《机械设计基础》课件-第2章

第2章平面汇交力系和平面力偶系2.1平面汇交力系的合成2.2平面汇交力系的平衡2.3力矩与平面力偶系2.4力偶及其性质

2.1平面汇交力系的合成

2.1.1平面汇交力系合成的几何法

设在刚体某平面上有一汇交力系F1、F2、F3、…、Fn作用并汇交于O点，该平面汇交力系的合力FR可用矢量式表

示为

FR=F1+F2+F3+…+Fn如图2-1所示，连续使用力的三角形法则可求其合力FR，即先作F1与F2的合力F12，再将F12与F3合成为F123，最后求出F123与Fn的合力FR，力FR即该汇交力系的合力。图2-1平面汇交力系由力的多边形法则求得的合力FR，其作用点仍为各力的汇交点，而且合力FR的大小、方向与各力相加次序无关。

若平面汇交力系包含n个力，以FR表示它们的合力，上述关系可用矢量表达式表述如下：

FR=F1+F2+…+Fn=∑F

(2-1)

例2-1在A点作用有四个平面汇交力，如图2-2所示，已知F1=100N，F2=100N，F3=150N，F4=200N，用几何法求力系的合力FR。

解选用比例尺如图2-2(b)所示，将F1、F2、F3、F4首尾相接并依次画出，得到力多边形，如图2-2(b)所示，其封闭边就表示合力FR。经测量得

FR≈170N，θ≈54°

合力的作用点仍在A点。图2-2平面汇交力系的简化2.1.2平面汇交力系合成的解析法

1.力在坐标轴上的投影

已知力F作用于刚体平面内A点，且与水平线成α的夹角。建立平面直角坐标系xOy，如图2-3所示。通过力F的两端点A、B分别向x、y轴引垂线，垂足在x、y轴上截下的线段ab、a1b1分别称为力F在x、y轴上的投影，记作Fx、Fy。图2-3力的投影力在坐标轴上的投影是代数量，其正负规定为：由起点a到终点b(或由a1到b1)的指向与坐标轴的正向一致时为正，反之为负。

一般地，有

(2-2)

式中，α为力F与x轴所夹的锐角。图2-3中，力F在x、y轴上的投影为

反过来，若力F在x及y轴上的投影Fx及Fy已知，则可确定F的大小和方向：

(2-3)

式中，α表示力F与x轴所夹的锐角，F的指向由投影Fx、Fy的正负号确定。

2.合力投影定理

设刚体上O点作用有平面汇交力系，其合力FR即可连续使用力三角形法则来求解，如图2-4所示。其矢量表示为

(2-4)将上式两边分别向x、y坐标轴投影，有

(2-5)

式(2-5)称为合力投影定理，即力系的合力在某轴上的投影，等于力系中各分力在同一轴上投影的代数和。图2-4合力投影定理

3.平面汇交力系合成的解析法

若进一步按式(2-3)运算，则可求得合力FR的大小及方向

(2-6)

式中,α为合力FR与x轴所夹的锐角。合力FR的指向由∑Fx、∑Fy的正负号确定。

例2-2如图2-5(a)所示为一吊环，受到三条钢丝绳的拉力作用。已知F1=4kN，水平向左；F2=5kN，与水平成30°角；F3=3kN，铅垂向下，试求合力大小。

解以三力交点O为坐标原点，建立直角坐标系，如图2-5(a)所示。首先分别计算各力的投影。由式(2-5)、(2-6)可得

因为Fx、Fy都是负值，所以合力应在第三象限(图2-5(b))。图2-5吊环

例2-3用解析法求例2-1所示力系合力的大小和方向。

解如图2-6所示建立直角坐标系。图2-6汇交力系合成由式(2-5)计算合力FR在x、y轴上的投影:故合力FR的大小和方向为

由于FRx为负值，FRy为正值，所以合力FR指向第二象限，如图2-6(b)所示，合力的作用线通过力系的汇交点O。2.2平面汇交力系的平衡

2.2.1平面汇交力系平衡的几何条件

平面汇交力系平衡的必要与充分条件就是合力等于零，即

FR=0

(2-7)

或

FR=F1+F2+…+Fn=0图2-7平面汇交力系平衡的几何条件

例2-4图2-8(a)所示起重机，吊起一重量为G=10kN的钢管，已知α=30°。试求钢索AB、AC及AE的拉力。图2-8起重机

解

(1)选取A点为研究对象，画出其受力图,如图2-8(b)所示，已知FAE=G(为什么？)。

(2)以FAB、FAC、FAE为边，首尾相接，画力的三角形,如图2-8(c)所示。由几何关系可知，所画三角形为正三角形，那么就有

FAB=FAC=FAE=G=10kN2.2.2平面汇交力系平衡的解析条件

如前所述，平面汇交力系平衡的必要与充分条件是该力系的合力为零，即FR=0，根据式(2-6)可得

即

(2-8)

例2-5重为G=1kN的球，用过O点与斜面平行的绳索AB系住，并放置在斜面上，如图2-9(a)所示，已知α=30°，求绳索AB所受的拉力及球对斜面的压力。

解法一(1)取球O为研究对象，画分离体受力图，如图2-9(b)所示。这是一平面汇交力系。

(2)建立直角坐标系xOy，如图2-9(b)所示。列平衡方程：

(Ⅰ)

(Ⅱ)

(3)联立解(Ⅰ)与(Ⅱ)方程,得

解法二建立如图2-9(c)所示直角坐标系xOy，列平衡方程如下：

解方程得

根据作用与反作用公理知，绳AB所受的拉力FT′=FT=

0.5kN；球对斜面的压力FN′=FN=0.866kN，其指向与图中的指向相反。图2-9斜面重球受力分析

例2-6图2-10(a)所示为一简易起重机装置，重量G=

2kN的重物吊在钢丝绳的一端，钢丝绳的另一端跨过定滑轮A，绕在绞车D的鼓轮上，定滑轮用直杆AB和AC支承，定滑轮半径较小，大小可忽略不计，定滑轮、直杆以及钢丝绳的重量不计，各处接触都为光滑。试求当重物被匀速提升时，杆AB、AC所受的力。

解(1)因为不计滑轮A的尺寸，而杆AB、AC及钢索都与滑轮连接，所以，取滑轮为研究对象，画其受力图并以其中心为原点建立直角坐标系(如图2-10(b)所示)。

(2)列平衡方程并求解：

解得

解得

FNAC为负值，表明FNAC的实际指向与假设方向相反，即AC杆为受压杆件。图2-10简易起重机

2.3力矩与平面力偶系

2.3.1力对点之矩的概念

如图2-11所示为扳手及其所受力在垂直于螺母中心线的平面上的投影。图中螺母中心线在平面上的投影点O称为力矩中心(简称矩心)，力的作用线到力矩中心O点的距离d称为力臂。图2-11扳手工作示例实践证明：力使扳手绕O点的转动效应取决于力F的大小与力臂d的乘积F·d，用符号MO(F)来表示，称为力F对O点之矩。在平面问题中，力矩是个代数量，规定逆时针转动为正，顺时针转动为负，即

MO(F)=±F·d

(2-9)

在国际单位制中，力矩的单位是牛米，即N·m或千牛米(kN·m)。2.3.2合力矩定理

平面汇交力系的合力对平面内任意一点之矩，等于其所有分力对同一点的力矩的代数和。此定理不仅适用于平面汇交力系，也适用于平面任意力系。其表达式为

MO(FR)=∑MO(F)

(2-10)2.3.3力对点之矩的计算方法

通常在求平面内力对某点的矩时，一般采用以下两种方法：

(1)用力矩的定义式，即力和力臂的乘积求力矩。这种方法的关键在于确定力臂d。需要注意的是，力臂d是矩心到力作用线的垂直距离。

(2)运用合力矩定理求力矩。在工程实际中，当力臂的几何关系较复杂而不易确定时，可将作用力分解为两个正交分力，然后应用合力矩定理求其分力对矩心的力矩的代数和。

例2-7如图2-12所示，构件OBC的O端为铰链支座约束，力F作用于C点，其方向角为α，又知OB=l，BC=h，求力F对O点的力矩。

解

(1)利用力矩的定义进行求解。如图2-12所示，过点O作出力F作用线的垂线，力臂d由几何关系计算，有

此处取正号因为F对O点之矩为逆时针。

(2)利用合力矩定理求解。由于力F的力臂d的几何关系较为复杂，不易直接求出，所以可以利用合力矩定理求力矩。如图2-12所示，可先将力F分解成一对正交的分力Fx、Fy。则力F的力矩就可以用这两个分力对点O的力矩的代数

和求出。即

MO(F)=MO(Fx)+MO(Fy)=－(F·cosα)·h+(F·sinα)·l

即

MO(F)=F·(l·sinα－h·cosα)图2-12力矩计算

2.4力偶及其性质

2.4.1力偶的定义

在工程实践中常会见到物体受两个大小相等、方向相反、作用线相互平行却不重合的力的作用，使物体产生转动。例如，用手拧水龙头、转动方向盘等(如图2-13所示)。在力学研究中，将作用在物体上的一对大小相等、方向相反、作用线相互平行且不重合的两个力称为力偶，记作(F，F′)。图2-13力偶示例力偶对物体的转动效应，取决于力偶中的力与力偶臂的乘积，称为力偶矩。记作M(F，F′)或M，即

M(F，F′)=±F·d

(2-11)2.4.2力偶的性质

性质1力偶无合力，即力偶不能用一个力来平衡，力偶只能用力偶来平衡。

由于力偶中的两个力是等值、反向的，故它们在任意坐标轴上的投影的代数和恒为零，因此，力偶对物体只有转动效应而无移动效应。从而力偶对物体的作用效果不能用一个力来代替，也不能用一个力来平衡。可以将力和力偶看成组成力系的两个基本物理量。

性质2力偶对其作用平面内任一点的力矩，恒等于其力偶矩，而与矩心的位置无关。

如图2-14所示一力偶M(F，F′)=F·d，对于平面任意一点O的力矩，可用组成力偶的两个力分别对O点力矩的代数和度量，记作MO(F，F′)=±F·d，即

MO(F，F′)=F(d+x)－F′x=F·d+F·x－F′·x

而

F=F′

则有

MO(F，F′)=F·d图2-14力偶

性质3力偶的等效性，即作用在同一平面内的两个力偶，如果它们的力偶矩大小相等、力偶的转向相同，则这两个力偶是等效的。根据力偶的等效性，可以得出两个推论：

推论1力偶可以在其作用面内任意移转而不改变它对物体的转动效应，即力偶对物体的转动效应与它在作用面内的位置无关。

推论2在保持力偶矩大小和力偶转向不变的情况下，可以同时改变力偶中力的大小和力臂的长短，而不会改变力偶对物体的转动效应。2.4.3平面力偶系的合成与平衡

平面力偶系是作用在刚体上同一平面内的多个力偶的总称。

1.平面力偶系的合成

设平面力偶系由M1、M2、…、Mn组成，则其合力偶矩M的表达式为

(2-12)

2.平面力偶系的平