专题02一元二次方程的4种解法(原卷版+解析)

专题02一元二次方程的4种解法考点1：直接开方法；考点2：配方法；考点3：公式法；考点4：因式分解法。题型01直接开方法题型01直接开方法1．方程（x+6）2﹣9＝0的两个根是（）A．x1＝3，x2＝9 B．x1＝﹣3，x2＝9 C．x1＝3，x2＝﹣9 D．x1＝﹣3，x2＝﹣92．x1、x2是一元二次方程3（x﹣1）2＝15的两个解，且x1＜x2，下列说法正确的是（）A．x1小于﹣1，x2大于3 B．x1小于﹣2，x2大于3 C．x1，x2在﹣1和3之间 D．x1，x2都小于33．（易错题）若一元二次方程ax2＝b（ab＞0）的两根分别是m﹣1和2m+3，则baA．16 B．259 C．25 D．254．关于x的一元二次方程x2＝a的两个根分别是2m﹣1与m﹣5，则m＝．5．关于x的方程（2x+5）2＝m+1无实数解，则m的取值范围．6．对于解一元二次方程（x+3）2＝4，通过降次转化为两个一元一次方程，其中一个一元一次方程是x+3＝2，则另一个一元一次方程是．7．解方程：（1）x2﹣81＝0；（2）4（x﹣1）2＝9．题型02配方法题型02配方法8．一元二次方程y2﹣y−3A．（y+12）2＝1 B．（y−12）2＝1 C．（y+12）2=39．将代数式x2﹣10x+5配方后，发现它的最小值为（）A．﹣30 B．﹣20 C．﹣5 D．010．（易错题）设a、b是两个整数，若定义一种运算“△”，a△b＝a2+b2+ab，则方程（x+2）△x＝1的实数根是（）A．x1＝x2＝1 B．x1＝0，x2＝1 C．x1＝x2＝﹣1 D．x1＝1，x2＝﹣211．把方程x2﹣2＝4x用配方法化为（x+m）2＝n的形式，则mn的值是．12．方程x2﹣2x﹣1＝0的解是．13．小明设计了一个魔术盒，当任意实数对（a，b）进入其中，会得到一个新的实数a2﹣2b+3．若将实数（x，﹣2x）放入其中，得到﹣1，则x＝．14．（易错题）嘉淇同学用配方法推导一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的求根公式时，对于b2﹣4ac＞0的情况，她是这样做的：由于a≠0，方程ax2+bx+c＝0变形为：x2+baxx2+bax+（b2a）2=−ca（x+b2a）2x+b2a=b2−4acx=−b+嘉淇的解法从第步开始出现错误；事实上，当b2﹣4ac＞0时，方程ax2+bx+c＝0（a≠O）的求根公式是．用配方法解方程：x2﹣2x﹣24＝0．题型03公式法题型03公式法15．一元二次方程x2+4x﹣8＝0的解是（）A．x1＝2+23，x2＝2﹣23 B．x1＝2+22，x2＝2﹣22 C．x1＝﹣2+22，x2＝﹣2﹣22 D．x1＝﹣2+23，x2＝﹣2﹣2316．已知a是一元二次方程x2﹣x﹣1＝0较大的根，则下面对a的估计正确的是（）A．0＜a＜1 B．1＜a＜1.5 C．1.5＜a＜2 D．2＜a＜317．若实数a，b满足a2+ab﹣b2＝0，则ab=18．（易错题）对任意的两实数a，b，用min（a，b）表示其中较小的数，如min（2，﹣4）＝﹣4，则方程x•min（2，2x﹣1）＝x+1的解是．19．关于x的一元二次方程为（m﹣1）x2﹣2mx+m+1＝0．（1）求出方程的根；（2）m为何整数时，此方程的两个根都为正整数？类型04因式分解法类型04因式分解法20．方程x2﹣x＝56的根是（）A．x1＝7，x2＝8 B．x1＝7，x2＝﹣8 C．x1＝﹣7，x2＝8 D．x1＝﹣7，x2＝﹣821．一元二次方程x（x﹣2）＝x﹣2的解是（）A．x1＝x2＝0 B．x1＝x2＝1 C．x1＝0，x2＝2 D．x1＝1，x2＝222．一个等腰三角形的两条边长分别是方程x2﹣7x+10＝0的两根，则该等腰三角形的周长是（）A．12 B．9 C．13 D．12或923．方程2x2+1＝3x的解为．24．（易错题）菱形的一条对角线长为8，其边长是方程x2﹣9x+20＝0的一个根，则该菱形的周长为．25．（易错题）对于实数a，b，定义运算“◎”如下：a◎b＝（a+b）2﹣（a﹣b）2．若（m+2）◎（m﹣3）＝24，则m＝．26．解方程（1）2x2﹣3x﹣2＝0；（2）x（2x+3）﹣2x﹣3＝0．

专题02一元二次方程的4种解法考点1：直接开方法；考点2：配方法；考点3：公式法；考点4：因式分解法。题型01直接开方法题型01直接开方法1．方程（x+6）2﹣9＝0的两个根是（）A．x1＝3，x2＝9 B．x1＝﹣3，x2＝9 C．x1＝3，x2＝﹣9 D．x1＝﹣3，x2＝﹣9解：∵（x+6）2﹣9＝0，∴（x+6）2＝9，则x+6＝±3，∴x1＝﹣3，x2＝﹣9，答案：D．2．x1、x2是一元二次方程3（x﹣1）2＝15的两个解，且x1＜x2，下列说法正确的是（）A．x1小于﹣1，x2大于3 B．x1小于﹣2，x2大于3 C．x1，x2在﹣1和3之间 D．x1，x2都小于3解：∵x1、x2是一元二次方程3（x﹣1）2＝15的两个解，且x1＜x2，∴（x﹣1）2＝5，∴x﹣1＝±5，∴x2＝1+5＞3，x1＝1答案：A．3．（易错题）若一元二次方程ax2＝b（ab＞0）的两根分别是m﹣1和2m+3，则baA．16 B．259 C．25 D．25解：∵一元二次方程ax2＝b的两个根分别是m+1与2m﹣13，且x=±b∴m﹣1+2m+3＝0，解得：m=−2即方程的根是：x1=−5∴ba答案：B．4．关于x的一元二次方程x2＝a的两个根分别是2m﹣1与m﹣5，则m＝2．解：根据题意得2m﹣1+m﹣5＝0，解得m＝2，答案：2．5．关于x的方程（2x+5）2＝m+1无实数解，则m的取值范围m＜﹣1．解：∵关于x的方程（2x+5）2＝m+1无实数解，∴m+1＜0，解得m＜﹣1．答案：m＜﹣1．6．对于解一元二次方程（x+3）2＝4，通过降次转化为两个一元一次方程，其中一个一元一次方程是x+3＝2，则另一个一元一次方程是x+3＝﹣2．解：（x+3）2＝4，∴x+3＝±2，∴x+3＝2或x+3＝﹣2，答案：x+3＝﹣2．7．解方程：（1）x2﹣81＝0；（2）4（x﹣1）2＝9．解：（1）x2﹣81＝0，x2＝81，∴x＝±9，∴x1＝9，x2＝﹣9；（2）4（x﹣1）2＝9，（x﹣1）2=9∴x﹣1＝±32∴x1=52，x2题型02配方法题型02配方法8．一元二次方程y2﹣y−3A．（y+12）2＝1 B．（y−12）2＝1 C．（y+12）2=3解：y2﹣y−3y2﹣y=y2﹣y+1（y−12）答案：B．9．将代数式x2﹣10x+5配方后，发现它的最小值为（）A．﹣30 B．﹣20 C．﹣5 D．0解：x2﹣10x+5＝x2﹣10x+25﹣20＝（x﹣5）2﹣20，当x＝5时，代数式的最小值为﹣20，答案：B．10．（易错题）设a、b是两个整数，若定义一种运算“△”，a△b＝a2+b2+ab，则方程（x+2）△x＝1的实数根是（）A．x1＝x2＝1 B．x1＝0，x2＝1 C．x1＝x2＝﹣1 D．x1＝1，x2＝﹣2解：∵a△b＝a2+b2+ab，∴（x+2）△x＝（x+2）2+x2+x（x+2）＝1，整理得：x2+2x+1＝0，即（x+1）2＝0，解得：x1＝x2＝﹣1．答案：C．11．把方程x2﹣2＝4x用配方法化为（x+m）2＝n的形式，则mn的值是﹣12．解：∵x2﹣2＝4x，∴x2﹣4x＝2，∴x2﹣4x+4＝2+4，∴（x﹣2）2＝6，∴m＝﹣2，n＝6，∴mn＝﹣12，答案：﹣1212．方程x2﹣2x﹣1＝0的解是x1＝1+2，x2＝1−2解：∵x2﹣2x﹣1＝0，∴x2﹣2x＝1，∴x2﹣2x+1＝2，∴（x﹣1）2＝2，∴x＝1±2，∴原方程的解为：x1＝1+2，x2＝1−答案：x1＝1+2，x2＝1−13．小明设计了一个魔术盒，当任意实数对（a，b）进入其中，会得到一个新的实数a2﹣2b+3．若将实数（x，﹣2x）放入其中，得到﹣1，则x＝﹣2．解：根据题意得x2﹣2•（﹣2x）+3＝﹣1，整理得x2+4x+4＝0，（x+2）2＝0，所以x1＝x2＝﹣2．答案：﹣2．14．（易错题）嘉淇同学用配方法推导一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的求根公式时，对于b2﹣4ac＞0的情况，她是这样做的：由于a≠0，方程ax2+bx+c＝0变形为：x2+baxx2+bax+（b2a）2=−ca（x+b2a）2x+b2a=b2−4acx=−b+嘉淇的解法从第四步开始出现错误；事实上，当b2﹣4ac＞0时，方程ax2+bx+c＝0（a≠O）的求根公式是x=−b±b用配方法解方程：x2﹣2x﹣24＝0．解：在第四步中，开方应该是x+b2a=±b2答案：四；x=−b±用配方法解方程：x2﹣2x﹣24＝0解：移项，得x2﹣2x＝24，配方，得x2﹣2x+1＝24+1，即（x﹣1）2＝25，开方得x﹣1＝±5，∴x1＝6，x2＝﹣4．题型03公式法题型03公式法15．一元二次方程x2+4x﹣8＝0的解是（）A．x1＝2+23，x2＝2﹣23 B．x1＝2+22，x2＝2﹣22 C．x1＝﹣2+22，x2＝﹣2﹣22 D．x1＝﹣2+23，x2＝﹣2﹣23解：∵a＝1，b＝4，c＝﹣8，∴Δ＝42﹣4×1×（﹣8）＝48＞0，则x=−b±b2∴x1＝﹣2+23，x2＝﹣2﹣23，答案：D．16．已知a是一元二次方程x2﹣x﹣1＝0较大的根，则下面对a的估计正确的是（）A．0＜a＜1 B．1＜a＜1.5 C．1.5＜a＜2 D．2＜a＜3解：解方程x2﹣x﹣1＝0得：x=1±∵a是方程x2﹣x﹣1＝0较大的根，∴a=1+∵2＜5∴3＜1+5∴32答案：C．17．若实数a，b满足a2+ab﹣b2＝0，则ab=−1±解：a2+ab﹣b2＝0△＝b2+4b2＝5b2．a=−b±∴ab答案：−1±18．（易错题）对任意的两实数a，b，用min（a，b）表示其中较小的数，如min（2，﹣4）＝﹣4，则方程x•min（2，2x﹣1）＝x+1的解是x=1+32或x解：①若2＜2x﹣1，即x＞1.5时，x+1＝2x，解得x＝1（舍）；②若2x﹣1≤2，即x≤1.5时，x（2x﹣1）＝x+1，解得x=1+32或答案：x=1+32或19．关于x的一元二次方程为（m﹣1）x2﹣2mx+m+1＝0．（1）求出方程的根；（2）m为何整数时，此方程的两个根都为正整数？解：（1）根据题意，得m≠1．∵a＝m﹣1，b＝﹣2m，c＝m+1，∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣2m）2﹣4（m﹣1）（m+1）＝4，则x1=2m+2x2＝1；（2）由（1）知，x1=m+1m−1=∵方程的两个根都为正整数，∴2m−1∴m﹣1＝1或m﹣1＝2，解得m＝2或3．即m为2或3时，此方程的两个根都为正整数．题型04因式分解法题型04因式分解法20．方程x2﹣x＝56的根是（）A．x1＝7，x2＝8 B．x1＝7，x2＝﹣8 C．x1＝﹣7，x2＝8 D．x1＝﹣7，x2＝﹣8解：∵x2﹣x＝56，∴x2﹣x﹣56＝0，则（x﹣8）（x+7）＝0，∴x﹣8＝0或x+7＝0，解得x1＝﹣7，x2＝8，答案：C．21．一元二次方程x（x﹣2）＝x﹣2的解是（）A．x1＝x2＝0 B．x1＝x2＝1 C．x1＝0，x2＝2 D．x1＝1，x2＝2解：x（x﹣2）＝x﹣2，移项，得x（x﹣2）﹣（x﹣2）＝0，提公因式，得（x﹣2）（x﹣1）＝0，∴x﹣2＝0或x﹣1＝0，解得x1＝2，x2＝1．答案：D．22．一个等腰三角形的两条边长分别是方程x2﹣7x+10＝0的两根，则该等腰三角形的周长是（）A．12 B．9 C．13 D．12或9解：x2﹣7x+10＝0，（x﹣2）（x﹣5）＝0，x﹣2＝0，x﹣5＝0，x1＝2，x2＝5，①等腰三角形的三边是2，2，5∵2+2＜5，∴不符合三角形三边关系定理，此时不符合题意；②等腰三角形的三边是2，5，5，此时符合三角形三边关系定理，三角形的周长是2+5+5＝12；即等腰三角形的周长是12．答案：A．23．方程2x2+1＝3x的解为x1＝1，x2=12解：2x2+1＝3x，2x2﹣3x+1＝0，（x﹣1）（2x﹣1）＝0，解得：x1＝1，x2=1答案：x1＝1，x2=124．（易错题）菱形的一条对角线长为8，其边长是方程x2﹣9x+20＝0的一个根，则该菱形的周长为20．解：如图所示：

∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC＝CD＝AD，∵x2﹣9x+20＝0，因式分解得：（x﹣4）（x﹣5）＝0，解得：x＝4或x＝5，分两种情况：①当AB＝AD＝4时，4+4＝8，不能构成三角形；②当AB＝AD＝5时，5+5＞8，∴菱形ABCD的周长＝4AB＝20．答案：20．25．（易错题）对于实数a，b，定义运算“◎