考研数学三(多元函数微积分学)模拟试卷3(题后含答案及解析)

考研数学三（多元函数微积分学）模拟试卷3(题后含答案及解析)题型有：1.选择题2.填空题3.解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1．考虑二元函数的下面4条性质：①f(x，y)在点(x0，y0)处连续；②f(x，y)在点(x0，y0)处的两个偏导数连续；③f(x，y)在点(x0，y0)处可微；④f(x，y)在点(x0，y0)处的两个偏导数存在．若用“P→Q”表示可由性质P推出性质Q，则有A．②→③→①．B．③→②→①．C．③→④→①．D．③→①→④．正确答案：A涉及知识点：多元函数微积分学2．设可微函数f(x，y)在点(xo，yo)取得极小值，则下列结论正确的是A．f(xo，y)在y=yo处的导数等于零．B．f(xo，y)存y=yo处的导数大于零．C．f(xo，y)在y=yo处的导数小于零．D．f(xo，y)在y=yo处的导数不存在．正确答案：D涉及知识点：多元函数微积分学3．已知函数f(x)在区间(1-δ，1+δ)内具有二阶导数，f’(x)单调减少；且f(1)=f’(1)=1，则A．在(1-δ，1)和(1，1+δ)内均有f(x)<x．B．在(1-δ，1)和(1，1+δ)内均有f(x)>x．C．在(1-δ，1)内f(x)<x；在(1，1+δ)内f(x)>x．D．在(1-δ，1)内f(x)>x；在(1，1+δ)内f(x)<x．正确答案：A涉及知识点：多元函数微积分学4．当a取下列哪个值时，函数，(x)=2x3-9x2+12x-a恰有两个不同的零点．A．2B．4C．6D．8正确答案：B涉及知识点：多元函数微积分学5．以下四个命题中，正确的是A．若f(x)在(0，1)内连续，则f(x)在(0，1)内有界.B．若f(x)在(0，1)内连续，则f(x)在(0，1)内有界．C．若f’(x)在(0，1)内有界，则f(x)在(0，1)内有界．D．若f(x)在(0，1)内有界，则f’(x)在(0，1)内有界．正确答案：C涉及知识点：多元函数微积分学6．微分方程y”+y=x2+1+sinx的特解形式可设为A．y*=ax2+bx+c+x(Asinx+Bcosx)．B．y*=x(ax2+bx+c+Asinx+Bcosx)．C．y*=ax2+bx+c+Asinx．D．y*=ax2+bx+c+Acosx．正确答案：A涉及知识点：多元函数微积分学7．设f(x)是连续函数，F(x)是f(x)的原函数，则A．当f(x)是奇函数时，F(x)必是偶函数．B．当f(x)是偶函数时，F(x)必是奇函数．C．当f(x)是周期函数时，F(x)必是周期函数．D．当f(x)是单调增函数时，F(x)必是单调增函数．正确答案：B涉及知识点：多元函数微积分学8．已知y=x/lnx是微分方程y’=y/x+φ(x/y)的解，则φ(x/y)的表达式为A．-y2/x2B．y2/x2C．-x2/y2D．x2/y2正确答案：A涉及知识点：多元函数微积分学9．设y1，y2是一阶线性非齐次微分方程y.+p(x)y=q(x)的两个特解，若常数λ，μ使λy1+μy2是该方程的解，λy1-μy2是该方程对应的齐次方程的解，则A．λ=1/2,μ=1/2B．λ=-1/2,μ=-1/2C．λ=2/3,μ=1/3D．λ=2/3,μ=2/3正确答案：A涉及知识点：多元函数微积分学10．若f(x)不变号，且曲线y=f(x)在点(1，1)处的曲率圆为x2+y2=2，则函数f(x)在区间(1，2)内A．有极值点，无零点．B．无极值点，有零点．C．有极值点，有零点．D．无极值点，无零点．正确答案：B涉及知识点：多元函数微积分学填空题11．设二元函数z=xex+y+(x+1)ln(1+y)，则dz丨(1，0)=___________.正确答案：2edx+(e+2)dy涉及知识点：多元函数微积分学12．设z=(x+ey)x，则θz/θx丨(1，0)=___________.正确答案：2ln2+1涉及知识点：多元函数微积分学13．设函数z=(1+x/y)x/y,则dz丨(1，1)=___________.正确答案：-(2ln2+1)涉及知识点：多元函数微积分学14．设z=f(xy,x/y)+g(y/x)，其中f,g均可微，则θz/θx=________.正确答案：yf1’+(1/y)f2’-(y/x2)g’涉及知识点：多元函数微积分学15．设函数f(u)可微，且f(0)=1/2，则z=f(4x2-y2)在点(1，2)处的全微分dz丨(1，2)=_________.正确答案：4dx-2dy涉及知识点：多元函数微积分学16．y=2x的麦克劳林公式中xn项的系数是_________.正确答案：lnn2/n!涉及知识点：多元函数微积分学17．设生产函数为Q=ALαKβ，其巾Q是产出量，L是劳动投入量，K是资本投入量，而A、α、β均为大于零的参数，则Q=1时K关于L的弹性为________.正确答案：-α/β涉及知识点：多元函数微积分学18．设某商品的需求函数为Q=160-2p，其中Q，P分别表示需要量和价格，如果该商品需求弹性的绝对值等于1，则商品的价格是________.正确答案：40涉及知识点：多元函数微积分学19．设某产品的需求函数为Q=Q(p)，其对价格P的弹性εP=2，则当需求量为10000件时，价格增加1元会使产品收益增加______元．正确答案：4000涉及知识点：多元函数微积分学20．设某商品的收益函数为R(P)，收益弹性为1+P3，其中P为价格，且R(1)=1，则R(P)=_________.正确答案：Pe1/3(P3-1)涉及知识点：多元函数微积分学解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。设函数f(x)在区间[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且f(0)=f(1)=0，f(1/2)=1．试证：21．存在η∈(1/2，1)，使f(η)=η；正确答案：令φ(x)=f(x)-x，则φ(x)在[0，1]上连续．又φ(1)=-1<0，φ(1/2)=1/2>0．由介值定理可知，存在η∈（1/2，1)，使得φ(η)=f(η)-η=0，即f(η)=η．涉及知识点：多元函数微积分学22．对任意实数λ，必存在ξ∈(0，η)，使得f’(ξ)-λ[f(ξ)-ξ]=1．正确答案：要证f’(ξ)-λ[f(ξ)-ξ]=1，即要证[f’(ξ)-1]-λ[f(ξ)-ξ]=0，记φ(x)=f(x)-x，也就是要证φ’(f)-λφ(ξ)=0．构造辅助函数F(x)=e-λxφ(x)=e-λx[f(x)-x]，不难发现F(x)在[0，η]上满足尔尔定理的全部条件，故存在ξ∈(0，η)，使F’(ξ)=0，即e-λx[φ’(ξ)-λφ(ξ)]=0，而e-λx≠0，从而有φ’(ξ)-λφ(ξ)=0，即f’(ξ)-λ[f(ξ)-ξ]=1．涉及知识点：多元函数微积分学23．求函数f(x)=(1-x)/(1+x)在x=0点处带拉格朗口余项的n阶泰勒展开式．正确答案：由f(x)=2/(1+x)=2(1+x)-1-1，f’(z)=2(-1)(1+x)-2，f”(x)