专题04不等式的概念和性质(热考题型)-原卷版+解析

专题04不等式的概念和性质【思维导图】◎考点题型1不等式的定义不等式的定义：用符号“”或“”表示大小关系的式子，叫作不等式.像a3这样用符号“”表示不等关系的式子也是不等式。【注意】1.方程与不等式的区别：方程表示的是相等关系，不等式表示的是不等关系。2.常用的不等号有“”五种.“”“”不仅表示左右两边的不等关系，还明确表示左右两边的大小；“”“”也表示不等关系，前者表示“不小于”(大于或等于），后者表示“不大于”(小于或等于）；“”表示左右两边不相等。3.在不等式a>b或a<b，a叫做不等式的左边，b叫做不等式的右边。4.在列不等式时，一定要注意表示不等关系的关键词。例．（2021春·甘肃兰州·八年级校考期中）式子①x-y=2，②xy，③x+y，④x-3y，⑤x≥0，⑥x3中，属于不等式的有(

)A．2个 B．3个 C．4个 D．5个变式1．（2021春·七年级校考单元测试）给出下列各式：①；②；③；④；⑤；⑥．其中不等式的个数是（）A．5 B．2 C．3 D．4变式2．（2022春·江苏·七年级专题练习）下列6个式子①－2＜0；②2x－1＞0；③2x－1＝0；④2x－1＜0；⑤m－2；⑥－2≤2ab，其中不等式有(

)A．3个 B．4个 C．5个 D．6个变式3．（2022秋·八年级课时练习）在数学表达式①-3<0②4x+3y>0③x=3④x2+xy+y2⑤x≠5⑥x+2>y+3中，是不等式的有(

)个.A．1 B．2 C．3 D．4◎考点题型2不等式的解集1、不等式的解与解集：不等式的解：使不等式成立的未知数的值叫作不等式的解。不等式的解集：一般地，一个含有未知数的不等式的所有的解，组成这个不等式的解集。它可以在数轴上直观地表示出来，是数形结合的具体表现。一般来说，不等式的解集用数轴表示有以下四种情况：不等式表示数轴表示【注意】不等式的解与不等式的解集的区别与联系：1）不等式的解是指满足这个不等式的未知数的某个值。2）不等式的解集是指满足这个不等式的未知数的所有的值。3）不等式的所有解组成了这个不等式的解集，不等式的解集中包括这个不等式的每一个解。2.用数轴表示不等式的解集：大于向右，小于向左，有等号画实心圆点，无等号画空心圆点。例．（2022春·山西朔州·七年级统考期末）下列说法不正确的是（

）A．由，得 B．由得C．不等式的解一定是不等式的解 D．若，则（c为有理数）变式1．（2022春·江苏·七年级专题练习）下列各数中，能使不等式成立的是（）A．6 B．5 C．4 D．2变式2．（2022春·内蒙古通辽·七年级校考期中）若关于的不等式的解集为，则的取值范围是（

）A． B． C． D．变式3．（2022春·江苏·七年级专题练习）下列说法：①是不等式的一个解；②不是不等式的解；③不等式的解有无数个．其中正确的有()A．0个 B．1个 C．2个 D．3个◎考点题型3不等式的性质不等式的性质：基本性质1：不等式两边同时加或减去同一个整式，不等号方向不变，即

若a>b，则a+c>b+c，a-c>b-c。

基本性质2：不等式两边同时乘以（或除以）同一个大于0的整式，不等号方向不变，即

若a>b,c>0，则ac>bc（或）

基本性质3：不等式两边同时乘以（或除以）同一个小于0的整式，不等号方向改变，即若a>b,c<0，则ac<bc（或）基本性质4：若a>b，则b<a。基本性质5：若a>b>c，则a>c。基本性质6：如果，，那么.【注意】1、根据不等式的性质，可以将一个不等式变形，尤其要注意性质2和性质3的区别，当不等式两边乘（或除以）同一个负数时，不等号的方向要改变。2、不等号方向发生改变就是指原来的不等号方向变成其相反方向。不等式性质与等式性质的相同和不同点：相同点：都可以在两边加上或减去同一个式子不同点：对于等式两边，乘（或除）以同一个正数（或负数），结果依然成立对于不等式两边，乘（或除）以同一个正数，不等号方向不变；乘（或除）以同一个负数，不等号方向发生改变；解不等式的概念：求不等式的解集的过程叫作解不等式。例．（2020秋·浙江杭州·八年级校考期中）若，则（

）A． B． C． D．变式1．（2023春·八年级课时练习）已知，下列不等式变形不正确的是（

）A． B． C． D．变式2．（2022秋·黑龙江哈尔滨·八年级哈尔滨市第六十九中学校校考阶段练习）已知实数，若，则下列结论正确的是（

）A． B． C． D．变式3．（2022春·重庆铜梁·七年级校考期末）若实数a、b、c在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列不等式成立的是（

）A．ac>bc B．b-2a>b-2cC．a+c>b+c D．a-b>c-b专题04不等式的概念和性质【思维导图】◎考点题型1不等式的定义不等式的定义：用符号“”或“”表示大小关系的式子，叫作不等式.像a3这样用符号“”表示不等关系的式子也是不等式。【注意】1.方程与不等式的区别：方程表示的是相等关系，不等式表示的是不等关系。2.常用的不等号有“”五种.“”“”不仅表示左右两边的不等关系，还明确表示左右两边的大小；“”“”也表示不等关系，前者表示“不小于”(大于或等于），后者表示“不大于”(小于或等于）；“”表示左右两边不相等。3.在不等式a>b或a<b，a叫做不等式的左边，b叫做不等式的右边。4.在列不等式时，一定要注意表示不等关系的关键词。例．（2021春·甘肃兰州·八年级校考期中）式子①x-y=2，②xy，③x+y，④x-3y，⑤x≥0，⑥x3中，属于不等式的有(

)A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【答案】B【分析】根据不等式的定义：表示不等关系的式子叫做不等式，可直接选出答案．【详解】属于不等式的有：②⑤⑥．共3个故选：B【点睛】此题主要考查了不等式的定义,解答此类题关键是要识别常见不等号：＞，＜，≤，≥，≠．变式1．（2021春·七年级校考单元测试）给出下列各式：①；②；③；④；⑤；⑥．其中不等式的个数是（）A．5 B．2 C．3 D．4【答案】D【分析】运用不等式的定义进行判断．【详解】解：③是等式，④是代数式，没有不等关系，所以不是不等式．不等式有①②⑤⑥，共4个．故选：D．【点睛】本题考查不等式的识别，一般地，用不等号表示不相等关系的式子叫做不等式．解答此类题关键是要识别常见不等号：＞，＜，≤，≥，≠．变式2．（2022春·江苏·七年级专题练习）下列6个式子①－2＜0；②2x－1＞0；③2x－1＝0；④2x－1＜0；⑤m－2；⑥－2≤2ab，其中不等式有(

)A．3个 B．4个 C．5个 D．6个【答案】B【分析】主要依据不等式的定义：用“＞”、“≥”、“＜”、“≤”、“≠”等不等号表示不相等关系的式子是不等式来判断．【详解】根据不等式的定义可得：①－2＜0，②2x－1＞0，④2x－1＜0，⑥－2≤2ab共计4个.故选B.【点睛】考查不等式的识别，一般地，用不等号表示不相等关系的式子叫做不等式．解答此类题关键是要识别常见不等号：＞,＜,≤,≥,≠．变式3．（2022秋·八年级课时练习）在数学表达式①-3<0②4x+3y>0③x=3④x2+xy+y2⑤x≠5⑥x+2>y+3中，是不等式的有(

)个.A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【分析】根据不等式的定义，用“＞”、“≥”、“＜”、“≤”、“≠”等不等号表示不相等关系的式子是不等式，依次判断6个式子即可．【详解】根据不等式的定义,依次分析可得：−3＜0，4x＋3y＞0，x≠5，x＋2＞y＋3，4个式子符合定义，是不等式，而x＝3是等式，x2＋xy＋y2是代数式.故答案为D.【点睛】本题考查了不等式的定义，熟练掌握该知识点是本题解题的关键.◎考点题型2不等式的解集1、不等式的解与解集：不等式的解：使不等式成立的未知数的值叫作不等式的解。不等式的解集：一般地，一个含有未知数的不等式的所有的解，组成这个不等式的解集。它可以在数轴上直观地表示出来，是数形结合的具体表现。一般来说，不等式的解集用数轴表示有以下四种情况：不等式表示数轴表示【注意】不等式的解与不等式的解集的区别与联系：1）不等式的解是指满足这个不等式的未知数的某个值。2）不等式的解集是指满足这个不等式的未知数的所有的值。3）不等式的所有解组成了这个不等式的解集，不等式的解集中包括这个不等式的每一个解。2.用数轴表示不等式的解集：大于向右，小于向左，有等号画实心圆点，无等号画空心圆点。例．（2022春·山西朔州·七年级统考期末）下列说法不正确的是（

）A．由，得 B．由得C．不等式的解一定是不等式的解 D．若，则（c为有理数）【答案】D【分析】根据不等式的性质、不等式的解集逐一进行分析判断即可得．【详解】A．由，得，正确，不符合题意；B．由得，正确，不符合题意；C．不等式的解一定是不等式的解，正确，不符合题意；D．若，当c=0时，（c为有理数），故D选项错误，符合题意，故选D．【点睛】本题考查了不等式的性质，不等式的解集，熟练掌握不等式的性质和正确理解不等式的解集的概念是解题的关键．变式1．（2022春·江苏·七年级专题练习）下列各数中，能使不等式成立的是（）A．6 B．5 C．4 D．2【答案】D【分析】将A、B、C、D选项逐个代入中计算出结果，即可作出判断.【详解】解：当时，=1＞0，当x=5时，=0.5＞0，当x=4时，=0，当x=2时，=-1＜0，由此可知，可以使不等式成立．故选D．【点睛】本题考查了一元一次不等式的解的概念，代入求值是关键.变式2．（2022春·内蒙古通辽·七年级校考期中）若关于的不等式的解集为，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据不等式的基本性质3，两边都除以m-1后得到x＞1，可知m-1＜0，解之可得．【详解】∵不等式（m-1）x＜m-1的解集为x＞1，∴m-1＜0，即m＜1，故选：B．【点睛】此题考查不等式的解集，熟练掌握不等式的基本性质是解题的关键．变式3．（2022春·江苏·七年级专题练习）下列说法：①是不等式的一个解；②不是不等式的解；③不等式的解有无数个．其中正确的有()A．0个 B．1个 C．2个 D．3个【答案】D【分析】分别判断①②③是否正确即可解答.【详解】解：①把代入不等式，成立，故是不等式的一个解，正确；②把代入不等式，不成立，故不是不等式的解，正确；③不等式的解有无数个，正确．故选D.【点睛】本题考查了不等式的解的定义，准确计算是解题的关键.◎考点题型3不等式的性质不等式的性质：基本性质1：不等式两边同时加或减去同一个整式，不等号方向不变，即

若a>b，则a+c>b+c，a-c>b-c。

基本性质2：不等式两边同时乘以（或除以）同一个大于0的整式，不等号方向不变，即

若a>b,c>0，则ac>bc（或）

基本性质3：不等式两边同时乘以（或除以）同一个小于0的整式，不等号方向改变，即若a>b,c<0，则ac<bc（或）基本性质4：若a>b，则b<a。基本性质5：若a>b>c，则a>c。基本性质6：如果，，那么.【注意】1、根据不等式的性质，可以将一个不等式变形，尤其要注意性质2和性质3的区别，当不等式两边乘（或除以）同一个负数时，不等号的方向要改变。2、不等号方向发生改变就是指原来的不等号方向变成其相反方向。不等式性质与等式性质的相同和不同点：相同点：都可以在两边加上或减去同一个式子不同点：对于等式两边，乘（或除）以同一个正数（或负数），结果依然成立对于不等式两边，乘（或除）以同一个正数，不等号方向不变；乘（或除）以同一个负数，不等号方向发生改变；解不等式的概念：求不等式的解集的过程叫作解不等式。例．（2020秋·浙江杭州·八年级校考期中）若，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据不等式的性质依次判断解答即可．【详解】解：A．由，可得，原变形错误，故此选项不符合题意；B．由，可得，原变形错误，故此选项不符合题意；C．由，若可得，若可得，故此选项符合题意；D．由，可得，原变形不正确，故此选项不符合题意；故选：C．【点睛】本题考查了不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解题的关键．要注意：不等式的性质1是：不等式的两边都加（或减）同一个数或式子，不等号的方向不变，不等式的性质2是：不等式的两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，不等式的性质3是：不等式的两边都乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．变式1．（2023春·八年级课时练习）已知，下列不等式变形不正确的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据不等式基本性质逐一判断即可．【详解】解：A．根据不等式性质，不等式两边都加2可得，原变形正确，故此选项不符合题意；B．根据不等式性质，不等式两边都乘以3可得，原变形正确，故此选项不符合题意；C．根据不等式性质，不等式两边都乘以可得，原变形不正确，故此选项符合题意；D．根据不等式性质，不等式两边都乘以2可得，再在不等号两边同时减1得，原变形正确，故此选项不符合题意．故选：C．【点睛】本题主要考查了不等式的性质．解题的关键是掌握不等式的性质：（1）不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；（2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；（3）不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．变式2．（2022秋·黑龙江哈尔滨·八年级哈尔滨市第六十九中学校校考阶段练习）已知实数，若，则下列结论正确的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据不等式的性质：①不等式两边同时加上（减去）同一个数（式）不等号方向不变；②不等式两边同时乘以（除以）同一个正数不等号方向不变；③不等式两边同时乘以（除以）同一个负