOC是等腰直角三角形，∵BC垂直平分DD2，且D（﹣2，0），∴D2（1，﹣3），∵D，D1关于x轴的长，∴D1（0，2），∴D1D2＝＝＝，∴△DEF的周长的最小值为．（3）∵M到x轴距离为d，AB＝4，连接BM．∴S△ABM＝2d，又∵S△AMN＝2d，∴S△ABM＝S△AMN，∴B，N到AM的距离相等，∵B，N在AM的同侧，∴AM∥BN，设直线BN的解析式为y＝kx+m，则有，∴，∴直线BC的解析式为y＝x﹣3，∴设直线AM的解析式为y＝x+n，∵A（﹣1，0），∴直线AM的解析式为y＝x+1，由，解得或，∴M（4，5），∵点N在射线BC上，∴设N（t，t﹣3），过点M作x轴的平行线l，过点N作y轴的平行线交x轴于点P，交直线l于点Q．∵A（﹣1，0），M（4，5），N（t，t﹣3），∴AM＝5，AN＝，MN＝，∵△AMN是等腰三角形，当AM＝AN时，5＝，解得t＝1±，当AM＝MN时，5＝，解得t＝6±，当AN＝MN时，＝，解得t＝，∵N在第一象限，∴t＞3，∴t的值为，1+，6+，∴点N的坐标为（，）或（1+，﹣2+）或（6+，3+）．【点评】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，一次函数的性质，轴对称最短问题，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．6.（2022邵阳中考）如图，已知直线y=2x+2与抛物线y=ax2+bx+c相交于A，B两点，点A在x轴上，点B在y轴上，点C(3，0)在抛物线上．（1）求该抛物线的表达式．（2）正方形OPDE的顶点O为直角坐标系原点，顶点P在线段OC上，顶点E在y轴正半轴上，若△AOB与△DPC全等，求点P的坐标．（3）在条件（2）下，点Q是线段CD上的动点（点Q不与点D重合），将△PQD沿PQ所在的直线翻折得到△PQD'，连接CD'，求线段CD'长度的最小值．【答案】（1）该抛物线的表达式为y=x2+x+2；（2）点P的坐标为(1，0)或(2，0)；（3）线段CD'长度的最小值为1．【解析】【分析】（1）先求得点A(-1，0)，点B(0，2)，利用待定系数法即可求解；（2）分两种情况讨论：△AOB≌△DPC和△AOB≌△CPD，利用全等三角形的性质求解即可；（3）按照（2）的结论，分两种情况讨论，当P、D'、C三点共线时，线段CD'长度取得最小值，据此求解即可．【小问1详解】解：令x=0，则y=2x+2=2，令y=0，则0=2x+2，解得x=-1，点A(-1，0)，点B(0，2)，把A(-1，0)，B(0，2)，C(3，0)代入y=ax2+bx+c，得，解得，∴该抛物线的表达式为y=x2+x+2；【小问2详解】解：若△AOB和△DPC全等，且∠AOB=∠DPC=90°，分两种情况：①△AOB≌△DPC，则AO=PD=1，OB=PC=2，∵OC=3，∴OP=3-2=1，∴点P的坐标为(1，0)；②△AOB≌△CPD，则OB=PD=2，∴正方形OPDE的边长为2，∴点P的坐标为(2，0)；综上，点P的坐标为(1，0)或(2，0)；【小问3详解】解：①点P的坐标为(1，0)时，∵△PQD'与△PQD关于PQ对称，∴PD'=PD，∴点D'在以点P为圆心，1为半径的圆上运动，当P、D'、C三点共线时，线段CD'长度取得最小值，最小值为2-1=1；②点P的坐标为(2，0)时，∵△PQD'与△PQD关于PQ对称，∴PD'=PD，∴点D'在以点P为圆心，2为半径的圆上运动，当P、C、D'三点共线时，线段CD'长度取得最小值，最小值为2-1=1；综上，线段CD'长度的最小值为1．【点睛】此题主要考查了二次函数的综合应用，全等三角形的判定与性质以及待定系数法求二次函数解析式，正方形的性质的应用，点和圆的位置关系，解题的关键是正确进行分类讨论．7.（2022常德中考）如图，已经抛物线经过点，，且它的对称轴为．（1）求此抛物线的解析式；（2）若点是抛物线对称轴上的一点，且点在第一象限，当的面积为15时，求的坐标；（3）在（2）的条件下，是抛物线上的动点，当的值最大时，求的坐标以及的最大值【答案】（1）（2）（3）的最大值为【解析】【分析】（1）根据题意可设抛物线为再利用待定系数法求解抛物线的解析式即可；（2）设且记OA与对称轴的交点为Q，设直线为：解得：可得直线为：则利用列方程，再解方程即可；（3）如图，连接AB，延长AB交抛物线于P，则此时最大，由勾股定理可得最小值，再利用待定系数法求解AB的解析式，联立一次函数与二次函数的解析式，解方程组可得P的坐标．【小问1详解】解：抛物线经过点，∴设抛物线为：抛物线过，且它的对称轴为．解得：∴抛物线为：【小问2详解】解：如图，点是抛物线对称轴上的一点，且点在第一象限，设且记OA与对称轴的交点为Q，设直线为：解得：直线为：解得：或∵则【小问3详解】如图，连接AB，延长AB交抛物线于P，则此时最大，设AB为：代入A、B两点坐标，解得：∴AB为：解得：【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解二次函数的解析式，坐标与图形面积，三角形三边关系的应用，勾股定理的应用，确定最大时P的位置是解本题的关键．8.（2022齐齐哈尔中考）综合与探究如图，某一次函数与二次函数的图象交点为A（-1，0），B（4，5）．

（1）求抛物线的解析式；（2）点C为抛物线对称轴上一动点，当AC与BC的和最小时，点C的坐标为；（3）点D为抛物线位于线段AB下方图象上一动点，过点D作DE⊥x轴，交线段AB于点E，求线段DE长度最大值；（4）在（2）条件下，点M为y轴上一点，点F为直线AB上一点，点N为平面直角坐标系内一点，若以点C，M，F，N为顶点的四边形是正方形，请直接写出点N的坐标．【答案】（1）（2）（1，2）（3）（4）【解析】【分析】（1）将A（-1，0），B（4，5）代入得到关于m，n的二元一次方程组求解即可；（2）抛物线的对称轴为，求出直线AB与对称轴的交点即可求解；（3）设，则，则，根据二次函数的性质求解即可；（4）根据题意画出图形，分情况求解即可．【小问1详解】解：将A（-1，0），B（4，5）代入得，，解这个方程组得，抛物线的解析式为：；小问2详解】解：如图，设直线AB的解析式为：，把点A（-1，0），B（4，5）代入，得，解得，直线AB的解析式为：，由（1）知抛物线的对称轴为，点C为抛物线对称轴上一动点，，当点C在AB上时，最小，把x=1代入，得y=2，点C的坐标为（1，2）；

【小问3详解】解：如图，由（2）知直线AB的解析式为y=x+1设，则，则，当时，DE有最大值为，

【小问4详解】解：如图，直线AB的解析式为：y=x+1，直线与y轴的交点为D（0，1），，，若以点C，M，F，N为顶点的四边形是正方形，分情况讨论：①过点C作轴于点，则为等腰直角三角形，过点C作，则四边形为正方形，依题意，知D与F重合，点的坐标为（1，1）；

②以为中心分别作点F，点C点的对称点，连接，则四边形是正方形，则点的坐标为（-1，2）；

③延长到使，作于点，则四边形是正方形，则的坐标为（1，4）；

④取的中点，的中点，则为正方形，则的坐标为，

综上所述，点N的坐标为：【点睛】本题考查了用待定系数法求一次函数和二次函数的解析式，二次函数的性质，正方形的判定，根据题意正确画图是解本题的关键．9.（2022牡丹江中考）如图，已知抛物线（a＞0）与x轴交于点B、C，与y轴交于点E，且点B在点C的左侧．

（1）若抛物线过点M（﹣2，﹣2），求实数a的值；（2）在（1）的条件下，解答下列问题；①求出△BCE的面积；②在抛物线的对称轴上找一点H，使CH+EH的值最小，直接写出点H的坐标．【答案】（1）a=4；（2）①6；②（﹣1，）【解析】【详解】解：（1）将M（﹣2，﹣2）代入抛物线解析式得：，解得：a=4．（2）①由（1）抛物线解析式，当y=0时，得：，解得：．∵点B在点C的左侧，∴B（﹣4，0），C（2，0）．当x=0时，得：y=﹣2，∴E（0，﹣2）．∴S△BCE=×6×2=6．②∵，∴抛物线对称轴为直线x=﹣1．连接BE，与对称轴交于点H，即为所求．设直线BE解析式为y=kx+b，将B（﹣4，0）与E（0，﹣2）代入得：，解得：．∴直线BE解析式．将x=﹣1代入得：，∴H（﹣1，）．10.（2022梧州中考）如图，在平面直角坐标系中，直线分别与x，y轴交于点A，B，抛物线恰好经过这两点．（1）求此抛物线的解析式；（2）若点C的坐标是，将绕着点C逆时针旋转90°得到，点A的对应点是点E．①写出点E的坐标，并判断点E是否在此抛物线上；②若点P是y轴上的任一点，求取最小值时，点P的坐标．【答案】（1）（2）①点E在抛物线上；②（0，）【解析】【分析】（1）先求出A、B坐标，然后根据待定系数法求解即可；（2）①根据旋转性质求出EF=AO=3，CF=CO=6，从而可求E的坐标，然后把E的坐标代入（1）的函数解析式中，从而判断出点E是否在抛物线上；②过点P作PQ⊥AB于Q，证明△ABO∽△PBQ，从而求出，则可判断当P，E，Q三点共线，且EP⊥AB时，取最小值，然后根据待定系数法求直线EP解析式，即可求出点P的坐标．【小问1详解】解：当x=0时，y=-4，当y=0时，，∴x=-3，∴A（-3，0），B（0，-4），把A、B代入抛物线，得，∴，∴抛物线解析式为；【小问2详解】①∵A（-3，0），C（0，6），∴AO=3，CO=6，由旋转知：EF=AO=3，CF=CO=6，∠FCO=90°∴E到x轴的距离为6-3=3，∴点E的坐标为（6，3），当x=3时，，∴点E在抛物线上；②过点P作PQ⊥AB于Q，又∠AOB=90°，∴∠AOB=∠PQB，在Rt△ABO中，AO=3，BO=4，∴由勾股定理得：AB=5，∵∠AOB=∠PQB，∠ABO=∠PBQ，∴△ABO∽△PBQ，∴，∴，∴，∴，∴当P，E，Q三点共线，且EP⊥AB时，取最小值，∵EP⊥AB，∴设直线EP解析式为，又E（6，0），∴，∴，∴直线EP解析式为，当x=0时，y=，∴点P坐标为（0，）．【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数函数解析式，相似三角形的判定与性质等，解第（2）题第②问的关键是正确作出点P的位置．11．（2022桂林中考）（12分）如图，抛物线y＝﹣x2+3x+4与x轴交于A，B两点（点A位于点B的左侧），与y轴交于C点，抛物线的对称轴l与x轴交于点N，长为1的线段PQ（点P位于点Q的上方）在x轴上方的抛物线对称轴上运动．（1）直接写出A，B，C三点的坐标；（2）求CP+PQ+QB的最小值；（3）过点P作PM⊥y轴于点M，当△CPM和△QBN相似时，求点Q的坐标．

【考点】二次函数综合题．【分析】（1）由y＝﹣x2+3x+4可得A（﹣1，0），B（4，0），C（0，4）；（2）将C（0，4）向下平移至C'，使CC'＝PQ，连接BC'交抛物线的对称轴l于Q，可知四边形CC'QP是平行四边形，及得CP+PQ+BQ＝C'Q+PQ+BQ＝BC'+PQ，而B，Q，C'共线，故此时CP+PQ+BQ最小，最小值为BC'+PQ的值，由勾股定理可得BC'＝5，即得CP+PQ+BQ最小值为6；（3）由在y＝﹣x2+3x+4得抛物线对称轴为直线x＝﹣＝，设Q（，t），则Q（，t+1），M（0，t+1），N（，0），知BN＝，QN＝t，PM＝，CM