高中数学“圆与圆的位置关系”教学设计

“圆与圆的位置关系〃教学设计

一、内容和内容解析

（一）、教学内容

本节课是《普通高中课程标准实验教科书》（人民教育出版社A

版，课程教材研究所，数学课程教材研究开发中心编著）必修2中第

四章《圆与方程》第二节“直线、圆的位置关系〃的第二课时，《课

程标准》指出：能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆、圆与圆

的位置关系；能用直线和圆的方程解决一些简单的问题。

（二）、内容解析

教材是在平面几何对圆与圆的位置关系初步分析的根底上结合

前面学习的点与圆、直线与圆的位置关系,得到判断两圆位置关系的

两种方法。代数法：根据学生学习圆与圆相交、相切、相离的定义的

根底上，类比直线与圆判断位置关系的方法，将两圆的方程联立方程

组，通过讨论方程组的解的不同情况来判断，该方法主要突出代数法

的思想且具有一般性，可类比地推广到对椭圆、双曲线、抛物线同类

问题的研究中。几何法：根据学生学习的圆与圆五种具体位置关系的

判定，即利用两圆心之间的距离与半径的和以及差的绝对值进行比

拟，该方法，实现了空间形式与数量关系的结合。

解析几何是数学的一个重要分支，它沟通了数学在数与形、代数

与几何等最根本对象之间的联系。用代数的方法来解决几何问题是解

析几何的精髓,是平面几何问题的深化。因此,继续深化用代数方法来

分析位置关系,这样有利于培养学生数形结合、几何问题代数化等解

析几何思想方法及辩证思维能力,其根本思维方法和解决问题的技巧

对今后整个圆锥曲线的学习有着非常重要的意义。因此，本节课在教

材中起到了承上启下的重要作用。

二、目标和目标解析

（一）、教学目标

根据本节课的教学内容和我所教学生的实际情况，教学目标确定

为以下三个方面：

1.知识与技能目标

(1)能根据给定圆的方程，用几何和代数的方法判断两圆的位

置关系。

(2)理解几何问题代数化的思想，深入了解解析几何的本质。

2.过程与方法目标

(1)类比直线与圆的位置关系，通过对圆与圆的位置关系的探

究活动，经历知识的建构过程，培养学生独立思考、自主探究、动手

实践、合作交流的学习能力。

(2)强化学生用数形结合的方法解决几何问题的意识，培养学

生分析问题和灵活解决问题的能

力。

3.情感、态度与价值观目标

通过对本节课知识的探究活动，加深学生对圆与圆的位置关系的

认识，从而领悟其中所蕴涵的数学思想，体验探索中成功的喜悦，激

发学习热情，养成良好的学习习惯和品质，培养学生的创新意识和进

取精神。

(二八目标解析

高中数学教学的重要目标之一是提高学生的数学思维能力，通过

不同形式的探究活动，让学生亲身经历知识的发生和开展过程，从中

领悟解决问题的思想方法，不断提高分析和解决问题的能力，使数学

学习变成一种愉快的探究活动，从中体验成功的喜悦，不断增强探究

知识的欲望和热情，养成一种良好的思维品质和习惯。

三、教学问题诊断分析

这节课主要采用探究式教学法，组织学生自主探究，合作交流，

受学生生源的影响，学生思维能力一般，因此，本课的学习可能存在

以下困难：

1.探究圆与圆的五种位置关系可能不够全面，或是多出五种。如

果不够全面，我想采取讨论补充的方法把个别同学没有发现的补充上

来；对于多于五种的情况，则可以引导学生按公共点个数分类，从而

将多出的情况进行合并。

2.探究如何利用d、rl和r2的数量关系确定两圆的位置关系过

程中，两圆相交的情况，学生可能会只考虑到d〈rl+r2,而少考虑了

Irl-r2|<d;如果这样，我想先认同他们的观点，然后和同学们一

起举几个例子验证他们的结论，从而让他们发现问题，设疑激趣，激

发他们再探索，从而解决这一问题。

3.两圆相交，则|rl-r2|<d<rl+r2,反之亦然，这一结果担忧

有些学困生难于一下子理解，我想通过学生交流多种不同的方法，来

让同学们多角度认识这一结论，比方移动两圆，直观感受圆心距逐渐

减小的过程中两圆由外切一一相交一一内切；再通过三角形三边关

系，理性论证这一结论。

4.在引导学生答复定义时，要注意数学语言的严谨性和准确性。

当两圆没有公共点时，容易无视蕴含其中一个圆上的点都在另一个圆

的内部；而外离时每个圆上的点都在另一个圆的外部。我想通过实验

及观察分析，引导学生对两圆的五种位置关系及连心线的性质有正确

的理解，通过图形及数量关系剖析定义的内部和外延，从而解决疑点。

四、教学支持条件分析

1.学生层面

本节内容面对的是高一学生，所授课的班级生层次不同，存在一

定差异.虽经历了函数相关知识的学习，但解析几何的学习刚刚开始,

对代数法还处于初步了解的层次.这个阶段的学生思维仍属于经验性

的逻辑思维，很大程度上仍需依赖具体形象的经验材料来理解抽象的

逻辑关系。本课程分别从直观形象和数形结合上对数量关系进行探

索。

2.知识层面

(1)学生已经接触过圆与圆相交、相切、相离的定义和判定。

(2)掌握了点的坐标、直线的方程、圆的方程以及点到直线的距离

公式。

(3)上一节已经初步掌握判断直线与圆的位置关系的两种方法。

3.能力层面

门)掌握利用方程组的方法来求两圆的交点。

(2)具有用代数法研究点与圆、直线与圆的位置关系的根底。

(3)具有一定的数形结合解题思想的根底。

根据以上三个方面的分析，在已有的认知根底条件下，经历直线、

圆的方程学习后，学生已经具备了一定的判断圆与圆位置关系的能

力，但学生仅仅停留在模仿、类比的知识外表，知识的来龙去脉并不

知晓，这时需要教师的引导和帮助。

因此，我在教学中通过提供的丰富的数学学习环境，创设便于观

察和思考的情境，给他们提供自主探究的空间，使学生经历完整的数

学学习过程，引导学生在已有数学认知结构的根底上，通过积极主动

的思维而将新知识内化到自己的认知结构中去.同时为他们施展创造

才华搭建一个合理的平台，使他们感知学习数学的快乐。

五、教学过程设计

【课前准备】教具：光盘、多媒体教室、课件

学具：圆规、尺子、硬币

（一）回想一一温故知新

问题1:点与圆的位置关系，直线与圆的位置关系怎么判断？

【设计意图】教师关注学生对已有知识的掌握情况，学生闭目回想答

复老师的问题。复习旧知识，强调点、直线与圆的位置关系的两种判

断方法，为学新知识做铺垫。

（二）体验一一形成方法

问题2：在准备的白纸上画一个半径为3cm的圆，拿出硬币在白纸所

在的平面上移动，观察发现硬币所在的圆与3cm的圆之间有哪些位置

关系？

【教学方式】由学生动手画图、移动、思考，教师巡视指导，学生代表

到前面演示，一边讲解做题过程一边与同学们核对.随后教师根据学

生演示情况给予评价，特别注意纠正学生尺规作图的标准性.强调数

学的学习离不开三大品质：勤奋、创新、严谨，并引导学生带着严谨

的态度一起观察动画演示,再次对圆与圆的位置关系有深刻的理解。

【设计意图】在知识的进一步稳固过程中，为本节内容提供学习思路

和方法，同时培养学生优秀的数学品质：勤奋、创新、严谨.

【总结归纳】得出圆与圆的五种位置关系：

1、两个圆没有公共点，并且每个圆上的点都在另一个圆的外部时，

叫做这两个圆外离。

2、两个圆有唯一的公共点，并且除了这个公共点以外，每个圆上的

点都在另一个圆的外部时，叫做这两个圆外切.这个唯一的公共点叫

做切点。

3、两个圆有两个公共点时，叫做这两个圆相交。

4、两个圆有唯一的公共点，并且除了这个公共点以外，一个圆上的

点都在另一个圆的内部时，叫做这两个圆内切.这个唯一的公共点叫

做切点。两个圆外切和内切统称两个圆相切。

5、两个圆没有公共点，并且一个圆上的点都在另一个圆的内部时，

叫做这两个圆内含。两圆同心是两圆内含的一种特例。

问题3：探究圆与圆的五种位置关系中，圆心距d10102的长〕与大

圆半径和小圆半径之间的关系？

【教学方式】教师为探究方法做辅导，下到各组中参与学生的活动。

【总结归纳】1.两圆外离d>rl+r2；2.两圆外切d=rl+r2；3.两圆

相交Irl-r2|<d<rl+r2；4.两圆内切d=|rl-r2|；5.两圆内

含OWd<|rl-r2|0

问题4：是否任意的两个圆都存在上述五种位置关系？

【教学方式】通过两光盘的具体实验让学生自我观察总结五种位置

关系存在的前提是两半径不等的圆，并归纳出两个半径相等的圆的四

种位置关系。

【例题讲解】判断圆C1与圆C2的位置关系

Cl:(x+2y+(y-2)2=49,C2:(x-4)2+(y-2)2=9.

解：G(—2,2)八=7G@2)r2=3

d=J(-2-4)2+(2-2『=6

rx—r2<d<rx+r2

相交

【跟踪练习】判断圆Cl与圆C2的位置关系

⑴C1:x2+y2=9,C2:x2+y2-4x+3=0.

(2)|Cl:x2+y2+2x+8y-8=0,

[C2;x2+4x-4y-2=0.

【教学方式】学生独立完成，抽两位学生上黑板板演运算过程。教师

关注学生对知识的掌握情况及练习的正确率。

小结1:类比判断直线与圆位置关系的几何法，总结出属于圆与圆的

几何方法步骤。

【设计意图】让学生板演格式，及时发现问题给予纠正；让学生再一

次明确解析几何是一门数与形紧密联系的学科，同时体会圆与圆问题

到直线与圆问题的转化化归思想，加强数形结合的意识。

【例题讲解】根据练习(2)探究圆与圆的代数判断方法。

用代数法判断圆C1与圆C2的位置关系：

解:圆与圆。2的方程联立得到方程组产+>2+2》+8广8=0,(1)

|x2+y2-4x-4y-2=0.(2)

(1)-(2)得x+2y-1=0⑶

由⑶得代入⑴并整理得必_2》—3=0(4)

2

方程⑷的判别式△=16>0,所以方程(4)有两个不等的实数根

即圆a与圆G相交

【师生活动】

师：此题在(3)式的处理上哪位同学还有不同的方法？

生：由⑶得x=l-2y,把上式代入⑴并整理得产_1=0

师：数学的世界是丰富多彩的，解题方法也不拘泥于一种，同学们在

联立方程时，总习惯消去入这位同学选择了消去x,得到了关于》的

一元二次方程形式，y得特别感谢你了，终于有我的出头之日了。

小结2：类比判断直线与圆的位置关系的代数法，总结出属于圆与圆

的代数方法步骤。

【设计意图】培养学生自主探究的能力，学生分析问题、解决问题的

能力。

(三)比照--感悟方法

反思1:判断圆与圆的位置关系时，用哪种方法更简捷？

反思2：假设两圆相交求交点，应选用哪种方法？

【设计意图】拓展学生的思维，并由学生分组探讨反思在具体运算过

程中两种方法如何选择，在小组交流合作的过程中形成思维，得出结

论。

(四)稳固一-提高方法

思考：圆Cl：x2—2mx+m2+y2=9和圆C2：x2+y2—2my+m2=l相交，求

实数m的取值范围。(用两种方法解答)

【教学方式】教师引导学生观察思考，同桌交流；教师在下面巡视，

讲解几何法的过程，板书代数法的过程。目的是具有示范性，为后续

学习圆锥曲线做铺垫。

【设计意图】为了稳固学生所学的数学知识，方法和思想，培养学生

知识的迁移能力。

(五)课堂小结

知识：1.判断圆与圆位置关系的两种方法；

2.闭目回想半径不等的两个圆的五种位置关系及半径相等的

两个圆的四种位置关系。

思想方法：1、类比；2、数形结合；3、转化。

【设计意图】通过小结使学生理清本节知识的脉络和使用方法，对所

学知识技能和思想方法有一个全面系统的认识，培养了学生概括总结

所学知识的能力。

(六)作业布置

1.书面作业：教材P130练习(用两种方法求解)；

2.拓展作业：M={(x,y)x2+y2<4},N={(x,y)(x—1)2+(y

-l)2=r2(r>0)},假设MAN=N,则r的取值范围是(〕

(A)(0,72-1)(B)(0,1](C)(0,2-^2](D)(0,2]

【设计意图】目的是稳固所学内容，发现和弥补学生学习中的遗漏和

缺乏，强化根本技能训练，培养学生良好的思维品质和习惯，通过书

面作业和拓展作业，使不同层次的学生均有所收获，表达因材施教的

教学原则。

(七)板书设计

圆与圆的位置关系

1.几何法例1解：2.代数法例2解：

[BSG方程

1国02方程

dA