北师大版九年级上册数学期中考试试卷附答案

北师大版九年级上册数学期中考试试题一、单选题1．矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是（）A．对边平行且相等B．对角线相等C．对角线互相平分D．对角线互相垂直2．已知关于x的方程(a﹣3)x|a﹣1|+x﹣1＝0是一元二次方程，则a的值是（）A．﹣1B．2C．﹣1或3D．33．学校组织校外实践活动，安排给九年级三辆车，小明与小红都可以从这三辆车中任选一辆搭乘，小明与小红同车的概率是（

）A．B．C．D．4．有下列说法：①所有的等腰三角形都相似；②所有的等边三角形都相似；③所有的正方形都相似；④所有的矩形都相似，其中正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个5．用配方法解方程时，原方程应变形为（

）A．B．C．D．6．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E是CD的中点，若OE＝2，则菱形ABCD的周长为（）A．4B．8C．12D．167．如图，直线AB//CD//EF，若BD：DF＝3：4，AC＝3.6，则AE的长为（）A．4.8B．6.6C．7.6D．8.48．已知、是一元二次方程的两个实数根，下列结论错误的是（）A．B．C．D．9．如图，矩形中，对角线，交于点.若，，则的长为（

）A．4B．C．3D．510．如图，在菱形ABCD中，BD=6，AC=8，则菱形ABCD的周长为（

）A．20B．16C．25D．30二、填空题11．顺次连接对角线相等的四边形的四边中点，所得的四边形一定是____________．12．若关于x的一元二次方程3x2﹣x+k＝0的一个根为1，则k的值为___．13．已知a，b，c，d是成比例线段，其中a＝3cm，b＝2cm，c＝6cm，则d＝___cm．14．在一个不透明的袋子中装有6个红球和若干个白球，这些球除颜色外都相同，将球搅匀后随机摸出一个球，记下颜色后放回，不断重复这一过程，共摸球100次，发现有20次摸到红球，估计袋子中白球的个数约为_________．15．若关于x的一元二次方程mx2－3x＋1=0有实数根，则m的取值范围是____________．16．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，其中OA＝1，OB＝2，P为BC上一动点，则AP的最小值为___．17．如图，在长方形纸片中，，，点是边上一点，连接并将沿折叠，得到，以，，为顶点的三角形是直角三角形时，的长为____________.18．如图，在平面直角坐标系中，点A和点B分别在x轴和y轴的正半轴上，OA＝OB＝1，以线段AB为边在第一象限作第一个正方形ABCD；延长CD，交x轴于点E，再以线段CE为边在第一象限作第二个正方形ECGF；延长GF，交x轴于点H，再以线段GH为边在第一象限作第三个正方形HGNM；依此方法作下去，第n个正方形的边长是___．三、解答题19．按指定的方法解方程：（1）x2﹣2x+2＝0；（公式法）（2）x2﹣1＝3x﹣3．（因式分解法）20．已知（b≠0），求的值．21．学校计划举行“文明环保，从我做起”征文比赛．甲班的2名同学A和B与乙班的2名同学C和D在预赛中成绩优秀．（1）若从4名同学中选取1名同学参加学校决赛，则同学C被选中的概率是；（2）学校决定从4名同学中随机选取2名同学参加决赛，请用画树状图或列表的方法，求选中的2名同学恰好来自同一个班级的概率．22．如图，△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，AE＝2CE，AB＝12，BC＝18，求四边形BDEF的周长．23．某县为发展教育事业，从2019年开始加强了对教育经费的投入．2019年投入的教育经费为1000万元，计划以后每年以相同的增长率投入，2021年投入的教育经费达到1440万元．（1）求该县投入教育经费的年平均增长率；（2）若投入教育经费的年平均增长率继续保持不变，预计2022年该县将投入教育经费多少万元？24．某商场销售一批运动衫，已知该运动衫的进价为每件40元，当售价为每件60元时，每个月可售出100件．根据市场行情，现决定涨价销售，调查表明，每件商品的售价每上涨1元，每个月会少售出2件，设每件商品的售价为x元，每个月的销量为y件．（1）求y与x之间的函数关系式；（2）当每件商品的售价定为多少元时，每个月的利润恰好为2250元．25．如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在AD，CD上，且AE＝DF，BE与AF相交于点O，P是BF的中点，连接OP．（1）试判断AF与BE的关系，并证明你的结论；（2）若AB＝5，AE＝2，求OP的长．26．四边形ABCD是菱形，∠ABC＝60°，E是对角线BD上的一个动点，连接AE，将线段AE绕点A逆时针旋转120°得到线段AF，连接EF，DF．（1）如图1，求∠BDF的度数；（2）如图2，当DB＝3DF时，连接EC，求证：四边形FECD是矩形；（3）若G为DF中点，连接EG，当线段BD与DF满足怎样的数量关系时，四边形AEGF是菱形，并说明理由．参考答案1．B【解析】【分析】根据矩形的性质、平行四边形的性质即可判断；【详解】解：A、矩形、平行四边形的对边都是平行相等的，故本选项不符合题意；B、矩形的对角线相等，平行四边形的对角线不一定相等，故本选项符合；C.矩形、平行四边形的对角线都是互相平分的．，故本选项不符合；D、矩形、平行四边形的对角线对角线不一定互相垂直．，故本选项不符合；故选：B【点睛】本题考查矩形的性质，矩形具有平行四边形的性质，又具有自己的特性，要注意运用矩形具备而一般平行四边形不具备的性质．如，矩形的对角线相等．2．A【解析】【分析】根据一元二次方程定义可得a-3≠0，|a-1|=2，再解即可．【详解】由题意得：a-3≠0，|a-1|=2，解得：a=-1，故选A．【点睛】此题主要考查了一元二次方程定义，关键是掌握只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．3．C【解析】【详解】用A，B，C分别表示给九年级的三辆车，画树状图得：∵共有9种等可能的结果，小明与小红同车的有3种情况，∴小明与小红同车的概率是：．点睛：此题主要考查了用列表法或树状图求概率，解题关键是用字母或甲乙丙分别表示给九年级的三辆车，然后根据题意画树状图，再由树状图求得所有等可能的结果与小明与小红同车的情况，然后利用概率公式求解即可求得答案．4．B【解析】【分析】满足角分别对应相等，边分别对应成比例的两个多边形相似，根据判定方法逐一判断即可.【详解】解：所有的等腰三角形不一定满足角分别对应相等，边分别对应成比例，所以所有的等腰三角形不一定相似，故①不符合题意；所有的等边三角形满足角分别对应相等，边分别对应成比例，所以所有的等边三角形都相似，故②符合题意；所有的正方形满足角分别对应相等，边分别对应成比例，所以所有的正方形都相似，故③符合题意；所有的矩形满足角分别对应相等，不一定满足边分别对应成比例，所以所有的矩形不一定相似，故④不符合题意；故符合题意的有：②③故选B【点睛】本题考查的是多边形相似的判定，掌握“多边形相似的判定方法”是解题的关键.5．B【解析】【分析】根据配方法解一元二次方程的步骤首先把常数项移到右边，方程两边同时加上一次项系数一半的平方配成完全平方公式．【详解】解：移项得：方程两边同时加上一次项系数一半的平方得：配方得：．故选：B．【点睛】此题考查了配方法解一元二次方程的步骤，解题的关键是熟练掌握配方法解一元二次方程的步骤．配方法的步骤：配方法的一般步骤为：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．6．D【解析】【分析】由菱形的性质先证明再求解从而可得到答案.【详解】解：菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E是CD的中点，菱形ABCD的周长为故选D【点睛】本题考查的是菱形的性质，三角形的中位线的性质，掌握“三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半”是解题的关键.7．D【解析】【分析】根据平行线分线段成比例定理得到比例式，然后带入已知条件即可得到CE的长，最后求得AE的长．【详解】解：∵AB//CD//EF，BD：DF＝3：4，∴，∵AC＝3.6，∴，∴．故选：D【点睛】本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．8．D【解析】【分析】根据一元二次方程的根的判别式、一元二次方程根的定义、一元二次方程根与系数的关系逐一进行分析即可.【详解】x1、x2是一元二次方程x2-2x=0的两个实数根，这里a=1，b=-2，c=0，b2-4ac=(-2)2-4×1×0=4>0，所以方程有两个不相等的实数根，即，故A选项正确，不符合题意；，故B选项正确，不符合题意；，故C选项正确，不符合题意；，故D选项错误，符合题意，故选D.【点睛】本题考查了一元二次方程的根的判别式，根的意义，根与系数的关系等，熟练掌握相关知识是解题的关键.9．A【解析】【分析】根据矩形的对角线的性质可得OB=OC，求得∠ACB=30°，利用30°角所对的直角边等于斜边的一半即可求出AB的值．【详解】∵ABCD是矩形，∴OA=OB=OC，∵∠AOB=60°，∴∠ACB=30°，∵AC=8，∴AB=，故选：A．【点睛】本题考查了矩形的性质、30°角所对的直角边等于斜边的一半，熟练掌握矩形的性质，30°角所对的直角边等于斜边的一半是解题的关键．10．A【解析】【分析】根据菱形对角线互相垂直平分的性质，可以求得BO＝OD，AO＝OC，在Rt△AOB中，根据勾股定理可以求得AB的长，即可求菱形ABCD的周长．【详解】解：∵在菱形ABCD中，BD＝6，AC＝8，∴BO＝OD＝3，AO＝OC＝4，AC⊥BD，∴AB＝＝5，∴菱形ABCD的周长＝5×4＝20．故选A．【点睛】本题考查了菱形的性质，勾股定理的运用，本题中根据勾股定理计算AB的长是解题的关键．11．菱形【解析】【分析】作出图形，根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得EF=AC，GH=AC，HE=BD，FG=BD，再根据四边形的对角线相等可可知AC=BD，从而得到EF=FG=GH=HE，再根据四条边都相等的四边形是菱形即可得解．【详解】如图，E、F、G、H分别是四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA的中点，根据三角形的中位线定理，EF=AC，GH=AC，HE=BD，FG=BD，连接AC、BD．∵四边形ABCD的对角线相等，∴AC=BD，所以，EF=FG=GH=HE，所以，四边形EFGH是菱形．故答案为菱形．【点睛】本题考查了菱形的判定和三角形的中位线的应用，熟记性质和判定定理是解答此题的关键，注意：有四条边都相等的四边形是菱形．12．【解析】【分析】将代入方程可得一个关于的一元一次方程，解方程即可得．【详解】解：将代入方程得：代入方程，解得，故答案为：．【点睛】本题考查了一元二次方程的解，熟练掌握一元二次方程的解的定义（使一元二次方程左右两边相等的未知数的值就是一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根）是解题关键．13．4【解析】【分析】线段，若满足则线段是成比例的线段，根据定义直接求解即可.【详解】解：a，b，c，d是成比例线段，a＝3cm，b＝2cm，c＝6cm，cm，经检验符合题意；故答案为：4【点睛】本题考查的是成比例的线段，理解“线段满足则线段是成比例的线段”是解题的关键.14．24【解析】【分析】在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，设未知数列出方程求解．【详解】解：∵共试验100次，其中有20次摸到红球，∴白球所占的比例为：，设袋子中共有白球x个，则，解得：x=24，经检验：x=24是原方程的解，故答案为：24．【点睛】本题考查利用频率估计概率．大量反复试验下频率稳定值即概率．关键是根据白球的频率得到相应的等量关系．15．且【解析】【详解】要使一元二次方程有实数根，则且解得m的取值范围为且故答案为：且．【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，正确理解一元二次方程的定义及根据一元二次方程根的判别式来判断方程的根的情况是本题的关键16．【解析】【分析】由垂线段最短，得到当AP⊥BC时，线段AP最短，然后利用面积公式，即可求出AP的值．【详解】解：根据题意，当AP⊥BC时，线段AP最短，如图：∵四边形ABCD是菱形，∴，，AC⊥BD，∴菱形的面积为：；在直角△OBC中，由勾股定理，则，∴，∴；故答案为：．17．3或6【解析】分①∠B′EC＝90°时，根据翻折变换的性质求出∠AEB＝45°，然后判断出△ABE是等腰直角三角形，从而求出BE＝AB；②∠EB′C＝90°时，∠AB′E＝90°，判断出A、B′、C在同一直线上，利用勾股定理列式求出AC，再根据翻折变换的性质可得AB′＝AB，BE＝B′E，然后求出B′C，设BE＝B′E＝x，表示出EC，然后利用勾股定理列出方程求解即可．【详解】①∠B′EC＝90°时，如图1，∠BEB′＝90°，由翻折的性质得∠AEB＝∠AEB′＝×90°＝45°，∴△ABE是等腰直角三角形，∴BE＝AB＝6cm；②∠EB′C＝90°时，如图2，由翻折的性质∠AB′E＝∠B＝90°，∴A、B′、C在同一直线上，AB′＝AB，BE＝B′E，由勾股定理得，AC＝＝＝10cm，∴B′C＝10−6＝4cm，设BE＝B′E＝x，则EC＝8−x，在Rt△B′EC中，B′E2＋B′C2＝EC2，即x2＋42＝（8−x）2，解得x＝3，即BE＝3cm，综上所述，BE的长为6或3cm．故答案为：6或3．【点睛】本题考查了翻折变换，等腰直角三角形的判断与性质，勾股定理的应用，难点在于分情况讨论，作出图形更形象直观．18．【解析】【分析】判断出△AOB是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质求出第一个正方形的边长AB，然后判断出△ADE是等腰直角三角形，再求出AD=DE，从而求出第二个正方形的边长等于第一个正方形的边长的2倍，同理可得后一个正方形的边长等于前一个正方形的边长的2倍，然后求解即可．【详解】解：∵OA=OB=1，∴△AOB是等腰直角三角形，∴第一个正方形的边长AB=，∠OAB=45°，∴∠DAE=180°-45°-90°=45°，∴△ADE是等腰直角三角形，∴AD=DE，∴第二个正方形的边长CE=CD+DE=2AB，…，所以后一个正方形的边长等于前一个正方形的边长的2倍，所以，第n个正方形的边长=2n-1AB=，故答案为．【点睛】本题考查了规律型：点的坐标，正方形的性质，等腰直角三角形的判定与性质，判断出后一个正方形的边长等于前一个正方形的边长的2倍是解题的关键．19．（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用公式法，首先判别式△的值，继而求得答案；（2）利用因式分解法求得方程的解即可.【详解】（1）x2﹣2x+2＝0；，，所以方程有两个不相等的实数根，，；（2）x2﹣1＝3x﹣3，（x+1）（x-1）＝3（x﹣1），（x+1）（x-1）-3（x﹣1）=0，（x-1）（x-2）=0，x-1=0，或x-2=0，.【点睛】本题考查了利用解一元二次方程，解此题的关键是能根据方程的特点选择适当的方法解一元二次方程.20．【解析】【分析】根据比例的基本性质，可得，再代入，即可求解．【详解】解：∵，∴，即，∴．【点睛】本题主要考查了比例的基本性质，熟练掌握比例的基本性质得到是解题的关键．21．（1）；（2）【解析】【分析】（1）利用概率公式直接计算即可；（2）先列表，求解所有的等可能的结果数，2名同学恰好来自同一个班级的结果数，再利用概率公式进行计算即可.【详解】解：（1）从4名同学中选取1名同学参加学校决赛，则同学C被选中的概率是；（2）列表如下：ABCDA（A，B）（A，C）（A，D）B（B，A）（B，C）（B，D）C（C，A）（C，B）（C，D）D（D，A）（D，B）（D，C）所有的等可能的结果有12种，2名同学恰好来自同一个班级的结果数为：4种，所以选中的2名同学恰好来自同一个班级的概率为：【点睛】本题考查的是简单随机事件的概率，利用列表的方法求解概率，掌握“列表的方法求解等可能事件的概率”是解题的关键.22．32【解析】【分析】由题中条件可得四边形DBFE是平行四边形，再由平行线分线段成比例的性质球的线段BD、DE的长，进而即可求解其周长．【详解】解：∵DE∥BC，EF∥AB，∴四边形DBFE是平行四边形，∴EF=BD，DE=BF，∵DE∥BC，∴，∵AE=2CE，∴，∴DE=12，AD=8，即BD=4，∴四边形BDEF的周长=2（BD+DE）=2×（4+12）=32．【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定及性质以及平行线分线段成比例的性质问题，应能够熟练掌握．23．（1）20%；（2）1728元【解析】【分析】（1）设该县投入教育经费的年平均增长率为x，由2019年投入的教育经费为1000万元和2021年投入的教育经费达到1440万元列出方程，求解即可；（2）根据2021年投入的教育经费和增长率，直接得出2022年该县将投入教育经费．【详解】解：（1）设该县投入教育经费的年平均增长率为x，根据题意，得1000（1+x）2＝1440，解得x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不合题意，舍去），答：该县投入教育经费的年平均增长率为20%．（2）∵2021年投入的教育经费达到1440万元，且年增长率为20%，∴2022年该县将投入教育经费为1440×（1+20%）＝1728（万元），答：2022年该县将投入教育经费为1728万元．【点睛】本题考查了一元二次方程的平均增长率问题，求平均增长率（降低率）一般列方程，其中a为原式数据，b为增长（降低）后的数据，n为变化次数，x为增长率（降低率）．24．（1）；（2