人教A版高中数学（必修第一册）同步讲义 5.2三角函数概念及同角三角函数（原卷版）

第第页5.2三角函数概念及同角三角函数5.2.1三角函数的概念课程标准学习目标①理解结合单位圆定义三角函数的意义。②结合任意角终边与单位圆的交点会求任意角的正弦、余弦、正切值。③根据任意角终边所在象限的位置，会判断任意角三角函数值的符号。1.掌握三角函数的定义；2会求任意角的三个三角函数值；3.能准确判断任意角的三角函数值的符号；知识点01：任意角的三角函数定义1、单位圆定义法：如图,设SKIPIF1<0是一个任意角,SKIPIF1<0,它的终边SKIPIF1<0与单位圆相交于点SKIPIF1<0①正弦函数：把点SKIPIF1<0的纵坐标SKIPIF1<0叫做SKIPIF1<0的正弦函数,记作SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0②余弦函数：把点SKIPIF1<0的横坐标SKIPIF1<0叫做SKIPIF1<0的余弦函数,记作SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0

③正切函数：把点SKIPIF1<0的纵坐标与横坐标的比值SKIPIF1<0叫做SKIPIF1<0的正切,记作SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0(SKIPIF1<0)

我们将正弦函数、余弦函数和正切函数统称为三角函数【即学即练1】已知角θ的终边经过点SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0等于（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<02、终边上任意一点定义法：在角SKIPIF1<0终边上任取一点SKIPIF1<0，设原点到SKIPIF1<0点的距离为SKIPIF1<0①正弦函数：SKIPIF1<0②余弦函数：SKIPIF1<0

③正切函数：SKIPIF1<0(SKIPIF1<0)

【即学即练2】若点SKIPIF1<0在角SKIPIF1<0的终边上，则SKIPIF1<0.知识点02：三角函数值在各象限的符号SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0在各象限的符号如下:（口诀“一全正,二正弦,三正切,四余弦”）知识点03：特殊的三角函数值角度SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0弧度SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0正弦值SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0余弦值SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0正切值SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0知识点04：诱导公式一(1)语言表示:终边相同的角的同一三角函数的值相等.

(2)式子表示:①SKIPIF1<0②SKIPIF1<0③SKIPIF1<0其中SKIPIF1<0.

知识点05：三角函数线设SKIPIF1<0角的终边与单位圆相交点SKIPIF1<0；④由点SKIPIF1<0向SKIPIF1<0轴做垂线，垂足为点SKIPIF1<0；⑤由点SKIPIF1<0作单位圆的切线与终边相交于点SKIPIF1<0。如下图所示：在SKIPIF1<0中：SKIPIF1<0SKIPIF1<0为正弦线，长度为正弦值。SKIPIF1<0SKIPIF1<0为余弦线，长度为余弦值。在SKIPIF1<0中：SKIPIF1<0。SKIPIF1<0为正切线，长度为正切值。题型01利用三角函数的定义求三角函数值【典例1】）已知角SKIPIF1<0的顶点在原点，始边与SKIPIF1<0轴的非负半轴重合，终边在第三象限且与单位圆交于点SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【典例2】已知角SKIPIF1<0的终边与单位圆交于点SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【典例3】在平面直角坐标系SKIPIF1<0中，角SKIPIF1<0的顶点与原点SKIPIF1<0重合，它的始边与SKIPIF1<0轴的非负半轴重合，终边SKIPIF1<0交单位圆SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的值为A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【变式1】设角SKIPIF1<0的终边与单位圆的交点坐标为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．1【变式2】已知角SKIPIF1<0的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，若SKIPIF1<0的终边与圆心在原点的单位圆交于SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0为第四象限角，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0题型02由终边或终边上点求三角函数值【典例1】已知角SKIPIF1<0的终边落在直线SKIPIF1<0上，则SKIPIF1<0的值为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【典例2】（多选）已知角SKIPIF1<0的终边经过点SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的值可能为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【典例3】）已知角SKIPIF1<0的终边过点SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0及SKIPIF1<0的值．【变式1】若角SKIPIF1<0的终边经过点SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【变式2】（多选）已知角SKIPIF1<0的终边上有一点SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则（

）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【变式3】若SKIPIF1<0的终边所在射线经过点SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.题型03由三角函数值求终边上的点或参数【典例1】角SKIPIF1<0的终边经过点SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，则b的值为（

）A．3 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．5【典例2】已知角SKIPIF1<0的终边上有一点SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则实数m取值为．【典例3】已知角SKIPIF1<0的终边上一点SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0值.【变式1】已知角SKIPIF1<0的终边经过点SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则实数m的值是（

）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0或SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0或SKIPIF1<0【变式2】已知角SKIPIF1<0的终边经过点SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则实数SKIPIF1<0.【变式3】已知点SKIPIF1<0角SKIPIF1<0的终边上，且SKIPIF1<0，求m，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．题型04三角函数值符号的运用【典例1】）求SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【典例2】若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0是（

）A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角【典例3】SKIPIF1<0所有可能取值的集合为．【变式1】已知SKIPIF1<0，则点P所在象限为（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【变式2】）已知点SKIPIF1<0是第三象限的点，则SKIPIF1<0的终边位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【变式3】点SKIPIF1<0位于第象限．题型05画三角函数线【典例1】不等式SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上的解集为．【典例2】利用三角函数线，写出满足下列条件的角x的集合：(1)SKIPIF1<0且SKIPIF1<0；(2)SKIPIF1<0．【变式1】使SKIPIF1<0成立的x的一个变化区间是（）A．[SKIPIF1<0，SKIPIF1<0]B．[SKIPIF1<0，SKIPIF1<0]C．[SKIPIF1<0，SKIPIF1<0]D．[0，SKIPIF1<0]【变式2】已知SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的取值范围是．【变式3】利用单位圆分别写出符合下列条件的角α的集合：（1）SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0；（3）SKIPIF1<0.题型06三角函数线的应用【典例1】已知SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的一个内角，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的取值范围是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【典例2】（1）设SKIPIF1<0，试证明：SKIPIF1<0；（2）若SKIPIF1<0，试比较SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的大小.【变式1】如图，已知点SKIPIF1<0是单位圆与SKIPIF1<0轴的交点，角SKIPIF1<0的终边与单位圆的交点为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0轴于SKIPIF1<0，过点SKIPIF1<0作单位圆的切线交角SKIPIF1<0的终边于SKIPIF1<0，则角SKIPIF1<0的正弦线、余弦线、正切线分别是（

）A．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0

【变式2】利用三角函数线,确定满足不等式SKIPIF1<0的SKIPIF1<0取值范围.A夯实基础一、单选题1．若角SKIPIF1<0的终边经过点SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<02．角SKIPIF1<0的终边上一点SKIPIF1<0的坐标为SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<03．已知角SKIPIF1<0的顶点与原点SKIPIF1<0重合，始边与SKIPIF1<0轴的非负半轴重合，它的终边过点SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的值为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<04．若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的终边在（

）A．第一、三象限B．第二、四象限C．第一、三象限或在x轴的非负半轴上D．第二、四象限或在x轴上5．SKIPIF1<0的符号为（

）A．正 B．0 C．负 D．无法确定6．在平面直角坐标系中，SKIPIF1<0是圆SKIPIF1<0上的四段弧（如图），点P在其中一段上，角SKIPIF1<0以SKIPIF1<0为始边，OP为终边，若SKIPIF1<0，则P所在的圆弧是A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<07．质点P和Q在以坐标原点O为圆心，半径为1的圆周上顺时针作匀速圆周运动，同时出发.P的角速度为3rad/s，起点为射线SKIPIF1<0与圆的交点；Q的角速度为5rad/s，起点为圆与x轴正半轴交点，则当质点Q与P第二次相遇时，Q的坐标为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<08．已知函数SKIPIF1<0（SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0）的图像恒过点P，若点SKIPIF1<0是角SKIPIF1<0终边上的一点，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0二、多选题9．已知SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0可能是（

）A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角10．若SKIPIF1<0是第四象限角，则点SKIPIF1<0在第（

）象限.A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限三、填空题11．已知角SKIPIF1<0的终边上一点SKIPIF1<0的坐标为SKIPIF1<0，则角SKIPIF1<0的最小正值为12．如果SKIPIF1<0是第二象限角，则SKIPIF1<0的符号为（选填“正”或“负”）．四、解答题13．已知SKIPIF1<0，试判断SKIPIF1<0的符号．14．已知SKIPIF1<0,,试判断角SKIPIF1<0所在的象限.15．已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0可能为第几象限的角？分别求出SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的值.16．利用三角函数线，说明当SKIPIF1<0时，求证：SKIPIF1<0．B能力提升1．已知角SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的大小关系为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<02．在直角坐标系SKIPIF1<0中，角SKIPIF1<0的始边为SKIPIF1<0轴的正半轴，顶点为坐标原点SKIPIF1<0，已知角SKIPIF1<0的终边SKIPIF1<0与单位圆交于点SKIPIF1<0，将SKIPIF1<0绕原点逆时针旋转SKIPIF1<0与单位圆交于点SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．0.6 B．0.8 C．-0.6 D．-0.83．（多选）已知函数SKIPIF1<0且SKIPIF1<0的图象经过定点SKIPIF1<0，且点SKIPIF1<0在角SKIPIF1<0的终边上，则SKIPIF1<0的值可能是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<04．已知角SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）的终边过点SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0.5.2.2同角三角函数的基本关系课程标准学习目标①掌握同角三角函数的基本关系式。②能正确运用同角三角函数的基本关系式进行求值、化简和证明。会用同角三角函数的基本关系进行求值、化简、证明知识点01：同角三角函数的基本关系1、平方关系：SKIPIF1<02、商数关系:SKIPIF1<0（SKIPIF1<0，SKIPIF1<0）【即学即练1】已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的值．知识点02：关系式的常用等价变形1、SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<02、SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0【即学即练2】已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0.题型01同角三角函数的基本关系【典例1】已知SKIPIF1<0是第二象限角，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的值是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【典例2】已知SKIPIF1<0，并且SKIPIF1<0是第四象限角，求SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．【变式1】）若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的值为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【变式2】若SKIPIF1<0是第四象限的角，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0.【变式3】已知SKIPIF1<0是第四象限角，且SKIPIF1<0，那么tanθ的值为题型02平方关系【典例1】已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是关于x的方程SKIPIF1<0的两根，则实数SKIPIF1<0．【典例2】函数SKIPIF1<0的最小值为，此时SKIPIF1<0．【变式1】（多选）下列命题是真命题的是（）A．若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0B．若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0C．若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0D．若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0【变式2】（多选）已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，下面选项正确的是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0或SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【变式3】已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0为第二象限角，则SKIPIF1<0.题型03已知正弦，余弦，正切中其一求另外两个量【典例1】若SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0为第三象限角，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【典例2】若SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0为第二象限角，则SKIPIF1<0．【典例3】）计算：(1)已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的值.(2)已知SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的值【变式1】已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【变式2】设SKIPIF1<0为第二象限角，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0.【变式3】已知SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0；题型04利用平方关系求参数【典例1】若SKIPIF1<0及SKIPIF1<0是关于x的方程SKIPIF1<0的两个实根，则实数k的值为【典例2】已知SKIPIF1<0是第四象限角，则SKIPIF1<0．【变式1】已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，求实数SKIPIF1<0的值．【变式2】已知SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0是第二象限角，求实数a的值.题型05已知SKIPIF1<0,求关于SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的齐次式的值【典例1】已知SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的值为（

）A．SKIPIF1<0 B．1 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【典例2】已知SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【典例3】若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0.【典例4】（1）已知SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0.（2）已知SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的值．【变式1】已知SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．0 B．SKIPIF1<0 C．-1 D．SKIPIF1<0【变式2】已知SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【变式3】若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0.【变式4】已知角SKIPIF1<0终边上SKIPIF1<0,且SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的值．题型06利用SKIPIF1<0,SKIPIF1<0与SKIPIF1<0之间的关系求值【典例1】已知SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0则SKIPIF1<0的值为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【典例2】若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0.【典例3】已知SKIPIF1<0为第四象限角，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0.【典例4】已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求下列各式的值：(1)SKIPIF1<0；(2)SKIPIF1<0．【变式1】已知SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的值为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0或SKIPIF1<0【变式2】已知SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0.【变式3】已知SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的值．【变式4】已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.(1)求SKIPIF1<0的值(2)求SKIPIF1<0题型07应用同角三角函数的基本关系式化简【典例1】已知SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0是第三象限的角，则SKIPIF1<0．【典例2】化简：(1)SKIPIF1<0；(2)SKIPIF1<0．【变式1】设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0．【变式2】化简：SKIPIF1<0.A夯实基础一、单选题1．已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<02．已知SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的值为（

）A．－SKIPIF1<0 B．－SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<03．当x为第二象限角时，SKIPIF1<0（

）A．1B．0C．2D．－24．已知SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．2 B．3 C．4 D．55．若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<06．已知SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．