专题07一次函数与面积综合运用(原卷版+解析)

专题07一次函数与面积综合运用（三大题型）重难点题型归纳【题型1常规三角形面积】【题型2铅垂法求面积】【题型3等底转化】【题型1常规三角形面积】【解题技巧】当三角形的底或高在坐标轴上，或者平行于坐标轴上，这样的三角形为常规三角形，可以直接利用三角形的面积公式进行求解。【典例1】（2023春•永定区期末）综合与探究：如图，平面直角坐标系中，一次函数y＝图象分别交x轴、y轴于点A，B，一次函数y＝﹣x+b的图象经过点B，并与x轴交于点C，点P是直线AB上的一个动点．（1）求A，B两点的坐标；（2）并直接写出点C的坐标并求直线BC的表达式；（3）试探究直线AB上是否存在点P，使以A，C，P为顶点的三角形的面积为18？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．【变式1-1】（2023春•凤山县期末）如图，在平面直角坐标系中，已知Rt△AOB的两直角边OA，OB分别在x轴的负半轴和y轴的正半轴上，且OA，OB的长满足|OA﹣8|+（OB﹣6）2＝0，∠ABO的平分线交x轴于点C，过点C作AB的垂线，垂足为点D，交y轴于点E．（1）求直线AB的解析式；（2）若△ABC的面积为15，求点C的坐标；【变式1-2】（2023春•涪陵区期末）如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y＝﹣x﹣3与x轴、y轴分别交于点A，B，直线l2交x轴、y轴分别于点C（﹣6，0），D（0，6），直线l2与直线l1交于点E，连接BC．（1）求直线l2的解析式；（2）求△BCE的面积；（3）连结OE，若点P是x轴上一动点，连结PE，当△POE为等腰三角形时，请直接写出点P的坐标．【变式1-3】（2023春•兰陵县期末）如图，已知函数y＝x+1的图象与y轴交于点A，一次函数y＝kx+b的图象经过点B（0，﹣1），与x轴以及y＝x+1的图象分别交于点C，D，且点D的坐标为（1，n）．（1）则k＝，b＝，n＝；（2）求四边形AOCD的面积；（3）在x轴上是否存在点P，使得以点P，C，D为顶点的三角形是直角三角形，请求出点P的坐标．【变式1-4】（2023春•连城县期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝﹣x+4与x轴、y轴分别交于点A、点B，点D在y轴的负半轴上，若将△DAB沿直线AD折叠，点B恰好落在x轴正半轴上的点C处．（1）求AB的长；（2）求点C和点D的坐标；（3）y轴上是否存在一点P，使得S△PAB＝S△OCD？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【变式1-5】（2023春•文登区期中）如图，直线l1表达式为y＝﹣3x+3，且与x轴交于点D，直线l2经过点A（4，0），B（3，），直线l1，l2交于点C．（1）求直线l2的表达式；（2）在直线l2上存在点P，能使S△ADP＝3S△ACD，求点P的坐标．【变式1-6】（2023•花都区一模）在平面直角坐标系中，直线y＝kx+4（k≠0）交x轴于点A（8，0），交y轴于点B．（1）k的值是；（2）点C是直线AB上的一个动点，点D和点E分别在x轴和y轴上．①如图，点D的坐标为（6，0），点E的坐标为（0，1），若四边形OECD的面积是9，求点C的坐标；②当CE平行于x轴，CD平行于y轴时，若四边形OECD的周长是10，请直接写出点C的坐标．【题型2铅垂法求面积】【解题技巧】对于一般三角形，我们可以选择铅垂法求解三角形的面积。比如求△ABC的面积，我们可以选取任意两点横坐标之差的绝对值作为水平宽，过第三个点作铅垂线，与之前两点所在直线交于一点，第三个点与这个交点纵坐标之差的绝对值作为铅垂高，利用水平宽与铅垂高乘积的一半求出三角形的面积。【典例2】（2021秋•开江县期末）如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y＝kx+1交y轴于点A，交x轴于点B（4，0），过点E（2，0）的直线l2平行于y轴，交直线l1于点D，点P是直线l2上一动点（异于点D），连接PA、PB．（1）求直线l1的解析式；（2）设P（2，m），求△ABP的面积S的表达式（用含m的代数式表示）；（3）当△ABP的面积为3时，则以点B为直角顶点作等腰直角△BPC，请直接写出点C的坐标．【变式2】（秋•铁西区期末）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝x+2与x轴交于点A，点B（5，n）在直线y＝x+2上，点C是线段AB上的一个动点，过点C作CP⊥x轴交直线点P，设点C的横坐标为m．（1）n的值为；（2）用含有m的式子表示线段CP的长；（3）若△APB的面积为S，求S与m之间的函数表达式，并求出当S最大时点P的坐标；（4）在（3）的条件下，把直线AB沿着y轴向下平移，交y轴于点M，交线段BP于点N，若点D的坐标为，在平移的过程中，当∠DMN＝90°时，请直接写出点N的坐标．【题型3等底转化】【典例3】（秋•雁塔区校级期中）如图，在平面直角坐标系中，直线l1的解析式为y＝﹣x，直线l2与l1交于点A（a，﹣a），与y轴交于点B（0，b），其中a，b满足﹣a＝3．（1）求直线l2的解析式．（2）在平面直角坐标系中第二象限有一点P（m，5），使得S△AOP＝S△AOB，请求出点P的坐标．（3）已知平行于y轴左侧有一动直线，分别与l1，l2交于点M、N，且点M在点N的下方，点Q为y轴上一动点，且△MNQ为等腰直角三角形，请求出满足条件的点Q的坐标．【变式3】（秋•南岸区校级期中）如图，在△ABC中，三个顶点的坐标分别为A（0，4），B（﹣2，0），C（﹣4，1），点D是AC延长线与x轴的交点，点P（﹣1，m）在边AC上．（1）若某一次函数图象过A，C两点，求此一次函数的解析式；（2）点N是y轴上一动点，当PN+BN值最小时，求N点坐标．（3）在线段BD上是否存在一点Q，使直线PQ平分△ABD的面积？若存在，请求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由．

专题07一次函数与面积综合运用（三大题型）重难点题型归纳【题型1常规三角形面积】【题型2铅垂法求面积】【题型3等底转化】【题型1常规三角形面积】【解题技巧】当三角形的底或高在坐标轴上，或者平行于坐标轴上，这样的三角形为常规三角形，可以直接利用三角形的面积公式进行求解。【典例1】（2023春•永定区期末）综合与探究：如图，平面直角坐标系中，一次函数y＝图象分别交x轴、y轴于点A，B，一次函数y＝﹣x+b的图象经过点B，并与x轴交于点C，点P是直线AB上的一个动点．（1）求A，B两点的坐标；（2）并直接写出点C的坐标并求直线BC的表达式；（3）试探究直线AB上是否存在点P，使以A，C，P为顶点的三角形的面积为18？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．【答案】（1）A（﹣6，0），B（0，3）；（2）y＝﹣x+3，C（3，0）；（3）存在，P坐标为（2，4）或（﹣14，﹣4）．【解答】解：（1）当x＝0时，，∴B（0，3），当y＝0时，则：，解得：x＝﹣6，∴A（﹣6，0）；（2）将点B坐标（0，3）代入y＝﹣x+b可得：﹣3+b＝0，解得：b＝3，∴直线BC的解析式为：y＝﹣x+3，当y＝0时，则：﹣x+3＝0，解得：x＝3，∴C（3，0）；（3）存在以A，C，P为顶点的三角形的面积为18，∵A（﹣6，0），C（3，0），∴AC＝9，∴，∴|Py|＝4，当时，x＝2，∴点P坐标为（2，4），当时，x＝﹣14，∴点P坐标为（﹣14，﹣4），综上，满足条件的点P坐标为（2，4）或（﹣14，﹣4）．【变式1-1】（2023春•凤山县期末）如图，在平面直角坐标系中，已知Rt△AOB的两直角边OA，OB分别在x轴的负半轴和y轴的正半轴上，且OA，OB的长满足|OA﹣8|+（OB﹣6）2＝0，∠ABO的平分线交x轴于点C，过点C作AB的垂线，垂足为点D，交y轴于点E．（1）求直线AB的解析式；（2）若△ABC的面积为15，求点C的坐标；【答案】（1）y＝；（2）C（﹣3，0）；（3）存在，（﹣3，﹣4）或（3，﹣4）或（﹣3，4）．【解答】解：（1）∵|OA﹣8|+（OB﹣6）2＝0，∴OA＝8，OB＝6，∴A（﹣8，0），B（0，6），设直线AB的解析式为y＝kx+b，代入A点和B点的坐标得，解得，∴直线AB的解析式为y＝；（2）∵△ABC的面积为15，∴AC•OB＝15，即AC×6＝15，∴AC＝5，∵OA＝8，∴OC＝OA﹣AC＝8﹣5＝3，即C（﹣3，0）；【变式1-2】（2023春•涪陵区期末）如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y＝﹣x﹣3与x轴、y轴分别交于点A，B，直线l2交x轴、y轴分别于点C（﹣6，0），D（0，6），直线l2与直线l1交于点E，连接BC．（1）求直线l2的解析式；（2）求△BCE的面积；（3）连结OE，若点P是x轴上一动点，连结PE，当△POE为等腰三角形时，请直接写出点P的坐标．【答案】（1）y＝x+6；（2）9；（3）（﹣8，0），，或．【解答】解：（1）设直线l的解析式为：y＝kx+b，把点C（﹣6，0），D（0，6）代入得：，解得：，∴直线l2的解析式为y＝x+6；（2）解方程组：得：，∴点E的坐标为（﹣4，2），令y＝0，则0＝x﹣3，解得x＝﹣，∴点A得坐标为，当x＝0时，y＝﹣3，∴点B得坐标为（0，﹣3），∵S△BCE＝S△ACE+S△BCA＝AC×|yE|+AC×|yB|＝××2+××3＝9；（3）如图所示，当OE＝EP时，由等腰三角形的对称性可得P（﹣8，0）；如图所示，当OE＝OP时，OP＝OE＝＝，∴P（，0）或P（，0）；如图所示，当PE＝OP时，设PE＝OP＝x，则PQ＝4﹣x，在Rt△PQE中，PQ2+EQ2＝PE2，即（4﹣x）2+22＝x2，解得：，∴，综上所述，点P的坐标为：（﹣8，0），，或．【变式1-3】（2023春•兰陵县期末）如图，已知函数y＝x+1的图象与y轴交于点A，一次函数y＝kx+b的图象经过点B（0，﹣1），与x轴以及y＝x+1的图象分别交于点C，D，且点D的坐标为（1，n）．（1）则k＝3，b＝﹣1，n＝2；（2）求四边形AOCD的面积；（3）在x轴上是否存在点P，使得以点P，C，D为顶点的三角形是直角三角形，请求出点P的坐标．【答案】（1）3，﹣1，2；（2）；（3）（1，0）或（7，0）．【解答】解：（1）∵点D在直线y＝x+1上，∴n＝1+1＝2，∴D（1，2），∵一次函数y＝kx+b的图象经过点B（0，﹣1）和点D（1，2），∴，解得，故答案为：3；﹣1；2；（2）在y＝x+1中，令x＝0可得y＝1，∴A（0，1）由（1）可知一次函数解析式为y＝3x﹣1，令y＝0，可求得x＝，∴C（，0），∵B（0，﹣1），D（1，2），∴AB＝2，OC＝，OB＝1，∴S四边形AOCD＝S△ABD﹣S△OBC＝×2×1﹣×1×＝；（3）如图2所示，设P（p，0），∴PC2＝（p﹣）2，PD2＝22+（p﹣1）2，CD2＝22+（1﹣）2，分两种情况考虑：①当P′D⊥DC时，P′C2＝P′D2+CD2，∴（p﹣）2＝22+（p﹣1）2+22+（1﹣）2，∴p＝7，∴P′（7，0）；②当DP⊥CP时，由D横坐标为1，得到P横坐标为1，∵P在x轴上，∴P的坐标为（1，0），综上，P的坐标为（1，0）或（7，0）．【变式1-4】（2023春•连城县期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝﹣x+4与x轴、y轴分别交于点A、点B，点D在y轴的负半轴上，若将△DAB沿直线AD折叠，点B恰好落在x轴正半轴上的点C处．（1）求AB的长；（2）求点C和点D的坐标；（3）y轴上是否存在一点P，使得S△PAB＝S△OCD？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）令x＝0得：y＝4，∴B（0，4）．∴OB＝4令y＝0得：0＝﹣x+4，解得：x＝3，∴A（3，0）．∴OA＝3．在Rt△OAB中，AB＝＝5．（2）∵AC＝AB＝5，∴OC＝OA+AC＝3+5＝8，∴C（8，0）．设OD＝x，则CD＝DB＝x+4．在Rt△OCD中，DC2＝OD2+OC2，即（x+4）2＝x2+82，解得：x＝6，∴D（0，﹣6）．（3）存在，理由如下：∵S△PAB＝S△OCD，∴S△PAB＝××6×8＝12．∵点P在y轴上，S△PAB＝12，∴BP•OA＝12，即×3BP＝12，解得：BP＝8，∴P点的坐标为（0，12）或（0，﹣4）．【变式1-5】（2023春•文登区期中）如图，直线l1表达式为y＝﹣3x+3，且与x轴交于点D，直线l2经过点A（4，0），B（3，），直线l1，l2交于点C．（1）求直线l2的表达式；（2）在直线l2上存在点P，能使S△ADP＝3S△ACD，求点P的坐标．【答案】（1）直线l2的表达式为：y＝x﹣6；（2）点P的坐标（10，9）或（﹣2，﹣9）．【解答】解：（1）设直线l2的表达式为：y＝kx+b（k≠0），∵直线l2经过点A（4，0），B（3，﹣），∴，∴，∴直线l2的表达式为：y＝x﹣6；（2）∵直线l1y＝﹣3x+3与x轴交于点D，∴D（1，0），解得，∴C（2，﹣3），设P（m，m﹣6），∵S△ADP＝3S△ACD，∴×3×|m﹣6|＝3××3×3，∴m＝10或﹣2，∴点P的坐标（10，9）或（﹣2，﹣9）．【变式1-6】（2023•花都区一模）在平面直角坐标系中，直线y＝kx+4（k≠0）交x轴于点A（8，0），交y轴于点B．（1）k的值是﹣；（2）点C是直线AB上的一个动点，点D和点E分别在x轴和y轴上．①如图，点D的坐标为（6，0），点E的坐标为（0，1），若四边形OECD的面积是9，求点C的坐标；②当CE平行于x轴，CD平行于y轴时，若四边形OECD的周长是10，请直接写出点C的坐标．【答案】（1）﹣；（2）①点C的坐标为（3，）；②点C的坐标为（2，3）或（﹣，）．【解答】解：（1）将A（8，0）代入y＝kx+4，得：0＝8k+4，解得：k＝﹣，故答案为：﹣；（2）①如图1，由（1）可知直线AB的解析式为y＝﹣x+4．∴设C（m，﹣m+4）（0＜m＜8），∵点D的坐标为（6，0），点E的坐标为（0，1），∴OD＝6，OE＝1，∴OM＝m，CM＝﹣m+4，∵四边形OECD的面积是9，∴S梯形CEOM+S△CDM＝（1﹣m+4）•m+（﹣m+4）•（6﹣m）＝9，整理得2m＝6，解得m＝3，∴点C的坐标为（3，）；②∵CE平行于x轴，CD平行于y轴，∴四边形CEOD是矩形，∵四边形OECD的周长是10，∴2（m﹣m+4）＝10或2（﹣m+4﹣m）＝10，解得m＝2或m＝6，点C的坐标为（2，3）或（﹣，）．【题型2铅垂法求面积】【解题技巧】对于一般三角形，我们可以选择铅垂法求解三角形的面积。比如求△ABC的面积，我们可以选取任意两点横坐标之差的绝对值作为水平宽，过第三个点作铅垂线，与之前两点所在直线交于一点，第三个点与这个交点纵坐标之差的绝对值作为铅垂高，利用水平宽与铅垂高乘积的一半求出三角形的面积。【典例2】（2021秋•开江县期末）如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y＝kx+1交y轴于点A，交x轴于点B（4，0），过点E（2，0）的直线l2平行于y轴，交直线l1于点D，点P是直线l2上一动点（异于点D），连接PA、PB．（1）求直线l1的解析式；（2）设P（2，m），求△ABP的面积S的表达式（用含m的代数式表示）；（3）当△ABP的面积为3时，则以点B为直角顶点作等腰直角△BPC，请直接写出点C的坐标．【答案】（1）y＝﹣x+1；（2）当m时，S＝2m﹣1；当m＜时，S＝1﹣2m；（3）（6，2）或（2，﹣2）或（3，2）或（5，﹣2）．【解答】解：（1）∵直线l1：y＝kx+1交x轴于点B（4，0），∴0＝4k+1．∴k＝﹣．∴直线l1：y＝﹣x+1；（2）由得：．∴D（2，）．∵P（2，m），∴PD＝|m﹣|．∴S＝×|4﹣0|•PD＝×|m﹣|×4＝|2m﹣1|．当m时，S＝2m﹣1；当m＜时，S＝1﹣2m；（3）当S△ABP＝3时，2m﹣1＝3，解得m＝2，∴点P（2，2），∵E（2，0），∴PE＝BE＝2，∴∠EPB＝∠EBP＝45°，如图2，∠PBC＝90°，BP＝BC，过点C作CF⊥x轴于点F，∵∠PBC＝90°，∠EBP＝45°，∴∠CBF＝∠PBE＝45°，在△CBF与△PBE中，，∴△CBF≌△PBE（AAS）．∴BF＝CF＝PE＝EB＝2．∴OF＝OB+BF＝4+2＝6．∴C（6，2）；如图3，△PBC是等腰直角三角形，∴PE＝CE，∴C（2，﹣2），∴以点B为直角顶点作等腰直角△BPC，点C的坐标是（6，2）或（2，﹣2）．当1﹣2m＝3时，m＝﹣1，可得P（2，﹣1），同法可得C（3，2）或（5，﹣2）．综上所述，满足条件的点C坐标为（6，2）或（2，﹣2）或（3，2）或（5，﹣2）．【变式2】（秋•铁西区期末）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝x+2与x轴交于点A，点B（5，n）在直线y＝x+2上，点C是线段AB上的一个动点，过点C作CP⊥x轴交直线点P，设点C的横坐标为m．（1）n的值为7；（2）用含有m的式子表示线段CP的长；（3）若△APB的面积为S，求S与m之间的函数表达式，并求出当S最大时点P的坐标；（4）在（3）的条件下，把直线AB沿着y轴向下平移，交y轴于点M，交线段BP于点N，若点D的坐标为，在平移的过程中，当∠DMN＝90°时，请直接写出点N的坐标．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）点B（5，n）在直线y＝x+2上，则n＝7，故答案为：7；（2）∵点C的横坐标为m，∴点C（m，m+2），∵CP⊥x轴交直线于点P，∴点，∴＝；（3）∵直线y＝x+2与x轴交于点A，∴点A（﹣2，0），S＝△APC的面积+△BPC的面积＝＝＝＝，∵，∴S随m的增大而增大，∵点C是线段AB上的一个动点，∴当点C与点B重合时，m有最大值，即m＝5时，S有最大值．当m＝5时，，∴点；（4）过点N作NG⊥y轴于点G，过点D作DH⊥y轴于点H，设直线向下平移m个单位，则平移后直线的表达式为：y＝x+2﹣m，故点M（0，2﹣m），点N（5，7﹣m），直线AB的倾斜角为45°，则∠GMN＝45°，∵∠DMN＝90°，则∠GMN＝∠MDH＝45°，故MH＝DH，即2﹣m﹣（﹣）＝2，解得：m＝，故：点．【题型3等底转化】【典例3】（秋•雁塔区校级期中）如图，在平面直角坐标系中，直线l1的解析式为y＝﹣x，直线l2与l1交于点A（a，﹣a），与y轴交于点B（0，b），其中a，b满足﹣a＝3．（1）求直线l2的解析式．（2）在平面直角坐标系中第二象限有一点P（m，5），使得S△AOP＝S△AOB，请求出点P的坐标．（3）已知平行于y轴左侧有一动直线，分别与l1，l2交于点M、N，且点M在点N的下方，点Q为y轴上一动点，且△MNQ为等腰直角三角形，请求出满足条件的点Q的坐标．【答案】（1）y＝x+4；（2）（﹣1，5）或（﹣9，5）；（3）（0，）或（0，）或（0，）．【解答】解：（1）由﹣a＝3得：a＝﹣3，b＝4，即A（﹣3，3），B（0，4），设l2的解析式为y＝kx+b，将A，B点坐标代入函数解析式，得，解得，∴l2的解析式为y＝x+4；（2）如图1，作PB∥AO，P到AO的距离等于B到AO的距离，S△AOP＝S△AOB．∵PB∥AO，PB过B点（0，4），∴PB的解析式为y＝﹣x+4或y＝﹣x﹣4①，又P在直线y＝5②上，联立①②得：﹣x+4＝5或﹣x﹣4＝5，解得x＝﹣1或﹣9，∴P点坐标为（﹣1，5）或（