第10讲三角形全等的判定“角边角与角角边”(6种题型)(原卷版+解析)

第10讲三角形全等的判定“角边角与角角边”（6种题型）【知识梳理】一、全等三角形判定——“角边角”两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA”）.要点诠释：如图，如果∠A＝∠，AB＝，∠B＝∠，则△ABC≌△.二、全等三角形判定——“角角边”1.全等三角形判定——“角角边”两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“AAS”）要点诠释：由三角形的内角和等于180°可得两个三角形的第三对角对应相等.这样就可由“角边角”判定两个三角形全等，也就是说，用角边角条件可以证明角角边条件，后者是前者的推论.2.三个角对应相等的两个三角形不一定全等.如图，在△ABC和△ADE中，如果DE∥BC，那么∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C，又∠A＝∠A，但△ABC和△ADE不全等.这说明，三个角对应相等的两个三角形不一定全等.【考点剖析】题型一：用“角边角”直接证明三角形全等例1.如图，∠A＝∠B，AE＝BE，点D在AC边上，∠1＝∠2，AE和BD相交于点O．求证：△AEC≌△BED；【变式1】如图，AB＝AD，∠1＝∠2，DA平分∠BDE．求证：△ABC≌△ADE．【变式2】如图，已知∠1＝∠2，∠3＝∠4，要证BC＝CD，证明中判定两个三角形全等的依据是（）A．角角角 B．角边角 C．边角边 D．角角边【变式3】（2022•长安区一模）已知：点B、E、C、F在一条直线上，AB∥DE，AC∥DF，BE＝CF．求证：△ABC≌△DEF．题型二：用“角边角”间接证明三角形全等例2.如图，已知AB∥CD，AB＝CD，∠A＝∠D．求证：AF＝DE．【变式1】已知：如图，E，F在AC上，AD∥CB且AD＝CB，∠D＝∠B．求证：AE＝CF．【变式2】如图，AB＝AC，AB⊥AC，AD⊥AE，且∠ABD＝∠ACE.求证：BD＝CE.【变式3】如图，要测量河两岸相对两点A、B间的距离，在河岸BM上截取BC＝CD，作ED⊥BD交AC的延长线于点E，垂足为点D．（DE≠CD）（1）线段的长度就是A、B两点间的距离（2）请说明（1）成立的理由．【变式4】如图，G是线段AB上一点，AC和DG相交于点E.请先作出∠ABC的平分线BF，交AC于点F；然后证明：当AD∥BC，AD＝BC，∠ABC＝2∠ADG时，DE＝BF.【变式5】已知：如图，在△MPN中，H是高MQ和NR的交点，且MQ＝NQ．求证：HN＝PM.【变式6】如图，已知，平分，且于点D，则________．【变式7】（2022秋•苏州期中）如图，△ABC中，AD是BC边上的中线，E，F为直线AD上的点，连接BE，CF，且BE∥CF．（1）求证：△BDE≌△CDF；（2）若AE＝13，AF＝7，试求DE的长．题型三：用“角角边”直接证明三角形全等例3.如图，在四边形ABCD中，E是对角线AC上一点，AD∥BC，∠ADC＝∠ACD，∠CED+∠B＝180°．求证：△ADE≌△CAB．【变式】（2022秋•泗阳县期中）王强同学用10块高度都是2cm的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板（AC＝BC，∠ACB＝90°），点C在DE上，点A和B分别与木墙的顶端重合．（1）求证：△ADC≌△CEB；（2）求两堵木墙之间的距离．题型四：用“角角边”间接证明三角形全等例4、已知：如图，AB⊥AE，AD⊥AC，∠E＝∠B，DE＝CB．求证：AD＝AC．【变式】已知：如图，，，是经过点的一条直线，过点、B分别作、，垂足为E、F，求证：.题型五：“边角边”与“角角边”综合应用例5．如图，，、分别平分、，与交于点O．（1）求的度数；（2）说明的理由．【变式】如图（1）在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于点D，BE⊥MN于点E．（1）求证：①△ADC≌△CEB；②DE=AD+BE．（2）当直线MN绕点C旋转到图（2）的位置时，DE、AD、BE又怎样的关系？并加以证明．题型六：尺规作图——利用角边角或角角边做三角形例6、已知三角形的两角及其夹边，求作这个三角形已知：∠α，∠β和线段c，如图4－4－21所示．图4－4－21求作：△ABC，使∠A＝∠α，∠B＝∠β，AB＝c.例7.已知：角α，β和线段a，如图4－4－29所示，求作：△ABC，使∠A＝∠α，∠B＝∠β，BC＝a.图4－4－29【变式】（2022春·陕西·七年级陕西师大附中校考期中）尺规作图已知：，和线段a，求作，使，，．要求：不写作法，保留作图痕迹，标明字母．【过关检测】一、单选题1．（2023春·黑龙江哈尔滨·七年级校考阶段练习）如图，小明把一块三角形的玻璃打碎成了3块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的方法是（

）

A．带①去 B．带②去 C．带③去 D．①②③都带去2．（2023春·广东佛山·七年级校考期中）如图，在用尺规作图得到过程中，先作，再作，从而得到，其中运用的三角形全等的判定方法是（

）

A． B． C． D．3．（2023春·重庆沙坪坝·七年级重庆一中校考期末）如图，平分，点是射线上一点，于点，点是射线上的一个动点，连接，若，则的长度不可能是（

）

A． B． C． D．4．（2023春·陕西咸阳·七年级统考期末）如图，，的平分线与的平分线相交于点P，作于点E，若，则点P到与的距离之和为（

）

A．4 B．6 C．8 D．105．（2023春·福建福州·七年级福建省福州第十六中学校考期末）如图，，点是的中点，平分，且，则点到线段的最小距离为（）

A． B． C． D．6．（2023·全国·八年级假期作业）如图，点E在外部，点D在的边上，交于F，若，，则（

）．

A． B． C．D．7．（2023·浙江·八年级假期作业）小明不慎将一块三角形的玻璃摔碎成如图所示的四块（即图中标有1、2、3、4的四块）你认为将其中的哪一块带去，就能配一块与原来一样大小的三角形？应该带（

）

A．带①去 B．带②去 C．带③去 D．①②③都带去8．（2023春·浙江宁波·七年级校考期末）如图，的两条高和相交于点E，，，，则的长为（

）

A． B． C． D．139．（2023春·辽宁沈阳·七年级沈阳市第一二六中学校考阶段练习）如图，抗日战争期间，为了炸毁敌人的碉堡，需要测出我军阵地与敌人碉堡的距离．我军战士想到一个办法，他先面向碉堡的方向站好，然后调整帽子，使视线通过帽檐正好落在碉堡的底部点B；然后转过身保持刚才的姿势，这时视线落在了我军阵地的点E上；最后，他用步测的办法量出自己与E点的距离，从而推算出我军阵地与敌人碉堡的距离，这里判定的理由可以是（

）

A． B． C． D．10．（2023春·四川达州·八年级统考期末）如图，已知是的平分线，，若，则的面积（

）

A． B． C． D．不能确定二、填空题11．（2023·浙江·八年级假期作业）如图，D在上，E在上，且，补充一个条件______后，可用“”判断．

12．（2023春·广东揭阳·七年级期末）如图，在中，，AD平分，则的根据是______．

13．（2023春·陕西榆林·七年级统考期末）如图，，且，连接，于点，于点．若，，，则的长为________．14．（2023春·山东枣庄·七年级统考期末）如图，A，B两个建筑物分别位于河的两岸，为了测量它们之间的距离，可以沿河岸作射线，且使，在上截取，过D点作，使在一条直线上，测得米，则A，B之间的距离为______米．15．（2023·广东茂名·统考一模）如图，点、、、在同一直线上，，，添加一个条件，使，这个条件可以是______．（只需写一种情况）

16．（2023春·上海虹口·七年级上外附中校考期末）如图，有一种简易的测距工具，为了测量地面上的点M与点O的距离（两点之间有障碍无法直接测量），在点O处立竖杆PO，并将顶端的活动杆PQ对准点M，固定活动杆与竖杆的角度后，转动工具至空旷处，标记活动杆的延长线与地面的交点N，测量点N与点O的距离，该距离即为点M与点O的距离．此种工具用到了全等三角形的判定，其判定理由是______．

17．（2023春·湖南岳阳·八年级统考期末）直线经过的顶点，．、分别是直线上两点，且．若直线经过的内部，且、在射线上，请解决下面两个问题：①如图1，若，，则____（填“”，“”或“”号）；②如图2，若，若使①中的结论仍然成立，则与应满足的关系是_________________．

18．（2023春·广东深圳·七年级统考期末）如图，在等腰中，，，为的角平分线，过点作交的延长线与点，若，则的长为______．

三、解答题19．（2023春·江苏苏州·七年级统考期末）已知：如图，在中，，过点C作，垂足为D．在射线上截取，过点E作，交的延长线于点F．

(1)求证：；(2)若，，求的长．20．（2023春·陕西西安·七年级西安市铁一中学校考期末）如图，A，C，D三点共线，和落在的同侧，，，．求证：．

21．（2022秋·八年级课时练习）已知和线段a（下图），用直尺和圆规作，使．22．（2023春·全国·七年级专题练习）如图，已知，请根据“ASA”作出，使．23．（2023春·山西太原·七年级校考阶段练习）如图，点B、F、C、E在同一条直线上，已知，，，试说明：．

24．（2020秋·广东广州·八年级海珠外国语实验中学校考阶段练习）如图，已知：，，．求证：．

25．（2023春·福建宁德·七年级校考阶段练习）如图，点B，F，C，E在直线l上（F，C之间不能直接测量），点A，D在l异侧，测得，，．

(1)求证：；(2)若，，求的长度．26．（2023·浙江·八年级假期作业）如图，中，，连接，，且．

(1)求证：；(2)若，，试求的长．27．（2023春·江西鹰潭·七年级校考阶段练习）将两个三角形纸板和按如图所示的方式摆放，连接．已知，，．

(1)试说明．(2)若，求的度数．28．（2023春·河南驻马店·七年级统考期末）如图，线段是的中线，分别过点、作所在直线的垂线，垂足分别为、．

(1)请问与全等吗？说明理由；(2)若的面积为10，的面积为6，求的面积．29．（2019·七年级单元测试）（1）求证：等边三角形内的任意一点到两腰的距离之和等于定长.（提示：添加辅助线证明）（2）如图所示，在三角形ABC中，点D是三角形内一点，连接DA、DB、DC，若，求证：AD平分.

第10讲三角形全等的判定“角边角与角角边”（6种题型）【知识梳理】一、全等三角形判定——“角边角”两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA”）.要点诠释：如图，如果∠A＝∠，AB＝，∠B＝∠，则△ABC≌△.二、全等三角形判定——“角角边”1.全等三角形判定——“角角边”两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“AAS”）要点诠释：由三角形的内角和等于180°可得两个三角形的第三对角对应相等.这样就可由“角边角”判定两个三角形全等，也就是说，用角边角条件可以证明角角边条件，后者是前者的推论.2.三个角对应相等的两个三角形不一定全等.如图，在△ABC和△ADE中，如果DE∥BC，那么∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C，又∠A＝∠A，但△ABC和△ADE不全等.这说明，三个角对应相等的两个三角形不一定全等.【考点剖析】题型一：用“角边角”直接证明三角形全等例1.如图，∠A＝∠B，AE＝BE，点D在AC边上，∠1＝∠2，AE和BD相交于点O．求证：△AEC≌△BED；【详解】∵AE和BD相交于点O，∴∠AOD=∠BOE．在△AOD和△BOE中，∠A=∠B，∴∠BEO=∠2．又∵∠1=∠2，∴∠1=∠BEO，∴∠AEC=∠BED．在△AEC和△BED中，∴△AEC≌△BED（ASA）．【变式1】如图，AB＝AD，∠1＝∠2，DA平分∠BDE．求证：△ABC≌△ADE．【解答】证明：∵∠1＝∠2，∴∠1+∠DAC＝∠2+∠DAC，∴∠BAC＝∠DAE，∵AB＝AD，∴∠ADB＝∠B，∵DA平分∠BDE．∴∠ADE＝∠ADB，∴∠ADE＝∠B，在△ABC和△ADE中，∠ADE=∠BAB=AD∴△ABC≌△ADE（ASA）．【变式2】如图，已知∠1＝∠2，∠3＝∠4，要证BC＝CD，证明中判定两个三角形全等的依据是（）A．角角角 B．角边角 C．边角边 D．角角边【分析】已知两角对应相等，且有一公共边，利用全等三角形的判定定理进行推理即可．【解答】解：在△ABC与△ADC中，∠1=∠2AC=AC则△ABC≌△ADC（ASA）．∴BC＝CD．故选：B．【变式3】（2022•长安区一模）已知：点B、E、C、F在一条直线上，AB∥DE，AC∥DF，BE＝CF．求证：△ABC≌△DEF．【解答】证明：∵AB∥DE，∴∠B＝∠DEF，∵AC∥DF，∴∠ACB＝∠F，∵BE＝CF，∴BE+EC＝CF+EC，即BC＝EF，在△ABC和△DEF中，∠B=∠DEFBC=EF∴△ABC≌△DEF（ASA）．题型二：用“角边角”间接证明三角形全等例2.如图，已知AB∥CD，AB＝CD，∠A＝∠D．求证：AF＝DE．【详解】证明：∵AB//CD，∴∠B＝∠C，在△ABF和△DCE中，，∴△ABF≌△DCE（ASA），∴AF＝DE．【变式1】已知：如图，E，F在AC上，AD∥CB且AD＝CB，∠D＝∠B．求证：AE＝CF．【答案与解析】证明：∵AD∥CB∴∠A＝∠C在△ADF与△CBE中∴△ADF≌△CBE（ASA）∴AF＝CE，AF＋EF＝CE＋EF故得：AE＝CF【变式2】如图，AB＝AC，AB⊥AC，AD⊥AE，且∠ABD＝∠ACE.求证：BD＝CE.【详解】∵AB⊥AC，AD⊥AE，∴∠BAE+∠CAE＝90°，∠BAE+∠BAD＝90°，∴∠CAE＝∠BAD.又AB＝AC，∠ABD＝∠ACE，∴△ABD≌△ACE(ASA).∴BD＝CE.【变式3】如图，要测量河两岸相对两点A、B间的距离，在河岸BM上截取BC＝CD，作ED⊥BD交AC的延长线于点E，垂足为点D．（DE≠CD）（1）线段的长度就是A、B两点间的距离（2）请说明（1）成立的理由．【解答】解：（1）线段DE的长度就是A、B两点间的距离；故答案为：DE；（2）∵AB⊥BC，DE⊥BD∴∠ABC＝∠EDC＝90°又∵∠ACB＝∠DCE，BC＝CD∴△ABC≌△CDE（ASA）∴AB＝DE．【变式4】如图，G是线段AB上一点，AC和DG相交于点E.请先作出∠ABC的平分线BF，交AC于点F；然后证明：当AD∥BC，AD＝BC，∠ABC＝2∠ADG时，DE＝BF.【答案与解析】 证明：∵AD∥BC，∴∠DAC＝∠C∵BF平分∠ABC∴∠ABC＝2∠CBF∵∠ABC＝2∠ADG∴∠CBF＝∠ADG在△DAE与△BCF中∴△DAE≌△BCF（ASA）∴DE＝BF【变式5】已知：如图，在△MPN中，H是高MQ和NR的交点，且MQ＝NQ．求证：HN＝PM.【答案】证明：∵MQ和NR是△MPN的高，∴∠MQN＝∠MRN＝90°，又∵∠1＋∠3＝∠2＋∠4＝90°，∠3＝∠4∴∠1＝∠2在△MPQ和△NHQ中，∴△MPQ≌△NHQ（ASA）∴PM＝HN【变式6】如图，已知，平分，且于点D，则________．【答案】12【详解】解：如图，延长BD交AC于点E，∵平分，，∴，．∵，∴．∴．∴，．∴．即．∵，∴．故答案为：12．【变式7】（2022秋•苏州期中）如图，△ABC中，AD是BC边上的中线，E，F为直线AD上的点，连接BE，CF，且BE∥CF．（1）求证：△BDE≌△CDF；（2）若AE＝13，AF＝7，试求DE的长．【解答】（1）证明：∵AD是BC边上的中线，∴BD＝CD，∵BE∥CF，∴∠DBE＝∠DCF，在△BDE和△CDF中，，∴△BDE≌△CDF（ASA）；（2）解：∵AE＝13，AF＝7，∴EF＝AE﹣AF＝13﹣7＝6，∵△BDE≌△CDF，∴DE＝DF，∵DE+DF＝EF＝6，∴DE＝3．题型三：用“角角边”直接证明三角形全等例3.如图，在四边形ABCD中，E是对角线AC上一点，AD∥BC，∠ADC＝∠ACD，∠CED+∠B＝180°．求证：△ADE≌△CAB．【解答】证明：∵∠ADC＝∠ACD，∴AD＝AC，∵AD∥BC，∴∠DAE＝∠ACB，∵∠CED+∠B＝180°，∠CED+∠AED＝180°，∴∠AED＝∠B，在△ADE与△CAB中，∠DAE=∠ACB∠AED=∠B∴△ADE≌△CAB（AAS）．【变式】（2022秋•泗阳县期中）王强同学用10块高度都是2cm的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板（AC＝BC，∠ACB＝90°），点C在DE上，点A和B分别与木墙的顶端重合．（1）求证：△ADC≌△CEB；（2）求两堵木墙之间的距离．【解答】（1）证明：由题意得：AC＝BC，∠ACB＝90°，AD⊥DE，BE⊥DE，∴∠ADC＝∠CEB＝90°，∴∠ACD+∠BCE＝90°，∠ACD+∠DAC＝90°，∴∠BCE＝∠DAC在△ADC和△CEB中，∴△ADC≌△CEB（AAS）；（2）解：由题意得：AD＝2×3＝6（cm），BE＝7×2＝14（cm），∵△ADC≌△CEB，∴EC＝AD＝6cm，DC＝BE＝14cm，∴DE＝DC+CE＝20（cm），答：两堵木墙之间的距离为20cm．题型四：用“角角边”间接证明三角形全等例4、已知：如图，AB⊥AE，AD⊥AC，∠E＝∠B，DE＝CB．求证：AD＝AC．【答案与解析】证明：∵AB⊥AE，AD⊥AC，∴∠CAD＝∠BAE＝90°∴∠CAD＋∠DAB＝∠BAE＋∠DAB，即∠BAC＝∠EAD在△BAC和△EAD中∴△BAC≌△EAD（AAS）∴AC＝AD【变式】已知：如图，，，是经过点的一条直线，过点、B分别作、，垂足为E、F，求证：.【答案与解析】证明：∵，∴∴∵∴∴在和中∴≌（）∴【总结升华】要证，只需证含有这两个线段的≌.同角的余角相等是找角等的好方法.题型五：“边角边”与“角角边”综合应用例5．如图，，、分别平分、，与交于点O．（1）求的度数；（2）说明的理由．【答案】（1）120°；（2）见解析【详解】解：（1）∵AD，BC分别平分∠CAB和∠ABD，∠CAB+∠ABD=120°，∴∠OAB+∠OBA=60°，∴∠AOB=180°-60°=120°；（2）在AB上截取AE=AC，∵∠CAO=∠EAO，AO=AO，∴△AOC≌△AOE（SAS），∴∠C=∠AEO，∵∠C+∠D=（180°-∠CAB-∠ABC）+（180°-∠ABD-∠BAD）=180°，∴∠AEO+∠D=180°，∵∠AEO+∠BEO=180°，∴∠BEO=∠D，又∠EBO=∠DBO，BO=BO，∴△OBE≌△OBD（AAS），∴BD=BE，又AC=AE，∴AC+BD=AE+BE=AB．【变式】如图（1）在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于点D，BE⊥MN于点E．（1）求证：①△ADC≌△CEB；②DE=AD+BE．（2）当直线MN绕点C旋转到图（2）的位置时，DE、AD、BE又怎样的关系？并加以证明．【答案】（1）①证明见解析；②证明见解析；（2）DE=AD-BE，证明见解析．【详解】解：（1）①证明：∵AD⊥DE，BE⊥DE，∴∠ADC=∠BEC=90°，∵∠ACB=90°，∴∠ACD+∠BCE=90°，∠DAC+∠ACD=90°，∴∠DAC=∠BCE，在△ADC和△CEB中，∴△ADC≌△CEB（AAS）．②证明：由（1）知：△ADC≌△CEB，∴AD=CE，CD=BE，∵DC+CE=DE，∴AD+BE=DE．（2）成立．证明：∵BE⊥EC，AD⊥CE，∴∠ADC=∠BEC=90°，∴∠EBC+∠ECB=90°，∵∠ACB=90°，∴∠ECB+∠ACE=90°，∴∠ACD=∠EBC，在△ADC和△CEB中，，∴△ADC≌△CEB（AAS），∴AD=CE，CD=BE，∴DE=EC-CD=AD-BE．题型六：尺规作图——利用角边角或角角边做三角形例6、已知三角形的两角及其夹边，求作这个三角形已知：∠α，∠β和线段c，如图4－4－21所示．图4－4－21求作：△ABC，使∠A＝∠α，∠B＝∠β，AB＝c.作法：(1)作∠DAF＝∠α；图4－4－22图4－4－23(2)在射线AF上截取线段AB＝c；图4－4－24(3)以B为顶点，以BA为一边，在AB的同侧作∠ABE＝∠β，BE交AD于点C.△ABC就是所求作的三角形．[点析]我们这样作出的三角形是唯一的，依据是两角及其夹边分别相等的两个三角形全等．例7.已知：角α，β和线段a，如图4－4－29所示，求作：△ABC，使∠A＝∠α，∠B＝∠β，BC＝a.图4－4－29[解析]本题所给条件是两角及其中一角的对边，可利用三角形内角和定理求出∠C，再利用两角夹边作图．解：如图4－4－30所示：(1)作∠γ＝180°－∠α－∠β；(2)作线段BC＝a；(3)分别以B，C为顶点，以BC为一边作∠CBM＝∠β，∠BCN＝∠γ；(4)射线BM，CN交于点A.△ABC就是所求作的三角形．图4－4－30【变式】（2022春·陕西·七年级陕西师大附中校考期中）尺规作图已知：，和线段a，求作，使，，．要求：不写作法，保留作图痕迹，标明字母．【详解】解：如图，△ABC即为所求．．【过关检测】一、单选题1．（2023春·黑龙江哈尔滨·七年级校考阶段练习）如图，小明把一块三角形的玻璃打碎成了3块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的方法是（

）

A．带①去 B．带②去 C．带③去 D．①②③都带去【答案】A【分析】根据全等三角形的判定可进行求解【详解】解：第①块不仅保留了原来三角形的两个角还保留了一边，则可以根据来配一块一样的玻璃．故选：A．【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定方法的开放性的题，要求学生将所学的知识运用于实际生活中，要认真观察图形，根据已知选择方法．2．（2023春·广东佛山·七年级校考期中）如图，在用尺规作图得到过程中，先作，再作，从而得到，其中运用的三角形全等的判定方法是（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】根据题意分析可得，，再加上公共边，根据，即可判断．【详解】解：∵得，，，∴，故选：B．【点睛】本题考查了作一个角等于已知角，全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．3．（2023春·重庆沙坪坝·七年级重庆一中校考期末）如图，平分，点是射线上一点，于点，点是射线上的一个动点，连接，若，则的长度不可能是（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】如图所示，过点P作于H，证明得到，由垂线段最短可知，由此即可得到答案．【详解】解：如图所示，过点P作于H，∵，∴，∵平分，∴，又∵，∴，∴，由垂线段最短可知，∵，∴，∴四个选项中，只有D选项符合题意，故选：D．

【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，垂线段最短，实数比较大小，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．4．（2023春·陕西咸阳·七年级统考期末）如图，，的平分线与的平分线相交于点P，作于点E，若，则点P到与的距离之和为（

）

A．4 B．6 C．8 D．10【答案】C【分析】如图所示，过点P作与F，延长交于G，先证明，由角平分线的定义得到，进而证明得到，同理可得，则，由此即可得到答案．【详解】解：如图所示，过点P作与F，延长交于G，∵，∴，∵，∴，∵平分，∴，又∵，∴，∴，同理可得，∴，∴点P到与的距离之和为8，故选C．

【点睛】本题主要考查了平行线的性质，全等三角形的性质与判定，角平分线的定义，平行线间的距离等等，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．5．（2023春·福建福州·七年级福建省福州第十六中学校考期末）如图，，点是的中点，平分，且，则点到线段的最小距离为（）

A． B． C． D．【答案】C【分析】如图所示，过点M作于E，证明，得到，再根据线段中点的定义得到，根据垂线段最短可知点到线段的最小距离为4．【详解】解：如图所示，过点M作于E，∴，∵平分，∴，又∵，∴，∴，∵点是的中点，，∴，∴点到线段的最小距离为4，故选：C．

【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，角平分线的定义，垂线段最短等等，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．6．（2023·全国·八年级假期作业）如图，点E在外部，点D在的边上，交于F，若，，则（

）．

A． B． C． D．【答案】D【分析】首先根据题意得到，，然后根据证明．【详解】解：∵，∴，∴，∵，，∴，∴在和中，，∴，故选：D．【点睛】此题主要考查全等三角形的判定，解题的关键是熟知全等三角形的判定定理．7．（2023·浙江·八年级假期作业）小明不慎将一块三角形的玻璃摔碎成如图所示的四块（即图中标有1、2、3、4的四块）你认为将其中的哪一块带去，就能配一块与原来一样大小的三角形？应该带（

）

A．带①去 B．带②去 C．带③去 D．①②③都带去【答案】B【分析】本题应先假定选择哪块，再对应三角形全等判定的条件进行验证．【详解】解：①、③、④块玻璃不同时具备包括一完整边在内的三个证明全等的要素，所以不能带它们去，只有第②块有完整的两角及夹边，符合，满足题目要求的条件，是符合题意的．故选：B．【点睛】本题主要考查三角形全等的判定，看这4块玻璃中哪个包含的条件符合某个判定．判定两个三角形全等的一般方法有：、、、．8．（2023春·浙江宁波·七年级校考期末）如图，的两条高和相交于点E，，，，则的长为（

）

A． B． C． D．13【答案】A【分析】先证明，可得，，而，再由等面积法可得答案．【详解】解：∵的两条高AD和BF相交于点E，∴，∵，∴，∵，，∴，，∴，∴，而，由等面积法可得：，解得：；故选A【点睛】本题考查的是三角形的内角和定理的应用，全等三角形的判定与性质，等面积法的应用，证明是解本题的关键．9．（2023春·辽宁沈阳·七年级沈阳市第一二六中学校考阶段练习）如图，抗日战争期间，为了炸毁敌人的碉堡，需要测出我军阵地与敌人碉堡的距离．我军战士想到一个办法，他先面向碉堡的方向站好，然后调整帽子，使视线通过帽檐正好落在碉堡的底部点B；然后转过身保持刚才的姿势，这时视线落在了我军阵地的点E上；最后，他用步测的办法量出自己与E点的距离，从而推算出我军阵地与敌人碉堡的距离，这里判定的理由可以是（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】根据垂直的定义和全等三角形的判定定理即可得到结论．【详解】解：∵士兵的视线通过帽檐正好落在碉堡的底部点B，然后转过身保持刚才的姿势，这时视线落在了我军阵地的点E上，∴，∵，，∴，∵，∴判定的理由是．故选C．【点睛】本题主要考查了全等三角形的应用，分析题意找到相等的角和边判定三角形的全等是解题的关键．10．（2023春·四川达州·八年级统考期末）如图，已知是的平分线，，若，则的面积（

）

A． B． C． D．不能确定【答案】A【分析】延长交于点C，根据题意，易证，因为和同高等底，所以面积相等，根据等量代换便可得出．【详解】如图所示，延长，交于点D，

，∵，∴，∵是的角平分线，∴，在和中，，∴，∴,∴，∵和同底等高，∴，∴，∴，故选：C．【点睛】本题考查了三角形的角平分线和全等三角形的判定，解题的关键是熟练运用三角形的角平分线和全等三角形的判定．二、填空题11．（2023·浙江·八年级假期作业）如图，D在上，E在上，且，补充一个条件______后，可用“”判断．

【答案】或【分析】由于两个三角形已经具备，，故要找边的条件，只要不是这两对角的夹边即可．【详解】解：∵，，∴若用“”判断，可补充的条件是或；故答案为：或．【点睛】本题考查了全等三角形的判定，熟知掌握判定三角形全等的条件是解题的关键．12．（2023春·广东揭阳·七年级期末）如图，在中，，AD平分，则的根据是______．

【答案】【分析】由、平分、可得出两个三角形对应的两个角及其夹边相等，于是可以利用判定这两个三角形全等．【详解】∵，∴．∵平分，∴．在与中，∴．故答案为：【点睛】本题考查了三角形全等的判定条件，解题的关键是找到两个三角形对应的边角相等．13．（2023春·陕西榆林·七年级统考期末）如图，，且，连接，于点，于点．若，，，则的长为________．【答案】9【分析】只要证明，可得，，推出即可得出答案．【详解】解：∵，，，∴，，，∴，∵，∴，∴，，∵，∴，故答案为：9．【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．14．（2023春·山东枣庄·七年级统考期末）如图，A，B两个建筑物分别位于河的两岸，为了测量它们之间的距离，可以沿河岸作射线，且使，在上截取，过D点作，使在一条直线上，测得米，则A，B之间的距离为______米．【答案】16【分析】根据已知条件可得，从而得到，从而得解．【详解】∵，∴°，∵，∴，∴．又∵米，∴，即之间的距离为16米．【点睛】此题主要考查全等三角形的应用，解题的关键是熟知全等三角形的判定方法．15．（2023·广东茂名·统考一模）如图，点、、、在同一直线上，，，添加一个条件，使，这个条件可以是______．（只需写一种情况）

【答案】或或或（答案不唯一）【分析】先证明及，然后利用全等三角形的判定定理分析即可得解．【详解】解∶或或或，理由是∶∵，∴，∵，∴即，当时，有，则，当时，则，当时，则，当时，则，故答案为∶或或或．【点睛】本题考查了对全等三角形的判定定理的应用，掌握全等三角形的判定定理有，，，是解题的关键．16．（2023春·上海虹口·七年级上外附中校考期末）如图，有一种简易的测距工具，为了测量地面上的点M与点O的距离（两点之间有障碍无法直接测量），在点O处立竖杆PO，并将顶端的活动杆PQ对准点M，固定活动杆与竖杆的角度后，转动工具至空旷处，标记活动杆的延长线与地面的交点N，测量点N与点O的距离，该距离即为点M与点O的距离．此种工具用到了全等三角形的判定，其判定理由是______．

【答案】两个角及其夹边对应相等的两个三角形全等【分析】根据全等三角形的判定方法进行分析，即可得到答案．【详解】解：在和中，，，判定理由是两个角及其夹边对应相等的两个三角形全等，故答案为：两个角及其夹边对应相等的两个三角形全等．【点睛】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题关键．17．（2023春·湖南岳阳·八年级统考期末）直线经过的顶点，．、分别是直线上两点，且．若直线经过的内部，且、在射线上，请解决下面两个问题：①如图1，若，，则____（填“”，“”或“”号）；②如图2，若，若使①中的结论仍然成立，则与应满足的关系是_________________．

【答案】=【分析】①求出，，根据证，推出，即可得出结果；②求出，由证，推出，即可得出结果．【详解】解：①，，，，，在和中，，，，，，②与应满足，在中，，，，，，在和中，，，，，，故答案为：，．【点睛】本题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质、三角形的面积计算、三角形的外角性质等知识；解题的关键是判断出．18．（2023春·广东深圳·七年级统考期末）如图，在等腰中，，，为的角平分线，过点作交的延长线与点，若，则的长为______．

【答案】4【分析】延长与的延长线相交于点，利用证明和全等，进而利用全等三角形的性质解答即可．【详解】解：如图，延长与的延长线相交于点，

，，，在和中，，，，是的平分线，．在和中，，，，，．故答案为：4．【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，理解题意、灵活运用全等三角形的判定与性质是解题的关键．三、解答题19．（2023春·江苏苏州·七年级统考期末）已知：如图，在中，，过点C作，垂足为D．在射线上截取，过点E作，交的延长线于点F．

(1)求证：；(2)若，，求的长．【答案】(1)见解析(2)5【分析】（1）首先根据垂直判定，得到，再利用证明即可；（2）根据全等三角形的性质可得，，再利用线段的和差计算即可．【详解】（1）解：∵，，∴，∴，在和中，，∴；（2）∵，∴，，∴．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，解题的关键是找准条件，证明三角形全等．20．（2023春·陕西西安·七年级西安市铁一中学校考期末）如图，A，C，D三点共线，和落在的同侧，，，．求证：．

【答案】见解析【分析】证明，得出，，即可证明结论．【详解】解：∵，∴，∵，，∴，∴，，∴．【点睛】本题主要考查了平行线的性质，三角形全等的判定和性质，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法证明．21．（2022秋·八年级课时练习）已知和线段a（下图），用直尺和圆规作，使．【答案】见解析【分析】先作出线段，再根据作与已知角相等的角的尺规作图方法作即可得到答案．【详解】解：作法如下图．1．作一条线段．2．分别以A，B为顶点，在的同侧作，与相交于点C．就是所求作的三角形．【点睛】本题主要考查了三角形的尺规作图，熟知相关作图方法是解题的关键．22．（2023春·全国·七年级专题练习）如图，已知，请根据“ASA”作出，使．【答案】见解析【分析】先作，再在上截取，在上截取，从而得到．【详解】解：如图，为所作．【点睛】本题考查了作图-复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了全等三角形的判定．23．（2023春·山西太原·七年级校考阶段练习）如图，点B、F、C、E在同一条直线上，已知，，，试说明：．

【答案】见解析【分析】利用ASA定理证明三角形全等，然后利用全等三角形的性质分析求解．【详解】解：∵，∴，即，∵，∴，在和中∴，∴．【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定，关键是掌握判定两个三角形全等的一般方法：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．三角形全等的判定是中考的热点，一般以考查三角形全等的方法为主，判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件．24．（2020秋·广东广州·八年级海珠外国语实验中学校