2024-2025学年四川省雅安市雅安中学高二上学期入学检测数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年四川省雅安市雅安中学高二上学期入学检测数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.抛掷一枚质地均匀的骰子一次，事件1表示“骰子向上的点数为奇数”，事件2表示“骰子向上的点数为偶数”，事件3表示“骰子向上的点数大于3”，事件4表示“骰子向上的点数小于3”则(

)A.事件1与事件3互斥 B.事件1与事件2互为对立事件

C.事件2与事件3互斥 D.事件3与事件4互为对立事件2.已知某运动员每次投篮命中的概率都为40％，现采用随机模拟的方式估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算机产生0到9之间取整数值的随机数，指定1,2,3,4表示命中，5，6，7，8，9，0表示不命中；再以三个随机数为一组，代表三次投篮结果，经随机模拟产生了如下12组随机数：137，960，197，925，271，815，952，683，829，436，730，257，据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为(

)A.14 B.38 C.5123.从装有若干个红球和白球(除颜色外其余均相同)的黑色布袋中，随机不放回地摸球两次，每次摸出一个球.若事件“两个球都是红球”的概率为215，“两个球都是白球”的概率为13，则“两个球颜色不同”的概率为(

)A.

415 B.715 C.8154.在空间直角坐标系O−xyz中，点M(2,−3,1)关于原点对称的点的坐标为(

)A.(−2,−3,−1) B.(2,3,−1) C.(−2,3,1) D.(−2,3,−1)5.甲、乙两人独立解某一道数学题，已知该题被甲独立解出的概率为0.7，被甲或乙解出的概率为0.94，则该题被乙独立解出的概率为(

)A.0.9 B.0.8 C.0.7 D.0.66.已知空间向量a=1,n,2，b=−2,1,2，若2a−b与A.532 B.3527.某同学进行投篮训练，在甲、乙、丙三个不同的位置投中的概率分别p，12，23，该同学站在这三个不同的位置各投篮一次，恰好投中两次的概率为38，则p的值为A.14 B.13 C.238.甲､乙､丙三位同学进行乒乓球比赛，约定赛制如下：(1)累计负两场者被淘汰；(2)比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；(3)每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；(4)当一人被淘汰后，剩余两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束.经抽签甲､乙首先比赛，丙首轮轮空，设每场比赛双方获胜概率都为12，则丙最终获胜的概率为(

)A.516 B.716 C.12二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.不透明的袋子中有5个大小质地完全相同的球，其中3个红球、2个黄球.记A为事件“从中任取1个球是红球”，B为事件“在有放回随机抽样中，第二次取出1个球是红球”，则(

)A.PA=35 B.PB=12

C.事件A与B10.已知事件A，B，且P(A)=0.4,P(B)=0.3，则(

)A.如果B⊆A，那么P(AB)=0.3

B.如果B⊆A，那么P(A∪B)=0.4

C.如果A与B相互独立，那么P(A∪B)=0.7

D.如果A与B相互独立，那么P(11.一台仪器每启动一次都随机地出现一个5位的数字

A=a1a2a3a4aA.A的所有实验结果构成的样本空间中共有32个样本点

B.若A的各位数字都是等可能地取值为0或1，则A=11100的概率大于A=00011的概率

C.若A的各位数字都是等可能地取值为0或1，则A中各位数字之和是4的概率为532

D.若a1=1,ak(k=2,3,4,5)出现0的概率为13，出现1的概率为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知A,B,C,D四点共面且任意三点不共线，平面ABCD外一点P，满足PD=−2PA+5PB+λPC，则13.随着阿根廷队的夺冠，2022年卡塔尔足球世界杯落下帷幕.根据足球比赛规则，两支球队先进行90分钟常规赛.若比分相同，则进行30分钟加时赛；如果在加时赛比分依旧相同，则进入5球点球大赛.若甲、乙两队在常规赛与加时赛中得分均相同，则甲、乙两队轮流进行5轮点球射门，进球得1分，不进球不得分.假设甲队每次进球的概率均为0.8，乙队每次进球的概率均为0.5，且在前两轮点球中，乙队领先一球，已知每轮点球大赛结果相互独立，则最终甲队获胜的概率为

．14.冰雹猜想又称考拉兹猜想、角谷猜想、3x+1猜想等，其描述为：任一正整数x，如果是奇数就乘以3再加1，如果是偶数就除以2，反复计算，最终都将会得到数字1.例如：给出正整数5，则进行这种反复运算的过程为5→16→8→4→2→1，即按照这种运算规律进行5次运算后得到1.若从正整数6，7，8，9，10中任取2个数按照上述运算规律进行运算，则运算次数均为奇数的概率为

．四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题12分)经调查某市三个地区存在严重的环境污染，严重影响本地区人员的生活．相关部门立即要求务必加强环境治理，通过三个地区所有人员的努力，在一年后，环境污染问题得到了明显改善．为了解市民对城市环保的满意程度，开展了一次问卷调查，并对三个地区进行分层抽样，共抽取40名市民进行询问打分，将最终得分按[60,65),[65,70),[70,75),[75,80),[80,85),[85,90]分段，并得到如图所示的频率分布直方图．(1)求频率分布直方图中a的值，以及此次问卷调查分数的中位数；(2)若分数在区间[60,70)的市民视为对环保不满意的市民，从不满意的市民中随机抽出两位市民做进一步调查，求抽出的两位市民来自不同打分区间的概率．16.(本小题12分)甲乙二人用4张扑克牌(分别是红桃2，红桃3，红桃4，方片4)完游戏，他们将扑克牌洗匀后，背面朝上放在桌面上，甲先抽，乙后抽，抽出的牌不放回，各抽一张．(1)设(i,j)分别表示甲、乙抽到的牌的数字，写出甲乙二人抽到的牌的所有情况；(2)若甲抽到红桃3，则乙抽出的牌的牌面数字比3大的概率是多少？(3)甲乙约定：若甲抽到的牌的牌面数字比乙大，则甲胜，反之，则乙胜，你认为此游戏是否公平，说明你的理由．17.(本小题12分)杭州2022年第19届亚运会(Tℎe 19tℎ Asian Games Hangzℎou 2022)将于2023年9月23日至10月8日举办．本届亚运会共设40个竞赛大项，包括31个奥运项目和9个非奥运项目．同时，在保持40个大项目不变的前提下，增设了电子竞技项目．与传统的淘汰赛不同，近年来一个新型的赛制“双败赛制”赢得了许多赛事的青睐．传统的淘汰赛失败一场就丧失了冠军争夺的权利，而在双败赛制下，每人或者每个队伍只有失败了两场才会淘汰出局，因此更有容错率．假设最终进入到半决赛有四支队伍，淘汰赛制下会将他们四支队伍两两分组进行比赛，胜者进入到总决赛，总决赛的胜者即为最终的冠军．双败赛制下，两两分组，胜者进入到胜者组，败者进入到败者组．胜者组两个队伍对决的胜者将进入到总决赛，败者进入到败者组．之前进入到败者组的两个队伍对决的败者将直接淘汰，胜者将跟胜者组的败者对决，其中的胜者进入总决赛，最后总决赛的胜者即为冠军．双败赛制下会发现一个有意思的事情，在胜者组中的胜者只要输一场比赛即总决赛就无法拿到冠军，但是其它的队伍却有一次失败的机会．近年来从败者组杀上来拿到冠军的不在少数，因此很多人戏谑这个赛制对强者不公平，是否真的如此呢？这里我们简单研究一下两个赛制．假设四支队伍分别为A，B，C，D，其中A对阵其他三个队伍获胜概率均为p，另外三支队伍彼此之间对阵时获胜概率均为12.最初分组时AB同组，(1)若p=23，在淘汰赛赛制下，A、(2)分别计算两种赛制下A获得冠军的概率(用p表示)，并据此简单分析一下双败赛制下对队伍的影响，是否如很多人质疑的“对强者不公平”？18.(本小题12分)如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F．(1)求证：PA//平面EDB；(2)求证：PB⊥平面EFD；(3)求平面CPB与平面PBD

的

夹角的大小．19.(本小题12分)在信道内传输0，1信号，信号的传输相互独立．发送0时，收到1的概率为p10<p1<1，收到0的概率为1−p1；发送1时，收到0的概率为p20<p2<1，收到1的概率为1−p2.现有两种传输方案：单次传输和三次传输．单次传输是指每个信号只发送1次，三次传输是指每个信号重复发送3次．收到的信号需要译码，译码规则如下：单次传输时，收到的信号即为译码(例如，若收到1，则译码为1(1)已知p1①若采用单次传输方案，重复发送信号0两次，求至少收到一次0的概率；②若采用单次传输方案，依次发送0,0,1，证明：事件“第三次收到的信号为1”与事件“三次收到的数字之和为2”相互独立．(2)若发送1，采用三次传输方案时译码为0的概率大于采用单次传输方案时译码为0的概率，求p2的取值范围．

参考答案1.B

2.A

3.C

4.D

5.B

6.B

7.A

8.B

9.AD

10.ABD

11.ACD

12.−2

13.0.304

14.110或0.

115.解：(1)由题意可得50.010+0.020+a+0.060+0.050+0.020解得a=0.040，由0.01×5+0.02×5+0.04×5=0.35,0.35+0.06×5=0.65，可得此次问卷调查分数的中位数在75,80上，设为x，则0.35+0.06x−75=0.5，解得所以此次问卷调查分数的中位数为77.5(分)；(2)60,65的市民有0.010×5×40=2人，记为a，b，65,70的市民有0.020×5×40=4人，记为1，2，3，4，则从中抽取两人的基本事件有：ab,a1,a2,a3,a4,b1,b2,b3,b4,12,13,14,23,24,34,共15种，其中两人来自不同的组的基本事件有8种，则所求概率为815

16.解：(1)甲乙二人抽到的牌的所有情况(方片4用字母a表示，红桃2，红桃3，红桃4分别用2，3，4表示)，可得基本事件的空间为：{(2,3)、(2,4)、(2,a)、(3,2)、(3,4)、(3,a)、(4,2)、(4,3)、(4,a)、(a,2)、(a,3)、(a,4)}，共12种不同情况，(2)解：由题意，甲抽到3，乙抽到的牌只能是2，4，a，所以乙抽到的牌的数字大于3的概率为23(3)解：根据题意，甲抽到的牌比乙大的有(3,2)、(4,2)、(4,3)、(a,2)、(a,3)，共有5种情况，所以甲胜的概率p1=5因为512

17.解：(1)记A，C拿到冠军分别为事件M，N，

淘汰赛赛制下，A只需要连赢两场即可拿到冠军，

因此P(M)=23×23=49，

对于C想拿到冠军，首先得战胜D，然后战胜A，B中的胜者，

因此P(N)=12×23×13+12×13×12=736．

(2)记两种赛制下A获得冠军的概率分别为p1，p2，则p1=p2，

而双败赛制下，A获得冠军有三种可能性： ①直接连赢三局; ②从胜者组掉入败者组然后杀回总决赛18.(1)解：侧棱PD⊥底面ABCD，而AD，DC⊂底面ABCD，故PD⊥AD，PD⊥DC，

底面ABCD是正方形，故AD⊥DC，

故以D为原点，DA，DC，DP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，设

DC=1

．依题意得

A1,0,0

，

B1,1,0

，

P0,0,1

，

所以

PA=1,0,−1

，

DB=1,1,0

，设平面EDB的一个法向量为

m=(x则有

DB⋅m=x取

m=(1,−1,1)

，则

PA⋅因为

PA⊄

平面EDB，因此

PA/​/

平面EDB．(2)解：依题意得

PB=1,1,−1因为

PB⋅DE所以

PB⊥ED

．由已知

EF⊥PB

，且

EF∩DE=E

，EF，ED⊂平面EFD，所以

PB⊥

平面EFD．(3)解：依题意得

C0,1,0

，且

CB=1,0,0

，

设平面CPB的一个法向量为

n=(x则

CB⋅