新教材高考数学一轮复习规范答题增分专项1高考中的函数与导数（含解析）新人教版

规范答题增分专项一高考中的函数与导数

1.(2020全国II,文21)已知函数f(x)=21nx+1.

⑴若f(x)W2x+c,求C的取值范围;

(2)设aX),讨论函数g(x)①3的单调性.

x-a

2.(2020全国应理21)设函数f(x)=V+bx+c,曲线片/U)在点0碓))处的切线与y轴垂直.

⑴求b;

(2)若f(x)有一个绝对值不大于1的零点，证明：f(x)所有零点的绝对值都不大于1.

3.(2020全国/,理21)已知函数f(x)b+af-x.

(1)当a=l时,讨论的单调性;

(2)当x20时,f(x)》#'月,求a的取值范围.

4.已知函数/(x)-aZ-ax-x\nx,且f(x)20.

⑴求a;

(2)证明：F(x)存在唯一的极大值点为,且/"(4)<23

5.(2020全国〃，理21)已知函数f(力壬in'sin2x.

⑴讨论f(x)在区间(0,n)内的单调性；

⑵证明:"("/W乎;

O

⑶设证明：si/xsin^xsiMx…

4〃

6.已知函数f(x)-xeu-e^l,其中££R,e是自然对数的底数.

(1)若方程F(x)=1无实数根,求实数t的取值范围；

⑵若函数f(x)在区间(0,+8)内单调递减,求实数1的取值范围.

7.已知函数f(x)=ax-lnx(0,e],g(x)二]其中e是自然对数的底数,aWR.

fX

(1)讨论当a=l时，函数/(%)的单调性和极值；

⑵求证:在⑴的条件下,/'(x)>g(x)*;

(3)是否存在正实数a,使f(x)的最小值是3?若存在,求出a的值;若不存在,请说明理由.

8.已知函数f(x)=sinxTn(l+x),f'(x)为f(x)的导数.证明:

⑴f'(x)在区间(-1,3内存在唯一极大值点；

(2)f(x)有且仅有2个零点.

规范答题增分专项-高考中的函数与导数

1.解设力(x)=f(x)-2x~ct贝!J力(x)=21nx-2x+l-cf

其定义域为(0,+8)"，(x)22

X

⑴当oa〈时，/⑺为；当时,所以方(x)在区间(o,1)内单调递增,在区间(1,+旬内

单调递减.从而当X=1时，力(X)取得最大值,最大值为2(1)=T-C.

故当且仅当T-cWO,即c2T时,F(x)W2x+c.

所以c的取值范围为［T,+9).

)。(牛Enx)_2(1方磅

取c--l,得h(力?lnx-2x+2,力(1)4),则由(1)知，当xWl时，力(x)<0,即l-x+lnx<0.故当(0,a)

U(a,+8)时，1=也渭<0,从而g'(x)<0.

XX

所以g(x)在区间(0,a),(a,+8)内单调递减.

2.⑴解/''(x)41也依题意得6(9电

即:心0,解得b=^.

44

⑵证明由(1)知F(X)=X^-X+Cyf(^)=^X.

44

令f(x)=0,解得X忖或闫.

当X变化时,f'(x)与/(%)随X的变化情况为

\_1

X(-8,7(…)

~22

f,(x)十0-0+

f(x)单调递增*单调递减i单调递增

因为A1)

所以当c＜一时,/(%)只有大于1的零点.

因为f(-l)=(9=c3,

所以当时，f(x)只有小于-1的零点.

由题设可知《WcW：.

44

当c=一时，f(x)只有两个零点一和1.

当0时,f(x)只有两个零点T和机

当一时，F(x)有三个零点为，x2,%,且X|G(T,=),而G(T，p,X3eq

综上,若f(x)有一个绝对值不大于1的零点，则Hx)所有零点的绝对值都不大于1.

3.解⑴当a=l时,f(x)=es+^-x,3'(x)=e*+2xT.

故当xG(-8,0)时,f(%)<Q；

当xG(0,+8)时,f'(x)-X).

所以f(x)在区间(-、0)内单调递减,在区间(0,+8)内单调递增.

⑵f(x)2等价于gR-a/+x+l)eWL

设函数g(x)［那-aA2+x+l)e"(x20),

=-1x[x2-(2a+3)XT(4a+2]e”

=-~x(x-2a-].)(x-2)e

①若2a+lW0,即aWg

则当(0,2)时，g'(x)H.

所以g(x)在区间(0,2)内单调递增,而g(0)=1,

故当xG(0,2)时,g(x)>1,不合题意.

②若。<2a+l<2,即/<ag

则当(0,2a+l)U(2,+-)时,/(力<0；

当xW(2a+l⑵时，g'(x)X).

所以g(x)在区间(0,2a+l),(2,+期内单调递减,在区间(2a+l,2)内单调递增.

由于g(0)=1,所以g(x)W1,当且仅当g(2)=(7Ma)1飞1,即心苧.

所以当年Wag时,g(x)Wl.

③若2a+le2,即a-g,则g(x)W加+x+l)et

由于0C[小，》，故由②可得QA3+x+1”W1.

故当aN:时,g(x)Wl.

综上,a的取值范围是[苧，+8).

4.⑴解/U)的定义域为(0,+2.

设g(x)=ax-a-\x\x,

则f(x)=xg{x),f(x)20等价于g(x)20.

因为g(l)4g(x)R,所以g'(l)或而g'(x)=af,g'(D=aT,得a=\.

若a-1,则g'(x)

当0<¥<l时,g'(x)<0,g(x)单调递减;当x>\时,g'(x)X),g(x)单调递增.

所以是g(x)的极小值点,也是最小值点，

故g(x)2g(1)a综上，a=l.

⑵证明由⑴知f(x)=x-x-xlnxff\x)与x-2Tnx.

设力(x)=2x-2-lnx,则力'(x)

X

因为当xw(o,9时,/(X)<0；当xW(1,+8)时，力，(x)Y.

所以Mx)在区间(0,9内单调递减,在区间,8)内单调递增.

又方面)>0"(9<0"⑴=0,所以6x)在区间(0,J内有唯一零点4,在区间区+8)内有唯一零点1,

且当(0,4)时，力(x)X);当(4,1)时，力(x)<0;当(1,+8)时，力(x)x).

因为尸(x)45),所以产不是F(x)的唯一极大值点.

由f'(%)丸得111蜀之(4-1),故F(4)=%(1.

由xf(0,0,得f(%)<i.

由上可知,x=%是f(x)在区间(0,1)内的最大值点，

又ek(0,1),r(e')W0,所以/•日)»—)予2.

所以eSx〉<2t

5.(1)解F'(x)气osx(sinxsin2x)+sinx(sinxsin2x)’

之sinxcosxsin2x+2sir?xcos2x

之sinxsin3x.

当XJ(0,g)U缺，“)时,f'(x)X;

当XG(g,今)时,ra)<o.

所以f(x)在区间(o,I),(9,页)内单调递增,在区间号，今)内单调递减.

⑵证明因为AO)=f(”)=0,由⑴知,f(x)在区间［0,n］的最大值为奄)哼,最小值为底)=-

3a

而f(x)是周期为n的周期函数，故/Ax)区乎.

O

3

⑶证明因为(sin2xsin22%,,,sin2nx)2

=/sin，sin32x…sir?2"x/

=/sinx//sin'xsir?2不…sinprxsinZkV/sinN'x/

=/sinx//f{x}F(2x)…『(2"-，)//sir?2"x/

W/F(x)f(2x)・・・F(2〃」x)/,

2n

所以sin,xsin^x-sinN'xW(岸)'二》

6.解⑴由F(x)=l,得

即户9'”>为，故有四二l-t.

X

令g(x)邛，则/(X)号.

由g'(x);>o,得oa<b；

由g'(x)<0,得x>e.

故屋x)在区间(0,e)内单调递增,

在区间(e,+8)内单调递减.

因此g(x)M,x招(e)三,所以g(x)的值域为98,J

要使得方程f(x)=1无实数根,则1-~,即t<\-.

ee

(2)f(x)+tx-e(-r>1].

由题设知，对VxX),f'(x)W0恒成立.

不妨取t有r(i)气‘(i+*-1)wo.

而当时，/⑴为，故t<l.

①当tW(且xX)时,f'(x)=e"[l+以'、"叫W威(1+；或).

而当xX)时，有e'>l+x,

故1彳-/<0,所以f'(x)<0.

所以/"(X)在区间(0,+2内单调递减,故当tWg寸满足题意.

②当gac时

且即41n4却.

\-t1-t]-t

令/?(%)-1+£x-e"”,则A(0)4),

方，(x)e°"，=(](Lt).].

当0々Qin'-时，力’(x)为，

1-£I-1

此时，方(x)>(0)R.

则当0aQlnf时，f(x)X),

1-f1-1

故f(x)在区间(0,aln三)内单调递增.

与题设矛盾，不符合题意，舍去.

所以，当tW河函数/U)在区间(0,公)内单调递减.

7.(1)解：'当a=l时，f(x)=xTnx,

"(x)=l°=匚.

XX

.:当04。时，F'(x)<0,此时f(x)单调递减；

当IdWe时,f'(x)X)时，此时f(x)单调递增.

即f(x)的极小值为f(l)=1,无极大值.

⑵证明：'f(x)的极小值为1,.：f(x)在区间(0,e］上的最小值为1,即m=1.

又g'(x)号,.:当04*时,g'(x)刀,g(x)在区间(0,e］上单调递增，

,:［g(x)］皿=g(e)［若，

.:在(1)的条件下,/•(x)>g(x)'.

⑶解假设存在正实数a,使Ax)=ax-lnx(xe(0,e］)有最小值3,则f(x)=a^.

XX

①当oge时，f(x)在区间(0,3内单调递减,在区间C，e］上单调递增，［f(x)&=《3=l+lna右,a4,

满足条件；

②当1》e时，f(x)在区间(0,e］上单调递减，［f(x)］“,“=f(e)=aeT=3,解得a」(舍去).

ae

综上,存在实数a=e；使得当xw(0,e］时f(x)有最小值3.

8.证明⑴设g(x)=f'(x),

则g(x)fosxf/(x)=rinx..

当xW(-1，3时,/(%)单调递减，

而屋⑹刈/㈢。

可得g'(x)在区间(-1,三)内有唯一零点，设为口

则当xG(-1,。)时,g'(x)X)；当xG(时,g'(x)<0.

所以g(x)在区间(-1,a)内单调递增,在区间(a,3内单调递减，故