2024-2025学年广东省揭阳市揭东区某校九年级（上）开学数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年广东省揭阳市揭东区某校九年级（上）开学数学试卷一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.“琴棋书画”的棋是指围棋，围棋起源于中国，至今已有四千多年的历史.下列由黑、白棋子摆成的图案中，是中心对称图形的是(

)A. B. C. D.2.下列从左边到右边的变形中，是因式分解的是(

)A.x2+3x+1=x(x+3+1x) B.(x−y)3.下列分式中，是最简分式的是(

)A.xyx2 B.3x+33x−3 C.x+y4.如图是用边长相等的正三角形和正多边形两种地砖铺设的部分地面示意图，则这种正多边形地砖的边数是(

)A.6 B.8 C.10 D.125.若分式49−x27−x的值为0，则x的值为A.−7 B.7 C.7或−7 D.496.在如图4×4的正方形网格中，△MNP绕某点旋转一定的角度，得到△M1N1PA.点A B.点B C.点C D.点D7.如图，在△ABC中，∠APC=116°，P为△ABC内一点，过点P的直线MN分别交AB、BC于点M、N.若M在PA的垂直平分线上，N在PC的垂直平分线上，则∠ABC的度数为(

)A.64° B.52° C.54° D.62°8.如图，直线y1=x+b与y2=kx−1相交于点P，点P的横坐标为−1，则关于x的不等式x+b>kx−1的解集在数轴上表示正确的是A.B.

C.D.9.2024年6月2日沈阳和河半程马拉松比赛成功举行，各位跑友齐聚沈阳市和平区，以跑者之势再现运动之美.小阳参与“半程马拉松”(约21km)项目，前12km以原计划平均速度vkm/ℎ完成，之后身体竞技状态下降，以0.75vkm/ℎ的平均速度完成剩下赛程，最终比原计划晚15min到达目的地，则小阳前12km的平均速度为(

)A.9km/ℎ B.10km/ℎ C.12km/ℎ D.21km/ℎ10.如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是平行四边形，A(0,3)，D(1,0)，点C落在x轴的正半轴上，点B落在第一象限内，按以下步骤作图：

①以点D为圆心，适当长为半径作弧，分别交DA，DC于点E，F；

②分别以E，F为圆心，大于12EF的长为半径作弧，两弧在∠ADC内交于点G；

③作射线DG，交边AB于点H；

则点H的坐标为(

)A.(10,3) B.(−3,3) C.(3,3)二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。11.分解因式：m3−9m=______．12.如图，将一副三角板在平行四边形ABCD中作如下摆放，设∠1=30°，那么∠2=______．13.已知aba−b=13，则代数式14.关于x的方程mxx−3=3x−3无解，则m15.如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，E为CD上的一点，且DE=5，F为AE的中点，若△DEF的周长为30，则OF的长为______．三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。16.(本小题7分)

化简(8x+1−x+1)÷x2−6x+9x+1，再从−1，017.(本小题7分)

如图，四边形ABCD是平行四边形．请用尺规作图法在AB上找一点E，使得∠ADE+∠C=90°. (不写作法，保留作图痕迹)18.(本小题7分)

已知：关于x、y的二元一次方程组x+2y=3k3x+y=5−k的解满足−1<x+y≤4．

(1)求k的取值范围；

(2)在(1)的条件下，化简|2k+5|−|k−3|．19.(本小题9分)

2024年3月14日是第五个“国际数学日”，某校数学组在今年“π日”举行了数学游园活动，购买了一批钢笔和自动铅笔作为奖品.在前期询价时，通过电话询问文具店了解到，钢笔的价格比自动铅笔贵60%，且花300元购买的自动铅笔比花400元购买的钢笔多10支．

(1)求前期电话询问时钢笔和自动铅笔的单价分别为多少？

(2)前往文具店购买时，恰逢商家对价格进行了调整：自动铅笔比之前询问时涨价20%，而钢笔则按之前询问价格的8.5折出售.若学校最终购买了钢笔和自动铅笔共200支，且购买奖品的费用没有超过1250元，则学校最多购买了多少支钢笔作为奖品？20.(本小题9分)

如图，阅读与思考：在函数的学习过程中，我们利用描点法画出函数的图象，并借助图象研究该函数的性质，最后运用函数解决问题.现我们对函数y=|x+1|(x的取值范围为任意实数)进行探究．x…−4−3−2−10123…y=|x+1|…310124…(1)请将表格补充完整．

(2)请根据上表中的数据，在如图所示的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出一条该函数图象的性质：______．

(3)请在如图所示的平面直角坐标系中画出一次函数y=−12x+1的图象，并直接写出不等式21.(本小题9分)

已知四边形ABCD为平行四边形，点M，N分别是直线AD，BC上的点，且与点A，B，C，D不重合．

(1)请在图1中画出你设计的图形，并添加一个适当的条件：______，使得点M，N与▱ABCD的两个顶点组成的四边形是一个平行四边形，并说明理由；

(2)如图2，已知AC=BC=6，∠ABC=30°，若四边形AMCN为平行四边形，且AM=6，则MN的长度为______．22.(本小题13分)生活中的数学

某学校组织七、八年级学生进行研学活动，由学生会通过调研获取信息供学校参考制定出行方案.经学生会调查，得到以下信息．信息1某旅游公司只有60座客车14辆，45座客车25辆可供租用45座客车60座客车载客量(人/辆)4560租金(元/辆)250300信息2七年级若每位老师带40名学生，则还剩10名学生没老师带；若每位老师带41名学生，则恰好完成分配．信息3八年级师生如果租用45座的客车n辆，那么还有30人没有座位；如果租用60座的客车可少租2辆，且正好坐满．任务1

(1)参加此次活动的七年级师生共有______人；任务2

(2)求参加此次活动的八年级师生共有多少人；任务3

(3)学校计划此次研学活动由七八年级师生共同租用两种客车，要使每位师生都有座位，且每辆客车恰好坐满，总费用不超过4800元，你能得出哪几种不同的租车方案？请直接写出具体的租车方案．23.(本小题14分)

【探索发现】小应发现：平行四边形两条对角线的平方和等于两邻边平方和的两倍．

【推理论证】如图1，四边形ABCD是平行四边形，求证：AC2+BD2=2(AB2+BC2).

小应的证明：作AE⊥BC于点E，DF⊥BC交BC的延长线于点F，由四边形ABCD是平行四边形，容易证得△ABE≌△DCF(AAS)，得到AE=DF，BE=CF．

设BE=CF=a，CE=b，AE=DF=ℎ．

在Rt△ACE和Rt△BDF中，AC2+BD2=ℎ2+b2+(2a+b)2+ℎ2=4a2+4ab+2b2+2ℎ2．

在Rt△ABE中，AB2=a2+ℎ2，

∴AB2+BC2=…参考答案1.B

2.D

3.C

4.D

5.A

6.B

7.B

8.A

9.C

10.A

11.m(m+3)(m−3)

12.75°

13.9

14.1或0

15.1016.解：(8x+1−x+1)÷x2−6x+9x+1

=8−(x−1)(x+1)x+1÷(x−3)2x+1

=−x2+9x+1⋅x+1(x−3)2

=−(x+3)(x−3)x+1⋅17.解：如图，点E即为所求．

18.解：(1)x+2y=3k3x+y=5−k，

解得：x=2−ky=2k−1，

∵−1<x+y≤4，

∴−1<2−k+2k−1≤4，

解得：−2<k≤3；

(2)∵−2<k≤3，

∴2k+5>0，k−3≤0，

∴|2k+5|−|k−3|

=2k+5+k−3

19.解：(1)设前期电话询问时自动铅笔的单价是x元，则自钢笔的单价是(1+60%)x元，

根据题意得：300x−400(1+60%)x=10，

解得：x=5，

经检验，x=5是所列方程的解，且符合题意，

∴(1+60%)x=(1+60%)×5=8(元)．

答：前期电话询问时钢笔的单价是8元，自动铅笔的单价是5元；

(2)设学校购买了y支钢笔作为奖品，则购买了(200−y)支自动铅笔，

根据题意得：5×(1+20%)(200−y)+8×0.85y≤1250，

解得：y≤1252，

又∵y为正整数，

∴y的最大值为20.(1)填表如下：…−4−3−2−10123…y=|x+1|…32101234…

(2)函数图象如下：

该函数图象的一条性质为：图象关于直线x=−1对称(答案不唯一)．

(3)联立方程组y=丨x+1丨y=−12x+1，

解得x=0y=1，x=−4y=3，

两个函数的交点坐标为(0,1)和(−4,3)21.(1)如图1，添加条件AM=BN，四边形ABNM为平行四边形，理由如下：

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD//BC，

∵AM=BN，

∴四边形ABNM为平行四边形；

(2)如图2，设AC与MN交于点O，

∵四边形AMCN为平行四边形，

∴CN=AM=6，OA=OC=AC=3，OM=ON，

∵AC=BC=6，

∴∠CAB=∠ABC=30°，AC=CN，

∴∠ACN=∠CAB+∠ABC=60°，

∴△ACN是等边三角形，

∴AN=CN=6，

∴平行四边形AMCN是菱形，

∴MN⊥AC，

∴∠CON=90°，

∴ON=CN2−OC22.(1)420；

(2)根据题意得：45n+30=60(n−2)，

解得：n=10，

∴60(n−2)=60×(10−2)=480．

答：参加此次活动的八年级师生共有480人；

(3)设租用y辆45座客车，则租用420+480−45y60=(15−34y)辆60座客车，

根据题意得：y≤2515−34y≤14250y+300(15−34y)≤4800，

解得：43≤y≤12，

又∵y，(15−34y)均为自然数，

∴y可以为4，8，12，

∴共有3种租车方案，

方案1：租用4辆45座客车，12辆60座客车；

方案2：租用8辆4523.(1)证明：作AE⊥BC于点E，DF⊥BC交BC的延长线于点F，

∴∠AEB=∠F，

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB=CD，AB//CD，

∴∠ABC=∠DCF，

∴△ABE≌△DCF(AAS)，

得到AE=DF，BE=CF，

设BE=CF=a，CE=b，AE=DF=ℎ